1 Conjunto - U. T. F. S. M.

ARITMTICA
Primera Versión
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tomo I
Sr. Gonzalo Andrés Garrido Carvajal
Valparaíso, Chile
2008
1
Conjunto
Definición 1 Conjunto
Se entiende por conjunto a una colección de objetos
que cumplan una propiedad en comun que anotaremnos con
letras mayusculas A, B, C,...
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 1-2 de 117
1.1 OPERACION BINARIA
Definición 2
Operación Binaria
Se entiende por operación binara
a la ejecución de
un cálculo aritmético con dos elementos de un conjunto con el
objeto de hallar otra entidad llamada resultado, se anotara por
a
b
1.1.1 OPERACIONES BINARIAS
Entre algunas operaciones binarias que conocemos
encontramos la Adición o Suma en donde su símbolo se denota
por 
la Sustracción o Resta en donde su símbolo es
,
y el Producto o Multiplicación que la representaremos usando el
símbolo  ,y la División que se representa por 
1.1.1.1 Adición o Suma (  )
Sea A conjunto no vacio y a, b  A dos elementos
que pertenecen a un conjunto,, se define la operación binara
Adición o Suma como
a  b  c y se lee “ a más b es igual a c ”
Observación
La Operación Binaria Adición o Suma se puede
entender también como “contar la cantidad de elementos de
una misma especie”.
1.1.1.2 Sustracción o Resta (  )
Sea A conjunto no vacio y a, b  A dos elementos
que pertenecen a un conjunto, se define la operación binaria
Sustracción o Resta entre dos elementos como:
a  b  c y se lee “a menos b es igual a c”
En donde al término a se le denomina Minuendo, al
término b se le denomina Sustraendo y al término c de le
denomina Resta o Sustracción
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Capitulo 1-3 de 117
1.1.1.3 Producto o Multiplicación (  ) ó (  )
Sea A conjunto no vacio y a, b  A dos elementos
que pertenecen a un conjunto, se define la operación binaria
Producto o Multiplicación como
ab  c
y se lee “ a por b es igual a c ”
en donde al término a y b se les denomina Factores y
al término c de le denomina Producto.
1.1.1.4 Cociente o División (  )
*
Sea A conjunto no vacio y a  A , b  A , se define la
operación Binaria División como
a  b  c y se lee “ a dividido b es igual a c ”
en donde al término a se llama Dividendo, al término
b se le denomina Divisor y al término c de le denomina
Cociente
1.1.1.5 Otras Operaciones Binarias
En un conjunto se pueden definir distintas
Operaciones Binarias en funcion de las operaciones binarias
básicas como por ejemplo 
a  b  3  a  2  b 
Ejemplo 1
Sean los valores a  4 y b  5 , usando la definición de ,
determinar el valor de 4  5
Solución
4  5  3  4  2  5
/ Evaluando
 3  4 10
/ Resolviendo Paréntesis
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Capitulo 1-4 de 117
4  5  3 14
/ Multiplicando
 17
por lo tanto 4  5  17
/ Resultado
Otra operación binaria se puede definir como :
a  b  3 a  b
Ejemplo 2 Sean los valores a  8 y b  2 ,
determinar el valor de 8  2
Solución
8  2  38  2
/ Evaluando
 24  2
/ Multiplicando
 26
/ Sumando
 26
/ Resultado
por lo tanto 8  2  26
1.1.2 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS BASICAS
Sea A conjunto no vacio con operación binaria
, y
a, b, c  A
Propiedad 1 Ley De Cierre o Clausura
a
b  A  a, b  A
Propiedad 2 Ley Asociativa
a
b
ca
b
c   a, b, c  A
Propiedad 3 Elemento Opuesto
Se dice que
 a   A
a
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es el opuesto de a  A , si
 a   a
ae
Capitulo 1-5 de 117
Propiedad 4 Elemento Neutro
El conjnto A posee elemento neutro e bajo una
Operación Binaria
, si
a
a  a  a A
ee
Propiedad 5 Ley Conmutativa
a
a ,  a, b  A
bb
Propiedad 6 Ley Distributiva de la Multiplicación sobre la Adición
Sean
1
dos Operaciones Binaria, se dice que
2
distribuye sobre la operación binaria
a
1
b
2
c   a
1
b
2
2
a
1
si
1
c  , a, b, c  A

Ejemplo 3 Sean A  , las operaciones binarias 1
,
elementos a  5 , b  6 y c  13 , entonces se cumple que
2
  , y los
a  b  c    a  b   a  c 
reemplazando 5   6 13  5  6  5 13
Solución
En efecto, calculemos primero el lado izquierdo de la
igualdad
5  6 13
/ Resolviendo el paréntesis
 5  19
/ Multiplicando
 95
Ahora, calculemos el lado derecho de la igualdad
5  6  5 13
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/ Resolviendo el paréntesis
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 30  65
/ Sumando
 95
Luego se cumple la igualdad
5  6 13  5 6  513
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Capitulo 1-7 de 117
2
Los Conjuntos Numéricos
Una de las actividades más comunes en
nuestra vida cotidiana es el uso de valores
numéricos, como por ejemplo, al pagar el pasaje de
bus, al pagar la cuenta del agua potable, al comprar
algún libro o ver los valores indicados en una pesa
electrónica de algún supermercado, es por eso que
debemos conocer el mundo de los números y su
operatoria.
Definición 3 Conjunto Numérico
Se entiende por conjunto numérico a una colección
de símbolos, que para nosotros representa una cierta cantidad
de objetos
básico”;
Comencemos estudiando el conjunto numérico “más
El conjunto Los Números Naturales
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Capitulo 2-8 de 117
2.1 LOS NÚMEROS NATURALES
*
Cuando un niño pequeño quiere indicar “ cuántos”,
generalmente levanta un número apropiado de dedos ( cuando
sea posible). Por ejemplo, si quiere decir que tiene
(bolitas), dirá que tiene
bolitas. Lo que él está haciendo
entonces, es exhibir un conjunto (de dedos) que contiene
tantos elementos como las bolitas que tiene, sin usar un
nombre particular para el número de objetos. Así, podemos
decir que el niño ha establecido una correspondencia biunivoca
( uno a uno) entre el conjunto de dedos y el conjunto de
bolitas. Hay, por supuesto, muchos otros conjuntos aparte de
que podrían usarse para representar
. Por ejemplo ,
podría darse la misma información usando un conjunto tal como
(palos).
Este método de dar información respecto a un
número de objetos es bastante embarazoso, especialmente
cuando el número de objetos excede al número de dedos
disponibles. Puesto que todos los conjuntos usados con
referencia al número de bolitas
, tienen una propiedad
común,
que los elementos de dos conjuntos cualesquiera
puede ponerse en correspondencia uno a uno , es conveniente
dar un nombre a esta propiedad común. En el caso del conjunto
de bolitas le pondremos a la propiedad común a todos los
conjuntos equivalentes a
escribiremos como 4.
el nombre de cuatro, lo cual
Así, cuando dice uno que tiene 4 bolitas, quiere decir
que tienen
bolitas, o
bolitas, y así sucesivamente.
Por tanto, el número 4 puede considerarse como el nombre y
símbolo que puede representar a todos estos conjuntos.
Los Números Naturales es un conjunto de números
que nos ayudan a representar a una colección de elementos
con una igual característica. A estos números los reunimos en
un conjunto que lo denotamos por:
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Capitulo 2-9 de 117
Otro ejemplo de como se relacionan los objetos con
este conjunto es
Objeto o Elemento
Representación Numérica
1
2
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Capitulo 2-10 de 117
2.2 NÚMEROS NATURALES CARDINALES
Definición 4 Números Naturales Cardinales
Se denomina Números Naturales Cardinales a los
números Naturales agregándole el símbolo 0, que representa
el no tener elementos,
Los elementos de este conjunto al igual que el
conjunto anterior se representar usando los mismos símbolos,
pero agregando el nuevo elemento:
2.2.1 ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES CARDINALES
Si a , b son dos números naturales Cardinales, y si
hay un número natural c tal que a  c  b , entonces se dice
que a es menor que b , y escribiremos a  b , o bien se dice
que b es mayor que a , lo escribiremos b  a
Usando esta definición podemos decir que el conjunto
de los Números Naturales Cardinales es ordenado y en general
se tiene que
0  1  2  3  4  5  6  
Observación
Dos característica muy importante es que en los
Números Naturales Cardinales es que en este conjunto existe
el PRIMER ELEMENTO que es el número cero (0) y que no
posee ULTIMO ELEMENTO se dice que un conjunto infinito1.
Conjunto Infinito. Colección de objetos bien definida que no se pueden
contar.
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Capitulo 2-11 de 117
1
2.2.2 ALGUNOS NÚMEROS DE IMPORTANCIA
2.2.2.1 Sucesor y Antecesor de un Número Natural Cardinal
2.2.2.1.1
Sucesor
Por ser
un conjunto ordenado, todo
elemento tiene sucesor, es decir, “ siempre podremos
encontrar un número mayor que otro”, en símbolos
Si n 
sucesor de n
entonces
 n  1 
se denomina el
Ejemplo 4 El sucesor de 4 es el 5, en efecto pues si al número 4 le
sumamos 1 se tiene que:
4 1  5
Ejemplo 5 El sucesor de 2m  3 es igual a 2m  4 , en efecto pues si al
número 2m  3 le sumamos 1 se tiene que:
2m  3  1
 2m  3  1
 2m  4
Luego el sucesor de 2m  3 es 2m  4
2.2.2.2 Antecesor
Por ser
un conjunto ordenado, todo elemento
distinto del cero tiene un antecesor, es decir “ siempre
podremos encontrar un número menor que otro”, es decir
de n
Si n 
*
entonces n 1   se denomina el antecesor
Ejemplo 6 El Antecesor de 14 es el 13, en efecto pues si al número 14 le
restamos 1 se tiene que:
14  1  13
Luego el antecesor de 14 es el número 13
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Ejemplo 7 El Antecesor de n  8 es igual a n  7  , en efecto, si al número
n  8
le restamos 1 se tiene que:
n  8  1
 n  8 1
 n7
Luego el antecesor de n  8 es el número n  7 
Con esta idea de Sucesor y de Antecesor, podemos
representar en una línea recta, la que más adelante llamaremos
“La Recta Numérica2”, a los números naturales cardinales,
como muestra la figura:
Antecesor
de n
0
1
2
3
n-1
...
Sucesor
de n
n
n+1
2.2.2.3 Los Números Pares e Impares en
Definición 5
conjunto
Los Números pares
Los Números pares corresponden a los números del
Par  2  n / n 
Definición 6

Los Números Impares
Los Números impares corresponden a los números
del conjunto
Im par  2  n 1/ n 

Recta Numérica: Gráfica en la cual se pueden representa y ubicar a todos los
números.
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2
2.2.2.4 Los Números Primos y Compuestos
Definición 7 Número Primo
Sea p  , p  1 entonces p es número primo si y
solo si sus únicos divisores son 1 y p
2.2.2.4.1
Algunos números primos son:
2,3,5, 7, 11,23
Definición 8 Números Primos Relativos
Se llaman números relativos o primos entre sí, a
aquellos números que no admiten divisores comunes
Ejemplo 8 Los números 6 y 7 son primos entre sí, porque 6 es divisible
por 2 y por 3 ; y 7 es divisible por 7
Los números 4 y 9 son primos entre sí, porque 4 es
divisible por 2 y por 4 ; y 9 es divisible por 3 y 9 . Son primos
entre sí, a pesar de ser ambos números compuestos
Los números 6 y 8 no son primos entre sí, porque
ambos admiten al número 2 como divisor
Los números 6 y 15 no son primos entre sí, porque
ambos admiten cono divisor al número 3
Definición 9 Número Compuesto
Todo número natural mayor que uno, que no es
primo se llama compuesto, dicho de otra forma “ Todo número
compuesto se puede escribir como la multiplicación de
potencias de números primos (llamados Factores Primos) ”
Algunos números compuestos son:25, 15, 18,32
pues:
25  5  5
15  3  5
18  3  3  2
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Capitulo 2-14 de 117
32  2  2  2  2  2
2.2.2.5 Método Criba de Eratóstenes.
Este método es conocido desde muy antiguo, donde
la palabra Criba, significa algo así como cernir o seleccionar y
Eratóstenes es el nombre del griego que inventó el
procedimiento, el cuál nos permite encontrar los números
primos.
Ejemplo 9 Se desea determinar todos los números primos menores de 100
Solución
Escribamos la lista de números en forma ordenada
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91






2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Primero, tarje al número 1
Empiece a tarjar todos los números que son
divisibles por 2, excepto el dos.
Continúe tarjando todos los números que son
divisibles por 3, excepto el tres
Luego los divisibles por 4, ( números pares ) ya
han sido tarjados
Luego los divisibles por 5, salvo el 5, y así
sucesivamente hasta 10.
A continuación encierre los números no tarjados
en un circulo, los cuales serán todos los
números primos inferiores a 100 ( recuerde que
el número 1 no es primo, ¿ por que?).
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2.2.2.6 Los Múltiplos
Si
n
entonces
el conjunto de los múltiplos
naturales de n se anota por M (n) y corresponde a:
Ejemplo 10 Determinar el conjunto M (6)
Solución
Siguiendo la definición de múltiplo se tiene que
M (6) 
 6 k
/ k 

Para calcular los elementos de este conjunto se debe reemplazar
k  1, 2, 3, 4, 5 con lo cual se tiene que
Si k  1 entonces 6  k  6  1  6  M (6)
Si k  2 entonces 6  k  6  2  12  M (6)
Si k  3 entonces 6  k  6  3  18 M (6)
Si k  4 entonces 6  k  6  4  24  M (6)
Si k  5 entonces 6  k  6  5  30  M (6)
Etc.
Con lo cual podemos decir que:
M (6) 
 6, 12, 18, 24
Ejemplo 11
Determinar el conjunto M (3)
Solución
Siguiendo la definición de múltiplo se tiene que

M (3)  3  k / k 
Sr. Gonzalo Garrido C.

