Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico ASIGNATURA: PLAN DE ESTUDIOS: ANO ACADEMICO: CARRERA: PROFESOR a CARGO: CUATRIMESTRE: Análisis Matemático II 2011 2013 1401 Prof. Juan Martín Rodríguez Prof. Débora Chan Primer Cuatrimestre. 1. OBJETIVOS: Generales Internalizar al análisis matemático como una práctica social de argumentación, defensa, formulación y demostración de inestimable valor en el contexto de su formación profesional. Utilizar los conceptos del análisis matemático para modelizar diferentes tipos de fenómenos específicos de las ciencias Exactas y de áreas afines. Desarrollar estrategias para resolver situaciones problemáticas aplicando los elementos del cálculo. Específicos plantear y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden aplicando diversos métodos. Distinguir entre soluciones generales, particulares y singulares. Resolver ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes por los métodos: de variación de parámetros y de coeficientes indeterminados Analizar y representar curvas y superficies en el espacio. operar con límites dobles, iterados y funcionales reconociendo su interrelación. analizar la continuidad de funciones, clasificando apropiadamente las discontinuidades. calcular derivadas direccionales y parciales de campos escalares. analizar la Diferenciabilidad de funciones y su relación con la continuidad y derivabilidad. aplicar los conceptos transformación lineal, vector gradiente y matriz jacobiana a la resolución de problemas. operar con funciones compuestas y definidas en forma implícita. aplicar el desarrollo del polinomio de Taylor a la resolución de ejercicios. plantear y resolver problemas de extremos libres y condicionados. aplicar el cálculo de integrales de línea a la resolución de problemas y aplicaciones a las Ciencias Exactas aplicar el cálculo de integrales múltiples a la resolución de problemas de las ciencias exactas 2. CONTENIDOS a- Contenidos mínimos Noción de distancia en Rn. Funciones escalares y vectoriales. Límite y continuidad de campos escalares, campos vectoriales y funciones vectoriales de variable real. Derivabilidad Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 1/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico de funciones vectoriales de variable real. Derivadas parciales, Derivadas direccionales y gradientes. Diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales. Sucesiones.Polinomio de Taylor. Extremos: libres y ligados. Dominios de integración: curvas y superficies regulares a trozos. Integrales de línea. Integrales múltiples. Ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo orden, ecuaciones diferenciales de orden superior. b- Contenidos básicos Unidad 1 Nociones topológicas y métricas en Rn Espacio Métrico y Topológico en Rn. Conceptos de entorno, entorno reducido e intervalo en Rn. Clasificación de puntos: acumulación, interior, frontera, aislado y exterior. Caracterización de conjuntos: abierto, cerrado, conexo (simplemente y múltiplemente), conexo por arcos, conexo por poligonales (relación entre ambos conceptos), convexo y acotado. Nociones de compacidad y completitud en Rn. . Unidad 2 Funciones vectoriales de variable real, campos escalares y vectoriales. Dominios y conjuntos de nivel. Líneas coordenadas. Parametrización de curvas y superficies. Gráficas. Límite y continuidad de campos escalares, campos vectoriales y funciones vectoriales de variable real. Límites simultaneos, iterados, radiales y por curvas. Relaciones entre ellos y propiedades. Derivabilidad de funciones vectoriales de variable real Derivadas parciales.. Derivadas direccionales y gradientes. Vector tangente a una curva en un punto: interpretación física y geométrica: recta tangente y plano normal. Derivabilidad de campos escalares y campos vectoriales. Teorema del valor medio del cálculo vectorial. Derivadas sucesivas de orden superior: Teorema de Schwarz. Diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales: propiedades. El vector gradiente y la matriz jacobiana. Interpretación geométrica del diferencial. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto. Diferenciales sucesivos: relación con el desarrollo del polinomio de Taylor. Derivabilidad funciones compuestas e implícitas. Sistemas de funciones implícitas.. Polinomio de Taylor. Extremos: libres y ligados. Condiciones necesarias y suficientes de existencia. Aplicaciones a las ciencias exactas. Unidad 3: Curvas: clasificación y parametrización. Longitud de arco. Integrales de línea. Trabajo y circulación.: Operador Nabla: rotacional, gradiente y divergencia. Campos conservativos e irrotacionales. Integrales múltiples: dobles y triples. Cálculo de áreas y volúmenes. Aplicaciones físicas: momentos, masa, coordenadas del centro de gravedad. Cambio de variables en la integral doble: transformaciones lineales, coordenadas polares. Cambio de variables en la integral triple: coordenadas cilíndricas y esféricas Unidad 4: Ecuaciones Diferenciales de primer y segundo orden Familias detrayectorias ortogonales. Ecuaciones diferenciales: totales exactas, factor integrante. De segundo orden. Método de variación de parámetros y coeficientes indeterminados. