MATEMATICA 3A

3 AÑO A”
ER
ANEXO 332 - SÍQUIMAN
“No se equivoca el pájaro que
ensayando el primer vuelo
cae al suelo.
Se equivoca aquel que
por temor a caerse
renuncia a volar
permaneciendo en el nido”
Anónimo.
No ta s d e
MATEMÁTICA
Ciclo Lectiv o 201 5
Profesor/Autor:
Jorge Miguel PERALTA
MATEMÁTICA TERCERO “C” – Profesor: Jorge Miguel PERALTA - 2015
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IPEM 332 - ANEXO SÍQUIMAN
3ro
”A”
PROGRAMA TENTATIVO de MATEMÁTICA
Eje Nº 1 Número y Operaciones
Matemática
Operaciones combinadas con números racionales (en sus diferentes expresiones). Propiedades.
Razones y proporciones numéricas. Aplicación de propiedades.
Escalas.
Errores: absoluto, relativo y porcentual.
Eje Nº 2 Álgebra y Funciones
Expresiones algebraicas: términos y polinomios.
Operaciones con polinomios: adición, sustracción, suma algebraica, producto y cociente.
Regla de Ruffini. Teorema del Resto. Productos notables.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolución de problemas que requieren el planteo de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Teorema de Pitágoras.
Teorema de Thales.
Eje Nº 3 Geometría y Medida
Perímetro y superficie de figuras planas.
Clasificación de triángulos. Semejanza de triángulos.
Circunferencia y círculo.
Cuerpos del espacio. Poliedros regulares. Cuerpos redondos. Volumen, superficie lateral y total.
Despeje de incógnitas.
Razones trigonométricas: seno, coseno, tangente.
Eje Nº 4 Estadística y Probabilidad
Porcentaje y porciones. Cálculo mental y aplicación de porcentajes.
Estadística. Tabulación. Población, muestra y tipos de variables. Frecuencia absoluta y relativa.
Armado de tablas de frecuencias.
Parámetros estadísticos: media aritmética, moda y mediana; desviación estándar.
Gráficos estadísticos: de torta y de barras. Cálculo e interpretación.
Probabilidad teórica y experimental.
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA para uso del Alumno/a:






NOTAS (dictadas o escritas) por el profesor de la cátedra.
Matemáticas: Logicamente tomo I y II
ACTIVA 7 Y 8. Editorial Puerto de Palos.
Artmética Moderna 1 de Repetto, Linskens y Fesquet.
Matemática ¿estás ahí? Episodio 100 De Adrian Paenza.
Matemática ¿estás ahí? Episodio 3,14... De Adrian Paenza
 Uso de páginas em Internet.
______UTILES Y SUGERENCIAS:
 El papel que conviene utilizar en m atemática es cuadriculado, cualquier t amaño y encuadernación. Debe colocarse en
cada hoja número correlativ o, nombre
completo del alumno/a y e ncuadre.
 Todas las clases el alumno debe traer
los útiles siguientes: lápiz, goma de b orrar, goma de pegar, y los Útiles para
geometría: regla, escuadra, comp ás y
transportador.
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 Memorizar las tablas de multiplicar
DIARIAMENTE y no en forma correlativa.
 En la casa estudiar las reglas que se
dicten en clase, consultar libros, revi stas, y realizar cómo mínimo dos ejerc icios. En clase se explica, se lee y se e ntiende el tema, en casa la e studiamos y
traemos las dudas. En clase el profesor
corrige y/O visa la carpeta.
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Co ncepto s f und a m enta les
Q u é es l a c i e n c i a l l a m a d a M A T E M A T IC A ?
El término matemáticas deriva del griego "máthema": aprendizaje, estudio y ciencia. Se
conoce como matemática o matemáticas, según la costumbre, al estudio de todas aquellas propiedades y relaciones que involucran a los entes abstractos, como son los números y figuras
geométricas, a través de notaciones básicas exactas y del razonamiento lógico.
En la “definición” destacamos los siguientes términos:
 Propiedades y relaciones: cómo las asociativas, conmutativas, distributivas, de orden, mayor y menor.
 Entes abstractos: existen los números y las figuras geométricas,
 Números y figuras geométricas: son entes abstractos que se representan con símbolos adecuados y universales (Notaciones básicas exactas).
Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los números y símbolos sus
relaciones cuantitativas y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las
cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.
Las ramas de la Matemática son:



