Ejercicios de Autocorrelación - Departamento de Economía de las

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía de las
Instituciones, Estadística Económica
Y Econometría
Ejercicios de Autocorrelación
CURSO 2007-2008
1. En el modelo de regresión lineal y t = µ + u t donde u t = ε t + ε t −1 y ε t ∼ i.i.d. N(0,σ ε2 ) .
Deduzca la expresión de la matriz de varianzas y covarianzas del término de perturbación ut.
Considerando las propiedades deseables de un estimador, proponga un método de estimación
del parámetro del modelo.
2. Suponga que Yt y Xt están relacionadas por Yt = βX t + u t y u t ∼ i.i.d. N(0,σ u2 ) . Sin
embargo, en lugar de disponer de las observaciones originales, contamos con las siguientes
variables:
1
2
1
2
Yt * = Yt −2 + Yt ; X t* = X t − 2 + X t
3
3
3
3
Demostrar que las nuevas variables se encuentran relacionadas por la ecuación
Yt* = βX t* + u t* , donde β es el mismo que el del modelo original y u t* es la nueva
perturbación. Especificar completamente la distribución de u t* .
3. Dado el siguiente modelo de regresión dinámico,
Ct = β 0 + β1Yt + β 2 Pt + β 3Ct -1 + β 4 Pt -1 + β 5Yt -1 + u t
T = 45
se desea contrastar si la perturbación presenta autocorrelación generada por un esquema
AR(1) de la forma u t = ρu t −1 + ε t . Para ello sabemos que:
~
dw = 1.8 δ 2 = 1.5 S( βˆ ) = 0.148
T −K
3
Entonces:
(a) Se acepta la hipótesis nula de no autocorrelación AR(1), ya que el estadístico de
Durbin-Watson cae en la región de aceptación.
(b) Se acepta la hipótesis nula de no autocorrelación AR(1), ya que el estadístico de la
razón de von–Neumann Modificada cae en la región de aceptación.
(c) Se acepta la hipótesis nula de no autocorrelación AR(1), ya que el estadístico de hDurbin cae en la región de aceptación.
(d) Se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación AR(1), ya que el estadístico de hDurbin cae en la región crítica.
Nota: dL,α(k,T)=1.287, dU,α(k,T)=1.776 (α=5%), Z0.95=1.6493.
Página 1 de 10
4. En un estudio sobre la demanda de equipamiento agrícola (D) como función del precio
relativo de dichos bienes (P), se propuso el siguiente modelo, estimado por MCO para un
conjunto de 24 observaciones trimestrales:
ln Dt = β 0 + β 1 ln Pt + u t
β̂ j,T
S ( βˆ j ,T )
t( β̂ j,T ,0)
β0
7.31
0.11
66.4
β1
-1.54
0.07
-22.0
R2=0.95
SCR=0.0743
RESET=0.59
Para estudiar la posible presencia de autocorrelación, se llevó a cabo la siguiente regresión
auxiliar:
4
et = ∑ φ i et −i + δ 1 Pt + η t
i =1
Obteniéndose los siguientes resultados:
eˆt = 0.17et −1 − 0.17et − 2 + 0.12et −3 + 0.69et − 4 − 0.92 Pt
(t ) (1.5)
(-0.7)
(0.85)
(2.7)
;
SCR = 0.0381
(-7.12)
De aquí se tiene que, para contrastar la presencia de autocorrelación de forma aproximada al
5%:
(a) El estadístico de BG es aproximadamente 11.69, rechazándose la hipótesis nula.
(b) El estadístico de BG es aproximadamente 12.30, rechazándose la hipótesis nula.
(c) El estadístico de BG es aproximadamente 0.513, aceptándose la hipótesis nula.
(d) Con la información disponible no es posible llevar a cabo el contraste.
2
2
2
2
Nota: χ 1,0.95
= 3.8415; χ 2,0.95
= 5.9915; χ 3,0.95
= 7.8147; χ 4,0.95
= 9.4877
5. En un estudio sobre el volumen de importaciones realizadas en un determinado país (M) en
función del PNB, con datos correspondientes al periodo 1970-1989, se obtienen los siguientes
resultados por MCO:
M t = β 0 + β 1 PNBt + u t
β̂ j ,T
t( β̂ j ,T ,0)
β0
0.31
0.95
β1
0.34
32.5
Página 2 de 10
R2=0.98 SCR=1.1026 GQ(c=6)=2.23
eˆt = 0.65et −1 − 0.2et − 2
(t ) (3.8)
; BG = 7.89
(-2.4)
Analice los resultados obtenidos, apuntando los aspectos que considere oportunos sobre la
validez o reespecificación del modelo.
