Ecuaciones e Inecuaciones. 83 Ejercicios para practicar con

Ecuaciones e Inecuaciones. 83 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 − 13x 2 + 36 = 0
b) x 4 − 26x 2 + 25 = 0
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5
2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 − 1 = 0
b) x 2 + x − 6 = 0
c) x 2 − 9x + 20 = 0
d) x 2 − 6x − 7 = 0
Solución:
a) x = 1 y x = -1;
3
b) x = 1;
c) x = 3;
d) x = -1
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 5x + 10 = 12x - 4
b) 4x + 2 - 2x = 8x
c) 6x - 9x = 18 - 27
d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4
Solución:
a) x = 2;
5
c) x = 4 y x = 5
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 2x + 4 = x + 6
b)x + 2x + 3x = 5x + 1
c) x + 51 = 15x + 9
d) -x + 1 = 2x + 4
Solución:
a) x = 2;
4
b) x = -3 y x = 2;
b) x = 1/3;
c) x = 3;
d) x = 1
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1
b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13
c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4
d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6
1
d) x = -1 y x = 7
Solución:
a) x = 2;
6
b) x = 3;
c) x = -1;
d) x = 1.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 x + 6 = 10
b) 4 x + 7 = 16
Solución:
a) Se aísla el radical: 2 x = 4
Se simplifica: x = 2
Se eleva al cuadrado: x = 2
b) Se simplifica: x + 7 = 4
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
7
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 2 5x + 10 = 16
b) x − x = 6
Solución:
a) Simplificando: 5 x + 10 = 8 − x
Elevando al cuadrado: 5x + 10 = 64 - 16x + x2
Operando: x2 - 21x + 54 = 0;
⇒ x = 3 y x = 18; Solución válida: x = 3
b) Aislando el radical: − x = 6 − x
Elevando al cuadrado: x = 36 - 12x + x2
Operando: x2 - 13x + 36 = 0
⇒
x = 9 y x = 4; Solución válida. x = 9
8
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 + 5x + 4 = 0
b) x 2 + 5x + 6 = 0
c) x 2 − 5x + 6 = 0
d) x 2 + 6x − 7 = 0
Solución:
a) x = -1 y x = -4;
9
b) x = -2 y x = -3;
c) x = 2 y x = 3;
d) x = -7 y x = 1
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 − 5x 2 + 4 = 0
b) x 4 − 25x 2 + 144 = 0
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 5z + 4 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = 1; x = - 1; x = - 2 y x = 2
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 25z + 144 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = - 3; x = 3; x = - 4 y x = 4
2
10 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 − 10x + 24 = 0
b) x 2 − 9 = 0
c) x 2 − 4 = 0
d) x 2 − 3x + 2 = 0
Solución:
a) x = 4 y x = 6;
b) x = -3 y x = 3;
c) x = -2 y x = 2;
d) x = 1 y x = 2
11 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 − 13x 2 + 36 = 0
b) x 4 − 26x 2 + 25 = 0
c) x 4 − 9x 2 + 20 = 0
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5
c) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 9z + 20 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = - 5 y x =
12 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 x + 6 = 10
b) 4 x + 7 = 16
c)
x − 5 x = −x
Solución:
a) Se aísla el radical: 2 x = 4
Se simplifica: x = 2
Se eleva al cuadrado: x = 2
b) Se simplifica: x + 7 = 4
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
c) Se opera: − 4 x = − x
Se eleva al cuadrado: 16x = x2
Se opera: x2 - 16x = 0
⇒
x = 0 y x = 16
3
5
13 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
2x 4x x
−
+ =3
a)
3
6
4
3x − 5 4x 3x + 5
−
=
b)
2
5
20
6x − 22 10x − 2 2x − 14 10x − 12
−
=
−
c)
3
14
6
21
2(x − 1) −2(1 − x)
−
=5
d)
4
3
Solución:
a) Multiplicando por 12 queda:
b) Multiplicando por 20 queda:
c) Multiplicando por 42 queda:
d) Multiplicando por 12 queda:
8x - 8x + 3x = 36;
x = 12
30x - 50 - 16x = 3x - 5;
x=5
84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24;
6x - 6 + 8 - 8x = 60;
x = - 29
x = 19/5
14 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)
x 21 3x 5x
−
−
+
=7
b)
2
3
4
6
3x − 5 4x 3x + 5
−
=
c)
2
5
20
40 + 14x − 1 − 2x −5x + 15
=
d)
3
5
Solución:
a) x = 8