Aritmética: incluye la operaciones y sus leyes con números que empiezan en Z (naturales) y termina en C (complejos).
Geometría: que abarca la Trigonometría y las Secciones cónicas.
Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.
Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho.
Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución.
CAMPOS NUMÉRICOS: en este tercer curso, sólo diremos que Campo numérico es un conjunto de números que cumplen con ciertas propiedades. Se representa así:
N
Cada Conjunto numérico es indicado convencionalmente
por
una letra mayúscula:
N : Nros. Naturales.
N0: N + el cero.
Z: Nros. Enteros.
Q: Nros. Racionales.
I: Nros. Irracionales.
R: Nros Reales.
C: Nros. Complejos.
.i: unidad imaginaria
que representa a la
raíz cuadrada de -1.
N0
Cero
Z
Q
Negativos
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R
C
Fraccionarios
I
.i
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L a s o p e r a c i o n e s que v a m o s m a n e j a n d o t i e n e n e s t o s e l e m e n t o s :
1 . S U M A: T a mb i é n l l am a d a a d i c i ó n . S u s e l e m e n t o s s e l l a m a n s u m a n d o s y
e l r e su l t a d o e s l a su m a . E s q u e m á t i c a m e n t e :
Sumando  Sumando  SUMA .
2 . R E S T A : s e l a c o n oc e t a m b i é n c o m o s u s t r a c c i ó n o d if e r e n c i a . Y S us
e l e m e n t o s s e d e n o m i n a n M i n u e n d o y S u s tr a e n d o r e l a c i on á n d o s e d e l a
s i g ui e n t e f or m a :
Minuendo- Sustraendo  REST A
3 . M U LT I P L I CA C I Ó N : s us e l e m e n t o s s e d e n o m i n a n f a c t o r es y e l r e s u l t ad o p r o du c t o .
Factor Factor PRODUCT O
4 . D I V I S I Ó N : su s e le m e n t o s s e l l a m a n D i v i d e n d o , D i v is or , C o c i e n t e y
R e s t o . E n u n e sq u em a :
D iv i d e n d o D ivi s o r
Resto
Cociente
5 . P O T E N C I A : t i e n e un a b a s e y u n e x p o n e n t e . S e t r a t a d e u n a m u l t i p l i c a c i ó n c u y o p r o d u c t o s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o l a B a s e p o r s í m i s m a t a nt a s v e c e s c o m o i n d ic a e l E x p o n e n t e .
BASEEXPONETNE  Potencia
6 . R A ÍZ : P o s e e r a d i c an d o e í n di c e .
índice
radicando Raíz
Trabajo Práctico nº 1
Vencimiento: ___/___/___.
Debes copiar el enunciado en la carpeta y debajo resolver o
escribir anotando todos los pasos.
1 . C ó m o e r a e l s i s t e ma n u m ér i c o d e l o s M a ya s d e l 0 h a s t a e l 1 0 0 ?
2 . C ó m o e r a e l s i s t e ma n u m ér i c o d e l o s Eg i p c i o s d e l 0 h a s t a e l 1 0 0 ?
3 . C ó m o e r a e l s i s t e ma d e nú m e r o s r o m a n o s d e s d e e l 0 a l 10 0 ?
4 . Q u é s i g ni f i c a qu e un s is t e m a n u m ér i c o s e a p os i c i o n a l?
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5 . H a c e r u n a l is t a d e t o d o s l i b r o s d e m a t e m á t i c a q u e ha y a e n t u c as a .
6.
F
F
A
N
7.
I
I
D
R
R
R
R
A
N
N
A
A
A
A
B
M
M
M
O
A
A
A
L
8. Dividir en 8 los siguientes números:
a. 3.540
b. 15.189
c. 28.360
9. dividir en 15
a. 66.765
b. 223.335
c. 188.947
NÚMEROS ENTEROS Ó CONJUNTO Z.