Capitulo 2-16 de 117
Para calcular los elementos de este conjunto se debe
reemplazar k  1, 2, 3, 4, 5 con lo cual se tiene que
Si k  1 entonces 3  k  3  1  3  M (3)
Si k  2 entonces 3  k  3  2  6  M (3)
Si k  3 entonces 3  k  3  3  9  M (3)
Si k  4 entonces 3  k  3  4  12  M (3)
Si k  5 entonces 3  k  3  5  15  M (3)
Etc.
Con lo cual podemos decir que M (3) 
 3, 6, 9, 12
2.2.2.7 El Mínimo Común Múltiplo
Se llama mínimo común múltiplo de dos o más
números al menor de los múltiplos comunes de los números
dados y de denota por m.c.m.
Ejemplo 12
Determinar el conjunto m.c.m.( 3, 5 )
Solución
Como ya hemos determinado M (3) que son:
M (3) 
 3, 6, 9, 12
Solo basta por determinar el conjunto M (5)
Entonces
M (5) 
 5, 10, 15, 20, 25, 30, 
luego entre los números comunes se encuentran
 15, 30, 45,


de estos se deberá elegir el más pequeño como lo
indica la palabra, por lo tanto

m.c.m.( 3, 5)  15
Sr. Gonzalo Garrido C.

Capitulo 2-17 de 117
Ejemplo 13
Determinar el conjunto m.c.m.( 6, 9, 12 )
Solución
Existe otra manera para determinar al m.c.m. ,
cuando son 3 o más números y esta es:
6
3
3
1
1
9 12 2
9 6 2
9 3 3
3 1 3
1 1

para
  2  2  3  3  36
m.c.m. 6, 9, 12 
Por lo tanto
m.c.m.( 6, 9, 12 ) 
 36 
Ejemplo 14
Determinar el conjunto m.c.m.( 12, 15, 18 ,6 )
Solución
m.c.m. :
Siguiendo nuestra nueva manera de determinar al
12 15 18 6 2
6 15 9 3 2
3 15 9 3 3
1
5 3 1 3
5 1
5
1
Por lo tanto


m.c.m. 12, 15, 18, 6  180


m.c.m. 12, 15, 18, 6  180
2.2.2.8 Los Divisores de un Número
Sean d , n  entonces d es divisor de n si y sólo si
n es múltiplo de d . El conjunto de los divisores del número n
se denota por D (n) .
Ejemplo 15
Determinar el conjunto D(12)
Solución
Siguiendo la definición de divisor se tiene que:
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-18 de 117


D(12)  1, 2, 3, 4, 6, 12
Ejemplo 16
Determinar el conjunto D (9)
Solución
Siguiendo la definición de divisor se tiene que:

D(9)  1, 3, 9

Ejemplo 17
Determinar el conjunto D (7)
Solución
Siguiendo la definición de divisor se tiene que:

D(7)  1, 7

2.2.2.9 El Máximo Común Divisor
Se llama máximo común divisor de dos o más
números al mayor de los divisores comunes a esos números y
se denota por M .C.D.
Ejemplo 18
Determinar el conjunto M .C.D.( 18, 24 )
Solución
Se debe hallar D(18) y D(24)

D(18)  1, 2, 3, 6, 9, 18


D(24)  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

luego entre los divisores comunes se encuentran:
 1, 2, 3, 6 
de estos se deberá elegir el mayor como lo indica la
palabra, por lo tanto:
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-19 de 117
M .C.D.( 18, 24 ) 
6
Ejemplo 19
Determinar el conjunto M .C.D.( 21, 32 )
Solución
Se debe hallar D(16) y D(32)


D(16)  1, 2, 4, 8, 16 y

D(32)  1, 2, 4, 8, 16, 32

luego entre los divisores comunes se encuentran:
 1, 2, 4, 8, 16
de estos se deberá elegir el mayor, por lo tanto:

M .C.D.( 16, 32 )  16

Ejemplo 20
Determinar el conjunto M .C.D.( 36, 18, 24 )
Solución
Para cuando la cantidad de números que entre los
cuales se deberá buscar al M .C.D. es igual o mayor a tres,
este valor se halla usando otro método, que es el usar una
tabla como se muestra a continuación
36 18 24
18 9 12
6 3 4
Por lo tanto
2
3

 6
M .C.D. 36, 18, 24 

 6
M .C.D. 36, 18, 24 
Ejemplo 21
Determinar el conjunto M .C.D.( 210, 90, 60, )
Solución
Usando el método de la tabla, M .C.D. :
21 90 60
0
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
Capitulo 2-20 de 117
10 45 30
5 15 10
35 3 2
7

3
5
Por lo tanto
M .C.D.( 210, 90, 60, )  30

M .C.D.( 210, 90, 60, )  30


Observación
Para el cálculo del m.c.m. y del M .C.D. siempre se
comienza en la tabla dividiendo por el menor de los primos, que
es el número 2, una vez que no se pueda seguir dividiendo por
él, se sigue con el siguiente primo, que es el número tres y así
sucesivamente.
2.2.3 DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS
2.2.3.1 Divisibilidad
Sean a, n 
entonces n es divisible por a , cuando
al dividir n por a el cociente es exacto ( El residuo de esta
división es cero )
Ejemplo 22
El número 35 es divisible por 5, pues 35 dividido por
5 da cociente exacto 7.
Simbólicamente
35  5  7
0
Resto
cero
Ejemplo 23
El número 46 no es divisible por 6 porque no existe
número natural alguno, que multiplicado por 6 nos dé 46 . El
número más cercano es 7 pero sobran 4 ya que 7  6  42 y
si es 8 nos faltan 2 porque 6  8  48 y entre 7 y 8 no
existen números naturales
Simbólicamente
Sr. Gonzalo Garrido C.
Resto
Distinto de
Cero
Capitulo 2-21 de 117
46  6  7
4
Cuando el número considerado, no es un número que
está en las tablas usuales de multiplicar ( como en el caso
anterior ) y si no se conocen las reglas, se debe efectuar la
división entre ambos números, a objeto
Por ejemplo: ¿ 1345 es divisible por 9 ?
1345 es un número bastante grande y
que no aparece en las tablas de multiplicación, ya
que éstas consideran a lo más hasta múltiplos de
12 , ! las más extensas ¡.
Por consiguiente, al no conocer las
reglas de divisibilidad la única alternativa es probar mediante la
división. Y es este camino, el que trataremos de evitar en el
futuro.
2.2.3.2 Criterios de Divisibilidad
Para averiguar si un número es divisible por otro, no
siempre es necesario hacer la división para ver si el cociente es
exacto, pues se conocen ciertas características que deben
poseer los números para ser divisibles por otros determinados.
Al conjunto de condiciones que debe cumplir un
número cualquiera para ser divisible por otro determinado, se le
llama criterio de divisibilidad por este último número.
A continuación
divisibilidad más utilizados
2.2.3.2.1
se
enuncian
los
criterios
de
Los números Divisibles por 2
Un número es divisible por Dos cuando su último
dígito es cero o cifra par
Que el número termine en cero
Sea por ejemplo, el número 50. 50 es divisible por 2,
pues 50 dividido de 2 da cociente exacto 25
Que el número termine en dígito par
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-22 de 117
2.2.3.2.2
Los números Divisibles por 3
Un número es divisible por Tres cuando la suma de
sus dígitos es un múltiplo de tres
cifras
3,
Sea por ejemplo, el número 126. La suma de sus
126  1  2  6  9 donde el número 9 es un múltiplo de
luego al dividir 126 por 3 da cociente exacto 42
2.2.3.2.3
Los números Divisibles por 4
Un número es divisible por Cuatro cuando su dos
últimos dígitos de la derecha son ceros o forman un múltiplo
de cuatro
Que las dos últimas cifras de la derecha sean ceros
Sea por ejemplo, el número 900. 900 es divisible por
4, pues 900 dividido de 4 da cociente exacto 225
Que las dos últimas cifras de la derecha formen un
múltiplo de 4
Sea por ejemplo, el número 516. 516 es divisible por
4, pues 516 dividido de 4 da cociente exacto 129
2.2.3.2.4
Los números Divisibles por 5
Un número es divisible por Cinco cuando su último
dígito es cero o cinco
Que el número termine en cero
Sea por ejemplo, el número 70. 70 es divisible por 5,
pues 70 dividido de 5 da cociente exacto 14
Que el número termine en cifra cinco
Sea por ejemplo, el número 185. 185 es divisible por
5, pues 185 dividido de 5 da cociente exacto 37
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-23 de 117
2.2.3.2.5
Los números Divisibles por 6
Un número es divisible por Seis, si lo es por 2 y por
3 a la vez
Por ejemplo: El número 1518
es divisible por 6
porque es un número divisible por 2 y la suma de sus dígitos
es un múltiplo de 3 , en efecto 1  5  1  8  15 , con lo
cual podemos decir que el número 1518 es divisible por 6 .
Simbólicamente
1518  6  253
31
18
0
En otro caso el número 146 no es divisible por 6 ,
porque a pesar de ser divisible por 2 , no es divisible por 3 ,
pues al sumar sus dígitos se obtiene 1  4  6  11 , el cual
no es múltiplo de 3
2.2.3.2.6
Los números Divisibles por 8
Un número es divisible por Ocho cuando su tres
últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de
ocho
Que las tres últimas cifras de la derecha sean ceros
Sea por ejemplo, el número 5000. 5000 es divisible
por 8, pues 5000 dividido de 8 da cociente exacto 625
Que las tres últimas cifras de la derecha formen un
múltiplo de 8
Sea por ejemplo, el número 6512. 6512 es divisible
por 8, pues 6512 dividido de 8 da cociente exacto 814
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-24 de 117
2.2.3.2.7
Los números Divisibles por 9
Un número es divisible por Nueve, si la suma de sus
dígitos es 9
o múltiplo de 9
Por ejemplo: el número 13572 es divisible por 9
porque 1  3  5  7  2  18 y 18 es múltiplo de 9 .
También,
945720
es
divisible
9,
por
porque
9  4  5  7  2  0  27 y 27 es múltiplo de 9 .
En cambio el número 81049 no es divisible por 9
porque 8  1  0  4  9  22 y 22 no es múltiplo de 9 .
 Los números Divisibles por 10
Un número es divisible por Diez, si termina en cero.
Por ejemplo los números 130 , 50 , 80 , etc.
2.2.4 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
Todo número
n
,
se puede descomponer en la
forma:
n  p1m1  p2m2  p3m3 
donde
pkmk  (*)
p1 , p2 , p3  pk 
son
primos
y
m1 , m2 , m3 mk  son números naturales.
A la expresión (*) se le denomina la Descomposición
prima de n
2.2.5 REGLA PRACTICA PARA DESCOMPONER A UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS.
Se divide el número dado por algún número primo,
( para hallar este número aplique aquí los Criterios de
Divisibilidad ), luego por otro, hasta que el cociente sea 1.
Es obvio que los números se eligen en forma ordenada;
primero el primo 2, luego el 3, el 5 y así sucesivamente.
Ejemplo 24
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-25 de 117
Descomponer en factores primos el número 36 .
Solución:
Se ubica el número en una tabla en donde se
comienza a dividir por distintos números primos, en forma
ordenada, hasta terminar en el número 1, la multiplicación de
ellos es la descomposición pedida
36
18
9
3
1
2
2
3
3
Luego el número 36  2  2  3  3
Ejemplo 25
Descomponer en factores primos el número 144 .
Solución
Se ubica el número en una tabla en donde se
comienza a dividir por distintos números primos, en forma
ordenada, hasta terminar en el número 1, la multiplicación de
ellos es la descomposición pedida
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
Luego el número 144  2  2  2  2  3  3
Ejemplo 26
Descomponer en factores primos el número 17325 .
Solución
Se ubica el número en una tabla en donde se
comienza a dividir por distintos números primos, en forma
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-26 de 117
ordenada, hasta terminar en el número 1, la multiplicación de
ellos es la descomposición pedida.
1732 3
5
5775 3
1925 5
385
5
77
7
11
11
1
Luego el número 17325  3  3  5  5  7  11
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-27 de 117
2.3 LOS NÚMEROS ENTEROS 
Bajo el conjunto de los números naturales cardinales
, la siguientes ecuaciones se les puede hallar fácilmente una
solución
x  6  16 ,
La ecuación
en el conjunto de los
números Naturales
tiene Solución: que es x  10 , pues al
reemplazar en la ecuación se cumple la igualdad. En efecto
10  6  16
x  9  7 , no tiene Solución: en el
La ecuación
conjunto de los números Naturales
, ya que no existe x 
tal que x  9  7 , la Solución para esta ecuación es x  2 ,
pero como sabemos 2 no pertenece a
De aquí la necesidad de tener un conjunto que reúna
los números naturales positivos y a los naturales negativos, a
este conjunto se le denomina el conjunto de los Números
Enteros.
2.3.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
conjunto:
5, ... }
Se denomina números enteros a los elementos del
Z
{...
5,
4,
3,
2,
1, 0 ,
1,
2,
3,
4,
2.3.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
N
N*
...
-4
-3
-1
0
-
1
2
3
4
...
2
Enteros Negativos
Cero
Enteros Positivos
Los Números Enteros se representan gráficamente en
la Recta Numérica por medio de puntos a igual distancia, al
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-28 de 117
igual que los números naturales cardinales, pero ahora se
agregan hacia el lado izquierdo del cero los números negativos.
2.3.3 NUMROS EN LA RECTA NUMERICA
2.3.3.1 Antecesor y sucesor en la recta numerica
Todos los números hasta ahora estudiados se pueden
ubicar ordenadamente en la recta numérica,
los números
sucesores y antecesores de un número n no son una excepción
, es decir, los números n  1 , n y n  1
Con esto tenemos en la recta numérica
2.3.3.2 Pares e impares en la recta numerica
Podemos ver que estos tres números son
consecutivos, también en esta recta numérica podemos ubicar
a los números , pares , impares, como lo muestra la figura
Con esta representación gráfica podemos darnos cuenta que los números
2n  1 , 2 n y 2n  1 son tres números consecutivos
2 n , 2n  2 y 2n  4 son tres pares consecutivos
2n  1 , 2n  3 y 2n  5 son tres impares consecutivos
2.3.3.3 Opuestos en la recta numerica
1.- Para el número 5 , existe su opuesto 5 , tal que
5   5  0
Esta operación binaria suma se puede representar en
la recta numérica
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-29 de 117
2.- Para el número 18 , existe su opuesto 18 tal que
 18 18  0 ,
al representarla en la recta numérica, se tiene
3.- Para el número
tal que
 3     3  0
 3  0 ,
existe su opuesto
  3
También se puede pensar de otra forma, que el
Inverso Aditivo de un número está siempre ubicado en el lado
opuesto del cero, pero a igual distancia.
2.3.4 EL VALOR ABSOLUTO O MÓDULO DE UN NÚMERO ENTERO
Definición 10 Valor Absoluto o Módulo de un Número Entero
En un número entero se distinguen dos partes: signo
y el número propiamente tal, al cual se le denmina Valor
Absoluto o Módulo.
La anotación a y lo leeremos “Valor Absoluto de a ”
Ejemplo 27
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-30 de 117
En el número -3 , el signo es negativo y
En el entero 8, el signo es positivo y
3  3
8 8
El entero 0 es el único que carece de signo,
.
.
0 0
2.3.5 OPERACIONES BINARIA EN LOS NUMEROS ENTEROS
2.3.5.1 Adición de Números Enteros
Definición 11 Suma de dos Números Enteros de igual signo
Para sumar dos números de igual signo, se suma sus
valores Absolutos y se conserva el signo común.
Adición