b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24
c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5;
x=5
d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2
15 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 72 + 2x + 8 − 24 x + 4 = 4x − 2
b) 4 x + 7 = 16
x
c) 12 − 2 x = − 12
8
Solución:
a) Se simplifica: − 12 x + 4 = x − 41
Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x2 - 82x + 1681
⇒ x = 5 y x = 221; Solución válida, x = 5
Operando: x2 - 226x + 1105 = 0
b) Se simplifica: x + 7 = 4
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
c) Se simplifica: − 16 x = x − 192
Se eleva al cuadrado: 256x = x2 + 36864 - 384x
Operando: x2 - 640x + 36864 = 0; ⇒ x = 64 y x = 576; Solución válida, x = 64
4
16 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4 − 17x 2 + 16 = 0
b) x 4 − 34x 2 + 225 = 0
c) x 4 − 10x 3 + 24x 2 = 0
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 17z + 16 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -4 y x = 4
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 34z + 225 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -3; x = 3; x = -5 y x = 5
c) Sacando factor común, queda la ecuación:
x2 ·(x2 - 10x + 24) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 0, x = 4 y x = 6.
17 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 + 10 = 9x + 10
b) 2x 2 − 12x + 14 = 0
c) 2x 2 − 5x + 12 = x 2 + 5x − 12
d) 2x 2 − 3 = x 2 − 6
Solución:
a) x = 4 y x = 5;
b) x = -1 y x = 7;
c) x = 4 y x = 6;
d) x = -3 y x = 3
18 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4 − 10x 2 + 9 = 0
b) x 4 − 29x 2 + 100 = 0
c) 2x 3 − 20x 2 + 48x = 0
Solución:
a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 - 10z + 9 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -3 y x = 3
b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:
z2 -29z + 100 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5 y x = 5
c) Sacando factor común, queda la ecuación:
x·(2x2 -20x + 48) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 4 y x = 6.
19 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su
edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo.
Solución:
Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48
Operando: x2 - 10x - 24 = 0
Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.
20 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el
siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más
pequeños.
5
Solución:
Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1)
Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.
21 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si le
restamos 6 unidades. Averigua de que número se trata.
Solución:
Se plantea el problema: x + 6 = x − 6
Elevando al cuadrado: x + 6 = x2 + 36 - 12x
⇒
x = 10 y x = 3; Solución válida, x = 10
Operando: x2 - 13x + 30 = 0;
22 Un alumno pregunta al profesor: “¡Profe!, ¿cuántos alumnos se presentan a la recuperación de
matemáticas?” A lo que el profesor responde: “Si restamos 72 al producto del número de alumnos que se
presentan menos 6 por el numero de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número de
alumnos que se debería presentar que es cero”.
Solución:
Se plantea el problema, “x” es el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x - 6) · (x - 7) - 72 = 0
Operando: x2 - 13x - 30 = 0
Las soluciones son: x = -2 y x = 15. La solución válida es 15 alumnos.
23 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x 2 + 3 = x 2 + 4
b) x 2 + x − 3 = 3
c) 2x 2 − 3x + 3 = x 2 + 2x − 3
d) x 2 + 3x − 7 = −3x
Solución:
a) x = -1 y x = 1;
b) x = -3 y x = 2;
c) x = 2 y x = 3;
d) x = -7 y x = 1
24 Irene pregunta a Enrique: ¿cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo que
Enrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 25 litros queda igual de lleno que si a
la quinta parte del depósito le echas 40 litros.
Solución:
Se plantea la ecuación:
x
x
+ 25 = + 40
2
5
Operando: x = 50 litros.
