Unidad 7. Resonancia
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Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Índice de temas de la Unidad 7 7-1.1.1.- Concepto de resonancia 7-2.1.1.- Resonancia en circuitos serie 7-2.1.1.1.- Resonancia serie por variación de inductancia ( L ) 7-2.1.1.2- Resonancia serie por variación de capacidad ( C ) 7-2.1.1.3.- Resonancia serie por variación de frecuencia ( f ) 7-3.1.1.- Resonancia en circuitos paralelo 7-3.1.1.1.- Multiresonancia 7-4.1.1.- Dualidad 7-1.1.1.- Concepto de resonancia Dado un circuito serie R, L, C se dice que está en resonancia cuando, por modificación de algún parámetro, se logra la igualdad : XL = XC , condición para la cual la impedancia del circuito queda reducida al valor de la resistencia, R. Puede decirse también que dado un circuito paralelo R, L , C el mismo está en resonancia cuando, por modificación de algún parámetro, se logra la igualdad : BL = BC , condición para la cual la admitancia del circuito queda reducida al valor de la conductancia, G. En base a las definiciones dadas del concepto de resonancia queda claro que en todo circuito resonante sólo hay flujo de energía activa entre la fuente de alimentación y el circuito, cancelándose todo intercambio de energía reactiva entre la fuente y los elementos L y C del circuito.El factor de potencia de todo circuito resonante es igual a la unidad. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hoja 1 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia 7-2.1.1.- Resonancia en circuitos serie La impedancia de un circuito serie R, L , C viene dada por : • 1 Z = R + j ω L − ωC Para lograr resonancia se debe verificar que : ω L = 1 , igualdad que puede obtenerse modificando ω, L o C. ωC 7-2.1.1.1.- Resonancia serie por variación de inductancia ( L ) Definimos como inductancia resonante, L0 , al valor dado por : L0 = 1 ω C 2 Siendo U, el valor eficaz de la tensión alterna senoidal de frecuencia f = ω / 2 Л , de la fuente que alimenta al circuito serie R L C, el valor eficaz de la intensidad de corriente viene dado por : I= U 1 R 2 + ω L − ωC 2 donde 0 ≤ L ≤ ∞ En la Figura 1 se ha representado la variación dela intensidad de corriente en función del valor de inductancia Puede observarse que en un entorno de valores próximo a la inductancia de resonancia ( 0,8 L0 – 1,2 L0 ) la intensidad de corriente del circuito se eleva considerablemente.Cuanto menor sea la relación R / XC , mayor será el pico o valor máximo de intensidad de corriente en resonancia. Figura 1 Corriente en función de L Hoja 2 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Por otra parte, el factor de potencia del circuito es negativo ( capacitivo ) para todo valor de inductancia menor al de resonancia, L0 y positivo ( inductivo ) para toda inductancia mayor a L0.El ángulo de fase de la intensidad de corriente para la condición L = 0 vale φ = arc tg ( XC / R ) y para la condición L >> 0 tiende a – Л / 2 [ rad ]. La tensión en la resistencia R y en la capacidad C variará de igual forma que la intensidad de corriente.La tensión sobre ambos elementos será máxima cuando la inductancia posea el valor de resonancia. U R , max = I 0 R = U R =U R U C , max = I 0 X C = X U 1 = C U R ωC R La tensión máxima sobre la resistencia es igual a la de la fuente de alimentación, mientras que la sobretensión en el capacitor es proporcional a la relación XC / R , lo que puede ocasionar picos de tensión en resonancia de hasta 100 veces el valor de la tensión de alimentación ( R = 0,01 XC ) La tensión en la inductancia L, vendrá