Cuando se realizan muchas medidas de una variable bajo las

EL PROMEDIO Y LA DESVIACIÓN TÍPICA
Cuando se realizan muchas medidas de una variable bajo las mismas condiciones,
los resultados serán, casi siempre, distintos. Esto se debe a la naturaleza aleatoria
del proceso de medir.
Sin embargo, es conveniente expresar de algún modo las características de
un conjunto de mediciones (de una misma variable) de tal modo que sea posible
efectuar operaciones, es decir, es necesario que se disponga de uno o más valores
que hagan referencia a las características del conjunto de medidas para manejarlos
cuantitativamente.
PROCEDIMIENTO
En la Tabla I se muestra un conjunto de medidas de los diámetros exteriores de un
lote de rondanas. La unidad de medida es el centímetro.
Tabla I. Medidas de diámetros exteriores de un lote de rondanas
6.00
3.24
3.22
2.80
4.68
4.60
3.92
4.25
4.92
5.26
3.60
5.53
2.36
4.66
3.81
5.58
3.12
1.03
3.58
2.23
3.83
3.98
4.38
4.79
4.36
3.26
2.68
3.92
3.17
2.66
3.28
3.92
3.80
2.98
4.43
3.10
4.24
4.30
5.04
4.64
3.81
5.93
4.69
4.97
4.16
4.18
2.82
6.54
4.42
4.09
1.32
4.44
3.24
4.79
3.67
3.72
6.33
2.17
4.67
3.99
3.84
4.52
3.58
3.75
2.38
3.75
3.85
2.13
6.50
4.19
2.40
3.72
4.34
2.14
6.54
5.89
2.09
1.23
4.33
1.74
4.19
4.82
3.60
5.22
5.92
4.05
3.60
5.41
2.67
3.69
6.20
3.54
3.53
2.53
2.80
3.82
5.15
6.85
4.58
2.87
Con estos datos construya un histograma de la siguiente manera: encuentre
los valores máximo y mínimo del conjunto para establecer los límites superior e
inferior y luego escriba el resultado de la diferencia entre dichos valores dividido
por 10, para establecer diez intervalos de clase. A continuación, construya una escala como en la figura 1-1.
Figura 1-0-1. Escala para trazar el histograma
En los extremos de la escala escriba los valores mínimo y máximo
como en la figura 2.
Luego cuente los valores que
quedan dentro de cada intervalo trace
su acumulación en forma de barra,
como en la figura 1-2.
Una vez que ha construido el
Figura 1-0-2. Histograma obtenido de las medidas.
histograma, se puede observar la forma en la que se encuentran distribuidos los
valores de las medidas (como puede verse se trata de una distribución discreta). De
aquí, el valor más conveniente que se busca, para los propósitos de este curso, es el
promedio o media aritmética, que se expresa como
x = ( x1 + x2 + L + xn ) / n
(1.1)
que considera a n medidas (en este caso n=100).
Sin embargo, aun falta definir la dispersión de esta distribución de datos, que
es una medida que indica cuán dispersas se encuentran las medidas alrededor de la
media. A dicha dispersión se le conoce como desviación típica o desviación estándar y se expresa como:
n
s=
∑( x − x )
i =1
2
i
(1.2)
n ( n − 1)
Así, se tienen ya dos valores que indican, a grandes rasgos, las características generales del conjunto de valores.
A las distribuciones como la que se ha presentado (que tienen forma de campana, aproximadamente) se les conoce como distribución normal y es una de las
distribuciones que se encuentran con más frecuencia en la física.
Cuando el conjunto de medidas es muy grande, se puede considerar que se
tiene una distribución continua la cual puede expresarse como:
−
1
f ( x) =
e
s 2π
( x − x )2
2s2
(1.3)
donde s es la desviación típica que ya se definió en (1.2) y x está definida en (1.1).
Ahora, con los valores de la media y la desviación típica que ha calculado a
partir del conjunto de medidas, trace una gráfica como si se tratara de una distribución continua, usando la ecuación (1.3).