a  b  a  b 


a  b  a  b 

c
c
donde c es el resultado de la operación binaria
Ejemplo 28
Determinar el valor de

5   6 usando en la recta
numerica
Solución
Representado en la recta numérica, es saltar hacia
delante, dieciséis lugares
Por lo tanto  5   6   21
Ejemplo 29
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-31 de 117

Determinar el valor de
4   7 usando en la recta
numerica
Solución
Representado en la recta numérica significa saltar
hacia atrás siete lugares
Por lo tanto  4   7  13
Definición 12 Suma de dos Números Enteros de distinto signo
Para sumar dos números de distinto signo, se restan
sus valores absolutos ( el mayor menos el menor) y se
conserva el signo del mayor.


a  b  a  b 

a  b  a  b 

c
suponiendo que
c
suponiendo que
a  b
a  b
donde c es el resultado de la operación Binaria Resta
Ejemplo 30
Determinar el valor de

34  10 usando en la recta
numerica
Solución
Representado en la recta numérica cada valor, el
sumar 10 significa, saltar hacia atrás diez lugares desde el
número 34

Por lo tanto  34  10   24
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-32 de 117
2.3.6 PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN BINARIA ADICIÓN EN
Propiedad 7 Ley de Clausura
La adición es una operación binaria cerrada, es decir,
la suma de dos números enteros es otro número entero, así
a, b 
a b
Propiedad 8 Ley Asociativa
Es la propiedad que permite sumar tres o más
números enteros, agrupándolos en sumas parciales, así
 a  b  c

 a bc

a, b, c 
Propiedad 9 Elemento Neutro ( 0)
El entero cero es el elemento neutro aditivo, así
a  0  0  a  a a 
Propiedad 10
Ley Conmutativa
Esta propiedad permite cambiar el orden de los
sumandos, sin alterar el resultado de la operación
a  b  b  a
2.3.6.1.1
a, b 
Algunas Consecuencias importantes
Regla 1
Sea a   siempre se cumple que:
a  0 a
0  a  a
a  a 0
Regla 2
Sea a, b   siempre se cumple que
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-33 de 117
a    b  a  b
  a  b  a  b
  a  b  a  b  b  a
Observación
Para cuando enfrente una operación con más de un
paréntesis, recuerde que el orden de resolución es el siguientes
Resolver paréntesis interiores.
Suma o restar según corresponda.
Ejemplo 31
Determine el valor de 1  1  2  1  4  1  7
Solución
1  1  2  1  4  1  7
 1  1  2  1  5  7
 1  1   11
 1  1  11
 1   10
 1  10
 11
por lo tanto 1  1  2  1  4  1  7  11
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-34 de 117
2.3.6.2 Multiplicación en los Números Enteros
Definición 13 Multiplicación de dos Números Enteros de Igual signo
Para la Multiplicación de dos Números Enteros de
Igual signo, se multiplican los Valores Absolutos y se sigue la
regla de signos.
Definición 14 Multiplicación de dos Números Enteros de Distinto Signo
Para la Multiplicación de dos Números Enteros de
Distinto signo, se multiplican los Valores Absolutos y se sigue la
regla de signos.
Reglas de signo en la Multiplicación
Para cuando tenga que multiplicar dos valores
enteros, se multiplican sus valores absolutos y se sigue la
siguiente regla de signos
Signo




2.3.6.2.1




Signo








Resultado




Propiedades de la Multiplicación en Z
Propiedad 11
Ley de Clausura
La Multiplicación es una operación binaria cerrada, es
decir, la multiplicación de dos números enteros es otro número
entero, así
Propiedad 12
Sr. Gonzalo Garrido C.
ab
a, b 
Ley Asociativa
Capitulo 2-35 de 117
Esta propiedad se cumple, porque
permite
multiplicar tres o más números enteros, agrupándolos en
multiplicaciones parciales, así
 a  b  c
Propiedad 13

 a bc

a, b, c 
Elemento Neutro ( 1 )
La operación binaria
posee
elemento neutro ( 1 ),
así
a  1  1 a  a a 
Propiedad 14
Ley Conmutativa
Esta propiedad permite cambiar el orden de los
factores, sin alterar el resultado de la operación
a  b  b  a a, b 
Propiedad 15
Ley Distributiva de la Multiplicación sobre la Adición
La Operación Binaria multiplicación distribuye sobre
la operación binaria suma:
a  b  c  a  b  a  c
a, b, c 
2.3.6.3 La División () en los Números Enteros
Definición 15
a, b, c   , r   y b  0 , se define la
Sean
Operación Binaria División como
y se lee “ a dividido b es igual a c , resto r ”
Observación
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-36 de 117
Si el resto de la división es distinto de cero,
división en  no es posible ya que no existen los decimales.
la
Reglas de signo en la División
Para cuando tenga que multiplicar dos valores
enteros, se multiplican sus valores absolutos y se sigue la
siguiente regla de signos
Signo








Signo








Resultado




2.3.6.3.1
Propiedades de las Operación Binaria División en el Conjunto de
los Números Enteros Z
Propiedad 16
Ley de Clausura
La División no es una operación binaria cerrada,
pues, la división entre dos números enteros no siempre se
puede realizar
Propiedad 17
Ley Asociativa
Esta propiedad no se cumple, porque al dividir tres
números enteros en distinto orden, no siempre se obtiene igual
cociente.
 a  b  c
Propiedad 18

 a  bc

para a , b y c  
Elemento Neutro ( 1 )
La operación binaria
división
posee
elemento
neutro
Propiedad 19
Ley Conmutativa
No es posible cambiar el orden de los valores, sin
alterar el resultado de la operación
a  b  b  a para todo a , b  
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-37 de 117
2.3.6.3.2
Algunas Consecuencias importantes
Regla 1
Sea a   siempre se cumple que:
a  0 No existe
0  a 0
a 1  a
2.3.7 POTENCIAS DE EXPONENTE Y BASE ENTERA
Mientras más números más rápido. Después de ver
a Alvaro romper en dos una guía telefónica, su profesor de
matemáticas le dijo: “Eres muy fuerte. Me gustaría saber,
¿cuántas veces serías capaz de romper una sola hoja de papel
en dos” .
“¿En que forma? , pregunto Alvaro, “Así”, dijo el
profesor “ toma una hoja de periódico y pártela en dos,
colócalas dos partes juntas y pártelas nuevamente en dos.
Coloca ahora las cuatro partes obtenidas y vuelve a partirlas
por la mitad. ¿cuántas veces piensas que puede continuar este
proceso?”.
“Usted vio cómo rompía una guía telefónica en dos”,
dijo Juan. “Creo poder hacerlo cuando menos 100 veces”.
Para ver si Juan conocía su propia fuerza, veamos
qué es lo que resultaría al partir la hoja de periódico. Había dos
partes para dividir la segunda vez y cuatro partes la tercera.
¿cuántas partes habría la 100ª vez ?
La cantidad de partes se indican el siguiente cuadro
1.2.3.4.5.6.7.8.-
2 partes
4 partes
8 partes
16 partes
32 partes
64 partes
128 partes
¿Podrá Juan romper todos los pedazos de papel que
resultaría en la 20ª vez ?
Ahora bien, existe una
representar la suma de términos:
forma
abreviada
de
22222
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-38 de 117
es escribir el producto 5  2 . ¿ No existirá una forma
abreviada para representar el producto 2  2  2  2  2 ?
La respuesta es “ SÍ ”. Y para indicar que un producto
contiene cinco veces al 2 como factor, se escribe
25
esta expresión se llama “ la quinta potencia de dos o
dos elevado a la quinta”
Definición 16 Potencia
Sean a 
, n
entonces la expresión
a n  a
a

a a
a
n  factores
se denomina Potencia de Base a y Exponente n y se lee a elevado a la n
Para distintos valores de n se tiene que
a0
=
1
a1
a2
=
=
a
a a
a3
=
a a  a

a
Para todo a
   0
a elevado a 1
a elevado al
cuadrado
a elevado al cubo

=
n
a a  a  a   a
a elevado a la n
n N, n  2
n Factores
Ejemplo 32
Determine el valor de las siguientes potencias
53  5  5  5  25  5  125
36  3  3  3  3  3  3  9  9  9  81 9  729
 3
3
  3   3   3  9   3  27
 1   3   2 
1
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
4
 1  9  16  8
Capitulo 2-39 de 117
Ejemplo 33 Completa la siguiente tabla:
a
b
c
6
1
0
-3
-3
2
-1
-1
0
-1
2
8
1
-2
-1
-3
1
-1
-1
0
4
5
2
-1
2
-1
-1
-3
-2
-2
a bc
 a  b  c
a  c  b2
a b  a c
2.3.8 POTENCIA DE BASE DIEZ
Un caso importante de analizar son las potencias de
diez, es decir que la base sea 10 y su exponente un numero
natural:
100
101
102
103
=
=
=
=