dada por : UL = ω LU 1 R 2 + ω L − ωC 2 ω LU = 1 R + ω − 2 ω LC L 2 L 2 =ω U x − 1 2 1 R2 donde x = 2 + ω − ω LC L Cuando la tensión en la inductancia es máxima debe verificarse que : 3 dUL =0 dL de donde − dx 1 − ωU x 2 =0 dL 2 Puesto que tanto ω, como U y el valor x ,no pueden ser cero, la tensión en la inductancia será máxima cuando : dx =0 dL Desarrollando el término x, obtenemos : x= R2 2 1 +ω2 − + 2 2 2 2 LC ω L C L dx − 2 ω2 R2 C2 + 2ω2 L C − 2 R2 2 2 =−2 3 +0+ 2 − 2 3 2 = =0 dL L L C ω L C ω 2 L3 C 2 de donde : ω 2 L C =1+ ω 2 R2 C 2 La tensión en la inductancia será máxima cuando el valor de L sea igual a L max , dado por : Lmax = 1 ω C 2 + R 2 C = L0 + R 2 C Hoja 3 de 18 2 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Por consiguiente la máxima tensión en la inductancia se alcanza para un valor mayor a la inductancia de resonancia y su valor viene dado por : ω ( L0 + R C ) U 2 U L, max = donde R ω C = ( ) 1 R 2 + ω L0 + R 2 C − ω C 2 = 1 + R2 ω C C ω U R2 + R4 ω 2 C 2 1 =U Rω C + Rω C 1+ R2 ω 2 C 2 R y reemplazando en la expresión de la tensión máxima en la inductancia, obtenemos : XC XC R + R XC X X ≅ C U válido para C ≥ 100 U L , max = U 2 R R R 1+ XC La tensión máxima en la inductancia es ligeramente mayor que en la capacidad y a medida que disminuye la resistencia tiende a igualarse a ésta.. En consecuencia la sobretensión en la inductancia será del mismo orden de magnitud que la sobretensión en la capacidad en circuitos de pequeña resistencia, dado que múltiplo del valor de la tensión de alimentación es inversamente proporcional al valor de la resistencia del circuito.En otras palabras, a menor resistencia mayor sobretensión en los elementos reactivos. 7-2.1.1.2.- Resonancia serie por variación de capacidad ( C ) Definimos como inductancia resonante, C0 , al valor dado por : C0 = 1 ω2 L La intensidad de corriente varía en forma similar al caso de resonancia por variación de inductancia presentando un incremento en el entorno ( 0,8 C0 – 1,2 C0 ) .El valor máximo de la intensidad de corriente depende del valor de la resistencia siendo mayor cuanto menor sea ésta.El factor de potencia del circuito para todo valor de capacidad menor a C0 es negativo ( circuito capacitivo ) y positivo ( circuito inductivo ) para todo valor de capacidad mayor a C0.El ángulo de fase de la intensidad de corriente para la condición C = 0 tiende a + Л / 2 [ rad ] y para la condición C >> 0 tiende al valor dado por φ = - arc tg ( XL / R ). La tensión en la resistencia R y en la capacidad L variará de igual forma que la intensidad de corriente.La tensión sobre ambos elementos será máxima cuando la capacidad posea el valor de resonancia. U R , max = I 0 R = U R =U R U L , max = I 0 X L = X U ω L= L U R R La tensión máxima sobre la resistencia es igual a la de la fuente de alimentación, mientras que la sobretensión en la inductancia es proporcional a la relación XL / R lo que puede ocasionar picos de tensión en resonancia de hasta 100 veces el valor de la tensión de alimentación ( R = 0,01 XL ) Hoja 4 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia La tensión en la inductancia C, vendrá dada por : 1 1 U U ωC ωC = UC = 2 1 1 1 R 2 + ω L − R 2 C 2 + ω L C − ωC ω C = 2 1 ω U x − 1 donde x = R C + ω L C − ω 1 2 2 2 Cuando la tensión en la capacidad es máxima debe verificarse que : 3 d UC =0 dC − dx 1 Ux 2 − =0 dC 2ω de donde Puesto que tanto ω, como U y el valor x no pueden ser cero, la tensión en la capacidad será máxima cuando : dx =0 dC Desarrollando el término x, obtenemos : x = R 2 C 2 + ω 2 L2 C 2 − 