La desviación típica que se ha obtenido de este modo representa la incertidumbre estadística del conjunto de datos y, a menos que se haga otra indicación, se
puede utilizar como la incertidumbre de la media.
DETERMINACIÓN DEL VOLUMEN DE UNA
RONDANA
Muchas de las medidas que se efectúan en el laboratorio son indirectas, es decir,
provienen de otras medidas que se hacen directamente o de valores que se tienen
convencionalmente.
Sabemos que toda medición tiene una incertidumbre asociada, debido a factores que escapan a las habilidades de quien efectúa la medición. Esto hace que, al
efectuar operaciones con valores que tienen una incertidumbre asociada, se propaguen en los resultados, es decir que el resultado o resultados finales también tendrán una incertidumbre asociada que proviene de las operaciones que se hacen con
las incertidumbres de las medidas directas.
Existe un procedimiento general que nos permite efectuar la propagación de
las incertidumbres al efectuar operaciones con ellas.
Supongamos que, de alguna manera, conocemos la función que nos determina un resultado que se obtiene de las mediciones directas que se hacen durante algún experimento.
Consideremos un ejemplo sencillo. Supongamos que se nos pide que determinemos el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas tienen longitudes diferentes: x, y y z, cada una con su incertidumbre (δx, δy y δz, respectivamente). En este
caso, la función que determina el volumen del paralelepípedo es
f ( x, y , z ) = xyz
(2.1)
Como puede observarse, la función no incluye las incertidumbres. Sin embargo, el
hecho de que las medidas de las aristas tengan una incertidumbre nos hace suponer, correctamente, que el volumen o más bien la función también debe tener
una incertidumbre asociada, a saber δf.
Para efectuar la propagación de la incertidumbre en funciones conocidas,
basta con determinar las derivadas parciales de la función, con respecto a cada una
de las variables de las que depende y, luego, aplicar la siguiente fórmula general
2
 ∂f 
2
δ f = ∑
 (δ xi )
i =1  ∂xi 
n
(2.2)
donde n es el número de variables de las que depende la función. En el caso que
ahora nos interesa se tiene n=3, de modo que la incertidumbre en el volumen del
paralelepípedo se puede escribir como
2
2
2
 ∂f 
2
2
2
 ∂f 
 ∂f 
δ f =   (δ x ) +   ( δ y ) +   ( δ z )
 ∂x 
 ∂z 
 ∂y 
(2.3)
donde se ha escrito, explícitamente, la incertidumbre en la función o volumen, en
este caso.
PROCEDIMIENTO
Utilizando un calibrador vernier y un tornillo micrométrico, determine el volumen
de una rondana, como en la figura 2-1.
Figura 2-1. Rondana cuyas dimensiones incluyen la
incertidumbre.
Debe notarse que a las variables se les puede asignar cualquier nombre. En
este caso, la función volumen se expresa como f(d, D, s).
El volumen de la rondana puede determinarse si se multiplica la diferencia
D2
d2
de las áreas circulares, π
−π
, por el espesor, s, de modo que la función que
4
4
se tiene es
f (d , D, s) =
π
D2 − d 2 ) s
(
4
(2.4)
así que la incertidumbre en el vloumen de la rondana se puede determinar si se
calculan primero sus derivadas parciales respecto de cada una de las variables de
las que depende.
∂f π
= Ds
∂D 2
(2.5)
∂f
π
= − ds
∂d
2
(2.6)
∂f π
= ( D2 − d 2 )
∂s 4
(2.7)
por lo que la incertidumbre en el volumen se expresa como
π
δf =
2
(D
( Ds ) (δ D) + ( ds ) (δ d ) +
2
2
2
2
2
−d2)
4
2
(δ s )
2
(2.8)
Con estos resultados ya es posible informar la medida —indirecta— del volumen dela rondana, incluyendo su incertidumbre: f ± δf.
RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN Y LA MASA
DE UN LÍQUIDO
En muchas ocasiones es más conveniente utilizar cantidades que indiquen alguna
propiedad de un material o sustancia.
