Las tres categorías de limites. Los límites de funciones se presentan en tres categorías de dificultad, a las cuales también les corresponde diferentes modos de proceder. En lo que sigue de este curso usaremos esta idea y emplearemos la siguiente terminología, la cual no es general, sino un recurso didáctico que hemos adoptado en este curso. Límites categoría 1 Son aquellos casos que se resuelven aplicando directamente los teoremas sobre operaciones con límites. Por ejemplo: lim(cos x x 0 2x 3 2x 3 ) = lim(cos x) lim =1+3=4 x 0 x 0 x 1 x 1 el cual se halla directamente considerando la función como el resultado de la operación de varias funciones muy simples, cuyos límites se calculan y se realizan las operaciones correspondientes entre los límites hallados. Aquí los teoremas sobre límites son aplicables porque todos los límites existen y sus valores no indefinen ninguna de las operaciones indicadas. Límites categoría 2 Son aquellos en los cuales los teoremas sobre límites no son directamente aplicables porque los límites parciales obtenidos indefinen alguna operación indicada en la función original. Sin embargo, el resultado se puede obtener extendiendo en forma lógica las reglas aritméticas usuales. Por ejemplo: 1 lim x 2 x 2 ( x 2) 2 El primer sumando tiende hacia 4. El segundo sumando es un cociente pero, como el denominador tiende hacia cero, el teorema del límite de un cociente no es aplicable. Sin embargo, puede usarse el siguiente “razonamiento” intuitivo: En el segundo sumando, el numerador permanece fijo mientras que el numerador es siempre positivo y se aproxima cada vez mas a cero. En este caso, la fracción crecerá sin límite cuando x se acerque a 2 (por la derecha y por la izquierda). Esto significa que el segundo sumando posee límite infinito. En cuanto a la función completa, su límite será también infinito, ya que el primer sumando tiende hacia 4, de manera que la suma de ambos crecerá también sin límite. Como conclusión, se tiene que: 1 lim x 2 2 x 2 ( x 2 ) Límites categoría 3 Son aquellos en los cuales los teoremas sobre límites no son directamente aplicables porque los límites parciales obtenidos indefinen alguna operación indicada en la función original. Sin embargo, en estos casos el resultado no se puede obtener extendiendo en forma lógica las reglas aritméticas usuales. A este tipo de límites se les conoce como formas indeterminadas. El ejemplo mas clásico son los límites de la forma indeterminada 0/0. Pr ejemplo: x 2 3x 2 lim 2 x 2 x 5 x 6 En esta, como en las otras 7 formas indeterminadas, al extender de forma intuitiva la aplicación de diversas reglas aritméticas, se llega a resultados diferentes y contradictorios. Por ejemplo, si en una fracción el numerador se acerca a cero mientras el denominador no varia, o varia muy poco, entonces la fracción se acerca a cero; esto “justificaría” afirmar que un límite de la forma 0/0 sería 0. Por otra parte, según otra regla obvia, cuando el numerador no cambia, o cambia muy poco, a medida que el denominador se aproxima a cero, la fracción se hace cada vez mayor y eso “justificaría” que el límite del tipo 0/0 tiende a infinito. La existencia de esta contradicción se abrevia llamando a este tipo de límite, “formas indeterminadas”. La mayor parte de los recursos que se estudian en esta clase se usan para tratar de calcular límites indeterminados. Aunque veremos muchos recursos, todos tratan de reducir los límites indeterminados (categoría 3) a límites determinados (categorías 1 o 2). Las formas indeterminadas son 7: Cociente: Producto: Diferencia: Potencia: 0/0; / 0. – 1 00 0 Los primeros 4 casos los abordaremos en esta clase. Las tres formas indeterminadas de potencia las veremos mucho después, cuando podamos aplicar herramientas más fuertes como el uso de logaritmos y la regla de L´Hôpital. Autor: Dr. Manuel Álvarez Blanco UPC. Agosto 2008