Suponga que se plantea como alternativa, la estimación del modelo anterior por el método de
Cochrane-Orcutt, y se desea enfrentar ésta con el siguiente modelo dinámico:
M t = γ 0 + γ 1 PNBt + γ 2 PNBt −1 + γ 3 PNBt − 2 + γ 4 M t −1 + γ 5 M t − 2 + η t
A partir de los siguientes resultados:
γˆ 0 = −0.4; γˆ1 = 0.41; γˆ 2 = −0.38; γˆ 3 = 0.11; γˆ 4 = 0.65; γˆ 5 = −0.02;
(R
q ,γ~K
s 2 ( X ' X ) −1 R' q ,γ~K
)
−1
SCR = 0.61
⎛ − 6.22 ⎞
⎟⎟
Rq (γ~K ) = ⎜⎜
⎝ 0.043 ⎠
enfrente ambas alternativas.
2
2
Nota: χ 1,0.95
= 3.8415; χ 2,0.95
= 5.9915; F60,6.95 = 4.2839
6. Con los datos correspondientes al periodo 1970-1996 de la economía española, se intenta
analizar el comportamiento del PIB en función del Gasto Público (GP), obteniéndose las
siguientes estimaciones por el método de Cochrane-Orcutt:
PIBˆ t* = 175 + 7.5GPt *
donde PIB* y GP* son las transformaciones de las variables originales bajo el mencionado
método, suponiendo un esquema AR(1) para la perturbación del modelo original y siendo el
valor estimado de φ, 0.87.
Obtenga las predicciones del PIB para 1997, sabiendo que el GP fue de 310 y 350 en 1996 y
1997, respectivamente, y que el PIB fue de 3500 en 1996.
7. Se desea predecir la oferta de un bien O en el año 35, a partir del siguiente modelo,
ln Ot = α 0 + α1 ln Pt + α 2 PI t + u t
;
u t = φ1u t −1 + ε t
cuyas estimaciones por MCGF para un conjunto de 34 observaciones anuales son:
αˆ 0 = 1.40;αˆ 1 = 0.86;αˆ 2 = 0.015; φˆ1 = 0.6
Sabiendo que los valores de las variables para los años 34 y 35 son:
Página 3 de 10
T
34
35
O
71550
-------
P
84771
82903
PI
1.897
2.105
La mejor predicción es, aproximadamente:
(a) 11.135.
(b) 10.799.
(c) 68569.28.
(d) 49001.19.
8. En un estudio sobre la demanda de equipamiento agrícola (D) como función del precio
relativo de dichos bienes (P), se propuso el siguiente modelo, estimado por MCO para un
conjunto de 24 observaciones trimestrales:
ln Dt = β 0 + β 1 ln Pt + u t
β̂ j ,T
S ( βˆ j ,T )
t( β̂ j ,T ,0)
β0
7.31
0.11
66.4
β1
-1.54
0.07
-22.0
R2=0.95
SCT=1.486
Para estudiar la posible presencia de autocorrelación, se llevó a cabo la siguiente regresión
auxiliar:
4
et = ∑ φ i et −i + δ 1 ln Pt + η t
i =1
Obteniéndose los siguientes resultados:
êt = 0.17et −1 − 0.17et − 2 + 0.12et −3 + 0.69et − 4 − 0.92 ln Pt
( t ) (2.7)
(-0.6)
(0.85)
(1.5)
;
SCE = 0.0561
(-0.12)
De aquí se tiene que, para contrastar la presencia de autocorrelación de forma aproximada al
5%:
(a) El estadístico de BG es aproximadamente 11.69, rechazándose la hipótesis nula,
sugiriendo un esquema AR(1).
(b) El estadístico de BG es aproximadamente 18.12, rechazándose la hipótesis nula,
sugiriendo un esquema AR(1).
(c) El estadístico de BG es aproximadamente 0.02805, aceptándose la hipótesis nula.
(d) El estadístico de BG es aproximadamente 0.03775, aceptándose la hipótesis nula.
2
2
0.975
0.975
Nota: χ 1,0.95
= 3.8415; χ 4,0.95
= 9.4877; t18
= 2.101; t14
= 2.145
Página 4 de 10
9. Se ha recogido información de la economía española para el periodo 1985-1997 (T = 13) de
las macromagnitudes consumo público (CP) y producto interior bruto a precios de mercado
(PIBPM), en millones de pesetas, con el objeto de estimar el siguiente modelo de regresión
lineal
CPt = β 0 + β1 ·PIBPM t + u t
y comprobar, posteriormente, la posible presencia de autocorrelación en las perturbaciones.