En el ejercicio que se describe a continuación se pretende determinar la relación funcional, a primera aproximación, entre la masa y el volumen de un líquido.
El ejercicio consiste en determinar, gráficamente, la pendiente y la ordenada al
origen de una recta, e interpretar físicamente los resutlados de las mediciones.
PROCEDIMIENTO
Utilizando una balanza granataria mida la masa de diferentes cantidades de agua,
aceite, vinagre o vino y luego mida el volumen, utilizando un vaso de precipitados
graduado y una probeta graduada.
En todas la medidas que efectúe, considere la incertidumbre asociada a cada
una de ellas, pues será utilizada en la gráfica de dispersión que se trazará en papel
milimétrico.
Construya una tabla de valores, a los que llamaremos datos experimentales,
de modo que la primera columna corresponda al volumen medido, la segunda a su
incertidumbre, la tercera a la masa medida y la cuarta a su incertidumbre asociada.
Tabla II. Medidas de volumen y masa de un líquido
Volumen incertidumbre Masa incertidumbre
V (mm3)
M (g)
δV (mm3)
δM (g)
V1
M1
δV1
δM1
V2
M2
δV2
δM2
...
...
...
...
Vn
Mn
δVn
δMn
En una hoja de papel milimétrico, trace dos ejes perpendiculares, en cuya
intersección se asigna el valor de cero, 0. El eje horizontal corresponde a la variable volumen del líquido y el vertical a de la masa.
También es importante trazar las incertidumbres correspondientes. Para trazarlas, es conveniente hacerlo mediante segmentos de recta, cuya longitud, en la
escala, corresponda al doble de la magnitud de la incertidumbre de la variable. Dichos segmentos de recta se trazan de modo que su punto medio coincida, en este
caso, con el punto correspondiente a la medida.
Como puede verse en la figura 3-1, la gráfica que se obtiene a partir de las
medidas contiene más información de la que se esperaría comúnmente, a saber, las
incertidumbres.
Utilice una regla y trace una recta que “pase” por la mayor parte de los puntos de la gráfica que corresponden a los datos experimentales. Luego, utilizando
dos puntos cualesquiera de la recta, sin que correspondan a los datos experimentales, determine la pendiente utilizando la relación
m=
y2 − y1
x2 − x1
(3.1)
donde los valores del numerador corresponden a las ordenadas y las del denominador a las abscisas. Es importante incluir las unidades correspondientes, ya que
con ellas se determinan las unidades de la pendiente.
Figura 3-0-1. Gráfica de dispersión donde se ven los
valores experimentales y sus incertidumbres
A continuación se prolonga la recta que se ha trazado de modo que se intersecte con el eje vertical, o de las ordenadas; dicha intersección da como resultado
el valor de la ordenada al origen, M0, de la recta trazada, incluyendo las unidades
de medida.
Así, la recta resultante tiene la forma
M (V ) = mV + M 0
(3.2)
A los valores de m y M0 que se han obtenido se les conoce como parámetros
de la recta. Esta “fórmula” es la relación funcional entre el volumen y la masa de
un líquido. Como puede observarse, se ha obtenido una función en la que la masa
es una función lineal del volumen. Esta relación permite hacer predicciones, es decir, dado un volumen del mismo líquido con el que se hizo el experimento, es posible predecir el valor de la masa que le corresponde, sin tener que realizar la medida directa de la masa.
Una vez que se ha obtenido la pendiente, ¿a qué cantidad física conocida corresponde?
¿A qué se debe que la ordenada al origen sea distinta de cero, 0?
Con la experiencia que se ha adquirido hasta el momento, ¿cuáles serían las
modificaciones más adecuadas para realizar el experimento de modo que los parámetros de la recta se parezcan más a los valores que se encuentran en los libros
de texto?
RELACIÓN ENTRE LA ELONGACIÓN DE UN
RESORTE Y LA FUERZA APLICADA
La elongación de un resorte cambia cuando se aplica una fuerza. Dicha elongación
es finita, ya que es posible que el resorte se rompa debido a la aplicación de una
fuerza muy intensa.