La recta numérica: representación. Valor absoluto. Orden en Z. Operaciones con números enteros: propiedades. Uso de paréntesis, corchetes y llaves. Ecuaciones con números enteros: aplicación de la propiedad distributiva
C o m o h e m o s v i s t o e l c a m p o d e n ú m e r o s e n t e r o s e s t á f or m a d o p o r t o d o s l os
n ú m e r o s N a t ur a l e s ( N ) , e l C e r o ( 0 ) y t o d o s l o s n ú m e r o s ne g a t i v o s . E s q u e m á t i c a m e n t e e n u n di ag r a m a d e V e n n p o de m o s s i n t e t i z a r l o s a s í :
Z
N
0
Negativos
R e p r e s e n t a c i ó n d e Z e n l a r e c t a n u m ér i c a .
P a r a r e a l i z ar l a r ep r e s e n t a c i ó n d e l o s n ú m e r o s e n l a r ec t a , c o m e n z a m o s p o r
e l e g i r u n a u ni d a d , a l a q u e l l a m ar e m o s U , d e u n t a m a ñ o a e l e c c i ó n ( a r b i tr ar i o ) y p or , e j e m p l o , p a r t i e n d o d e l c e r o a i z q u i e r d a y d er e c h a v a m o s “ r e p i tiéndola”. Veamos:
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N o t a c i ó n : a u n qu e p a r e c e o b v i o , e s c o n v e n i e n t e i n d i c a r la m a n e r a e n q u e s e
d e b e n e s c r ib ir l o s n ú m e r o s e n t e r o s . A s í l o s N a t u r a l e s o p o s i t i v o s ( N) s e l o s
e s c r ib e en g en er a l c o n u n s i g n o m á s y u n a l e t r a m i n ú s cu l a ; y en pa r ti cu la r
c o n u n s i g n o m ás de l a n t e d e l s í m b o l o n u m é r i c o , pr i n c i p a lm e n t e e n d o n d e s e
p u e d a p r e s t ar a c o n f u s i ó n o d u d a . C a s o c o n t r a r i o s e p u e d e n e s c r i b ir s i n e se
signo.
E j e m p l o : E n g e n er a l
a=+a
E n pa r tic u l a r 9 = + 9
L o s nú m e r o s n e g a t iv o s s e e s cr ib e n s i mp l e m e n t e a n t e p o n i e n d o e l si g n o m e n o s .
E j e m p l o : E n g e n er a l
-a
E n pa r tic u l a r - 9
V a l o r A b s o l u t o ( VA ) : e l VA d e u n núm e r o Z e s ig u a l a l n ú m e r o n a t ur a l q u e l o
r e pr e s e n t a p e r o s in l o s s i g n o s . E j e m p l o : e l + 5 y e l - 5 t i e n e n v a l o r a b s o l u t o 5
y su n o t a c i ó n e s │ 5│ .
N ú m e r o s o p u e s t o s : D o s n ú m e r o s e n t e r o s qu e t i e n e n e l m i s m o v a l o r ab s o l u t o
y d is t i n t o si g n o s e l l a m a n o p u e s t o s . S on o p u e s t o s e l + 7 y e l - 7 p o r e j e m p l o .
RELACIONES DE ORDEN EN EL CAMPO Z
E n e s t e t e m a s e e s t a b l e c e l a s r e l a c io n e s d e m a y o r y me n o r e n t r e e n t e r os.
S e d i c e q u e u n n ú me r o e n t e r o e s a e s m a y o r a u n n ú m er o e n t e r o b si :
1 . S i e n d o a m b os p o sit i v o s , e l VA d e a e s m a y or qu e e l
V A d e b . E n g e n e r al s i + a > + b s i │ + a │ > │ + b │
2. Si ambos son negativos, el VA de a es menor que el valor
absoluto de b. En general -a>-b si │-a│<│-b│
3. Siendo de distintos signos el cualquier positivo es mayor
que cualquier negativo: +a>-b.
TRABAJO PRÁCTICO nº 2 :
copiar en carpeta y res olver.
1 . O r de nar d e m ayor a a m e nor los s iguie nte núm e ro s : - 10; 10; 7; 8; 15; +1; - 1.000.000.