25 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x + 4y = 10 ⎫
2x + 3y = 5 ⎫
b)
a)
⎬
⎬
4x + 2y = 14 ⎭
− x − y = −1⎭
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
6
26 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de 2ª a 1,2 Euros/kg. Si en el transcurso del día se
han vendido 140 kg de peras con una recaudación total de 227,5 Euros. ¿Cuántos kilogramos de cada clase
se han vendido?
Solución:
Planteamos el problema: x= kg de primera; y = kg de segunda
x + y = 140
⎫
⎬ Soluciones x = 85; y = 55
1,9 x + 1,2 y = 227,5 ⎭
27 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
x + 2y = 5 ⎫
3x − 2y = −12⎫
b)
a)
⎬
⎬
− 2x + 4y = 2⎭
− x + 2y = 8 ⎭
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
28 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x − 4y = 2⎫
4x + 3y = 1⎫
⎪
b)
a) x
⎬
+ 2y = 3 ⎬⎪
x + y=1 ⎭
3
⎭
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
29 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x + 4y = 10⎫
4x + 3y = 1⎫
b)
a)
⎬
⎬
2x + y = 7 ⎭
x + y=1 ⎭
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
30 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 32
Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 2860 Euros. ¿Cuántos
pantalones de cada clase se vendieron?
Solución:
Planteamos el problema: x = pantalones auténticos; y = pantalones de imitación
x + y = 43
⎫
⎬ Soluciones x = 28; y = 15
85 x + 32 y = 2860 ⎭
31 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x + 4y = 10⎫
− x + y = 7⎫
b)
a)
⎬
⎬
2x + y = 7 ⎭
4x − y = −4 ⎭
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = 1; y = 8
7
32 El doble de la edad de Ana es igual al triple de la de su hermana pequeña. Hace cuatro años la edad de Ana
era el doble de la de su hermana. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución:
Planteamos el problema: x = edad de Ana; y = edad de la hermana
2 x = 3 y ⎫ 2 x- 3 y = 0⎫
⎬
⎬ Soluciones: x = 12; y = 8
x − 4 = 2(y − 4)⎭ x- 2 y = −4 ⎭
33 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
y=x+2 ⎫
(x + y)(x − y) = 7⎫
⎪
b)
a) 1 x
⎬
⎬
− = 0⎪
3x − 4y = 0
⎭
x y
⎭
Solución:
a) x = -1, y = 1;
x = 2, y = 4
b) x = -4, y = -3;
x = 4, y = 3
34 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
y
⎫
3x 2 − 5y2 = 30⎫⎪
x + y - = 1⎪
a)
b)
x
⎬
⎬
x 2 − 2y2 = 7 ⎪⎭
⎪
x+y=5
⎭
Solución:
a) x = 1, y = 4
b) x = -5, y = -3;
x = -5, y = 3;
x = 5, y = -3;
x = 5, y = 3
35 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
x + 2y = 5 ⎫
x + y = 18 ⎫
a)
b)
⎬
⎬
2x + y = 7⎭
10x + y = 9⎭
Solución:
a) Igualación:
x = 5 − 2 y⎫
7−y
⎪
;
7 − y ⎬ 5 − 2y =
x=
2
⎪
2 ⎭
10 − 7 = 4 y − y; ⇒ y = 1; x = 3
Reducción:
− 2 ⋅ (x + 2 y = 5 )⎫ - 2 x- 4 y = -10
⎬
2 x+ y = 7 ⎭ 2 x+ y = 7
- 3 y = - 3 ⇒ y = 1; x = 3
b) Igualación:
y = 18 − x ⎫
⎬ 18 - x = 9 - 10 x
y = 9 − 10 x ⎭
10 x- x = 9 - 18;
⇒ x = -1; y = 19
Reducción:
− (x + y = 18 )⎫ − x − y = −18
⎬
10 x + y = 9 ⎭ 10 x + y = 9
9x
= -9
⇒ x = -1; y = 19
8
36 Enrique invierte sus 30000 Euros en 2 bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en Caja
Europa el 3%.Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 1780 Euros de beneficios. ¿Cuánto dinero
colocó en cada banco?