10
n
=
1
10
10  10
10  10  10
=
=
=
=
1
10
100
1000



=
10n
10  10  10  10 
 10
n Factores
Observación
La relación entre el exponente de una potencia de 10
y el número de símbolos cero en el numeral simple de la
potencia. ¿Cuántos símbolos ceros debe haber en el numral
10
simple de 10 . La respuesta es 10
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-40 de 117
1010  10.000.000.000
Por su mucho uso, se dan a conocer los cuadrados y
cubos de los 20 primeros números.
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2.3.8.1.1
Cuadrado
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
Cubo
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
Descomposición de un Número en Base Diez
Definición 17
forma:
Todo número
p

, se puede descomponer en la
p  an1 10n1  an2 10n2 
a ,a ,
 a2 102  a1 101  a0 100 (*)
a ,a ,a
2
1
0 son los dígitos que forman al
donde n n1
n
número. y
representa la cantidad de dígitos que posee el
número.
Ejemplo 34
Descomponer en base diez los siguientes números
34 , 236 , 76543
Solución
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-41 de 117
Para 34 , podemos identificar los siguientes términos
n  2 , a1  3 y a0  4 , por lo tanto
34  3  101  4  100
luego, la notación científica en base diez del número
34 es:
3  101  4  100
Para 236 podemos identificar los siguientes términos
n  3 , a 2  2 , a1  3 y a0  6 , por lo tanto
26  2  102  3  101  6  100
luego, la notación científica en base diez del número
236 es:
2  102  3  101  6  100
Y para 76543
a0  3 , por lo tanto
n  5 , a4  7
a3  6 , a2  5 , a1  4 y
7654 7  104  6  103  5  102  4  101  3  100
luego, la notación científica en base diez del número
76543 es:
7  104  6  103  5  102  4  101  3  100
Observación
La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente
150 millones de Km. Esta distancia es mucho más cómoda
anotarla en notación científica que sería
150.000.000  15 109 Km.
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-42 de 117
2.3.8.2 Propiedades de Potencia en los números Enteros
Propiedad 20
Potencia con Exponente 0
Toda Potencia de exponente cero es igual a 1,
siempre que la base sea distinta de cero
a0  1
a  Z , a  0
Ejemplo 35
0
0
Determinar el valor de 6  7
Solución
60  7 0  1  1  2
Ejemplo 36
0
0
Determinar el valor de  2  8  1
0
Solución
 20  80  10
 111
 0 1
1
0
0
por lo tanto,  2  8  1  1
0
Ejemplo 37
0
0
Determinar el valor de 9  81   45 
0
Solución
90  810   45
0
 111
 1 1
1
0
0
luego, 9  81   45  1
0
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-43 de 117
Ejemplo 38
Sabiendo que a  34 y
b  4 determinar el valor de
4 a  2 ab  a  b  2
0
0
0
Solución
queda:
Reemplazando los valores de a  34 y b  4 nos
4  340  2  34  4  340  4 0  2
 4  1  68  4  1  1  2
 4  272  2  2
 268  2  2
 270  2
 268
por lo tanto
Propiedad 21
4  a 0  2  a  b  a 0  b 0  2  268
Multiplicación de Potencias de igual Base
Para multiplicar potencias de igual base se conserva
la base y se suman sus exponentes
a n  a m  a n m
para todo a 
y
para todo n, m 
Ejemplo 39
2
3
Determinar el valor de 6  6
Solución
6 2  6 3  6 23  6 5  7776
2
3
luego, 6  6  7776
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-44 de 117
Ejemplo 40
Determinar el valor de  2   2   2
4
2
5
Solución
 24   22   25   2425   211  2048
luego,
 24   22   25   211  2048
Ejemplo 41
1
0
2
3
1
2
Determinar el valor de 9  9  3  3  5  5
Solución
91  9 0  32  33  51  5 2
 910  323  512
 9  35  53  9  243  125
 127
por lo tanto
91  9 0  32  33  51  52  127
Ejemplo 42
Sabiendo que a  3 y
b  2 determinar el valor de
a 3  a 2  4  a 4  b 2  a 0  b 0  a 2  234
Solución
Al evaluar la expresión, se tiene que:
a 3  a 2  4  a 4  b 2  a 0  b 0  a 2  234
 33  32  4  34  (2) 2  30  (2) 0  32  234
 332  4  34  4  1  1  9  234
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-45 de 117
 35  4  4  34  2  9  234
 35  411  34  7  234
 35  4 2  34  227
 243  16  81  227
 243  1296  227
 1280
por lo tanto,
b  2 .
a 3  a 2  4  a 4  b 2  a 0  b 0  a 2  234  1280 si
Propiedad 22
a3 y
Multiplicación de Potencias
Para multiplicar potencias de igual exponente y
distinta base se multiplican las bases y se conserva el
exponente
an  bn  (a  b)n
para todo a, b 
Propiedad 23
para todo n 
y
Multiplicación de Potencias
Para multiplicar potencias de distintos exponente
pero igual base se multiplican las bases y se conserva el
exponente
a n  a m  a nm
para todo a 
y
para todo n, m 
Ejemplo 43
2
2
Determinar el valor de 7  3
Solución
7 2  32  7  3  21  21  21  441
2
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
Capitulo 2-46 de 117
2
2
luego, 7  3  441
Ejemplo 44
Determinar el valor de  2  3  1
4
Solución
4
4
 24  34  14
4
4
  2  3  1
4
  2  3  1
4
  6
 1296
luego,  2  3  1  1296
4
4
4
Ejemplo 45
2
2
3
3
5
5
Determinar el valor de 4  2  2  3  (2)  (1)
Solución
4 2  2 2  23  33  (2) 5  (1) 5
 4  2  2  3  (2)  (1)
2
3
5
 8  6  2
2
3
5
 64  216  32
 184
por lo tanto
4 2  2 2  23  33  (2) 5  (1) 5  184
Ejemplo 46
Sabiendo que a  (1) y b  2 determinar el valor de
a 2  a 2  4  a 4  b 4  a 0  b1  a 2
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-47 de 117
Solución
Al evaluar la expresión, se tiene que:
a 2  a 2  4  a 4  b 4  a 0  b1  a 2
 (1) 2  (1) 2  4  (1) 4  2 4  (1) 0  21  (1) 2
 (1)  (1)  4 1 4  1  2  1
2
 1  4 2  2
2
 1  16  2
 1  18
 17
por lo tanto,
a 2  a 2  4  a 4  b 4  a 0  b1  a 2  17
b  2.
Propiedad 24
a  (1)
si
y
Potencia de una Potencia
Para elevar una potencia a un exponente se conserva
la base y se multiplican los exponentes
(a m ) n  (a) mn
y para todo n, m 
para todo a 
Ejemplo 47
 
Determinar el valor de 4
2 3
Solución
4   4
 4  4096
luego, 4 
 4096
2 3
23
2 3
6
Ejemplo 48
 33  34 
2
Determinar el valor de
Sr. Gonzalo Garrido C.

 1  32
4

2
Capitulo 2-48 de 117
Solución
 33  34 
 
 1   3 
2
 27  3
42
 1  32
2
4
4 2
2 2
 27  3  1  322
42
8
 27  3  1  34
8
8
 27  6561  1  81
 27  6561  81
 6527
 33  34 
2
luego,

 1  32
4

2
 6527
Ejemplo 49
Determinar el valor de
4
2
 2 2  23  33  (1) 6  (1) 5
 



4
2
 2 2  23  33  (1) 6  (1) 5
 



3
2
3
Solución
3
2
     2   3 
3
 42  22
3
3 2
3 2
3

 (1) 6  (1) 5

3
 423  2 23  232  332  1  1
53
 46  26  26  36  1  1
15
 4096  64  64  729  1
 262144  46656  1
 215487
por lo tanto
4
2
 
3

2

 2 2  23  33  (1) 6  (1) 5

3
 215487
Ejemplo 50
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-49 de 117
a  3
Si
a    a   a
2 2
2 3
4
b
b  1
y
  a
4 1
6
b a
3

determinar
el
valor
de
2 0
Solución
Al evaluar la expresión, se tiene que:
a    a   a
2 2
2 3

4
 
2
 (3) 2   (3) 2
 
1
 b 4  a 6  b3  a 2
  (3)
3
4

0
 
1
 (1) 4  (3) 6  (1) 3  (3) 2

0
 (3) 4  (1) 3  (3) 6  (3) 4  (1) 4  729 1  9
0
 
 81  1  729 811  738
0
 59049  81  1
 59131
por lo tanto,
a    a   a
2 2
a   3 y b  1 .
Sr. Gonzalo Garrido C.
2 3
4
 
1
 b 4  a 6  b3  a 2

0
 59131
si
Capitulo 2-50 de 117
2.4 PRIMER TALLER DEL ALUMNO
1) Se define la opracion binaria a *  a  1 hallar el valor de (1* ) *
a

 a  b  hallar el valor de  6 * 2
b

2) Se define la opracion binaria a * b   
3)
4)
5)
6)
7)
Hallar el mínimo común múltiplo entre 2, 6 y 8 es
Hallar el mínimo común múltiplo entre 4, 5 y 10 es
Hallar el mínimo común múltiplo entre 3, 6, 4 y 12 es
Hallar el mínimo común múltiplo entre 5, 6 y 10 es
Si la suma de tres numero consecutivos naturales es387.
a) ¿ Cuales son los numeros?
b) ¿ Cuál es el producto de los dos primros?
8) Si w  3v ; v  2u ; u  2 p , entonces, ¿ cuánto vale w si p  2 ?
9) Descomponer en factores primos:
a)
b)
c)
d)
e)
10)
65
310
412
58
4566
Sin uso de Calculadora resuelva las siguientes operaciones
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
40 + [ 25 - ( 3 + 2 ) ]
450 - [ 6 + { 4 - ( 3 - 7) } ]
[(6-4)-(3-2)]-[(9-7)-(6-5)]
250 - [¨( 6 + 4 ) - ( 3 - 1 ) + 2 ] + { 16 - [ ( 8 + 3 ) - ( 12 -10 ) ] }
8 + [ 9 - { 6 - ( 5 - 4 ) } ] + 14 - { 11 - [ 7 - ( 3 - 2 ) ] }
5 • 100 + 6 • 10.000 + 7 • 1.000
( 200 -50 + 30 -150 ) • 5
(5-1 )•(4-2)+(7-3)•(4-1)
{15 + ( 9 - 5 ) • 2 } • { ( 6 • 4 ) • 3 + ( 5 - 4 ) • ( 4- - 3 ) }
[(5+2)•3+(6-1)•5]•[(8+6)•3- (4-1)•2]
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
[8+(4-2)]+[9-(3-1)]
54209 - 1349 - 10000 - 4000 - 6250
( 7 - 5 )  4 + 3  ( 4 - 2 ) + ( 8 - 2 )  5 - 2  ( 11 - 10 )
500 - { ( 6 - 1 )  8  4  3 + 16  ( 10 - 2 ) } - 5
9  [ 15  ( 6 - 1 ) - ( 9 - 3 ) 2 ]
(9+3)5-2(3-2)+(86)4+5
40  5 + 5  6 - 4  2 - 5  4 + 10  2
(7  2 5) 12   (8 : 4)  3  6 12 : 3
l) 2  4  5  4  7
m)  4   5  10  3  1
n)  3   4  2   5  2  4   3  1  2
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-51 de 117
v) ( 15 - 2 )  4 + 3  ( 6  3 ) - 18  ( 10 -1 )
w) -4  ( -5 - 9 ) - 8  ( -12 + 18 ) - 7  ( 30 - 45 )
x) -5  [ -12  ( 25 - 42 ) - 15  ( -7 - 8 ) ]
y) -25  -8 - 12  -5 + 36  6 - 5  -8
z) 21 + [ -51 - { -2  7 + ( -2 - -5 ) } ]
aa)
2  -4 + 17  -3 - 6  { 12 - 4  ( -36 + 48 ) }
bb)
{ -3  ( -45 - -56 ) - 14  (-2 - 3 ) }
cc)   27   1  24  2  7  10  20
dd)
-15  -4 + 15  -7 - 9  [ -12  -9 - 8  { -5 - ( -7 - 4 ) } ]
ee)
-320 - [ ( 200 - 100 ) - 560 - ( -650 - 350 )
11)
Si a  44  2   3  2  4  8  3   1   4  24  6 3
a) Determinar el opuesto Aditivo de a
12) La suma de seis enteros positivos consecutivos es 63. ¿ Cuál es el
producto de los dos números centrales?
13) Si a  3 , b  2 ; c  1 calcule
14)
  a   a  a  b  a  b  c    a  b
15) Usando propiedades de potencia en los números enteros determinar el
valor de
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
428 + 428 + 5  428 + 9  428
5  725 - 16  725 + 3  725 - 7  725
(-12) (-1)4 (-13) - (-10) (-1)0 - (-15)3(-14)7(-15)8
(-1-2)0 (-1-7)4 (-13)-6 - (-10)-2 (-1)-4 - (-15)-3(-14)-2(-15)-5
( 32  104)2  ( 275  10-3)6  ( 81-2  10-7)6
( 642  104)-5  ( 85  10-3)9  ( 32-7  10-7)-5
( 40 + 50 )70 - 20 - 30( 70 - 90) 30