Los resultados de la estimación MCO de esta regresión son:
β̂
β̂ j,T
Rˆ T2,k = 0.9441
sT( j,T )
SECT,j = SECT (βˆ 1,T ) = 1.06894·1013
3079706.0
237829.5
β0
β1
0.058374
0.004282
Estadístico Durbin-Watson:
d1 (T,k ′) = 0.3431
Adicionalmente, se plantea la siguiente regresión auxiliar del contraste de Breusch-Godfrey
de autocorrelación con m = 2:
uˆ t,k = α1uˆ t −1,k + α 2 uˆ t − 2 ,k + α 3 PIBPM t + ξ t (t = m+1,..., T)
donde se han obtenido los siguientes resultados a partir de su estimación por MCO:
Suma residual de cuadrados:
α̂
α̂ j,T
sT−m( j,T )
T
1.3217
0.3217
SCT (αˆ T − m ) = ∑ ξˆ t2
α1
t = m +1
0.3399
α2
−0.5804
= 0.14537·1012
0.000757
α3
−0.000182
Entonces, al 5% de significación se tiene que, de forma aproximada:
(a) Existe evidencia de autocorrelación generada por un esquema AR(1), puesto que la
estimación del estadístico de Durbin-Watson es d1(T,k´) = 0.3431.
(b) Existe evidencia de autocorrelación de orden m = 2, puesto que la estimación
ˆ
aproximada del estadístico de Breusch-Godfrey es BGT (α m,T ) =10.014.
(c) Existe evidencia de autocorrelación generada por un esquema AR(1), teniendo en
cuenta los resultados de los contrastes basados en los estadísticos de Durbin-Watson
y de Breusch-Godfrey.
(d) No se dispone de información suficiente para construir el estadístico de BreuschGodfrey, de forma que no puede afirmarse que la correlación existente pueda
representarse por un esquema AR(1).
d (T,k´) = 1.010, d U,α (T,k´) = 1.340, χ 22,0.95 = 5.9915
Nota: L,α
10. Alternativamente a la especificación del modelo anterior, se propone el siguiente modelo
de regresión dinámico,
CPt = θ 0 + θ1 ·PIBPM t + θ 2 ·PIBPM t −1 + θ 3 ·CPt −1 + ηt (t = 2, ..., T)
donde se han obtenido los siguientes resultados derivados de la estimación MCO:
θ0
θ1
θ2
θ3
Rˆ T2−1, 2 k = 0.9844
780689.3
0.0123
0.93418
θ̂ j,T
−0.00271
Durbin-Watson:
d1 (T,k ′) = 1.6189
1.6746
0.5642
5.51925
θ̂
−0.24944
T( j,T ,0)
Página 5 de 10
Entonces, al 5% de significación:
(a) Dada la estimación del estadístico D-W, no existe evidencia de autocorrelación.
(b) En el modelo dinámico especificado no existe evidencia de autocorrelación en los
errores, puesto que la estimación del estadístico h-Durbin es 0.8084.
(c) Existe evidencia de autocorrelación, puesto que el estadístico h-Durbin es 0.8084.
(d) No hay datos suficientes para calcular el estadístico h-Durbin.
d (T,k´) = 0.658, d U,α (T,k´) = 1.864, Z 0.95 = 1.65, Z 0.975 = 1.96
Nota: L,α
11. Considerando finalmente que los errores del modelo del problema 27 siguen un esquema
AR(1), es decir,
CPt = β 0 + β1 ·PIBPM t + u t , ut = φut−1 + εt, |φ|<1, εt ∼ i.i.d.N{0, σ ε2 }
se ha estimado por MCGF (Factibles), obteniendo los siguientes resultados:
βˆ 0,T (φˆ T ) = 6314048, βˆ 1,T (φˆ T ) = 0.017616, φˆ T = 0.8602
Se desean obtener las predicciones para el consumo público para los años 1998 y 1999, para
lo cual se dispone de la siguiente información:
CPT`+s
PIBPMT`+s
(s = 0) 1997
7239097
77896586
(s = 1) 1998
7410300
78502000
(s = 2) 1999
7350500
78102000
Entonces, las mejores predicciones del consumo público para ambos años determinan que:
(a) El porcentaje medio de error de predicción es del 0.719%.
(b) El porcentaje medio de error de predicción es del 0.604%.
(c) El porcentaje medio de error de predicción es del −4.243%.
