L - UNAM

Partícula en un caja tridimensional
Para este caso la ecuación de Schrödinger es:
2
2
 2

− h2  d Ψ2 + d Ψ2 + d Ψ
2
d
8π m  d x
d
y
z

2


 = E

Ψ
z
L
y las funciones de onda son:
Ψ ( x) =
Ψ( y) =
Ψ ( z) =
π
2
sen n x x
L
L
y
nyπ
2
sen
y
L
L
π
2
sen n z z
L
L
x
y los niveles energéticos son:
E
Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21
=
(n + n + n )8mh
2
2
2
x
y
z
2
L
2
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Figura. Características de las
ondas. Cresta (Wave peak),
valle (wave trough), longitud
de onda wavelength.
Longitud de onda (λ); distancia entre los
máximos de dos crestas o valles. La λ se
mide en nm.
Amplitud, altura máxima de un cresta o
valle. La amplitud de la onda se relaciona
con la intensidad de la radiación.
Frecuencia (ν), se define como un ciclo
completo de una onda en un segundo, s-1 o
Hz.
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Figura. La energía radiante,
tiene características de onda;
consta de ondas electromagnéticas.
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Naturaleza ondulatoria de la luz
•La luz visible, es un tipo de radiación electromagnética.
•La radiación electromagnética transporta energía a través del espacio y por
eso se le conoce como energía radiante.
•Todos los tipos de radiación electromagnética se mueven en el vacío a una
velocidad de 3x108 m/s, velocidad de la luz.
•La radiación electromagnética presenta características ondulatorias debidas
a las oscilaciones periódicas de las intensidades de las fuerzas electrónicas y
magnéticas asociadas a la radiación, ver Figura de energía radiante.
La Figura siguiente muestra los diversos tipos de radiación electromagnética,
en orden creciente de longitud de onda.
Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21
Figura. Espectro electromagnético
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El espectro electromagnético muestra los diferentes tipo de radiación
electromagnética, el cual abarca desde los rayos gama hasta las ondas
de radio. La región visible está compuesta por diferente tipos de luz,
correspondientes a diferentes colores, en un rango de 400-750 nm,
(1nm=1x10-9m).
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FOTONES Y ENERGÍA CUANTIZADA
Aunque el modelo ondulatorio de la luz explica muchos aspectos de su
comportamiento, hay fenómenos que no puede explicar.
Estos son:
1. La emisión de la luz por parte de objetos calientes (radiación del
cuerpo negro)
2. La emisión de electrones por superficies metálicas en los que incide
la luz (el efecto fotoeléctrico)
3. La emisión de luz por parte de átomos de gas excitados
electrónicamente (espectros de emisión).
Max Planck (1858-1947) propuso que la energía solo puede ser liberada (emitida)
o absorbida por átomos en paquetes de energía discretos con cierto tamaño mínimo.
A estos paquetes de energía, Planck los llamó CUANTOS (cantidad fija).
La energía, E, de un solo CUANTO es igual a una constante multiplicada por su
frecuencia:
E = hν
Energía de un fotón
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h= Constante de Planck
h= 6.63 x 10-34 J s
ν = frecuencia
Según la teoría de Planck, la teoría cuántica, la materia siempre emite o absorbe
energía en múltiplos enteros de hv; hv, 2hv, 3hv, etc …(Cuantos de enrgía)
Si la cantidad de energía emitida por un átomo es de 3hv, decimos que se
emitieron 3 cuantos de energía. Es decir las energías permitidas están
cuantizadas o que sus valores están restringidos a ciertas cantidades.
En objetos macroscópicos, como las personas, la ganancia o pérdida de un solo
cuanto de energía pasa completamente desapercibido, mientras que si tratamos
con materia a nivel atómico (microscópico), el impacto de la energía cuantizada
es muy importante.
La comprobación de la teoría cuántica de Planck sirvió de base para la
explicación el efecto fotoeléctrico por Albert Einstein (1879-1955).
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RADIACION DEL CUERPO NEGRO
La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la
energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente
desde el interior es emitida.
Pero, en la naturaleza no existe un cuerpo negro, este es un modelo de la
física para explicar la absorción total de la luz.
El color negro de humo, que es carbón en forma de hollín refleja el 1% de
la energía incidente !!!.
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Sea una cavidad cuyas paredes están a una
cierta temperatura. Los átomos que componen
las
paredes
están
emitiendo
radiación
electromagnética y al mismo tiempo absorben la
radiación emitida por otros átomos de las
paredes. Cuando la radiación encerrada dentro
de la cavidad alcanza el equilibrio con los
átomos de las paredes la cantidad de energía
que emiten los átomos en la unidad de tiempo
es igual a la que absorben. En consecuencia,
cuando la radiación dentro de la cavidad está en
equilibrio con las paredes, la densidad de
energía del campo electromagnético es
constante.
Max Planck sugirió que:
1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los
átomos de las paredes que se comportan como osciladores
armónicos de frecuencia dada v .
2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la
radiación en una cantidad proporcional a v. Cuando un
oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su
energía aumenta o disminuye en una cantidad hv .
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EFECTO FOTOELECTRICO
Figura. El efecto fotoeléctrico. a) Cuando los fotones con energía
lo suficientemente alta chocan con una superficie metálica, el
metal emite electrones. b) Los electrones emitidos son atraídos
hacia la terminal positiva. Es decir fluye una corriente en el
circuito.
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Luz incidente
o Energía radiante
Electrones
emitidos
Fotón= Diminutos paquetes de energía
La energía radiante que incide sobre la superficie metálica es una corriente de
diminutos paquetes de energía o fotones.
Cada fotón tiene una energía proporcional a la frecuencia de la luz.
E
fotón
= hν
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Energía de un fotón absorbido = Energía necesaria para liberar 1
electrón + energía cinética del electrón emitido.
Cuando un fotón de energía hv choca con la superficie metálica y
este fotón supera la función trabajo Φ, se libera un electrón con una
energía Ek, que es la energía cinética.
La ley de conservación de la energía nos dice que:
1
2
=
+
h
h 0 2 m vm
ν
ν
hν =φ + E
k
h es la constante de Planck,
hv0 es la frecuencia de corte o frecuencia mínima de los fotones
Φ es la función trabajo, o mínima energía necesaria
Ek es la máxima energía cinética de los electrones
Si la energía del fotón (hv) no es mayor que la función de trabajo (Φ), no se
emite ningún electrón.
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