   4    3
h)
2
i)   33   32
j)   33   32 2     167   22  1 42
2 2
3

16)

Si a  3  5  6   3  78  2  5   4 3. Determinar 2a  2a 2




17) Si p  2 2  43  5  2 2   14  4 2  23    4 2  2 4
18) Determinar el opuesto aditivo de
a) 3 p
b)
19)
a)
b)
c)
 2
3
p 2  p  32
La expresiones corresponde a
5  104  3  103  7  100
2  102  2  101  5  100
6  104  5  104  7  100
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-52 de 117
20)
Sean a  2   3  3  4  8  3   1   4  2 4  5


b   2 4  2  2  4  7  2   1  5  3 4  5 4

a
a) Determinar los valores de
21)
 
 b 1

1 2
Sean a  44  2   3  2   4  8  3   1   4  2 4  6 3 y
b  3 4  8  2  12  4  7  5   1   5  34  8 4
a)
22)

1 1
y
Determinar los valores de 2a
¿ Cual es la diferencia entre
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
 b2  a
16 42

3
y 162  4 2 ?
Capitulo 2-53 de 117
2.5 LOS NÚMEROS RACIONALES
Un mago tiene una máquina
maravillosa y se la describe a su amigo
Alfredo de la siguiente manera:
“Si colocas un número Entero en
una de las entradas, otro número Entero
en la segunda entrada de la máquina y después oprimes el
botón S, a la salida tendrás la Suma de los números que
introdujiste. Si oprimes el botón R obtendrás la diferencia de los
números introducidos. Si oprimes el botón M, la máquina te da
el producto de los números de entrada. Y ahora, ¡ he agregado
un nuevo botón D.”
Coloca 7 en una entrada y 8, y al presionar el botón
M, resulta el 42.
Ahora dime ¿ sin no supieras el segundo número,
pero si el resultado? ¿Que contestarías?
Que el valor buscado es ocho, para eso sirve mi
botón D para hallar valores a lo cual se denomina División
2.5.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO RACIONALES
Se define al conjunto de los Números Racionales Q
a los elementos del conjunto
 a

Q
/ a  Z , b  Z , b  0
 b

donde al término a se le denomina “ Numerador ” y
al término b “ Denominador ”
Ejemplo 51
Los siguientes valores son números racionales
1 4 3 6
, , ,
2 5 4 1
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-54 de 117
2.5.2 ORDEN EN LOS NÚMEROS RACIONALES
El conjunto
es un conjunto infinito y ordenado, es
decir, sus elementos pueden ubicarse en la recta numérica y
pueden ser comparados entre sí. Si consideramos dos números
Racionales estos cumplen con alguna de las siguientes dos
alternativas:
Son iguales.
Uno es mayor que el otro.
Para determinar cuál de dos racionales es el mayor,
conviene igualar los numeradores o denominadores mediante
una amplificación y comparar las fracciones resultantes.
Si los numeradores son iguales, la fracción menor es
la de mayor denominador. Si los denominadores son iguales la
mayor es la de mayor numerador.
2.5.3 EQUVALENCIA EN LOS NÚMEROS RACIONALES
Dos fracciones son equivalentes si:
a c
  ad  bc
b d
Ejemplo 52
Ordene las fracciones
ubíquelas en la recta numérica:
3
5
y
4
6 de menor a mayor y
Solución:
Debemos primero igualas los denominadores, para
ello
3
4
Amplifiquemos 5 por 6 y 6 por 5 , luego
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-55 de 117
3
18
4
20
5 se transforma en 30 y 6 se transforma en 30 , de
donde al identificar los denominadores que son iguales y
3 4

18  20 se tiene que 5 6
Téngase presente además que ambas fracciones son
menores que 1 .¿por qué?
figura
En la recta numérica se ubican según la siguiente
Ejemplo 53
1
3 7
Ordene las fracciones 4 , 5 y 2 de menor a mayor
y ubíquelas en la recta numérica:
Solución:
Debemos primero igualas los denominadores, para
ello
7
1
3
Amplifiquemos 4 por 5 , 5 por 4 y 2 por 10 , luego
se tiene las siguientes fracciones:
15 28
10
20 , 20 y 20 , claramente el orden de estas es:
10 15 28
1 3 7


 
20 20 20 , por lo tanto 2 4 5
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-56 de 117
Téngase presente además que
3
4
y
1
2
son
7
fracciones menores que 1 y que 5 es mayor que 1 . ¿ por qué
?
En la recta numérica se ubican según la siguiente
figura
Ejemplo 54
Ordene de menor a mayor los siguientes números:
 4;
3
5 2
1
; 0;  1; ; ; 
2
2 3
6
Solución:
Debemos primero igualas los denominadores, para
ello Amplifiquemos cada número de
tal modo que sus
denominadores sean iguales:
Los
 4;
3
5 2
1
; 0;  1; ; ; 
2
2 3
6 al ser amplificados,
quedan

24 9
6 15 4
1
; ; 0;  ;
; ; 
6 6
6 6 6
6
Luego ordenados de menor a mayor quedan:

24
6
1
4
9
15
     0


6
6
6
6
6
6
o bien
 4  1  
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
2
3
5
 0


6
3
2
2
Capitulo 2-57 de 117
Téngase presente que entre dos números enteros ,
no existe ningún otro valor, en cambio en los números
Racionales
En la recta numérica se ubican según la siguiente
figura
 4  1  
1
2
3
5
 0


6
3
2
2
Si a Ud. le cuenta mucho hallar el valor por el hay
que amplificar cada expresión , tenga presente las dos
siguientes reglas:
Propiedad 25
a
c
Sean b , d  Q , entonces
a c 
  
1.-  b d 
sí y sólo si a  d  b  c 
a c 
  
2.-  b d 
sí y sólo si a  d  b  c 
3 7
  
1.-  5 8 


 8  5
 7 
 3
35 
pues  24
Ejemplo 55
 3 8



5
9


2.-
Sr. Gonzalo Garrido C.




3

9

5


8








 40 
pues   27
Capitulo 2-58 de 117
2.5.4 AMPLIFICACIÓN DE UN NÚMERO RACIONAL
Amplificar un número racional
es multiplicar el
numerador y denominador por un mismo número entero no
nulo, es decir,
a an

,
b bn
nZ *
a
es la multiplicación de la fracción b por n
2.5.5 SIMPLIFICACIÓN DE UN NÚMERO RACIONAL
Simplificar un número racional
es dividir el
numerador y denominador por un mismo número entero no
nulo, es decir,
ma a
 ,
mb b
m
*
a
es la dividir la fracción b por m
Ejemplo 56
6
a) Amplificar la fracción 5 por 3
Solución:
Siguiendo la definición de amplificación se tiene que
6 6  3 18


5 5  3 15
48
b) Simplificar la fracción 18 por 2
Solución:
Siguiendo la definición de amplificación se tiene que
48 24  2 24


18
92
9
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-59 de 117
2.5.6 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Los números
siguiente manera
racionales
se
clasificación
de
la
2.5.6.1 Clasificación de las Fracciones
2.5.6.1.1
Fracción Propia
Una Fraccion Propia, es aquella fracción en que el
numerador es menor que el denominador, es decir,
a
donde a  b
b
Ejemplo 57
1
7
15
3
Las siguientes fracciones 2 ; 9 ; 27 ; 10 son Propias
2.5.6.1.2
Fracción Impropia
Una fracción Impropia, es aquella en
numerador es mayor que el denominador, es decir,
que
el
a
donde a  b
b
Ejemplo 58
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-60 de 117
4
7
13
Las siguientes fracciones 3 ; 5 ; 6 son Impropias
2.5.6.1.3
Números Mixtos
Un número Mixto, es aquel que se expresa a través
de una fracción y un número entero
E
p
p Eq  p
E 
q
q
q
Ejemplo 59
Determine el valor de
Solución
4
por lo tanto
4
4
2
3
2 4  3  2 14


3
3
3
2
14
3 equivale a 3
2.5.6.2 Clasificación de los Números Decimales
2.5.6.2.1
Decimal Finito
Es aquel número que tiene a la derecha de la coma
un número finito3 de dígitos
Ejemplo 60
Son decimales finitos los siguientes valores
0,37; 1; 78; 31,5342352 ; 2,1534; etc.
2.5.6.2.2
Decimales Infinitos
Estos números se caracterizan por tener a la derecha
de la coma un número infinito de dígitos
Ejemplo 61
Finito: Cantidad de Objetos que se pueden contar.
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-61 de 117
3
Son decimales finitos los siguientes valores
0,33333333...; 1; 784545454545...; 2,333333; etc.
Ahora bien, dentro de estos tipos de números
encontramos dos clases que son:
2.5.6.2.2.1 Decimal periódico
Es un Número decimal infinito tal que a la derecha de
la coma posee una combinación de número que se repite
infinitas veces hacia la derecha, dicho número se llama Periodo
y se indica con una barra horizontal sobre él.
Ejemplo 62
Son decimales periódicos los siguientes valores
1.- 0,66666.... equivale a 0, 6 ( el periodo es 6 )
2.- 20,378378378378.... equivale a
20, 378 ( el periodo es 378 )
2.5.6.2.2.2 Decimal Semi Periódico
Es un Número Decimal Infinito tal que a la derecha
de la coma y antes del periodo posee un número que no se
repite, llamado anti - periodo.
Ejemplo 63
Son decimales semi periódicos los siguientes valores
1.- El valor
0,37222...
periodo es 2 y el anti periodo es 37)
2.-
El
valor
equivale a 0,372 ( El
31,274560260260…equivale
a
31,2745602
2.5.7 CONVERSIÓN DE FRACCIONES
2.5.7.1 Transformación de Fracción a Decimal
Toda fracción es el cociente de la división indicada de
su numerador
entre su denominador, recodemos que en
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-62 de 117
a
fracción b
términos:
al realizar la división aparecen los siguientes

a
b

c
r
donde
a es el dividendo
b es el divisor
c es el cociente
r es el resto
Propiedad 26
Regla
Se divide el numerador por el denominador,
aproximando la división hasta que el cociente de exacto o hasta
que se repita en el cociente indefinidamente un dígito o un
grupo de dígitos.
Siguiendo esta regla se presentan dos casos
 Primero Caso
Si r  0 , para este caso se esta enfrente a una
fracción que corresponde a un número decimal finito ( o con
periodo cero )
Ejemplo 64
3
Hallar el decimal de la fracción 4
Solución
decir,
En este caso tan solo debemos hacer la división, es
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-63 de 117
3'

0
4

0,75
20
0
3
Luego la fracción 4 representa al número 0,75
 Segundo caso
En el caso que r  0 , Ud. podrá seguir dividiendo,
generalmente se esta en la presencia de un numero decimal
periódico
Ejemplo 65
17
Hallar el decimal de la fracción 9
Solución
decir
En este caso tan solo debemos hacer la división, es
17'

0
9

1,888...
80
80
80

17
Luego la fracción 9 representa al número periódico
1, 8
2.5.7.2 Transformación de Decimal a Fracción
2.5.7.2.1
Decimal Finito a Fracción
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-64 de 117
Se escribe el número formado por los dígitos de la
parte entera y decimal como numeradores y como denominador
una potencia de diez con tantos ceros como dígitos tenga la
parte decimal, luego se simplifica en el caso que corresponda
Ejemplo 66
0,73 
1,5 
73
100
15 3

10 2
0,007 
7
1000
0,0001 
2.5.7.2.2
1
10000
Decimal Infinito Periódico sin Anti Periodo
En el numerador
la diferencia entre el número
formado por los dígitos de la parte entera y el periodo, menos
el número formado por los dígitos de la parte entera, y como
denominador un número formado por tantos nueves como
dígitos tenga el periodo, luego se simplifica en el caso que
corresponda:
Ejemplo 67
34  3 31

