MATEMÁTICA DE 4º AÑO CICLO BÁSICO SECUNDARIO

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PROPUESTAS DE ACTIVIDADES DE FIJACIÓN Y ORIENTACIÓN
APELLIDO Y NOMBRE: ………………………………………………………………………………………………………………………………
CURSO: CUARTO AÑO
CICLO LECTIVO 2012
CAPACIDADES MÍNIMAS PARA LA PROMOCIÓN DE LA MATERIA
1. Graficar rectas paralelas y perpendiculares.
2. Resolver problemas de ecuaciones con dos incógnitas analítica y gráficamente.
3. Racionalizar denominadores.
4. Sumar, multiplicar polinomios y dividir polinomios por regla de Ruffini.
5. Factorizar expresiones polinómicas.
RESUELVE TODAS LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS EN LÁPIZ Y PAPEL EN TU CARPETA, REALIZANDO PRIMERO
EL BORRADOR, SIN BORRAR AQUELLO QUE ESTÉ MAL, PUES SE APRENDE MÁS DE LOS ERRORES QUE DE LOS
ACIERTOS, LUEGO PASA EN LIMPIO EXPLICANDO Y/O JUSTIFICANDO TODO AQUELLO QUE TE SIRVA PARA LA
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO O DEL PROBLEMA; Y EN EL CASO DE UN PROBLEMA RESPONDE LA PREGUNTA EN
FORMA DE ORACIÓN, CLARA Y PRECISA.
ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
1. Encuentren pares de rectas paralelas y pares de rectas perpendiculares entre las siguientes funciones lineales,
sabiendo que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y que dos rectas son perpendiculares cuando
el producto de sus pendientes es -1. Representa los pares de rectas paralelas en un mismo eje cartesiano y en otro
sistema de eje los pares de rectas perpendiculares, usando la ordenada al origen (punto por donde la recta corta al eje
y) y la pendiente (recordando que el denominador indica cuanto se avanza hacia la derecha a partir de la ordenada al
origen; y el numerador cuanto se sube si es positivo y cuanto se baja si es negativa). JUSTIFICA.
a( x ) = -x + 4
b( x ) = 4x -2
c( x ) = -1/3x + 9
d( x ) = 3/2x + 5
e( x ) -2/3x + 4
f( x ) = -x
g( x ) -0,25x – 6
h( x ) = 1/3x – ½
SOLUCIÓN. Graficamos con Geo Gebra:
Observemos que las recta paralelas son aquellas que tiene las mismas pendientes, en este caso a(x) es paralela a f(x) y
las rectas perpendiculares son aquellas que las pendientes son inversas y de signos contrarios y que al multiplicarlas
son da -1. En este caso d(x) es perpendicular a e(x) pues 3/2 . -2/3 = -1
b(x) es perpendicular g(x) pues 4 . -0,25 = -1
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2. Resuelvan las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales, sabiendo que la adición y la multiplicación
es cerrada y uniforme en este conjunto; es decir, cada operación tiene uno y sólo un resultado real, y luego realiza la
verificación, chequeando que con el valor encontrado se cumpla la igualdad. JUSTIFICA.
a) 4x + 1 x = 27
2
SOLUCIÓN. En este caso 4x es lo mismo que ocho medio x más un medio x es en total nueve medio x. En definitiva tenemos
9x = 27
2
Gráficamente significa que nueve mitades valen 27, por lo tanto, una sola mitad vale 27 dividido 9; o sea, 3, lo que significa
que un entero que son dos mitades vale dos veces 3, o sea 6.
Una x es un cuadradito amarillo y uno blanco.
Algebraicamente otra solución será: 9x = 27
2
Hallamos una fracción equivalente a 27 cuyo denominador sea 2; o sea, 27.2 = 54
2 2
Entonces, 9x = 54
2
2
Como los denominadores ya son iguales, los numeradores también lo son por la CERRADURA y la UNIFORMIDAD en Reales;
entonces 9x = 54. Disociamos 54 como 9 . 6, para que podamos tener un factor 9 en ambos miembros. Es decir,
9x = 9 .6, y como los factores 9 ya son iguales, resulta que por la CERRADURA y la UNIFORMIDAD x = 6.
Realizamos la verificación:4.6 + 1.6 = 27 , 24 + 3 = 27, igualdad verdadera, lo que significa que x = 6
b) 2.(3x – 2) – (x + 3) = 8
SOLUCIÓN. Aquí debemos utilizar indefectiblemente la propiedad distributiva en los dos paréntesis; donde en el primero
debemos distribuir el factor 2 y en el segundo el factor -1; o sea, 2.3x – 2.2 – 1.x – 1.3 = 8. Resolviendo nos queda 6x – 4 - x –
3 = 8. Pero 6x menos una x es 5x, y además menos 4 menos es menos 7; o sea, 5x – 7 = 8. Ahora disociamos a 8 como 15 – 7,
entonces 5x – 7 = 15 – 7 y como los sumandos -7 ya son iguales, resulta que por la CERRADURA y la UNIFORMIDAD 5x vale
15, por lo tanto 5x = 15. Nuevamente disociamos a 15 como 5 . 3 para tener un factor 5 en ambos miembros. Entonces
5x = 5.3 y como los factores 5 ya son iguales, resulta por la CERRADURA y la UNIFORMIDAD x = 3.