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 2/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico 3. BIBLIOGRAFIA 3.1 BASICA Mardsen - Tromba ‘Cálculo Vectorial’ Addison Wesley Iberoamericana 1991 Spiegel, Murray ‘Cálculo Superior’ Mc Graw Hill - México 1963 Pita Ruiz, Claudio ‘Cálculo Vectorial’ Prentice Hall Hispanoamericana - México 1995 .-Texto: HOSTETLER, R P., EDWARDS, BH. y LARSON, RE.Cálculo I, 7.° edición. Ediciones Mac Grow Hill, 2006, Madrid. .-Bibliografía de consulta para el alumno: Leithold, Louis ‘El cálculo con geometría analítica’ de Burgos, Juan ‘Cálculo infinitesimal de varias variables’ Mc Graw Hill - Madrid 1995 Hwei,P. Hsu ‘Análisis Vectorial’ Fondo Educativo Interamericano 1973 -Bibliografía de consulta para el docente: Piskunov, N. ‘Calculo diferencial e integral’ Demidovich, B. ‘Problemas y ejercicios de análisis matemático’. Apostol ‘Cálculus’ volumen 2 Reverté - Barcelona 1992 Rey Pastor - Calleja - Trejo ‘Análisis Matemático’ volumen II Editorial Kapelusz Buenos Aires 1957 Roxin, Spinadell ‘Ecuaciones diferenciales ordinarias’ Eudeba Buenos Aires 3.2 Adicional Santaló, L ‘Vectores y Tensores’ 4.METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA En los últimos años, el conocimiento del análisis vectorial se ha convertido en un requisito esencial e integral para ingenieros matemáticos y físicos, puesto que no solamente proporciona un método conciso y preciso para analizar matemáticamente los fenómenos físicos y geométricos, sino que también ayuda al desarrollo de la comprensión intuitiva de ideas del campo de la física, del área de la geometría y del universo de aplicaciones químicas y la producción. Las múltiples aplicaciones a la geometría elemental, a la transferencia de masa o energía térmica, a la teoría electromagnética y a la mecánica de fluidos hacen de esta asignatura una herramienta esencial para el graduado en ciencias exactas. Se desarrollan en esta asignatura desde las nociones topológicas elementales de espacios ordinarios de dimensión mayor que uno, como Rn, el cálculo diferencial e Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 3/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico integral aplicado a funciones vectoriales definidas en estos espacios y hasta una introducción al estudio de las ecuaciones diferenciales, obedeciendo en la selección de los contenidos de la materia a criterios de necesidad y aplicabilidad. La propuesta metodológica es pues aproximarse a los problemas integrando la teoría con ejercicios de aplicación y considerando a la ejercitación como una instancia enriquecedora para la profundización de los conceptos teóricos y para la valoración de los mismos a la luz de su utilidad. Es deseable que el alumno asuma un rol activo que le permita ser protagonista de su propio aprendizaje. Por lo tanto, se estimulará al alumno a identificar o construir las variables que participan en diversos problemas de las especialidades, a formular hipótesis y caminos posibles de solución utilizando los conceptos de la materia, adquirir actitudes científicas, creativas y autocríticas en el abordaje de las situaciones problemáticas. Se promoverá la integración de los conocimientos que se van desarrollando con los ya desarrollados, planteando actividades con alto nivel de exigencia y profundidad. Se favorecerá la aplicación de los conceptos desarrollados en la asignatura a la construcción de modelos de interpretación de las realidades y problemáticas propias del desarrollo profesional futuro de nuestros alumnos. Se fomentará en los alumnos la observación, el análisis y la síntesis con el fin de generar relaciones de sentido entre lo ya aprendido y lo que se está aprendiendo. Se incluirán, cuando resulte adecuado, comentarios de tipo histórico para permitir al alumno vivenciar la génesis de las ideas. En función de una organización razonable de los contenidos es importante considerar: La lógica de la propia asignatura La secuencia psicológica de los procesos de construcción del aprendizaje. Los intereses futuros de los alumnos que integran el curso. El valor de la interdisciplinariedad. Dada la multiplicidad de temas que debe desarrollarse en esta asignatura no sería pertinente la implementación de una estrategia didáctica única, sino de una adecuada a cada tema y con los matices necesarios para adaptarla a las particularidades de cada grupo de individuos. El nivel que logren los alumnos es una resultante directa del tipo de estrategia que se plantee al curso y el modo en que el docente a cargo la lleve a cabo. De acuerdo con lo especificado anteriormente, se detallarán a continuación algunas de las estrategias básicas sobre las cuales se estructura el dictado de la materia. Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 4/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico En el desarrollo de los temas se enfatizará en la relación de los conceptos construidos con los anteriores y se destacará del mismo modo la utilidad de los modelos de tratamiento aplicados en cada uno de los temas. Puesto que la asignatura constituye una poderosa herramienta para resolver problemas de las ciencias exactas; siempre que fuera pertinente se ejemplificará con un problema de la especialidad, ya sea para motivar el aprendizaje de un tema nuevo como para señalar las posibles aplicaciones de lo visto. Clases Prácticas Dado que la resolución de problemas que exigen la aplicación de conceptos teóricos a nuevas situaciones, es de vital importancia didáctica; se incluirán ejercicios de diversa complejidad en el desarrollo de cada unidad temática. Estos ejercicios se adecuarán a la siguiente escala de complejidad: a) Ejercicios que sólo requieren aplicación inmediata del nuevo concepto b) Ejercicios que requieren integración con temas desarrollados previamente c) Ejercicios que requieren cierto grado de creatividad y síntesis de conceptos. Estos ejercicios evidenciarán en cada caso el nivel alcanzado en el aprendizaje por los alumnos particularmente y por el curso globalmente; así como la flexibilidad de las herramientas conceptuales adquiridas recientemente para la solución de diversas situaciones y, al mismo tiempo, permitirán al docente detectar posibles errores conceptuales existentes en los alumnos a fin de hacer más eficaz el proceso de enseñanza aprendizaje. En todos los casos se hará hincapié en: la interpretación del problema planteado el método de cálculo utilizado en la resolución el fundamento teórico que hace valida la selección de dicho método. la correcta expresión de procedimiento y de los resultados las conclusiones correspondientes al problema planteado en particular. la coherencia de los resultados respecto del contexto. las posibles generalizaciones del caso particular analizado a otros contextos. la diversidad de estrategias válidas para encarar la resolución de cada problema. La elección de la/s mas adecuada/s en cada escenario. La conveniencia de plantear variantes a las condiciones originales del problema. 5. CRITERIOS DE EVALUACION La evaluación del curso de actividades prácticas se realiza a través de: un parcial teórico/prácticos obligatorios e individuales, Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 5/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico el desempeño del alumno en las clases, el cual será verificado en forma continuada. El parcial debe rendirse en las fechas estipuladas por la Facultad (ver Planificación de actividades). En caso que el alumno desapruebe el parcial cuenta con dos instancias de recuperación. Si el alumno estuviese ausente (con causas justificadas o injustificadas) dispondrá de las fechas de recuperación El desaprobar o no asistir a la recuperación (teniendo el parcial desaprobado) tiene como consecuencia desaprobar el curso de la materia. Las condiciones para firmar los Trabajos Prácticos de la materia son las siguientes: Haber aprobado el parcial o el parcial recuperatorio teórico/práctico con 6 o más puntos Tener como nota de concepto de desempeño 4 (cuatro) como mínimo Cumplir con la condición de asistencia Aquellos alumnos que obtengan menos de 6 pero mas de 4 puntos en el parcial, deberán rendir un examen final especial similar al de los alumnos que requieran la instancia recuperatoria. Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 6/7 Facultad de Ciencias Exactas Programa Analítico ANEXO I A1 - Carga Horaria - Modalidad de Enseñanza Modalidad Teóricas Act. Prácticas Evaluaciones Total Horas 33 36 3 72 A2 – Carga Horaria de Actividades Prácticas Tipo Actividad 1.- Resolución Problemas 2.- Prácticas de Laboratorio 3.- Prácticas de Simulación 4.- Prácticas de Programación 5.- Prácticas de Diseño y Proyecto 6.- Presentaciones Alumnos 7.- Trabajos de Campo y Visitas a Plantas Total Horas 39 39 Universidad de Belgrano – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Página 7/7