9
9
42  0 42 14
0, 42 


99
99 33
30
3
1
0, 003 


999 999 333
3, 4 
2.5.7.2.3
Decimal Infinito Periódico con Anti Periodo
En el numerador
la diferencia entre el número
formado por los dígitos de la parte entera, anti periodo y
periodo, menos el número formado por los dígitos de la parte
entera, y anti periodo, y
como denominador un número
formado por tantos nueves como dígitos tenga el periodo,
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-65 de 117
seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el anti periodo,
luego se simplifica en el caso que corresponda
Ejemplo 68
312  31 281

90
90
132  1 122
61
0,123 


990
990 495
28  2 26 13
0,28 


90
90 45
3,12 
2.5.8 LAS OPERACIONES BINARIAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
2.5.8.1 La Adición
Se
define
la
conjunto de los racionales
operación
binaria
a c
para todo , 
b d
Adición
bajo
el
como
a c ad  bc
 
b d
bd
Ejemplo 69
Determine el valor de
Solución
3 2

4 7
3 2 3  7  4  2 21  8 29
 


4 7
47
28
28
3 2 29
 
4
7 28
Respuesta
Ejemplo 70
Solución
2 3

Determine el valor de 5 8
 2 3 (2)  8  5  3  16  15  1
 


5 8
58
40
40
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-66 de 117
 2 3 1
 
5
8 40
Respuesta
Observación
Para sumar fracciones que tienen el mismo
denominar, se conserva el denominador y se suman los
numeradores, es decir,
a c ac
 
b b
b
Para sumar más dos fracciones que tienen distintos
denominadores, la adición se efectúa calculando el “ Mínimo
Común Múltiplo” entre los Denominadores, es decir
Ejemplo 71
5 8

6
6
Determinar el valor de
Solución
Como los denominadores de las fracciones son
iguales , tan solo deberemos sumar los numeradores, es decir,
5 8 5  8 13
 

6 6
6
6
Ejemplo 72
3 3 1 5  7
   
Determinar el valor de 4 8 2 6 12
Solución
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.
m.c.m.( 4, 8, 2, 6, 12 ) 
 24 
luego,
3 3 1 5  7
   
4 8 2 6 12
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-67 de 117

3  6  3  3  1  12  5  2  7  1
24

18  9  12  10  7
24

18
24

6
8

3
4
por lo tanto
3 3 1 5  7 3
 
 

4 8 2 6 12 4
Ejemplo 73
3 2 1 5
  
Determinar el valor de 4 3 2 6
Solución
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.

m.c.m.( 4, 3, 2, 6, )  12

luego,
3 2 1 5
  
4 3 2 6

3  3  2  4  1 6  5  2
12

9  8  6  10
12

33 11

12
4
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-68 de 117
3 2 1 5 11
   
4
por lo tanto 4 3 2 6
2.5.8.2 La Resta
Se define la operación binaria Resta bajo el conjunto
de los racionales
para todo
a c
, 
b d
como
a c ad bc
 
b d
bd
Ejemplo 74
5 3

6 7
Determine el valor de
Solución:
5 3 5  7  3  6 35  18

 
67
42
6 7

53
42
5 3 53
 
Respuesta 6 7 42
Ejemplo 75

12
Determine el valor de 3

4
8
Solución:




12 4

3
8

12  8  4  3
38

96  12
24

108  54  27  9



24
2
12
6
Respuesta
Sr. Gonzalo Garrido C.
 12 4  9
 
3
8
2
Capitulo 2-69 de 117
Observación
Para restar fracciones que tienen el mismo
denominar, se conserva el denominador y se restan los
numeradores, al igual que en la suma, es decir,
a c ac
 
b b
b
Para restar más dos fracciones que tienen distintos
denominadores, la resta se efectúa calculando el “ Mínimo
Común Múltiplo” entre los Denominadores
Ejemplo 76
15 12

7
Determinar el valor de 7
Solución:
Como los denominadores de las fracciones son
iguales , tan solo deberemos sumar los numeradores, es decir,
15 12 15  12 3



7 7
7
7
Ejemplo 77
1 4 1 1
  
Determinar el valor de 4 3 5 6
Solución:
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.
m.c.m.( 4, 3, 5, 6 ) 
 60 
luego,
1 4 1 1
  
4 3 5 6
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-70 de 117

1  15  4  20  1  12  1  10
60

15  80  12  10
60



87
60

29
20
por lo tanto
1 4 1 1  29
   
4 3 5 6
20
Ejemplo 78
Determinar el valor de
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2
               4   
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3
Solución:
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2
               4   
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3

1  40  12  5    12  35  1 1   24  3  4 

   
  

4 
30
6
   20  2 3  


1 33    23  1 1  17
  
  
4 30   20  2 3  6

1 33  23 1 1  17


  
4 30  20 2 3  6

1 33 138 60  40 17


  6
4 30 
120

1 33 238 17



4 30 120 6
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-71 de 117

1 11 119 17
 

4 10 60
6

15  66  119  170
60

238
60

119
30
luego,
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2  119
               4    
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3  30
2.5.8.3 La Multiplicación en Q
Se define la operación binaria de Multiplicación entre
dos fracciones como
a
c ac


b
d bd ,
a, b, c, d 
y b  0, d  0
Ejemplo 79
5
7

3
Determinar el valor de 4
Solución
Tan solo se debe multiplicar los numeradores con los
denominadores, es decir,
5 7 5  7 35
 


4 3 4  3 12
Ejemplo 80
1 1 7 3
  
Determinar el valor de 4 3 2 5
Solución
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-72 de 117
1 1 7 3 1 1  7  3
21
7
   


4 3 2 5 4  3  2  5 120 40
por lo tanto
1 1 7 3 7
   
4 3 2 5 40
Ejemplo 81
Determinar el valor de
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4

6                4    
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3

Solución
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4

6                4    
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3

12 
 18  2   28  1   20  4  10  2  


   
    4  
30 
 3   8   5  20  3  
 16   29   20   6  2   120  12 
      
 

 3   8   5  20  3   30 

464   120 2   108

 

24  100 3   30 

58   6 2   18 

  
3  5 3   5 

58   18  10  18 

 
3  15   5 

58 8 18
 
3 15 5

20  8  54 66 22


15
15
5
luego,
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-73 de 117
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4  22

6                4     
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3 5 .

Ejemplo 82
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
Determine el valor de  5
Solución
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
 5
 55  3 7 8  6 3 6  5 



7
8
6 
 5
 28 62 23 
 
 7
8
6
 5
 672  930  460

7
120


 1142

7
 120 

571
7
60

3997
60
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
luego,  5
2.5.8.4 La División en Q
Se define la operación binaria de División entre dos
fracciones como
a c a
d
 

*
b d b
c , a, b  , y c, d  
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-74 de 117
observación
a c

b
d también se puede expresar de la
La división
a
b
c
d
siguiente forma
Ejemplo 83
15
6

7
Determinar el valor de 4
Solución
Para realizar la división debe multiplicar la primera
fracción por la segunda invertida, es decir,
15
6 15 7 15  7 105 35

  


4
7 4 6 46
24
8
Ejemplo 84
 2 8  4 1
     
Determinar el valor de  7 3   3 5 
Solución
 2 8  4 1
     
 7 3  3 5
 16   4 
    
 21  15 

16 15 4 5 20

  
21 4 7 1
7
por lo tanto
Sr. Gonzalo Garrido C.
 2 8   4 1  20
      
 7 3  3 5 7
Capitulo 2-75 de 117
Ejemplo 85
3 2 1 5
   
4
3 2 6
Determinar el valor de
Solución
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
3 2 1 5
   
4 3 2 6

3 2 35
 

4 3  6 

3 2 8
 
4 3 6

3 2 6
 
4 3 8

3 1 1
 
4 1 2

3 1

4 2

32
4

1
4
3 2 1 5 1
    
4
3 2 6 4
luego,
Ejemplo 86
1 1

2 3
1 1

Determinar el valor de 5 6
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-76 de 117
Solución
Para este caso, se debe calcular el
denominador de la fracción “mayor”.
numerador y
1 1

2 3
1 1

5 6
3 2
1
 6  6
65
1
1 30 30
 

6 5
30
30 6 1
1 1

2 3 5
1 1

luego, 5 6
Ejemplo 87
decimales
Simplificar
1 3 1
 
2 5 4
4 9
1 
5 20 , reduciendo loa fracciones a
Solución
1 3 1
 
2 5 4
4 9
1 
5 20

0,5  0,6  0,25
1,8  0,45

1,35
1,35  1
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-77 de 117
Luego
1 3 1
 
2 5 4 1
4 9
1 
5 20
Ejemplo 88
decimales
1
7 1
  3
4
 2 5
7
4 3
  3
10 , reduciendo loa fracciones a
Simplificar  5 2 
Solución
1
7 1
  3
4
 2 5
7
4 3
  3
 5 2  10
 7 1  13
  
2 5 4
 
 4 3  37
  
 5 2  10

3,5  0,2  3,25 
0,8  1,5  3,7
3,7  3,25
0.45

2,3  3,7
6  0,075
1
7 1
  3
4
 2 5
 0,075
7
4 3
  3
10
por lo tanto  5 2 
Ejemplo 89
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-78 de 117
Determinar el decimal que representa la expresión
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
Solución
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
9 11 25
 
2
3 100

6 1
3
9 11 1
 
 2 3 4
6 1
3
54  44  3
2

5
3
13
 2
5
13 3 39
  
2 5 10
3
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
al
Luego la expresión representa
decimal 3,9 .
Ejemplo 90
1
1
2
Determinar el valor de
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
3
1
4
Capitulo 2-79 de 117
Solución
1
1
1
2
3
1
 1
1
12  1
4
2
1
 1
1
13
4
2
 1
1
4
1
2
4
13
 1
1
26  4
13
 1
1
30
13
 1
13 30  13 43


30
30
30
1
1
2
por lo tanto

1
3
43
30
1
4
Ejemplo 91 f)
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-80 de 117
1
1
1
2
3
Determinar el valor de
1
2
1
2
Solución:
arriba”,
Para este caso, se debe desarrollar de “abajo hacia
1
1
1
2
1
3
1
2
2
1
 1
1
2
1
4 1
2
3
1
 1
1
2
3
1
3
2
1
 1
1
2
3
2
3
1
 1
2
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
92
3
Capitulo 2-81 de 117
1
 1
2
1
7
3
1
 1
2
3
7
 1
1
14  3
7
 1
1
17
7
 1
7 17  7 24


17
17
17
1
1
2
3
24
17
1
2
Luego,
Propiedad 27

1
1
2
Elemento Inverso Multiplicativo
*
Todo número del conjunto de los números Q , posee
su Inverso Multiplicativo, es decir,
a
a
 
 
Para todo número racional  b  , existe  b 
1
b
 
a
racional tal que
a
  
b
Sr. Gonzalo Garrido C.
a
 
b
1
a
  
b
1
a
   1
b
Capitulo 2-82 de 117
Ejemplo 92
3
7
a) Para el número 7 , existe su inverso que es 3 , en efecto
 3  3
  
7 7
1
 3   7  3  7 21
    

1
 7   3  7  3 21
4
5
b) Para el número 5 , existe su inverso que es  4 , en efecto
 4  4



 5   5 
1
  4   5   4  5  20


1


 5    4  5  4  20
1
8


8 existe su inverso que es 1 ,en efecto
c) Para el número
1
 1  1
 1   8   1 8  8

1
         
 8  8
 8   1  8  1  8
Observación
El conjunto de los números racionales Q bajo la
operación binaria Multiplicación, es decir (Q,+)forma un Grupo
Abeliano
La propiedad Distributiva nos permite relacionar
ambas operaciones binarias de modo que para todo elemento
del conjunto de los números Q se cumple que,
a  c e  a c  a e 
             
b d f  b d  b f 
Ejemplo 93
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
Determinar el valor de  4
1
Solución
Resolvamos primero los paréntesis
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
4
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
Capitulo 2-83 de 117
1
7
 15
 2  3

  

6
 4 
4
1
 35 
5
   
8
 4

8 4

35 5

8  28 36

35
35
1
1
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
luego,  4
1

36
35
Ejemplo 94
1
1
  2  1  4  1 
         2  1 
 3   3  
 3 5

Determinar el valor de 
Solución
1
1
  2  1  4  1 
         2  1 
 3   3  
 3 5


1
1
  2  4   1 
2


     
 
 3  3  
 15 


 2 4
  
 3 3
11
2
 
 15 
1
 2 4  15
  
3 3 2
 8  15 8 2
16
 
 

 9  2 9 15 135
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-84 de 117
1
por lo tanto
1
  2  1  4  1 
         2  1   16
 3   3  
135
 3 5