2 . Co lo car e l s igno que cor e po nd a: “<”, “>”, “=”: - 5 __ _ 5; 7__ _ 8;
9_ _ _ - 15; 20_ _ _ 0; 21_ _ _ - 22; 15_ _ _ - 1.200.
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P R O P I E D A D E S D E L A S O P E R A C I ON E S E N E L C A M P O
Pro pied a d es d e la m ultipl ica ció n d e núm ero s entero s (
1. Cierre o Interna:
2. Asociativa:
El producto de multiplicar dos números enteros
es otro número entero.
Si en una multiplicación reemplazamos
dos o más factores
por su producto, el
resultado no varía.
Es decir que el modo
o manera de agrupar
los factores no varía
el resultado.
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el
producto.
)
a · b
2 · (−5)
Si a, b y c son n ú m e r o s e n t e r o s cualesquiera,
se cumple que:
(a·b)·c = a·(b·c)
(2·3)·(−5)
= 2·[(3·(−5)]
6·(−5) = 2 · (−15)
−30 =−30
a·b = b·a
2 · ( − 5 ) = ( − 5 )· 2
-10 = -10
El 1 es el elemento
4 . E l e m e n t o n e u t r o:
neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él a la derecha o a la izquierda, nos da el mismo
número.
a · 1 = a
ó
1 . a = a
(−5) · 1 = (−5)
ó
1 . (−5) = (−5)
a·(b+c) =a·b+a·c
a·(b-c) =a·b-a·c
5 . D i s t r ib u t iv a
con respecto a la
suma y a la resta
6. Elemento absorbente
El producto de un
número por una suma
es igual a la suma de
los productos de dicho número por cada
uno de los sumandos.
Es el 0: Todo número
entero multiplicado por
cero da cero.
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(−2)·(3+5)
=
(−2)·3 +
(−2)·5
=
(−6)
(−10) − 16
-16 =
−16
(−2)·8
(−2)·(3-5)
=
(−2)·(-2)
=
+
(−2)·3 - (−2)·(-5)
(−6) - (−10)
−4
= −16 + 10
-4
=
-4
2.0 = 0
0.3 = 0
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Propiedad de la suma en el campo
a + b+ c
1. Cierre o Interna:
La suma de dos o más
números enteros es otro
número entero.
2 +5
2. Asociativa:
Si en una multiplicación reemplazamos
dos o más factores
por su producto, el
resultado no varía.
Es decir que el modo
o manera de agrupar
los factores no varía
el resultado.
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el
producto.
Si a, b y c son n ú m e r o s e n t e r o s cualesquiera,
se cumple que:
(a·b)·c = a·(b·c)
(2·3)·(−5) = 2·[(3·(−5)]
6·(−5) = 2 · (−15)
−30 =−30
a·b = b·a
2 · ( − 5 ) = ( − 5 )· 2
-10 = -10
El 1 es el elemento
4 . E l e m e n t o n e u t r o:
neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él a la derecha o a la izquierda, nos da el mismo
número.
a · 1 = a
ó
1 . a = a
(−5) · 1 = (−5)
ó
1 . (−5) = (−5)
a·(b+c) =a·b+a·c
a·(b-c) =a·b-a·c
5 . D i s t r ib u t iv a
con respecto a la
suma y a la resta
6. Elemento absorbente
El producto de un
número por una suma
es igual a la suma de
los productos de dicho número por cada
uno de los sumandos.
Es el 0: Todo número
entero multiplicado por
cero da cero.
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(−2)·(3+5)
=
(−2)·3 +
(−2)·5
=
(−6)
(−10) − 16
-16 =
−16
(−2)·8
(−2)·(3-5)
=
(−2)·(-2)
=
+
(−2)·3 - (−2)·(-5)
(−6) - (−10)
−4
= −16 + 10
-4
=
-4
2.0 = 0
0.(-3) = 0
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Repaso campo numérico 
Reglas de signos en suma/resta
1) Cuando tengo dos números con signo positivo debo SUMAR (tengo más de lo mismo) y el
resultado lleva el signo común, en este caso
POSITIVO:
Ej.
+3+8= +11 ;
75+15=+90