2 L C + 1 ω2 ( dx = 2 R 2 C + 2 ω 2 L2 C − 2 L + 0 = C ω 2 L2 + R 2 dC )− L =0 La tensión en la capacidad será máxima cuando se verifique : C max = L ω L +R 2 2 2 = 1 R2 ω L+ L 2 Comparando la expresión de Cmax con el valor de capacidad para el que el circuito serie está en resonancia, C0, surge que la tensión máxima en la capacidad se produce antes de alcanzar la resonancia.Dicha tensión máxima vendrá dada por : U C , max = ω 2 L2 + R 2 U ωL ω L +R R + ω L − ωL 2 2 2 2 2 ω 2 L2 ω 2 L2 + R 2 =U ω 2 R 2 L2 + R 4 =U R2 ω 2 L2 R2 2 +1 +1 =U XL +1 R 2 XL +1 R de donde, en forma aproximada podemos establecer que la máxima tensión en la capacidad resulta igual a : U C , max ≅ XL U R válido para Hoja 5 de 18 XL ≥ 100 R 2 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia La tensión máxima en la capacidad es ligeramente mayor que en la inductancia y a medida que disminuye la resistencia tiende a igualarse a ésta.En consecuencia la sobretensión en la capacidad será del mismo orden de magnitud que la sobretensión en la inductancia en circuitos de pequeña resistencia. 7-2.1.1.3.- Resonancia serie por variación de frecuencia ( f ) La frecuencia para la que resulta nulo el componente reactivo de un circuito serie R L C y pone al mismo en condición de resonancia viene dada por : ω0 L = 1 ω0 C de donde ω 02 = 1 LC f0 = 1 2π 1 LC La expresión de cálculo de la frecuencia de resonancia, f 0 , se denomina fórmula de Thompson. La intensidad de corriente varía de forma similar a los casos de resonancia por variación de inductancia o de capacidad, siendo mayor el pico a la frecuencia de resonancia cuanto menor la resistencia, R , tal como puede apreciarse en el siguiente gráfico : El factor de potencia resulta en atraso para frecuencias menores a la de resonancia y en adelanto para frecuencias mayores a f0.El ángulo de fase de la intensidad de corriente tiende a + Л / 2 [ rad ] para frecuencia tendiente a cero y a - Л / 2 [ rad ] para frecuencias mucho mayores que la de resonancia.En la siguiente figura se muestra la variación de impedancia del circuito serie R,L, C en función de la frecuencia : Hoja 6 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Cuando el circuito serie está a frecuencia de resonancia, sobre la resistencia queda aplicada la tensión de alimentación.Los elementos reactivos, por otra parte, quedan sometidos a sobretensiones del mismo valor que tienen lugar a diferentes frecuencias para la inductancia y para la capacidad, frecuencias que además no son iguales a la frecuencia de resonancia. En el caso de la inductancia, la tensión será máxima cuando : dUL =0 dω UL = ω LU 1 R 2 + ω L − ωC 2 donde : LU = 1 + L − 2 ω ω C R 2 2 =L U x 2 − 1 donde x = 2 + L − 2 ω ω C 1 2 R2 2 3 − dUL dx L =− U x 2 =0 dω 2 dω Puesto que ni U, ni L , ni x , pueden tomar valor cero, para que se verifique dUL dx = 0 debe cumplirse =0 dω dω en consecuencia : − 2 R 2 ω −3 + 4 4 L −3 ω − 2 ω −5 = 0 C C operando obtenemos : R2 − 2 2 L + 2 ω−2 = 0 C C de donde 1 L R2 = − 2 ω2 C2 C La frecuencia para la que se produce el pico de tensión en la inductancia vale : f L , max = 1 2π 1 R2 C2 LC − 2 La sobretensión máxima en la inductancia tiene lugar a una frecuencia mayor que la frecuencia de resonancia del circuito serie R L C. En el caso de la capacidad, la tensión será máxima cuando : d UC =0 dω donde : UC = 1 U ωC 1 R 2 + ω L − ωC 2 1 U ωC = 1 ω ω 2 R2 1 − 1 = U x 2 2 C 2 1 + ω L − C Hoja 7 de 18 1 donde x = R ω + ω 2 L − C 2 2 2 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia 3 − d UC dx 1 U x 2 =− =0 dω dω 2C Puesto que