Ejemplo 95
Si X  2  5  1  3  2  6  7  6  1  2  6 . Determinar
el inverso multiplicativo de 2 X
Solución
Para este caso, se debe determinar el valor de X
X  2  5  1  3   4  7  6   1  6
 2  5  1  12  7  6  6
 2  5  26  6
 2  130  6
 122
2 X  244
Luego, X  122 , reemplazando en 2 X
Por lo tanto su inverso multiplicativo es
se tiene que

1
244
Ejemplo 96
1 3
2
x
3
4
x
3
2
x si
Reducir la fracción
Solución
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-85 de 117
Reemplazando el valor de
x
3
2 en la fracción
1 3
2
x
4
3
x
se tiene que
1 3
2
x
4
3
x






3

2
1 3
2
3
4
3
2
2
3
2

8
2
3
3
2
3
2

2 98
3
2
3 2

2 17
3
2
3 6

2 17
2
51  12
34
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-86 de 117

2
39
68

34
39
1 3
68

2
39
x
3
4
x
3
2.
x
por lo tanto
si
Ejemplo 97
1
1  2 1  2 3
X  5         
2  3 2 5 2 y
Si
1 5  1 3

Y   4     1   
2 3  2 5

1
Dterminar el valor exacto
2
X
2
 1  1
Y
de 2
Solución
Calculo del valor X
1
1 2 1 2 3
5       
2  3 2 5 2
1
1  4  3   4  15 
 5   
 

2  6   10 
1
1  1   19 
 5       
2  6   10 
 5 
1 6 19
 
2 1 10
 5 
57
10

 50  57
7

10
10
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-87 de 117
X 
por lo tanto
7
10
Calculo del valor Y
1 5  1 3

 4     1   
2 3  2 5

1
 24  3  10   10  5  6 

 

2
2

 

 11  9 
    
 2  2

1
1
11 2 11 9 99
   
2 9 2 2
4
por lo tanto
Y
99
4
Reemplazando los valores de:
7
99
X2
2
X 
Y
 1  1
10 y
4 en la expresión 2 Y
se tiene que:
X2
2
 1  1
2 Y
2
7
 
2
10
  
1
1
2
 99 
 
 4
49
2
 100 
1
4
2
99
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-88 de 117

49 1
99
  2  1
100 2
4

49 99
49  9900  200  9651

1 

200 2
200
200
X2
2
9651
 1  1  
200
Y
por lo tanto 2
Ejemplo 98
Transformar a fracciones y determinar el valor exacto
de la expresión
0, 36  0,045  1,5 0,3
0, 3
Solución
Por hallar las fracciones de los número decimales
periódicos
36
0, 36 corresponde a 99 , simplificando por 9 se tiene
4
11 .
0,045 corresponde
45
a 990 , simplificando por 9
y
1
luego por 5 se tiene 22 ..
3
1
0, 3 corresponde a 9 , simplificando por 9 se tiene 3 .
Por hallar las fracciones de los número decimales no
periódicos
1,5 corresponde
15
a 10 , simplificando por 5 se tiene
3
2.
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-89 de 117
3
0,3 corresponde a 10 .
Reemplazando se tiene :
0, 36  0,045  1,5 0,3
0, 3
1 3 3
4
11  22  2   10

 
1
3
 8  1  33 3
 22   10

 
1
3
 42  3
 22   10
  
1
3
 21 3
21 10
7 10
70


 11  10
  
 11 3  11 1  11
1
1
1
1
3
3
3
3

70 3 210
 
11 1
11
0, 36  0,045  1,5 0,3
Luego se tiene que
Sr. Gonzalo Garrido C.
0, 3

210
11
Capitulo 2-90 de 117
2.5.9 POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO
2.5.9.1.1
Propiedades de Potencia en
Propiedad 28
Toda Potencia de exponente cero es igual a 1,
siempre que la base sea distinta de cero
0
a
   1 a, b 
b
y b0
Ejemplo 99
0
0
 1  3 
    3
Determinar el valor de  5   4 
Solución
 1  3 
      3  1 1  3  0  3  0
 5   4
0
0
Ejemplo 100
 1 0  3 0 0 
      1 
 2   2 



1
4


2

Determinar el valor de 
0
Solución
 1 0  3 0 0 
      1 
 2   2 



1
4


2


0
0



1  1  1




 8 1 

 2 

Sr. Gonzalo Garrido C.
0
1
9
2


0
0

2 2

  1     

 9 9  1
Capitulo 2-91 de 117
0
 1 0  3 0 0 
      1 
 2   2 
 1


1
4


2

por lo tanto, 
Ejemplo 101
1
1
b
2 y
3 determinar el valor de
Sabiendo que
la siguiente expresión a 0  a  b  b 0  2
a
Solución
Reemplazando los valores de
a
1
1
b
2 y
3 nos
queda:
a0  a  b  b0  2
0
0
 1 1  1  1
          2
2  3  3
2
 1
1
6  1  6  12 11
1 2 

6
6
6
por lo tanto
a0  a  b  b0  2 
11
6
Propiedad 29
Para multiplicar potencias de igual base se conserva
la base y se suman sus exponentes
n
m
a a
a
      
b b
b
Sr. Gonzalo Garrido C.
nm
a, b 
y b  0 , n, m  
Capitulo 2-92 de 117
Ejemplo 102
2
3 3
   
Determinar el valor de  4   4 
3
Solución
2
3 3
   
4 4
3
 
4
23
3
 
4
5
3

3 3 3 3 3
   
4 4 4 4 4

243
1024
2
3
243
 3  3
    
1024
luego,  4   4 
Ejemplo 103
Determinar el valor de
1
0
2
3
1
2
1
0
2
3
1
2
 4  4  1  1
 3  3
             
 2  2  2  2
 2  2
Solución
 4  4  1  1
 3  3
             
 2  2  2  2
 2  2
1 0
 4
 
 2
Sr. Gonzalo Garrido C.
 1
  
 2
23
1 2
 3
 
 2
Capitulo 2-93 de 117
1
1
 4  1
 3
        
 2  2
 2

1
4 2 2 12  12  4
  
2 1 3
6

2
3
por lo tanto
1
 4
 
 2
0
 4  1
    
 2  2
2
3
1
 1
 3
    
 2
 2
 3
 
 2
2

2
3.
Ejemplo 104
Sabiendo que

siguiente expresión a
3
a
1
4
determinar el valor de las
 a  4  a  a0  a2
2
4

1
Solución
Al evaluar la expresión, se tiene que:
a
3
 a2  4  a4  a0  a2

1
4
0
2
  1  3  1  2
 1  1  1 
         4             
 4   4 
 4   4   4  

1
  1  3 2
 1  1  1  1
 1   1 
   
 4                 1       
 4 
 4  4  4  4
 4   4  

  1  1
1
1
     4 
1 
 4 
256
16 

4
1

  4 
1 
256
16 

1
1

  4 
1 
64
16 

Sr. Gonzalo Garrido C.
1
1
1
1
Capitulo 2-94 de 117
  256 1  64  4 


64


1
1
  317 
64

 
317
 64 
por
lo
a
tanto,
3
 a2  4  a4  a0  a2

1

64
317
si
1
a
4.
Propiedad 30
Para multiplicar potencias de igual exponente se
multiplican las bases y se conserva el exponente
n
n
a  c 
a c 
       
b d 
b d 
n
a, b, c, d , n 
y b  0, d  0
Ejemplo 105
2
4 6
   
Determinar el valor de  5   7 
2
Solución
2
4 6
   
5 7
4 6
  
5 7
 24 
 
 35 

2
2
2
24 24
576


35 35 1225
2
2
576
 4 6
    
1225
luego,  5   7 
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-95 de 117
Ejemplo 106
2
2
3
3
 5   2   3   4  16
            
3 
 2   5   4   2 
Determinar el valor de
Solución
2
2
3
3
 5   2   3   4  16
            
3 
 2   5   4   2 
2
3
3
3
 5 2   3   4   3   16 
            
 2 5  4  2  4  3 
2
3
3
 10   3 4   3   16 
           
 10   4 2   4   3 
3
3
 12   3   16 
 1         
 8  4  3 
2
3
 3   3   3   3   16 
2
 1               
 2  4  4  4  3 
 3   3   3   9   16 
 1           
 2   2   2   64   3 
 1

27 3

8 4
8  27  6
13

8
8
por lo tanto
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
2
3
3
13
 5   2   3   4  16
              
3 
8
 2   5   4   2 
Capitulo 2-96 de 117
Propiedad 31
Para elevar una potencia a un exponente se conserva
la base y se multiplican los exponentes
n
mn
 a  m 
a

 
  
b
 b  
a, b, c, d , n, m 
y b  0, d  0
Ejemplo 107
 5  2 
  
 4  
Determinar el valor de 
3
Solución
 5  2 
  
 4  
5
 
4
3
23
6
5 5 5 5 5 5 5
          
 4 4 4 4 4 4 4

15625
4096
3
 5  2 
15625
   
4096
 4  
luego, 
Ejemplo 108
2
 3  1 3   2  2  2 
2      3    
  2     3  
Determinar el valor de 
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
Capitulo 2-97 de 117
Solución
2
 3  1 3   2  2  2 
2      3    
  2     3  
1
2
 3  1 3   2  2  2 
 2      3    
  2     3  
2
32
1
 
2
32
3
2 1
2
 
3
6
1
2
 2 6     32   
2
3
1
2 1
2
2
6
 1  2
  2    3  
6
2
 2   3   1  1  1  1  0
2
 3  1 3   2  2  2 
2      3    
  2     3  
luego, 
1
0
Propiedad 32
Para elevar una potencia a un exponente se conserva
la base y se multiplican los exponentes
n
an
a
   n para todo
b
b
a, b, c, d , n 
y b0
Ejemplo 109
6
 
Determinar el valor de  8 
2
Solución
2
6
9
6 2 36
   2 

8
64 16
 
8
2
9
6
  
16
luego,  8 
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-98 de 117
Ejemplo 110
2



 1 

  1

 1 

 2 


Determinar el valor de 
1
Solución
1
2



 1 

  1

 1 

1
 2 
  22  1 1  4  11  31 
3




2



 1 

  1

 1 

 2 


por lo tanto 
1

1
3
Ejemplo 111
3


3 1
 3  

 3


 3  1 3  1  2 
2     
 2   3  
Determinar el valor de 
2
Solución
3


3 1
 3  

 3


 3  1 3  1  2 
2     
 2   3  

Sr. Gonzalo Garrido C.
2
Capitulo 2-99 de 117
6
6
1
3  
6 1
3

 3
1
36

6
4 
6
4 
1 1
1 1
34
1
26      
26  6  4

1

1  81
2 3
 2  3
34
6
2
3


3 1
 3  

3

  81
 3  1 3  1  2 
2     
 2   3  
luego, 
Ejemplo 112
2
3 1 1 3 1 3
     
4
5 6 4 2 4
Determinar el valor de
Solución
2
3 1 1 3 1 3
     
4 5 6 4 2 4

3  6  5  3 12 3


 
4  30  4 2 2 4

3 1 3 1 3

  
4 30 4 4 4

3
3
1 4 3 1 1 90  3  40
53

   
 

4 120 4 3 4 40 3
120
120
2
3  1 1  3  1  3 53
      
4 120
Luego 4  5 6  4  2 
Ejemplo 113
Usando las propiedades de potencia, resuelva la
siguiente operación aritmética:
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-100 de 117

  3  2  1 3   3  2  1  2  
             
  7   2     7   2    
  3  1  1  2  
 
3
 
      
 
7
  7   2   
 

2
4 

3
6 

5
7 
1
1 

1
1 
5
3 
1
Solución

  3  2  1 3   3  2  1  2  
             
  7   2     7   2    
  3  1  1  2  
 
3
 
      
 
7
  7   2   
 

 9 1   9 1   10 28 
 49  8   49  4   3  6 




 7  1   3   53 
 3 4   7  

 9   9   20  28 

 
 

  239    196    6 
 7   3   2 
 12   7  

2
4 

3
6 

5
7 
1
1 

1
1 
5
3 
1
1
1
 48 
 9  12   9  7   6 




 239 7  196 3   2 


1
1
 9  12  196 3 
 9  12  196 3   48
1
 4


  



 239 7  9  7 
 239 7   9  7  12 
12  196 3  1  7056  1 28224  11711 39935

 
 

 239 49  4 11711 4
46844
46844
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-101 de 117
luego,

  3  2  1 3   3  2  1  2  
             
  7   2     7   2    
  3  1  1  2  
 
3
 
      
 
7
  7   2   
 

2
4 

3
6 

5
7 
1
1 

1
1 
5
3 
1

39935
46844
2.5.9.2 Potencias de base Diez, un caso Particular
Se
entiende por una
10  10 10 10 10 donde n  .
potencia
en
base
10
a
n
se
n
n  factores
Al aplicar la definición para distintos valores de
tiene que:
Potencia
10
n
Valor
1
1

n
10 10 10 10  10
n  factores
0,000001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
106
105
104
103
102
101
10 0
101
10 2
103
10 4
10 5
10 6