En esta práctica se determinará la relación entre la elongación de un resorte y
la fuerza que se aplica.
PROCEDIMIENTO
Suspenda un resorte por uno de sus extremos de modo que cuelgue verticalmente,
como se muestra en la figura 4-1.
L
Figura 4-0-1. La masa suspendida en el extremo inferior
produce una elongación en el resorte.
Mida la masa de cada uno de los objetos que se suspenderán en el extremo
inferior del resorte.
A continuación, añada los objetos uno a uno y mida la longitud del resorte
paulatinamente. Observe cuidadosamente cómo, a medida que se añade peso al resorte, éste gira en torno al eje vertical que pasa por el punto de suspensión del resorte y el punto en el que se han suspendido los objetos.
Asigne las incertidumbres correspondientes a todas las medidas efectuadas.
Construya una gráfica a cuyo eje horizontal se asigne la elongación del resorte y al eje vertical la fuerza aplicada al suspender los objetos colocados en el
extremo inferior del resorte.
Mediante el método de los mínimos cuadrados haga un ajuste y haga una
interpretación física de los parámetros obtenidos.
Como podrá darse cuenta, la relación funcional hallada es semejante a la Ley
de Hooke, pero con una diferencia: ¡aquí se tiene una ordenada al origen que en la
ley de Hooke no aparece!, ¿por qué? ¿Cuál es el significado físico de esta diferencia? Explique.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Uno de los primeros movimientos que se estudian en la física es el de un objeto
que se mueve en línea recta y recorre intervalos iguales de longitud en intervalos
iguales de tiempo.
En esta práctica se estudia el movimiento de un balín que rueda sobre un riel
horizontal. Se omitirán los efectos por rodamiento y fricción del balín con el riel.
PROCEDIMIENTO
En la figura 5-1 se muestra el arreglo experimental con el que se llevará a cabo
esta práctica.
en este intervalo el
movimiento es a
velocidad constante
m
ra
pa
Figura 5-1. Se requiere que el balín se mueva
siempre a la misma velocidad al llegar al riel
horizontal.
En la figura puede verse que el balín inicia su recorrido en la parte superior
de la rampa. Esto se hace para que al llegar a la sección horizontal de su recorrido,
el balín siempre viaje a la misma velocidad, con el fín de efectuar varias veces las
mismas medidas de desplazamiento y tiempo.
Es importante considerar el hecho de que el tiempo se mide con un cronómetro que se activa justo en el momento en el que el balín entra a la sección horizontal de su recorrido, desactivándolo a una distancia especificada de antemano.
Por ejemplo, se desea determinar el tiempo que emplea el balín al recorrer 40 cm
sobre el riel; el balín se suelta desde la parte superior de la rampa y el cronómetro
se activa en el momento en el que el balín llega a la parte horizontal del riel, desactivándolo justo cuando alcanza los 40 cm especificados. Luego, se repite varias
veces la medida del tiempo para el mismo recorrido y se determina el tiempo promedio que empleó el balín en hacer el recorrido; así, este tiempo promedio y la
distancia recorrida serán las coordenadas de un punto en una gráfica distancia vs.
tiempo.
El ejercicio se repite considerando recorridos de diferentes longitudes. Luego, se construye una gráfica en la que la variable independiente es el tiempo promedio en cada recorrido y la variable independiente es la distancia recorrida.
Debe considerarse cuidadosamente la incertidumbre en la posición del balín
durante las medidas de tiempo, ya que se encuentra en movimiento y el ojo no alcanzará a detectar una posición precisa del balín sobre el riel.
Por otro lado, la incertidumbre en el tiempo tendrá dos componentes, a saber, una estadística (debida al número de veces que se repiten las medidas) y otra
que involucra el factor humano; debe notarse que la persona que mide el tiempo
activará o desactivará el cronómetro de manera diferente de una medida a otra.
Mediante el método de los mínimos cuadrados haga un ajuste y haga una
interpretación física de la ecuación y los parámetros así determinados.