ni U, ni C , ni x , pueden tomar valor cero, para que se verifique d UC dx = 0 debe cumplirse =0 dω dω en consecuencia : 2 ω R 2 + 4 ω 3 L2 − 4 L ω =0 C operando obtenemos : 2 ω 2 L2 = 2 L − R2 C de donde ω 2 = 1 R2 − L C 2 L2 La frecuencia para la que se produce el pico de tensión en la capacidad vale : f C , max = 1 R2 − L C 2 L2 1 2π La sobretensión máxima en la capacidad tiene lugar a una frecuencia menor que la frecuencia de resonancia del circuito serie R L C. La máxima tensión en la inductancia viene dada por : U L , max = ω L , max L U 1 R + ω L , max L − ω L ,max C 2 LU = 2 R2 ω L2, max 1 + L− 2 ω C L , max 1 donde ω L , max = 2 LC − R2 C2 2 reemplazando ωL,max obtenemos : LU U L , max = R 2 U L , max = L RC R2 C 2 LC − R2 C 2 2 + L − LC − C 2 1 L R2 − C 4 U U L , max = donde 1 L RC 2 LU = 4 L U = QU C 4 R C R C R LC − + 2 4 2 = 2 L R2 es mucho mayor que C 4 C 1 U= L R 2 LU R4 C2 R LC − 4 2 y, en consecuencia : donde Q = 1 R L C El factor Q se denomina factor de mérito o de calidad del circuito serie R L C resonante por frecuencia. Hoja 8 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia La tensión máxima sobre la capacidad viene dada por : 1 U C , max = ω C , max C U C U 1 R 2 + ω C , max L − C ω C , max 2 = ω C2 , max R 2 + ω C2 , max U C U C , max = 1 R R − 2 LC 2 L 2 2 U C , max = R L 1 R + L − 2 L C 2 L 2 U 1 L C ≅ RC L R2 − C 4 1 1 − C U 2 L C U C = 2 R R4 R4 − + L C 2 L2 4 L2 = porque 1 L− C 2 = U C R2 R4 − L C 4 L2 L R2 es mucho mayor que C 4 aplicando la definición de factor de mérito Q , obtenemos : U C , max = 1 R L U = QU C Vale decir que cuando la resonancia en el circuito serie se obtiene por variación de frecuencia, siendo la resistencia pequeña en comparación con el cociente L / C, la sobretensión en el capacitor y en la inductancia es de igual valor y viene dada por el producto del factor de mérito del circuito multiplicado por el valor eficaz de la tensión de alimentación. 1 L 1 Teniendo en cuenta la expresión del factor de mérito, Q = y la fórmula de Thompson ω 0 = , R C LC 1 Q= R L L 1 1 = C R ω0 = ω0 L R 2 I max ω 0 L Q 0, L = Q= 2 Pmax I max R L vale decir que el factor de mérito o de calidad, es igual al cociente de la potencia reactiva en resonancia en la inductancia L ( o máxima energía almacenada por ciclo ) dividida por la potencia activa en resonancia disipada en la resistencia R ( o máxima energía disipada por ciclo ) . En los circuitos serie R L C reales, la resistencia del capacitor es prácticamente despreciable y toda la potencia activa del circuito se disipa en la resistencia del inductor.Por tal motivo, el factor de mérito es una característica constructiva propia de los inductores. Los circuitos serie R L C se utilizan ampliamente en radiocomunicaciones como selectores de frecuencia y para tal aplicación interesa que el circuito opere en una banda estrecha de frecuencias.Vale decir que, la corriente del circuito se eleve por resonancia dentro de una banda estrecha de valores de frecuencia.Esto recibe el nombre de sintonización. Hoja 9 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Los límites de frecuencia entre los cuales el circuito serie R L C debe entrar en resonancia se fijan por convención en los puntos de potencia mitad ( valores de frecuencia en los que la potencia activa es igual a la mitad del valor en resonancia ) . La mitad de la potencia activa, P 0,5 , respecto del valor en resonancia viene dada por : 1 U2 P0,5 = = I 02,5 R 2 R de donde : I 0,5 = 1 U = 0,707 I 0 2 R Las frecuencias para las que el circuito serie R L C desarrolla la mitad