Tema 17b): Distribución muestral de un estadístico

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 17b)
Tema 17b): Distribución muestral de un estadístico
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Bibliografía*: Tema 13 (pág. 347-358)
1. INTRODUCCIÓN
La estadística inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones (sus
parámetros, μ y σ2) a partir de la información contenida en las muestras (los
estadísticos, X y S2).
Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se
establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en relación
ambas cosas es “La distribución muestral de un estadístico”.
Ejemplo: Tenemos una población con los siguientes N = 3 elementos: X = {1, 2 y 3}.
Donde μ = 2 σ2 = 0,67.
Se extraen muestras de n = 2 elementos:
Con reposición, tenemos 9 posibles muestras:
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); y (3, 3).
Sin reposición, tenemos 6 posibles muestras:
(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); y (3, 2).
En cada una de las muestras pueden calcularse los correspondientes estadísticos
descriptivos:
Por ejemplo, con reposición:
Las medias serían:
1; 1,5; 2; 1,5; 2; 2,5; 2; 2,5; y 3, respectivamente.
Las varianzas serían: 0; 0,25; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 0,25; y 0, respectivamente.
Por tanto, los estadísticos descriptivos son variables aleatorias que pueden adoptar diferentes valores y que tienen su propia distribución de probabilidad. Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 17b)
En el ejemplo vemos que X puede tomar 5 posibles valores y que la probabilidad que
corresponde a cada uno de ellos (f ( X i), su distribución) es:
1
1/ 9
Xi
f ( X i)
1,5
2/ 9
2
3/ 9
2,5
2/ 9
3
1/ 9
Total:
1
Donde E( X ) = Σ Xi · f ( Xi ) = (1)(1/ 9) + (1,5)(2/ 9) + … + (3)(1/ 9) = 2
σ 2 ( X ) = Σ [ Xi 2 · f ( Xi )] – [ E( X )] 2 = [(12)(1/ 9) + … + (32)(1/ 9)] - 22 = 0,33
No es necesario construir la distribución de un estadístico (p.e. de X ) en todos los casos ya
que cada estadístico tiene su propia distribución muestral conocida.
En este tema nos ocuparemos de la distribución muestral de la media: X .
2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
CASO 1: La variable de partida es normal: X ∼ N (μ, σ)
1. Valor esperado: E( X ) = μ
2. Varianza: σ ( X ) =
2
σ2
n
;
donde σ ( X ) =
σ
n
es el error típico de la media
El valor de n afecta al error típico de la media, σ( X )
Por ejemplo, si
Con n1 = 4
X ∼ N(50, 20)
→ σ ( X ) = 20/ 4 = 10
Con n2 = 25 → σ ( X ) = 20/ 25 = 5
Con n3 = 100 → σ (X) = 20/ 100 = 2
3. Modelo de distribución: X ∼ N(μ,
30
σ
n
50
70
).
Para obtener valores en tablas hay que convertir las puntuaciones X i en típicas. Es decir:
z =
Carmen Ximénez
Xi − μ
σ /
n
∼ N (0,1)
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 17b)
EJERCICIO 1 (resuelto)
El CI de los alumnos de un centro especial de se distribuye normalmente con media 80 y
desviación típica 10. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos:
a) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga como mínimo una
puntuación en CI de 75?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83?
d) ¿Qué valor debería tomar la media aritmética para que la probabilidad de obtenerlo en esa
muestra sea como máximo 0,85?
X
∼ N(80, 10)
X
∼
a) P (X ≥ 75) = 1 - P (z ≤
b) P ( X ≥ 75) = 1 - P (z ≤
c) P ( X ≤ 83) = P (z ≤
d)
N(80, 10
X −μ
σ
) = 1 - P (z ≤
X−μ
σ/ n
X−μ
σ/ n
25 )
75 - 80
) = 1 - P (z ≤ -0,50) = 0,6915
10
) = 1 - P (z ≤
) = P (z ≤
75 - 80
) = 1 - P (z ≤ -2,50) = 0,9938
10/5
83 - 80
) = P (z ≤ 1,50) = 0,9332
10/5
P ( X ≤ X i) = 0,85 …. z 0,85 = 1,04 …. 1,04 =
X i − 80
10/5
→
X i = 82,08
CASO 2. La variable de partida no es Normal
Cuando la variable X con media μ y desviación típica σ, no sigue un modelo de distribución
conocido, la distribución muestral de X se parece más a la de la distribución normal a
medida que aumenta el tamaño de las muestras sobre las que se calcula.
Teorema del Límite Central, TLC
Independientemente de cómo sea la distribución de X, la distribución muestral de X
tiende a la normal cuando el tamaño de las muestras tiende a infinito.
Mediante este teorema pueden calcularse probabilidades asociadas a los valores de las
medias cuando se desconoce la forma de la distribución muestral de partida, siempre y
cuando las muestras sean lo suficientemente grandes (algunos autores plantean que el
parecido con la distribución normal empieza a ocurrir desde tamaños muestrales de 30
observaciones).
Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 17b)
EJERCICIO 2
Sabemos que los pesos de los españoles tienen una media de 65 kilos y una desviación típica
de 7. Si extraemos una m.a.s. de 36 sujetos y calculamos la media:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que la media supere el valor 62,5?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que la media quede por debajo de 67?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que la media quede comprendida entre 62 y 64?
Solución:
Como n = 36 X ≈ N (65, 7 / 6) . 1) 0,9838; 2) 0,9564; 3) 0,1898.
EJERCICIO 3
La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. Si extraemos
una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:
1) Si se extrae un sujeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una
puntuación de 45?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como mínimo 45?
4) ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias
superiores a 52 fuese 0,2578?
Solución:
1) 0,6628; 2) 0,9962; 3) 0,9525; 4) n = 15 sujetos.
Carmen Ximénez
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