Solución:
Plantemos el problema: x = dinero en Banco del Teide, y = dinero en Caja Europa
x + y = 30000
⎫
⎬ Soluciones, x = 22000; y = 8000
0,07 x + 0,03 y = 1780 ⎭
37 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
5⎫
2x + 2y = ⎪
x + y = 18 ⎫
3⎪
b)
a)
⎬
⎬
5
10x + y = 9⎭
4x − y = ⎪
6 ⎪⎭
Solución:
a) Igualación:
y = 18 − x ⎫
⎬ 18 - x = 9 - 10 x
y = 9 − 10 x ⎭
10 x- x = 9 - 18;
⇒ x = -1; y = 19
Reducción:
− (x + y = 18 )⎫ - x- y = -18
⎬
10 x + y = 9 ⎭ 10 x + y = 9
9x
= -9; x = -1 ⇒ y = 19
b) Igualación:
5
⎫
− 2x ⎪
3
⎪ 5 - 6 x − 5 + 24 x
y=
=
⎬
2
6
6
⎪
5
y = − + 4 x⎪
6
⎭
1
1
30 x = 10;
x= ; y=
3
2
Reducción:
5 ⎫
10
2 x+ 2 y =
2 x+ 2 y =
3 ⎪⎪
6
10
5 ⎞⎬
⎛
2 ⋅ ⎜ 4 x − y = ⎟⎪ 8 x- 2 y =
6
6 ⎠⎪⎭
⎝
10 x
=
20
20 1
; x=
= ;
6
60 3
y=
1
2
38 Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del 20%
y en los relojes del 10%. Pagando de este modo solo101,5 Euros. ¿Cuál es el precio de cada objeto?
9
Solución:
Planteamos el problema: x = precio de la calculadora; y = precio del reloj
x + y = 115
⎫
⎬ Soluciones: x = 20; y = 95
0,8 x + 0,9 y = 101,5 ⎭
39 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
y=x−2 ⎫
xy = 15 ⎫
⎪
⎪
a) 3 x
b) x 5 ⎬
⎬
+ = 4⎪
=
x y
y 3 ⎪⎭
⎭
Solución:
a) x = 3, y = 1;
x=
2
4
,y= −
3
3
b) x = -5, y = -3;
x = 5, y = 3
40 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.
x + 2y = 5 ⎫
2x + 4y = 10⎫
b)
a)
⎬
⎬
2x + y = 7⎭
2x + y = 7 ⎭
Solución:
a) Sustitución:
x + 2 y = 5⎫
x = 5 - 2y
⎬
2 x + y = 7⎭ 2(5 - 2 y) + y = 7
10 − 4 y + y = 7; - 3 y = -3; y = 1
Reducción
− 2 ⋅ (x + 2 y = 5 )⎫ - 2 x- 4 y = -10
⎬
2 x+ y = 7 ⎭ 2 x+ y = 7
-3y=-3
b) Sustitución
2 x + 4 y = 10⎫
y =7 - 2x
⎬
2 x + y = 7 ⎭ 2 x + 4(7 - 2 x) = 10
2 x + 28 − 8 x = 10; - 6 x = -18; x
Reducción:
− (2 x + 4 y = 10 )⎫ - 2 x- 4 y = -10
⎬
2 x+ y = 7 ⎭ 2 x+ y = 7
- 3 y = -3
⇒x=3
⇒ y = 1; x = 3
=3
⇒ y =1
⇒ y = 1; x = 3
41 Resuelve el siguiente sistema no lineal:
2x − 1 y + 3
⎫
+
= 3⎪
x+1
y+1
⎬
x (x − 2 ) = y(1 − y ) ⎪⎭
Solución:
x = 2, y = 1;
x=
2
3
,y = −
13
13
10
42 Resuelve el siguiente sistema no lineal:
3 ⎫
x 2 + y2 + xy =
4 ⎪⎪
⎬
1
x 2 − y2 − xy = − ⎪
4 ⎪⎭
Solución:
1
1
x = − ,y = − ;
2
2
x=−
1
, y = 1;
2
x=
1
, y = −1;
2
x=
1
1
,y =
2
2
43 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación.