2) Cuando tengo dos números con signo negativo debo SUMAR (tengo más de lo mismo) y
el resultado lleva el signo común, en este caso
NEGATIVO:
Ej.
+3+8= +11 ;
75+15=+90
3) Si tengo que sumar dos números con signos
distintos debo RESTAR sus valores absolutos
(sin signos). Luego el resultado llevará el signo
del número de mayor valor absoluto.
Ej.
15 - 7= +8;
25-30=-5
Regla de signos multiplicación/División
1) Si multiplico dos números con igual signos, ya
sean positivos o negativos, el resultado será
POSITIVO.
Ej.
+7*+7=+14; y -7*-7 = +14
2) Si multiplico dos números con distinto signos,
el resultado será NEGATIVO.
Ej: -9x+5= -45 y +8x9=-72
Resumidas:
-+= +-= -
++=+
--=+
Ejercicios de Repaso Z: trabajo practico Nº 3
1
 6  7  4   2  3  1  5  8   9 
2 7   3  2   5  2  1  3  4  7  1 
3
4
5
2. Separar en términos.
 12 3. Resolver las opera-
 9   3   4  3   6  8  2  10
 17 paréntesis.
 4 4- Extraer/sacar los
 7 paréntesis.
 3   4   2  5   6  7  9  8
7
22   4  3  1    6  5  1  8   9  3 
8
 14   7  3    9  6  5  1  4  3  8 
 7  4   3   6  5  2  9  8 
10  4    3  5  1  6  8  9   6  2  1 
11
SOLVER:
 15 1. Leer el ejercicio.
   3   5  4  1  8  9 
6 11  7  3   8  5   3  2  11 6  4  3 
9
 15 UNA FORMA DE RE-
 8  3    6  5  4   2  8  9  3 
12  23  4   3  5  8   6  3  7  9  2 
ciones dentro de los
5- Resolver las opera 24 ciones dentro del Corchete,
6. Extraer/sacar los
 36 corchetes.
7. Resolver las opera 12 ciones dentro de las
llaves.
 17 8. Extraer/sacar las
llaves.
 14 9- Efectuar la suma
algebraica que ha quedado.
 14
REGLAS DE LA DIVISIBILIDAD. FACTOREO DE NUMEROS ENTEROS. MCM Y DCM
Un número es divisible por otro cuando al efectuar esa división el resto es cero. Por supuesto al dividir
números múltiplos, o sea que están en la tabla del divisor, el resto es cero.
Para facilitar el tema debemos memorizar al menos estas reglas de divisibilidad:
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Un número es divisible por
2
3
5
Cuando
Termina en cifra par, esto es. 0,2,4,6,8.
La suma de las cifras da 3,6,9.
Termina en cero o en cinco.
MCM (Mínimo común múltiplo): es el producto de los factores primos COMUNES y NO COMUNES elevados al mayor exponente en que se los encuentre.
El MCM es un número más grande que los números dados y es divisible por c/u de ellos.
DCM(Denominador Común Mayor): es el producto de los factores primos COMUNES elevados
al menor exponente en que se encuentre.
El DCM es un número más pequeño que los dados y es divisor de los mismos.
100
50
25
5
1
2
2
5
5
75 3
25 5
5 5
1
100= 22 . 52
75= 3.52
Expresados en sus factores primos
MCM= 52.22.3 = 300
y
el DCM= 52 =25
Fijémonos entonces, el 300 es más grande que 100 y 75, y es divisible por ellos. El 25 es menos que 100 y 75 y es divisor de ambos.
TRABAJO PRACTICO Nº 6
Determinar el MCM y DCM de los siguientes números enteros:
1) 120; 110 y 80
2) 1000;100 y 10
3) 126; 12 y 36
4) 472; 122 y 18
5) 13;29 y 53
6) 663; 723 y 846
7) 951; 111; 15
8) 4500; 3600 Y 2700
9) 245;355 y 275
10) 200;300 y 400
Eje 1: Operaciones combinadas con números racionales (en sus diferentes expresiones). Propiedades.
Razones y proporciones numéricas. Aplicación de propiedades. Escalas.