(d) El porcentaje medio de error de predicción es del 4.243%.
12. El departamento de Comercio de España está estudiando el comportamiento de sus
importaciones. Por ello, ha decidido analizar las importaciones provenientes de las economías
emergentes de Asia, para lo que cuenta con datos mensuales de estas dos variables desde
enero de 1980 a septiembre de 1995, ambos incluidos. Se plantean los siguientes modelos:
Modelo 1: Mt= 46925.65 + 4.171127 PNBt
d.s. (2110.03) (0.125471)
R2= 0.862623 dw= 0.125471
Modelo 2: Mt= 672.2529 +0.089347 PNBt +0.98357 Mt-1
d.s. (179.1994) (0.058276)
(0.009485)
R2= 0.999339 dw= 1.699329
Página 6 de 10
(a) El modelo más adecuado es el segundo, pues el valor obtenido en el estadístico de
Durbin Watson es mayor.
(b) Ambos modelos presentan autocorrelación de primer orden.
(c) El modelo más adecuado es el segundo, puesto que no presenta autocorrelación, ya
que el h-durbin es igual a 2.0845.
(d) El modelo más adecuado es el primero, puesto que no presenta autocorrelación.
Nota: d L ,α (T , K ´) = 1.664 d U ,α (T , K ´) =1.684, Z 0.95 = 1.65; Z 0.975 = 1.96
13. Con el objetivo de analizar el comportamiento de la inversión It se plantea la siguiente
relación, para el período 1975-2002:
I*t= δ*0+ δ 1PNB*t + δ 2R*t + ut
Siendo estas variables las transformaciones de las variables originales bajo el método de
Cochrane-Orcutt. Los resultados son los siguientes:
δi
δˆi
δ 0*
δ1
δ2
0.96
S( δˆi )
0.33
2.91
SCR= 48.2237
1.23
-0.77
0.29
0.18
4.24
-4.27
dw= 1.8878
φˆ =0.36 ( U t = φU t −1 + ε t )
t
Se desean obtener las predicciones para la inversión para los años 2003,2004 y 2005, para lo
cual se supone de la siguiente información:
t
I
PNB
R
2002
9.55
14
14.01
2003
..
14.05
14.02
2004
..
14.50
14.05
2005
.
15
14.01
(a) Las predicciones son: 8.5684, 8.7261 y 9.2377, para los años 2003, 2004 y 2005
respectivamente.
(b) Las predicciones son: 8.2228, 8.2561 y 8.7229, para los años 2003, 2004 y 2005
respectivamente.
(c) Las predicciones son: 8.3512, 9.2578 y 10.1917, para los años 2003, 2004 y 2005
respectivamente.
(d) No hay información suficiente para realizar las predicciones.
14. Se desea estimar una función de producción de la economía española, para lo cual, a partir
de una muestra tomada en 1999 sobre Producción (Y), Empleo(X) y Capital (Z)
correspondiente a 50 empresas españolas, se ha especificado el siguiente modelo:
Página 7 de 10
y i = β1 + β 2 xi + β 3 z i + u i ; i = 1,...,50
Los resultados de la estimación por MCO se recogen en la siguiente tabla:
t − est
R 2 = 0.82
βˆ
SCE = 0.56
24.32
βˆ = 2.59
1
βˆ 2 = 1.78
βˆ = 1.42
3
19.66
d w = 0.30
17.52
RESET = 7.10
Además se plantea la siguiente regresión auxiliar:
uˆ t = α 1uˆ t −1 +α 2 uˆ t − 2 +α 3 xt + α 4 z t + ε t ,
R 2 = 0.56
Obteniendo los siguientes resultados:
α̂
αˆ 1 = 0.17
αˆ 2 = −0.17
αˆ 3 = 0.12
αˆ 4 = −0.69
S (αˆ )
0.06
0.08
0.14
0.46
Entonces:
(a) No hay evidencia de autocorrelacción.
(b) Existe evidencia de autocorrelación, pero no podremos confirmarlo hasta corregir el
error de especificación existente.
(c) Existe evidencia de autocorrelación de orden 2 según el estadístico de BreuschGodfrey.
(d) Existe evidencia de autocorrelación generada por un esquema AR(1) basados en los
estadísticos de Durbin Watson y Breusch-Godfrey.