2x + 4y = 10 ⎫
4x + 3y = 1⎫
b)
a)
⎬
⎬
4x + 2y = 14 ⎭
x + y=1 ⎭
Solución:
a) Sustitución:
10 - 4 y
x=
2 x + 4 y = 10⎫
2
⎬
4 x + 2 y = 14⎭ 4 ⋅ ⎛⎜ 10 - 4 y ⎞⎟ + 2 y = 14
2 ⎠
⎝
20 − 8 y + 2 y = 14; - 6 y = -6; y = 1 ⇒ x = 3
Igualación:
10 − 4 y ⎫
x=
⎪ 10 − 4 y 14 − 2 y
2
=
14 − 2 y ⎬
2
4
⎪
x=
4
⎭
20 − 8 y = 14 − 2 y; - 6 y = -6; y = 1 ⇒ x = 3
b) Sustitución:
4 x + 3 y = 1⎫
x =1- y
⎬
x + y = 1 ⎭ 4(1 - y) + 3 y = 1
4 − 4 y + 3 y = 1; - y = -3; y = 3 ⇒ x = -2
Igualación:
1− 3 y⎫
⎪ 1- 3 y
x=
= 1− y
4 ⎬
4
x = 1 − y ⎪⎭
1 − 3 y = 4 − 4 y; y = 3 ⇒ x = 1 - 3 = -2
44 Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 12 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 10 Euros/kg. Halla la
cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla.
Solución:
Planteamos el problema: x = kilo de la clase más barata; y = kg de la clase más cara.
9 x + 12 y = 300⎫
⎬ Soluciones: x = 20; y = 10
x + y = 30 ⎭
11
45 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 > x +6
b) - x + 1 < 2x + 4
c) x + 51 > 15x + 9
Solución:
a) x < 2
b) x > -1
c) x < 4
46 Encuentra los números cuyo cuádruplo no sobrepasa a su triple más 40.
Solución:
Se plantea la inecuación:
4x < 3x + 40;
x < 40
47 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 > x +6
b) - x + 1 > 2x + 4
c) 5x + 10 < 12x - 4
Solución:
a) x > 2
b) x < - 1
c) x > 2
48 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 3x 2 < −4x + 4
b) (4x − 8 )(x + 3 ) < 0
Solución:
2⎞
⎛
a) ⎜ − 2, ⎟
3
⎝
⎠
b) (− 3,2 )
49 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 4x 2 − 2x < 2
b) 5x 2 − 6x + 1 ≥ 0
Solución:
⎛ 1 ⎞
a) ⎜ − ,1⎟
⎝ 2 ⎠
1⎤
⎛
b) ⎜ − ∞, ⎥ ∪ [1,+∞ )
5
⎝
⎦
50 Resuelve las siguientes inecuaciones:
b) − x 2 − x + 3 < 0
a) (x + 1)(2x + 1) ≥ 0
Solución:
⎞
⎡ 1
a) (− ∞,−1] ∪ ⎢− ,+∞ ⎟
⎠
⎣ 2
b) (− ∞,−2) ∪ (1,+∞ )
51 Encuentra los números cuyo triple menos 20 unidades es menor que su doble más 40.
Solución:
Se plantea la inecuación:
3x - 20 < 2x + 40;
x < 60
12
52 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x + 2x + 3x < 5x + 1
b) 5x + 10 > 12x - 4
c) 4x + 2 - 2x < 8x
Solución:
a) x < 1
b) x < 2
c) x > 1/3
53 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x + 2x + 3x > 5x + 1
b) 5x + 10 < 12x - 4
c) 4x + 2 - 2x > 8x
Solución:
a) x > 1
b) x > 2
c) x < 1/3
54 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 4 < x +6
b) - x + 1 > 2x + 4
c) x + 51 < 15x + 9
Solución:
a) x > 2
b) x < -1
c) x > 4
55 Una empresa de mantenimiento de ascensores cobra 100 Euros al trimestre más 15 Euros por visita. Otra
empresa del sector cobra 400 Euros fijos al trimestre y no cobra las visitas. ¿En que condiciones conviene
elegir una u otra empresa?