Vamos ahora a repasar el campo numérico Q, que llamamos campo de números Racionales. (ver
cuadro en hoja nº3)
Entonces...
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j
Decimos que un número es racional cuando puede ser expresado de la forma m , en donde "j"
es cualquier número positivo, negativo o el cero y "m" es cualquier número positivo o negativo
pero NO el cero.
Por otra parte, llamamos al número "j" numerador y al "m" denominador. La barra horizontal
que los separa es la barra de fracción e indica una operación de división. Si efectuamos la división el resultado es llamado cociente. En resumen:
j
m
Numerador
c
Cociente
Barra de Fracción
Denominador
Esto nos indica que todos los números N, los Z y el cero se pueden considerar como racionales
en los cuales "m" es el número uno.
Ej:
5 ; 15 ; 257 ; 1250
1 1
1
1
¿Qué son las fracciones ? La palabra misma lo indica es una "fracción", un "pedazo" de algo
que llamamos entero. Por ejemplo una piza dividida en porciones es un entero fraccionado.
Y cómo no guiamos para realizar una fracción. En regla general el denominador de una fracción
indica en cuentas partes divido al entero y el numerador cuántas partes utilizo.
Un ejemplo nos aclara el panorama. Siguiendo con la piza, digo "voy a comer
3
4
de piza",
¿Qué hago? Divido a la piza cuatro partes IGUALES como indica el denominador y luego como
tres partes o porciones tal como indica el numerador. Obviamente me queda un porción sin
comer con la que te puede invitar.
Existe tipos de fracciones:
Propias: son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Las puede representar con un solo entero.
Tres cuentos están pintados y un cuarto en blanco.
Impropias: son aquellas fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador. Necesito
más de un entero para representarlas. Ej:
4
3
(cuatro tercios)
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Cada "tirita" representa un entero. Necesité dos ya que para hacer cuatro porciones iguales
necesité dos "tiritas", dos enteros. Si es piza, me comí una piza entera y un cuarto de la otra
piza y me quedan 2 porciones para invitarte que en fracción es
2
4
.
Equivalentes: dos fracciones son equivalentes cuando podemos determinar que tanto numerador y denominador se han multiplicado/dividido por un mismo número.
Ejemplos:
Div 2
Div 5
por 2
por 5
2
5
7
4
4
10
Div 2
35
20
Div 5
por 2
por 5
Lo más importante aquí es darnos cuenta que las fracciones equivalentes representan el mismo
pedazo o porción del entero.
Ejemplo:
2
5
4
10
Aparentes: cuando el numerador es igual al denominador. Es el entero.
Ejercicios para FRACCIONES EQUIVALENTES
TRABAJO PRACTICO Nº 4
Hallar la fracción equivalente y graficar las siguientes opciones:
1.
2.
2
5
3
2
multiplciar por 8 .
3.
25
10
dividir entre 10.
multiplicar por 5.
Escríbelos en tu carpeta.
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SUMA DE FRACCIONES UTILIZANDO FRACCIONES EQUIVALENTES:
En segundo año aprendimos que si tenemos dos o más fracciones con el mismo denominador,
para obtener la suma de ellas, ya conocemos el denominador y para el numerador sumamos
algebraicamente (teniendo en cuenta signos) los numeradores dados.
2  3  7  13  2  3  7  13  11   11
5
5
5
5
5
5
5
Observemos:


NO se suman los denominadores. En el caso dado el 5 es el MCM de los
denominadores dados.
El signo final, es de la fracción, pero por regla general se lo adjudicamos
al numerador y consideramos siempre que el denominador es positivo.
Ahora bien, para sumar fracciones con diferente denominador, debemos primero pasarlas a
todas fracciones equivalentes, buscando que a sus vez del denominador sea el mismo.
2  3  7  13 
5
10
2
1
En este caso es fácil darse cuenta que lo ideal e tener to-
das la fracciones con denominador 10. Para lograrlo multiplicaremos numerador y denominador de la fracción del primer término por 2, al tercero por cinco y al cuarto por 10:
4  3  35  130  4  3  35  130  102   102
10
10
10
10
10
10
10
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES
Es importante destacar que lo primero que debemos hacer cuando tenemos fracciones es simplificarlas, es decir que, verificamos si puede dividirse el numerador y el denominador por un
mismo número.
La simplificación cuando tratamos la multiplicación de fracciones, se realiza dividiendo cualquier numerador y cualquier denominador por el mismo número. Siempre debo tomar un denominador con un denominador y dividirlos.
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1
2 1
2
2  3
4



2
1
1
1
1
3
1

2
primero simplificamos el numerador 4 con el
denominador 2 y el numerador 3 con el denominador 3. Pasamos en limpio y finalmente multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador.
TRABAJO PRACTICO Nº 6
26
9
10
1) 1 



3
5
4
13
2) 10 
7
R :3
21
4
16



4
15
5
2
2
5
3) 9 



4
3
27
3
3  1

4)
 4 
 2


5)
1
2
R:
32
5
R :
5
27
5  8


 3 
 5 


5  45


 6 


7


R :1
2  1 
12 



 9 
 3
 5 
 




R :
10
21
DIVISIÓN EN Q
Dividir un número racional por otro es hallar un tercer número racional tal que, multiplicado
por el segundo, dé por resultado el primero.
Ejemplo:
1
3
7


2
7
6

7
3
1
1
1


2
1
2
6

7

Regla práctica. Podemos considerar la posibilidad de "convertir" una división en multiplicación
teniendo en cuenta este regla práctica: Para obtener el cociente de un número racional por
otro, se multiplica el dividendo por el recíproco o inverso del divisor.
Aplicamos al mismo ejemplo anterior tenemos:
Ejemplo:
1
3
1
7
7




2
7
2
3
6
TRABAJO PRACTICO Nº 7
1)
2)
10
5


3
2
26
13


5
4
2 
4

3) 
 3 
  5 


4)
8
6 


 5 
 
3


16 
1 


5)
 5 
 
 5 
 




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Potenciación de números racionales
Se llama potencia n (enésima) de un número racional al producto de n factores iguales.
baseexponente  Potencia
 8
Ejemplo: 
 3



5

8
8
8
8
8
32. 768





3
3
3
3
3
243
repetimos la base tantas veces como
indica el exponente
PROPIEDADES
DE LA
POTENCIA
. “a” es la base, “n” es el exponente, “b” es la potencia.
an  b
Todo número al exponente uno no varía. Recordar que
todo número esta siempre “elevado” a la uno.
Todo número positivo al exponente cero da 1. Esta propiedad no se aplica a números negativos.
Cualquier potencia de cero es cero.
a1  a
a0  1
0n  0
No es conmutativa la base con el exponente.
a n  na
a n  b n  a  b n tes iguales.
Multiplicación de potencias de bases distintas y exponen-
a n  b n  a  bn
a n  ai  a n i
a n  a i  a n i
(a n ) i  a n  i
1
an   
a
i
an
n
 ai
n
División o cociente de potencias de bases distintas y exponentes iguales.
Multiplicación de potencias de igual base el resultado da la
misma base y un exponente que es SUMA de los dados.
Cociente de potencias de igual base el resultado da la
misma base y un exponente que es RESTA entre el exponente del dividendo o numerador y el divisor o denominador.
Potencia de potencia. Da la misma base con los exponentes multiplicados.
Potencia de exponente negativo: el signo negativo del exponente invierte la base. Luego se aplica la propiedad de
la división con bases distintas y exponentes iguales.
Potencia de exponente fraccionario pasa a raíz en la que la
base es radicando, el denominador del exponente es índice
de la raíz y el numerador del exponente es exponente del
radicando obtenido.
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TRABAJO PRACTICO Nº8
A
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