Solución juego 5

Considere el siguiente juego en forma extensiva:
(3, 1)
L
I
2
1
(0, 0)
M
O
D
2
1
u
(2, 2)
v
u
(3, 0)
(0, 3)
P
Juego 5
1
v
(1, 1)
Definición de Estrategia.
“Una estrategia de un jugador es una descripción completa de lo que haría en caso de
ser llamado a jugar en cada uno de sus nodos de decisión. Hay que especificarlo incluso
en aquellos nodos que no fueran alcanzables para él dado el comportamiento actual del
otro o de los otros jugadores”. Es un plan de comportamiento o plan de conducta.” (Es
una función en la que cada jugador asigna una acción a cada nodo que le corresponde.
Una estrategia de un jugador tiene tantas componentes como conjuntos de información
tenga el jugador.)
1
Juego en forma normal.
2
LO
LP
MO
MP
Iuu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Iuv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Duu (2, 2)
(0, 3)
(2, 2)
(0, 3)
Duv (2, 2)
(1, 1)
(2, 2)
(1, 1)
Dvu (3, 0)
(0, 3)
(3, 0)
(0, 3)
Dvv (3, 0)
(1, 1)
(3, 0)
(1, 1)
1
Estrategia débilmente dominada
“Una estrategia está débilmente dominada para un jugador si existe otra estrategia que
lleva a resultados por lo menos tan buenos como la primera cualesquiera que sean las
estrategias seguidas por los demás jugadores, y estrictamente mejores que la primera
para alguna combinación de estrategias de los demás”.
“ s iddb es una estrategia débilmente dominada si existe otra estrategia s idb tal que
Π i ( sidb , s− i ) ≥ Π i ( siddb , s− i ), ∀s−i ∈ S −i y ∃s−i tal que Π i ( sidb , s− i ) > Π i ( siddb , s− i ) ”.
2
(i) ¿Qué estrategias están débilmente dominadas?
Duu, Duv y Dvu están débilmente dominadas por Dvv.
MO está débilmente dominada por LO.
MP está débilmente dominada por LP.
(ii) ¿Qué equilibrios de Nash están basados en estrategias débilmente dominadas?
(Dvv; MP).
(iii) ¿Qué combinaciones de estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de
estrategias débilmente dominadas (EIEDD)?
2
LO
LP
MO
MP
Iuu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Iuv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Duu (2, 2)
(0, 3)
(2, 2)
(0, 3)
Duv (2, 2)
(1, 1)
(2, 2)
(1, 1)
Dvu (3, 0)
(0, 3)
(3, 0)
(0, 3)
Dvv (3, 0)
(1, 1)
(3, 0)
(1, 1)
1
1ª Etapa: Duu, Duv, Dvu, MO y MP son estrategias débilmente dominadas. Las
eliminamos y computamos el juego reducido.
2ª Etapa: Dvv y LO son estrategias débilmente dominadas (por, Iuu y LP,
respectivamente) del juego reducido. Las eliminamos y computamos el juego reducido.
3
3ª Etapa: El juego reducido no tiene estrategias débilmente dominadas. Por tanto,
sobreviven a la EIEDD las combinaciones de estrategias: (Iuu, LP), (Iuv, LP), (Ivu,
LP) y (Ivv, LP).
(iii) Definición de equilibrio de Nash.
“Una combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) constituye un equilibrio de Nash si
*
*
*
la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta (o al menos una de ellas) ante las
estrategias seguidas por los otros jugadores.” Es decir, s ≡ (s1 , ...,s n ) es un equilibrio
*
*
*
de Nash si: s *i ∈ MRi (s−i
)∀i,i = 1,...,n
{
*
}
donde MRi (s*−i ) = s'i ∈ Si : Πi (si' ,s *−i ) ≥ Π i (si ,s *−i ), ∀si ∈ Si ,si ≠ s'i .
2
LO
LP
MO
MP
Iuu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Iuv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivu
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Ivv
(3, 1)
(3, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Duu (2, 2)
(0, 3)
(2, 2)
(0, 3)
Duv (2, 2)
(1, 1)
(2, 2)
(1, 1)
Dvu (3, 0)
(0, 3)
(3, 0)
(0, 3)
Dvv (3, 0)
(1, 1)
(3, 0)
(1, 1)
1
Equilibrios de Nash
(Iuu, LO), (Iuu, LP), (Iuv, LO), (Iuv, LP), (Ivu, LO), (Ivu, LP), (Ivv, LO), (Ivv, LP)
y (Dvv, MP)
4
Definición de equilibrio perfecto en subjuegos.
“Una jugada o combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) , que sea equilibrio de Nash,
*
*
*
constituye un equilibrio perfecto en subjuegos si las partes relevantes de las estrategias
de equilibrio de cada uno de los jugadores son también de equilibrio para cada uno de
los subjuegos.”
(3, 1)
L
I
2
1
(0, 0)
M
O
D
2
1
u
(2, 2)
v
u
(3, 0)
(0, 3)
P
Juego 5
1
(1, 1)
v
En el juego hay 5 subjuegos que comienzan a partir de cada nodo de decisión y
continúan hasta el final del juego. Aplicamos el criterio de inducción retroactiva
comenzando por los últimos subjuegos y eliminamos amenazas no creíbles o acciones
dominadas. En el subjuego superior del segundo turno de juego del jugador 1, u es una
acción dominada o amenaza no creíble; la eliminamos. En el subjuego inferior del
segundo turno del jugador 1, u es una acción dominada o amenaza no creíble; la
eliminamos también. A continuación computamos el juego reducido y vamos a los
anteriores subjuegos.
(3, 1)
L
I
2
(0, 0)
M
O
1
1
D
2
v
(3, 0)
(1, 1)
P
1
5
v
En el subjuego que comienza en el nodo superior del jugador 2, M es una acción
dominada o amenaza no creíble y, por tanto, la eliminamos. En el subjuego inferior, P
anticipando v domina a O anticipando v, y por tanto eliminamos O. A continuación
computamos el juego reducido y nos vamos al subjuego que comienza en el primer
nodo de decisión del jugador 1.
(3, 1)
L
I
2
1
1
D
2
v
(3, 0)
(1, 1)
P
1
v
En el juego reducido, D es una acción dominada y, por tanto, la eliminamos. Obtenemos
que el equilibrio perfecto en subjuegos es (Ivv, LP).
6