Solución:
Se plantea la inecuación: “x” es el número de visitas
100 + 15x < 400; x < 20
Para menos de 20 visitas al trimestre es más barata la tarifa de la empresa que cobra 100 fijo + 15 visita.
56 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2(x - 3) > 1 - 3(x - 1)
b) 10(20 - x) < 8(2x - 1)
c) 2(1 - x) - 4 > 2(x + 3)
Solución:
a) x > 2
b) x > 8
c) x > -2
57 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:
x −1 x +3 x −5
<
−
4
3
2
13
Solución:
Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:
3(x - 1) < 4(x + 3) - 6(x - 5)
Se quitan los paréntesis:
3x - 3 < 4x + 12 - 6x + 30
Se trasponen términos:
3x - 4x + 6x < 3 + 12 + 30
Se opera en cada miembro:
5x < 45
Se divide por cinco:
x<9
58 Resuelve las siguientes inecuaciones:
b) − (x + 2 )(x − 6 ) ≤ 0
a) x 2 − 9 < 0
Solución:
a) (− 3,3 )
b) [− 2,6 ]
59 A un vendedor de coches le ofrecen en un concesionario 1000 Euros de sueldo fijo más 200 Euros por
coche vendido. En otro concesionario le ofrecen 1800 Euros de fijo más 110 Euros por coche vendido. Si
vende una media de 132 coches al año, ¿Qué oferta debe coger?
Solución:
132
= 11
12
Se plantea la inecuación calculando cuando es menor el ingreso en uno de los concesionarios, en este caso en el
primero: “x” es el número de coches
1000 + 200x < 1800 +110x;
x < 8,9 ≈ 9coches
El segundo concesionario (1800 de fijo más 110 de comisión) es mejor oferta si se venden menos de 9 coches,
como el vendedor tiene una media de 11 coches debe coger la oferta del primer concesionario.
Calculamos el número de coches que vende al mes:
60 Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un fijo de 800 Euros más 80 Euros
por póliza o cobrar 150 Euros de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de que cantidad de pólizas es
más rentable la opción de comisión pura?
Solución:
Se plantea la inecuación: “x” es el número de pólizas
800 + 80x < 150x; x >11,4
A partir de 12 pólizas es más rentable la comisión pura.
61 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2(x - 3) < 1 - 3(x - 1)
b) 10(20 - x) > 8(2x - 1)
c) 2(1 - x) - 4 < 2(x + 3)
Solución:
a) x < 2
b) x < 8
c) x < -2
62 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x 2 + 2x + 3 ≤ −1
b) (x + 5 )(x − 4 ) ≥ 0
14
Solución:
a) R
b) (− ∞,−5] ∪ [4,+∞ )
63 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 4x 2 + 4x + 3 < 0
b) (x − 1)(x − 6 ) ≤ 0
Solución:
a) R
b) [1,6]
64 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x (x + 3 ) > 2 − x 2
b) (x + 1)(x − 1) ≥ 0
Solución:
⎛1
⎞
a) (− ∞,−2) ∪ ⎜ ,+∞ ⎟
2
⎝
⎠
b) (− ∞,−1] ∪ [1,+∞ )
65 Un padre y su hijo se llevan 25 años. Encuentra el periodo de sus vidas en que la edad del padre excede en
más de 5 años al doble de la edad del hijo.
Solución:
Se plantea la ecuación: “x” edad del hijo, “25 + x” edad del padre.
25 + x > 5 + 2x;
x < 20
Mientras la edad del hijo sea menor de 20 años.