de la potencia activa, denominadas ω1 y ω2 se calculan resolviendo la siguiente ecuación : I 0, 5 P = U = 2R U 1 R + ω 1, 2 L − ω 1, 2 C 2 2 que podemos reescribir de la siguiente manera elevando ambos miembros al cuadrado : 2 1 2 R 2 + ω 1, 2 L − − 2 R = 0 de donde ω C 1, 2 1 ± R = ± ω 1, 2 L − ω 1, 2 C ordenando términos obtenemos : ω 12, 2 L C − ω 1, 2 R C − 1 = 0 ecuación de la forma a x + b x + c = 0 cuya solución es : 2 ω 1, 2 = R ± 2L R2 C 2 + 4 L C R = ± 2 LC 2L x1, 2 b =− ± 2a b2 − 4 a c , por lo tanto : 2a R2 C 2 + 4 L C R = ± 2 2 4L C 2L R2 1 + 2 4L LC para los valores usuales de R, L y C empleados en los circuitos serie resonantes se cumple que : 1 R2 1 + 2 ≅ LC 4 L LC por lo que las frecuencias correspondientes a los puntos de potencia mitad vienen dadas por : ω1 = 1 R R − = ω0 − 2L LC 2 L ω2= Hoja 10 de 18 1 R R + = ω0 + 2L LC 2 L Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Los signos de las expresiones de ω1 y ω2 surgen de la condición que la frecuencia debe, por definición, ser siempre un valor positivo. La diferencia entre las frecuencias correspondientes a los puntos de potencia mitad se denomina ancho de banda y resulta igual a : ∆ω = ω 2 − ω 1 = R L Teniendo en cuenta la expresión del factor de mérito : Q= se deduce que : ω0 L R R ω0 = L Q y, en consecuencia el ancho de banda viene dado por : ∆ ω = ω0 o bien ∆ f = Q frecuencias para los puntos de potencia mitad pueden expresarse como : 1 f 1 = f 0 1 − 2 Q f0 .Por otra parte, las Q 1 f 2 = f 0 1 + 2 Q En consecuencia, el factor de mérito definido como Q = ( ω 0 L ) / R , es el parámetro básico para el diseño de circuitos serie R L C a emplear como selectores de frecuencia. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7-3.1.1.- Resonancia en circuitos paralelo El circuito paralelo formado por tres ramas que contiene cada una un elemento ( R, L ó C ) es sólo teórico ya que no es posible construir un inductor real con resistencia nula.Por tal motivo nos limitaremos a señalar algunas de sus características comparándolas con el circuito serie R L C. La admitancia de un circuito paralelo R L C de tres ramas viene dada por : • Y= 1 1 + j ω C − R ωL La condición de resonancia se obtiene cuando la parte imaginaria de la admitancia es nula, lo que puede lograrse variando ω, L o C de forma tal que : ωC− 1 =0 ωL Siendo U el valor eficaz de la tensión de la fuente de alimentación, cuando el circuito está en resonancia la intensidad de corriente viene dada por el cociente U / R tal como en el caso del circuito R L C serie. Hoja 11 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Pero, en el circuito paralelo R L C la intensidad de corriente en resonancia es el menor valor de corriente con el que opera el circuito puesto que, cuando no hay resonancia a la intensidad de corriente de la rama R se le suma en cuadratura la intensidad de corriente resultante de las ramas L y C, resultando una mayor intensidad de corriente total.En la siguiente figura se muestra la variación de intensidad de corriente en función de la frecuencia para el circuito paralelo R L C : Otra diferencia importante consiste en que la tensión sobre cada uno de los elementos está impuesta por la fuente y, en consecuencia, no se producen sobretensiones en los elementos L y C. En la rama L se verifica que a bajos valores de frecuencia o de inductancia ( según sea el parámetro que se varíe para obtener la resonancia ) la intensidad de corriente es elevada y disminuye a medida que aumenta la frecuencia o la inductancia según una hipérbola equilátera. En la rama C, en