Nota
0.975
0.95
t 43
= 2, t 47
= 2.01, t 40.95 = 2.776, χ 22 = 5.99, χ 32 = 7.815, χ 42 = 9.488, F1, 47 = 7.31, F1, 46 = 7.21 .
d L = 1.285; d u = 1.446
15. Con los datos correspondientes al año 2004 se intenta analizar la producción en función
del Empleo, obteniéndose las siguientes estimaciones de Cochrane-Orcutt.
yˆ t* = 2.59 + 10.58 xi*
Donde y t* y xt* son las transformaciones del modelo original.
Suponiendo un esquema AR (2) para la perturbación del modelo original y siendo φˆ1 = 0.26 y
φˆ = 0.30 , obtenga el error de predicción para el año 2005 sabiendo que X para el año 2004
2
fue de 310 y que en el año 2005 aumentó un 12%, y que y que Y fue de 3500 en el 2004 y
3900 en el 2005 .Además se dispone de la información del año 2003: X=263.5 e Y=3100.
Página 8 de 10
Entonces:
(a) El error de predicción es: 78.8098
(b) El error de predicción es: 74.181
(c) El error de predicción es: 73.131
.
(d) El error de predicción es: 74.5814
16. En un modelo en el que hay autocorrelación de orden 1 (AR(1)) en la perturbación, y con
φ = 1:
a) Basta con aplicar MCO a la relación entre las variables diferenciadas.
b) Basta con aplicar MCO, pues es la estimación más eficiente.
c) Habría que aplicar MGGF (Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles).
d) No se puede realizar la estimación.
17. Con el conjunto de observaciones anuales que abarca el período 1972-2005 (ambos
inclusive), recogidos en el ejercicio uno se pretende predecir el comportamiento del gasto en
consumo (C) de un país, en función de la renta disponible (Y) y de la tasa de inflación (P), el
siguiente modelo, estimado por el método Cochrane-Orcutt:
LnC t = β 0 + β 1 LnYt + β 2 Pt + wt ; wt = φ1 wt −1 + ε t
β
βˆ
β0
1.40
β1
0.86
β2
-0.015
S ( βˆ )
0.18
0.017
0.0071
R 2 = 0.99855
wˆ t = 0.4365wˆ t −1 + ε t
Sabiendo que los valores de las variables para los años 2005 y 2006 son:
T
Ct
Yt
Pt
2005
1340
840
1.8
2006
------860
2
La mejor predicción del gasto en consumo para el año 2006 es, aproximadamente:
(a) 7.1605.
(b) 1333.816
(c) 7.1958
(d) 1287.55
18. La Asociación de Vitivinicultores de Tacoronte-Acentejo desea conocer cuáles son los
factores reales que determinan el precio del vino en el mercado español (Y). Para ello ha
encargado un estudio que, basado en un modelo econométrico y con información de los
últimos 30 años, especifica una ecuación en la que el precio del vino queda explicado a partir
Página 9 de 10
de una variable que refleja los gastos reales en publicidad (X2) y un índice de costes de
bodega (X3). La estimación del modelo se ha obtenido aplicando el método de mínimos
cuadrados ordinarios, para el conjunto de las observaciones, obteniéndose los siguientes
resultados:
Yt= 73.03486 +0.178036X2t+4.983923X3t
R2 = 0.930515;
n
SCR= 1589.757;
∑ (w
t =k +2
t
− wt −1 ) =1941.02;
2
T
∑ (e
t =2
t
− et −1 ) 2 =2146.176
Para estudiar la posible presencia de autocorrelación, se llevó a cabo la siguiente regresión
auxiliar:
4
et = ∑ φ i et − i + δ 1 X 2 t + δ 2 X 3 t + η t
i =1
Obteniéndose los siguientes resultados:
eˆt = 0.07et −1 − 0.07et − 2 + 0.22et −3 + 0.67et − 4 + 0.92 X 2t + 3.73 X 3t
;
SCR = 0.381
(t ) (2.3)
(-1.8)
(0.85)
(0.7)
(-7.12) (6.3)
Dada la información disponible se puede concluir que:
(a) No hay evidencia de autocorrelacción.
(b) Según el estadístico durbin-watson existe evidencia de autocorrelación, generada por
un esquema AR(1).
(c) Existe evidencia de autocorrelación de orden 4 según el estadístico de BreuschGodfrey.
(d) Existe evidencia de autocorrelación generada por un esquema AR(1) basados en los
estadísticos de Von-Neuman y Breusch-Godfrey.
Nota: d L = 1.284; d u = 1.567 χ 42, 0.95 = 9.488; χ 52,0.95 = 11.070; χ 62 = 12.592 ; Z0.95=1.6493 Z0.05=0.975
0.975
1.6493, Z0.975=1.9599, t 27
= 2.052; t 21
= 2.080
Página 10 de 10