66 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:
3 − 2x 1 − 3x 37
− 4x +
>
−
4
3
12
Solución:
Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:
-48x + 9 - 6x > 4 - 12x - 37
Se trasponen términos:
-48x - 6x +12x > 4 - 37 - 9
Se opera en cada miembro
-42x > - 42
Se divide por -42 cada miembro y se cambia el sentido de la desigualdad:
x<1
67 Resuelve las siguientes inecuaciones:
⎛x
⎞
b) x 2 − 2x − 3 ≥ 0
a) ⎜ + 3 ⎟(− x + 1) > 0
⎝2
⎠
Solución:
⎛ 3 ⎞
a) ⎜ − ,1⎟
⎝ 2 ⎠
b) (− ∞,−1] ∪ [3,+∞ )
15
68 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧2x + 2 < 6
⎧x − 2 ≥ 0
a) ⎨
b) ⎨
3x
−
1
≥
−
7
⎩
⎩2x ≤ 10
Solución:
a) [− 2,2 )
b) [2,5]
69 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧3x + 1 > x + 9
⎧2x − 6 < 0
a) ⎨
b) ⎨
x
+
5
<
2
3x
⎩
⎩x − 4 > −5
Solución:
a) Ø
b) (− 1,3 )
70 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧x + y > 0
⎧x + y ≤ 4
b) ⎨
a) ⎨
x
y
<
0
⎩
⎩- x + y ≤ 0
Solución:
a)
b)
71 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧x − y ≥ 3
⎧x − 2y ≥ 5
b) ⎨
a) ⎨
⎩x + y ≤ 2
⎩x + y < 1
16
Solución:
a)
b)
72 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧5 - x < -12
⎧3x − 2 > −7
a) ⎨
b) ⎨
⎩16 - 2x < 3x - 3
⎩5 - x < 1
Solución:
⎛ 19
⎞
a) ⎜ ,17 ⎟
⎝ 5
⎠
b) (4,+∞ )
73 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧4x - 3 < 1
⎧2x − 3 > 0
⎧3x − 4 < 4x + 1
b) ⎨
c) ⎨
a) ⎨
⎩x + 6 > 2
⎩5x + 1 < 0
⎩- 2x + 3 < 4x − 5
Solución:
a) (− 4,1)
b) Ø
⎛4
⎞
c) ⎜ ,+∞ ⎟
⎝3
⎠
74 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
1 3
3
⎧
⎧
⎪2x + 1 > x ⎪x - < x − 1
b) ⎨
a) ⎨
3 2
2
⎪2x - 1 < 1 - 3x
⎪4x - 5 < 2 - 5x
⎩
⎩
Solución:
⎛ 5 2⎞
a) ⎜ − , ⎟
⎝ 2 5⎠
b) Ø
75 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧6x + 5 ≤ 5x − 2
⎧x + 1 < 2
⎪
b) ⎨
a) ⎨
1
3x
−
>
−
5
⎩x − 1 > −2
⎪
2
⎩
17
Solución:
a) Ø
b) (− 1,1)
76 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧2x + y ≥ −1
⎧x + y > 0
a) ⎨
b) ⎨
⎩- x + y ≥ −1
⎩- 2x + y > 1
Solución:
a)
b)
77 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧x + 2y - 3 > 0
⎨
⎩3x + 6y - 15 < 0
Solución:
78 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧2x - y ≤ 4
⎧x + 2y ≥ 2
b) ⎨
a) ⎨
x
+
3y
≥
−
1
⎩
⎩x + y ≤ 1
18
Solución:
a)
b)
79 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧6 - x ≤ 4x - 5
⎧2x − 6 < 0
a) ⎨
b) ⎨
⎩1 - 2x ≥ -3
⎩x − 4 > −5
Solución:
a) Ø
b) (− 1,3 )
80 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
15 − 9x
⎧
⎪⎪8x − 7 >
2
⎨
⎪4x − 5 > 5x − 8
⎪⎩
3
Solución:
⎛ 29 7 ⎞
, ⎟
⎜
⎝ 25 3 ⎠
81 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
2
⎧
⎪⎪5x + 5 > 4x + 3
⎨
⎪ 8x + 3 < 2x + 21
⎪⎩ 3
Solución:
⎛ 13
⎞
⎜ ,30 ⎟
5
⎝
⎠
82 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:
⎧- x + y ≤ 3
⎧2x - y > 6
b) ⎨
a) ⎨
⎩x + y - 3 > 0
⎩3x + 5y - 10 < 0
19
Solución:
a)
b)
83 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
⎧2x - 15 ≤ x - 5
⎧2x − 10 > −x + 2
a) ⎨
b) ⎨
⎩− x + 12 ≥ 6
⎩10 − 4x > −3x
Solución:
a) (− ∞,6]
b) (4,10 )
20