cambio, la corriente varía linealmente con la frecuencia o la capacidad ( según sea el parámetro que se varíe para obtener resonancia ) aumentando a medida que crece el parámetro considerado. Resumiendo, la corriente en la rama R es constante, la corriente en la rama L es mucho mayor que la de la rama R para valores de inductancia o de frecuencia bastante menores a los de resonancia y la corriente en la rama C es muy pequeña respecto a la de la rama R para valores de capacidad o de frecuencia bastante menores a los de resonancia.En resonancia, las intensidades de corriente en las ramas L y C se igualan y son mayores que la de la rama R. El circuito paralelo que es posible realizar en la práctica consta de dos ramas siendo una de ellas inductiva y de • • 1 impedancia Z L = R L + j ω L y la otra capacitiva , de impedancia Z C = Rc − j y recibe el nombre de ωC circuito tanque ,aludiendo al hecho que en resonancia la fuente sólo entrega potencia activa y la energía reactiva recibida antes de la resonancia queda almacenada en los elementos L y C intercambiándose entre los mismos. • • La expresión de la admitancia de un circuito paralelo de dos ramas de impedancias Z L y Z C viene dada por : • Y = 1 • ZL + 1 • ZC = 1 + RL + j ω L 1 1 RC − j ωC = Hoja 12 de 18 RC + j RL − j ω L R L2 + ( ω L ) 2 + 1 ωC 1 R + ω C 2 C 2 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia cuya parte real viene dada por : • Re Y = R L RC2 + RL ( ω C) 2 + R L2 RC + RC ( ω L ) 2 Z L2 Z C2 y cuya parte imaginaria viene dada por : R L2 L2 L +ω − ω L RC2 − C ωC2 • ωC Im Y = Z L2 Z C2 • La resonancia se produce cuando Im Y = 0 , lo que puede lograrse variando uno cualquiera de los siguientes parámetros : .- resistencia de la rama inductiva, R L .- resistencia de la rama capacitiva, R C .- inductancia L .- capacidad C .- frecuencia angular, ω • Im Y = 0 ⇒ RL2 L2 L +ω − ω L RC2 − =0 ωC C ω C2 que puede reescribirse como : R L2 C + ω 2 L2 C = ω 2 L C 2 RC2 + L Desde el punto de vista de la electrotecnia interesa analizar la resonancia obtenida por variación de capacidad, ya que usualmente se mejora el factor de potencia de los circuitos muy inductivos agregando una rama capacitiva en paralelo.La compensación serie del factor de potencia no se emplea debido a que se manifiestan sobreintensidades de corriente y sobretensiones perjudiciales. Ordenando los términos de la ecuación que resulta de considerar nula la parte imaginaria de la admitancia del circuito paralelo, obtenemos : ω 2 L RC2 C 2 − ( RL2 + ω 2 L2 ) C + L = 0 ecuación de la forma a x 2 + b x + c = 0 cuya solución es : C1, 2 R 2 + ω 2 L2 = L 2 ± 2 ω L RC2 (R 2 L + ω 2 L2 ) 2 − 4 ω 2 L2 RC2 2 ω 2 L RC2 la condición para que pueda producirse resonancia es : ( R L2 + ω 2 L2 ) ≥ 4 ω 2 L2 C 2 RC2 , dado que si la cantidad encerrada por el operador raíz cuadrada es negativa, no existe una solución real . 2 Hoja 13 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Si se cumple la igualdad entre ambos términos existirá un único valor de capacidad para el que se produce resonancia; si el término de la izquierda es mayor que el de la derecha, se tendrán dos valores de capacidad que producen resonancia de los cuales se deberá emplear siempre el menor porque de ésa manera se minimiza la corriente en la rama reactiva. En efecto, la intensidad de corriente en la rama capacitiva, I C , viene dada por : U IC = RC2 + 1 ω C2 2 a menor valor de C, mayor será el denominador y como U = constante, resulta una I C menor. Consideremos el siguiente ejemplo : un circuito paralelo de dos ramas tiene