10 n
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
10  10
 10
 10

10




n
n  veces
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-102 de 117
Recordemos que por ser una potencia, se rige bajo
las Propiedades de Potencias
Ejemplo 114
102 103 104


Determinar el valor de
101 102 103
Solución
102 103 104


101 102 103
 1021  1032  1043
 101  101  101  10
Luego
102 103 104


 10
101 102 103
Ejemplo 115
Determinar el valor de 2  103  5  102  100
Solución
2  103  5  102  100
 2 1000  5 100  1
 2000  500  1
 1501
Luego 2 103  5 102  100  1501
Ejemplo 116
Determinar el valor de 102  100  5
Solución
102  100  5
 100  1  5  104
Luego 102  100  5  104
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-103 de 117
Ejemplo 117
102 
Determinar el valor de
1
10
10

2
101
Solución
102 
1
10
10

2
101

10 10

2 101
 5  100  105
Luego
1
10  105
1
102 
10

2
10
Ejemplo 118
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
0, 25
Solución
0, 25

25
100

1
4
luego la fraccion que representa a 0, 25 es
1
4
Ejemplo 119
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
1, 425
Solución
1, 425
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-104 de 117

1425 285 57


1000 200 40
luego la fraccion que representa a 1, 425 es
57
40
Ejemplo 120
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
31,34
Solución
31,34

3134 1567

100
50
luego la fraccion que representa a 31,34 es
1567
50
Ejemplo 121
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
6, 6  0,1  2,5
Solución
6, 6  0,1  2,5

66 1 25
 
10 10 10

66  1  25
10

42
10

21
5
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-105 de 117
luego la fraccion que representa a 6, 6  0,1  2,5 es
21
5
Ejemplo 122
Una persona necesita comprar Aceite para el motor
de su auto, sabiendo que un litro son 103 cc ¿ Cuántos litros
deberá comprar para llenar el estanque de su auto, el cual hace
5500 cc?
Solución
La cantidad de litros que la persona debera comprar
para llenar el estanque esat dada por
5500 cc
1litro  5,5 litro
1000 cc
La persoan debera comprar 5, 5 litros para llenar el
estanque de su auto.
2.5.9.3 Descomposición de Naturales en sumandos Base Diez
2.5.9.3.1
Descoposición de un número con digito
Sea a 
donde a posee un solo dígito entonces
a  a0 10 donde a0 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9
0
2.5.9.3.2
Descoposición de un número de dos digitos
Sea a 
donde a posee dos dígito entonces
a  a1 10  a0 100 donde a0 , a1 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1
2.5.9.3.3
Descoposición de un número de tres digitos
Sea a 
a
posee tres dígito entonces
a  a2 10  a1 10  a0 10 donde a0 , a1, a2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
2
Sr. Gonzalo Garrido C.
donde
1
0
Capitulo 2-106 de 117
2.5.9.3.4
Descoposición de un número de n digitos
Sea a 
donde
a
a  an1 10n1 
donde a0 ,
posee n dígito entonces
 a2 102  a1 101  a0 100
, an1 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Ejemplo 123
Descomponer en sumas de potencias de diez los siguientes
números 5 , 49 , 86 , 143 , 254 y 6584256
Solución
número
Las siguientes descomposiciones
corresponden al
5  5 100
49  4 10 1 9 100
86  8 10 1 6 100
143  110 2 4 10 1 3 100
254  2 10 2 5 10 1 4 100
6584256  6 10 6 5 10 5 8 104  4 10 3 2 10 2 5 101  6 10 0
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-107 de 117
2.5.9.4 Ejercicios Propuestos
23) Resuelva
2 5

3 3
3 5

b)
9 2
2 1

1
c)
9 45
3 8

d)
4 5
3 4 6
 
e)
2 9 8
3 2 5
f)
  
5 3 6
3 4 1 16
g) 1    
5 3 2 10
 1  1    1 2  4 
h) 3   1         3
 4  4    2 5  3 
1
2
i) 1  2
3
3
2
1
3
j)
5
5
1
3
k)
4
9
1 2

l) 4 3
1
1
12
3   1  4  1 2  4

m)  
           3 
4  5   3  5 7  3

1
n) 1 
1
1
1
1
2
1  1  1   2   3  1 
3
1
2

2

7
2  2  3
o)
1
7
4
2
3
2
a)
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-108 de 117
24)
¿ Cuál es la expresión mayor?
25)
Resuelva
1 1
3 8
  
3 2
4 15
3
3
7
5
10
5
7
4 
16 12
4
13
8  6
27
18
7
5
5 6
20
14
9  29
7 
35
40
5
1   3  11

 7  8   4 

21 3   5 15 

6  11 12 
4  
 
25  20 5 
a) 2
b)
c)
d)
e)
f)
g)
 1 5   5
1 
4 
 3 6   8
 3
5  2
2 
 9 8  2 6    3 3  1 4 
 


h)  5     6  5 
i)
26)
a)
b)
c)
d)
e)
27)
Ordene de mayor a menor
6
9
107
,
,
7
10
120
1
15
50
2 ,
1 ,
3
9
30
 1  5 5 10
, ,
3
9 30
1
15
52
6  2 , 1 , 1
3
9
18
1
16
52
4  2 , 1 , 1
3
9
102
Transformar a decimal
1
a) 3
1
b) 6
11
c) 4
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-109 de 117
17
d) 22
28)
Tranformar a fracción
a) 0,346
b) 0,16
c) 3,141
d) 3,141
e) 0, 6
f) 0,004
29)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
30)
a)
b)
c)
31)
a)
b)
c)
32)
a)
Simplifique
72
198
34
68
6550
255
17
51
900
44
25
1015
Descoponer en sumandos de potencias de diez
256
7548
27
Determinar el numero que representa
8  102  5  100
5  103  5  101  2  102
7  104  9  103  2  102  1  101  8  100
Resuelva
 1 3 1  1 
 2      
 4  4 12  12
  1 1  25
0,15    2    
  4 5 4 
b)
 15
1 

  0,16  0,1   0,2   
10  

c)  2
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-110 de 117
 15  1,01

1  


 0, 6  0,1   0,2 

2
1, 0  


d)
33)
Calcular el valor de A si
2
A
2
1
2
a)
b)
34)
a)
b)
c)
35)
a)
b)
c)
d)
36)
37)
1
1
2
1 1 1 1 1 1 
 :  :  : 
2 4   3 9   8 16 
A 
1
4
1
4
1
2
3
3
1
1
Si a   ;  b  : c  . Determinar el valor de
6
4
4
2a  b  c
3a  b
c
cb ab

a
b
3
3
1
Si p  2 ; q   ; r 
calcular
5
4
2
2  p  3  q : r
1:  p  r
 p  q  r: p
 p  q :  p  q
1
1

 a  a
1
a
Si a  1 ¿ cuál es el valor de
?
1
0,35   0,5
1
5

Calcular
0,1
2
2
38) ¿ Cual(es) de las siguientes sumas es (son) igual(es) a 1 ?
a) 0, 36  0, 64
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-111 de 117
b) 0,18  0, 81
c) 0,15  0, 85
39)
¿Cuáles de las siguientes fracciones está(n) entre
5
7
y
?
8
9
3
4
3
b)
5
2
c)
3
a)
40)
El valor de 0, 5  0,25 es igual a El valor de 0, 62  0, 62
41)
El valor de 2,323  0,001 900 2,49  2
42)
Determinar la fracción equivalente a 0,054
43)
¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a la fracción
3
?
4
3
4
b) 2  3 / 2  4
a) 1
c) 0, 75
15
20
1 5
e) 2 
4 4
d)
44)
45)
46)
47)
48)
1 3

El valor de 3 6 es
1 6

5 15
3 1

4
8 es
El valor de
5 1

8 4
1
1
2 4
3
3 es
El valor de
1
1
6 2
4
4
1
1
x  6y
Al reemplazar x  e y 
en la expresión
obtenemos
3
9
6x  y
1
1
Calcular 1 
si A 
1
4
1
1 A
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-112 de 117
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
1 1 4 1


36
4 es
2
4
El valor de
:
2
1
3
2
36 a 25c 27 a


Calcular
si a  1 , b  2 y c  4
4b
5b
9b
2 3
1 
3 5
Determinar el valor de
1
 0,01
5


 



1  
1 

: 1
Calcular 1 
 1 1   1 1 

 

2 
3











1
Calcular 1 

1
 1

1 

1

1 
1 

2 

ab
a
1
1
1

ab
Si a 
y b
calcular
aa  b 
2
4
1
1  ab
1 1
  
1
b a
Si a  2 y b 
calcular
ab
3
ba
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-113 de 117
2.6 LOS NÚMEROS IRRACIONALES I
El conjunto de los irracionales esta formado por los
elementos decimales no periódicos, es decir, son aquellos en
cuyo desarrollo no aparece un grupo de cifras que se repite,
estos números no se pueden transformar a fracción .
I
Sr. Gonzalo Garrido C.

2, 3, 5, 7,
e,  ,

Capitulo 2-114 de 117
2.7 LOS NÚMEROS REALES
Si se une el conjunto de los números racionales (
fraccionarios) con el conjunto de los números Irracionales se
obtiene el conjunto de los números reales que se de nota por
IR es decir
IR  Q  I
Definición 18 Definición de Cuerpo
Si en un conjunto se definen dos operaciones binarias
y estas cumplen las propiedades
Clausura
Asociativa
Elemento Opuesto
Elemento Inverso
Conmutativa
Distributiva
Se dice que el conjunto es un Cuerpo
Usando la definición anterior podemos decir que
Se dice que el conjunto de los Números Reales
bajo las operaciones binarias Adición
forma un Cuerpo.
Sr. Gonzalo Garrido C.
y Producto
 IR ;  ;  
Capitulo 2-115 de 117
2.7.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2.7.1.1 Diagrama de Venn Euler de los conjuntos Numéricos
2.7.2 RECTA NUMÉRICA
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-116 de 117
3
Tabla de Contenidos
1
Conjunto ........................................................................................ 1-2
1.1
Operacion Binaria ............................................................................... 1-3
1.1.1
Operaciones Binarias ..................................................................... 1-3
1.1.2
Propiedades de las Operaciones Binarias Basicas ............................... 1-5
2
Los Conjuntos Numéricos ................................................................. 2-8
*
2.1
Los Números Naturales
.................................................................. 2-9
2.2
Números Naturales Cardinales
........................................................ 2-11
2.2.1
Orden en los Números Naturales Cardinales
.............................. 2-11
2.2.2
Algunos Números de Importancia .................................................. 2-12
2.2.3
Divisibilidad de los Números ......................................................... 2-21
2.2.4
Descomposición de un Número en sus Factores Primos .................... 2-25
2.2.5
Regla practica para descomponer a un número en factores primos. ... 2-25
2.3
Los Números Enteros  ...................................................................... 2-28
2.3.1
El conjunto de los números enteros
........................................... 2-28
2.3.2
Representación Gráfica de
....................................................... 2-28
2.3.3
Numros en la Recta Numerica ...................................................... 2-29
2.3.4
El Valor Absoluto o Módulo de un Número Entero ............................ 2-30
2.3.5
Operaciones Binaria en los Numeros Enteros .................................. 2-31
2.3.6
Propiedades de la Operación Binaria Adición en
.......................... 2-33
2.3.7
Potencias de exponente y base Entera ........................................... 2-38
2.3.8
Potencia de Base Diez .................................................................. 2-40
2.4
Primer Taller del Alumno .................................................................... 2-51
2.5
Los Números Racionales
................................................................ 2-54
2.5.1
El conjunto de los Número Racionales
2.5.2
Orden en los Números Racionales
2.5.3
Equvalencia en los Números Racionales
2.5.4
2.5.5
2.5.6
2.5.7
2.5.8
2.5.9
2.6
Los
2.7
Los
2.7.1
2.7.2
3
....................................... 2-54
............................................. 2-55
..................................... 2-55
Amplificación de un Número Racional ............................................. 2-59
Simplificación de un Número Racional ............................................ 2-59
Clasificación de los Números Racionales ......................................... 2-60
Conversión de Fracciones ............................................................. 2-62
Las operaciones binarias en el conjunto de los números Racionales ... 2-66
Potencias de base racional y exponente entero ............................... 2-91
Números Irracionales I .............................................................. 2-114
Números Reales ........................................................................ 2-115
Representación gráfica ............................................................... 2-116
Recta Numérica......................................................................... 2-116
Tabla de Contenidos .................................................................... 3-117
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 3-117 de 117