en una de ellas una resistencia de 6,5 [ Ω ] en serie con una inductancia de 24,2 [ mH ].En la otra rama se halla una resistencia de 0,5 [ Ω ] en serie con un capacitor de valor variable.Los valores de la capacidad que producen resonancia en el circuito cuando se lo alimenta con una fuente de tensión alterna senoidal de valor eficaz constante igual a 220 [ V ] y frecuencia igual a 50 [ Hz ], vienen dados por : C1, 2 (R R 2 + ω 2 L2 = L 2 ± 2 ω L RC2 2 L + ω 2 L2 ) 2 − 4 ω 2 L2 RC2 2 ω 2 L RC2 reemplazando valores obtenemos : C1, 2 = ( 6,5 2 + 314,16 × 24,2 ×10 − 3 C1, 2 = ) 2 ± [ 6,5 2 ( + 314,16 × 24,2 ×10 − 3 )] 2 2 ( − 4 314,16 × 24,2 ×10 − 3 × 0,5 2 × 314,16 2 × 24,2 ×10 − 3 × 0,5 2 100,05 ± 10010,13 − 57,8 100,05 ± 99,76 = 1194,23 1194,23 ⇒ C1 = 167,3 [ mF ] Empleando el valor C 1 , resulta una intensidad de corriente en la rama capacitiva de : I C1 = = 440 [ A ] 220 1 0,52 + −3 314,16 ×167,3 × 10 2 Empleando el valor C 2 , resulta una intensidad de corriente en la rama capacitiva de : IC 2 = 220 1 0,5 2 + −6 314,16 × 242,8 × 10 Hoja 14 de 18 2 = 17 [ A ] C2 = 242,8 [ µF ] ) 2 = Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia Por otra parte, la intensidad de corriente en la rama inductiva vale : IL = ( 220 6,5 2 + 314,16 × 24,2 × 10 ) −3 2 = 220 = 22 [ A ] 10 De donde queda claro que el menor valor de capacidad evita que la rama capacitiva presente una importante sobrecorriente.La intensidad de corriente entregada por la fuente estando el circuito en resonancia obtenida con la capacidad de valor C 2, vale : • I = U Re Y = U R L RC2 + RL ( ω C) 2 + R L2 RC + RC ( ω L ) 2 Z L2 Z C2 reemplazando valores obtenemos : 6,5 × 0,5 2 + I = 220 = 220 [ 6,5 2 6,5 ( 314,16 × 242,8 ×10 ) −6 2 ( + 314,16 × 24,2 ×10 − 3 ( + 6,5 2 × 0,5 + 0,5 314,16 × 24,2 × 10 − 3 )] 2 1 0,5 2 + 314,16 × 242,8 ×10 − 6 ( ) 2 = 2 ) 1,625 + 1117,16 + 21,125 + 28,9 1168,81 = 220 = 15 [ A ] 100,05 ×172,12 17220,61 El valor obtenido puede verificarse hallando la suma de las intensidades de corriente de las ramas inductiva y capacitiva, vale decir : ο ο ο I = I L + IC2 ω L R L ϕ L = arctg 1 ω RC C 2 ϕ C = arctg los argumentos de las intensidades de corriente en las ramas inductiva y capacitiva valen : 314,16 × 24,2 ×10 − 3 = 49º ,5 6,5 ϕ L = arctg 1 −6 314,16 × 0,5 × 242,8 ×10 ϕ C = arctg = 87º ,8 la intensidad de corriente suministrada por la fuente , valdrá : ο I = 22 e − j 49 º , 5 + 17 e j 87 º ,8 = 14,29 − j 16,73 + 0,65 + j 16,98 ≅ 15 [ A ] Las componentes imaginarias de las corrientes de las ramas inductiva y capacitiva resultan prácticamente del mismo valor por lo que la intensidad de corriente suministrada por la fuente está en fase con la tensión de ésta y toma un valor de 15 [ A ] Hoja 15 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia 7-3.1.1.1.- Multiresonancia • • Dado un circuito formado por dos ramas en paralelo de impedancias Z L = R L + j ω L y Z C = Rc − j 1 para ωC que dicho circuito sea resonante se debe verificar ( ver 1-7.1.3.- ) que : • Im Y = 0 ⇒ RL2 L2 L +ω − ω L RC2 − =0 ωC C ω C2 Si todos los elementos de circuito tienen un valor determinado, la resonancia sólo se podrá lograr por variación de la frecuencia angular , ω.Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por ω, obtenemos : RL2 L2 L + ω2 − ω 2 L RC2 − 2 = 0 C C C reordenando términos, resulta : L2 ω − L RC2 C 2 L R2 = 2 − L C C La frecuencia de resonancia , ω 0 , vendrá dada por : ω0 = Si las resistencias R L y R C son iguales al cociente ω0 = L RL2 − C2 C = L2 − L RC2 C L RL2 − C2 C L2 − L RC2 C L , la frecuencia de resonancia, ω 0 , resulta : C L 1 L − 2 C CC = L2 L −L C C L L − 2 2 C C = L2 L2 − C C 0 0 Lo que significa que el valor de la frecuencia angular de resonancia, ω 0 , es indeterminado.En otras palabras, el circuito es resonante cualquiera sea el valor de la frecuencia de excitación.Este tipo de circuito se denomina multiresonante. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hoja 16 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia 7-4.1.1.- Dualidad El principio de dualidad admite varias interpretaciones según su campo de aplicación.Desde el punto de vista del análisis de circuitos eléctricos podemos decir que dada una cierta relación entre parámetros eléctricos de una forma cualquiera, cuando dichos parámetros son reemplazados por sus duales , la relación se conserva inalterada ( tanto física como matemáticamente ). Los parámetros eléctricos duales son, básicamente : tensión - intensidad de corriente impedancia – admitancia resistencia – conductancia inductancia - capacidad reactancia – suceptancia Si consideramos la expresión general del teorema de Thévenin, dada por : ο E ο Th • − I1 Z ο Th =U 1 Reemplazando en la expresión anterior todos los parámetros por sus duales, obtenemos : ο I ο N • − U 1Y ο N = I1 que es la expresión del Teorema de Norton.Obsérvese que la relación entre parámetros no se modifica al reemplazarlos por sus duales ( término a término ). El teorema de Thévenin expresa la relación entre parámetros eléctricos pertenecientes a un lazo simple ( o malla ), mientras que el teorema de Norton relaciona parámetros eléctricos correspondientes a un nodo.Desde ése punto de vista se puede afirmar que los elementos malla y nodo son duales. En efecto, dada una red múltiple cualquiera tal que su número de ramas de enlace sea igual al número de ramas de árbol, sabemos que el número de ecuaciones de intensidades de corriente de malla necesario para resolver dicha red es igual al número de ecuaciones de tensiones de nodo.La expresión general de la solución de la red por el método de intensidades de corriente de malla es la siguiente : ο • ο U i = z i , j I i Reemplazando los parámetros de la ecuación anterior por sus duales, resulta ο • ο I i = y i , j U i que es la expresión de la solución de la red por el método de tensiones de nodo.Nuevamente se pone de manifiesto la dualidad nodo – malla. Hoja 17 de 18 Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia El principio de dualidad se puede así extender a objetos de circuitos eléctricos más complejos resultando las siguientes dualidades : conexión serie - conexión paralelo conexión estrella - conexión triángulo El principio de dualidad eléctrica permite obtener fácilmente la relación entre un dado grupo de parámetros conocida la relación entre sus duales. Sea, por ejemplo, la relación entre la tensión en bornes, u L , de una inductancia, L , al ser recorrida por una intensidad de corriente , i L : d iL dt uL = L Reemplazando término a término los parámetros u L , L , i L por sus duales i C , C , u C , obtenemos : d uC dt iC = C que es la expresión de la intensidad de corriente , i C , que recorre una capacidad C cuando se le aplica una tensión, u C . • • Veamos otro ejemplo.Sean dos impedancias, Z 1 y Z 2 , conectadas en paralelo.La impedancia equivalente, • Z 1, 2 viene dada por : • • Z 1, 2 = • Z1 Z 2 • • Z1 + Z 2 si reemplazamos las impedancias por sus duales, resulta : • • Y 1, 2 = • Y1 Y2 • • Y1 + Y2 • • • expresión que permite calcular la admitancia equivalente, Y 1, 2 , de dos admitancias, Y 1 y Y 2 , conectadas en serie. Hoja 18 de 18