Realizamos la verificación: 2.(3.3 – 2) – (3 + 3) = 8
2.(9 – 2) – 6 = 8
2. 7 – 6 = 8
14 – 6 = 8 es verdad, por lo tanto x = 3
c) x – 1 - x + 1 = 4
2
3
SOLUCIÓN. La estrategia será transformar todo en una ecuación entera, para lo cual buscamos un común denominador.
Entonces el mcm(2,3,1) = 6 (el cuatro tiene denominador 1)
3 . x – 1 - x + 1. 2= 4. 6
3
2
3 2
6
Entonces, 3.(x – 1) – 2.(x + 1) = 24
6
6
6
Que es lo mismo que 3.(x – 1) – 2.(x + 1) = 24
6
6
Y como los denominadores son iguales, resulta que los numeradores también son iguales; o sea, 3.(x – 1) – 2.(x + 1) = 24
Debemos aplicar indefectiblemente la propiedad distributiva; o sea, 3x – 3 – 2x – 2 = 24 que es lo mismo que x – 5 = 24, por
tanto por la CERRADURA y la UNIFORMIDAD x vale 29, pues, sólo 29 menos 5 da 24, x = 29.
Verificamos: 29 – 1 - 29 + 1 = 4, entonces 28 – 30 = 4, o sea 14 – 10 = 4 verdad, por lo tanto x = 29
2
3
2 3
d) 3x + 5 _ 5x + 4 = 1 _ x
6
9
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3. Expresa en forma de ecuación y luego resuelve. JUSTIFICA.
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a) La suma de tres números enteros consecutivos pares, es igual al doble del menor más 10. Determinar el mayor de
estos números.
b) Encontrar cuatro números enteros consecutivos pares cuya suma sea 236.
c) Cuando un cierto número se divide por 11, el cociente es 7 y el residuo es 5. Calcular dicho número.
4. Graficar cada sistema despejando “y” en todos los casos y clasifica el sistema en compatible determinado, compatible
indeterminado e incompatible. Luego resuelve analíticamente con el método de igualación, sustitución, reducción y
determinantes. JUSTIFICA.
a) 3x – y = 5
b) 2x + y = 5
c) 3x + y = 5
5x + y = 3
8x + 4y = 20
3x + y = -2
a)
SOLUCIÓN GRAFICA
b)
c)
SOLUCIÓN EN GENERAL
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Este conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas se llama sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La técnica
consiste en eliminar lo más rápido posible una de las incógnitas y una de las ecuaciones para quedarse trabajando con una
sola ecuación con una sola incógnita y el método más apropiado es el que se llama de reducción que puede ser por suma si
las cantidades de variables son la misma cantidad y opuestas aprovechando que su suma es cero; o resta si es que las
cantidades de variables son las mismas y del mismo signo.
SOLUCIÓN a)
Despejamos “y” en cada caso:
En la primer ecuación nos queda 3x = 5 + y, entonces resulta 3x – 5 = y. En la segunda ecuación nos queda y = 3 – 5x.
Reordenando nos queda:
METODO DE REDUCCIÓN: Observemos que en este primer ejercicio tenemos una x en cada ecuación, lo que significa que si
restamos miembro a miembro nos quedará cero x y lo único que nos quedará es y para hallar su valor; o sea,
x + 5y = 13
x - y =7
0x + 6y = 6
Ahora por la cerradura y la uniformidad en Reales, existe un solo valor real para y que multiplicado por 6 nos da 6 que es 1,
por lo tanto y = 1.
Para hallar el valor de x sustituimos el valor de y por 1 en la segunda ecuación; o sea, x – 1 = 7, lo que significa que existe un
solo valor real para x tal que al restarle 1 nos de 7 y ese valor es 8, por lo tanto x = 8.
Verificamos haber si con estos valores la igualdad es verdadera:
8 + 5.1 = 13 o sea 8 + 5 = 13 verdadero, y
8 – 1 = 7 también verdadero; por lo tanto, podemos afirmar con seguridad que x = 8 e y = 1.
SOLUCIÓN b) Para este ejercicio por más que sumemos o restemos no podremos anular ninguna de las variables, pues
ninguna de las variables están en la misma cantidad, para ello lo que haremos es multiplicar la segunda ecuación todo por 5 y
nos quedará 20x – 5y = 130 y le sumamos la primera ecuación con lo que lograremos anular las y y nos quedamos trabajando
con las x. O sea,
3x + 5y = 31
+
+
20x – 5y = 130
23x + 0y = 161
Nos queda 23x = 161 y por las leyes de cierre y uniforme, existe un solo valor real para x que multiplicado por 23 nos de 161 y
ese valor es 7, por lo tanto x= 7. Ahora para hallar el valor de y podemos sustituir el valor de x en cualquiera de las dos
ecuaciones; nosotros tomaremos la primera por ser todos positivos; o sea 3.7 + 5y = 31, o lo que es equivalentemente
21 + 3y = 31. Ahora por la uniformidad y por la cerradura, existe un solo valor real para 5y que sumado a 21 nos de 31 y ese
valor es 10, por lo tanto 5y = 10 lo que significa que y = 2.
Verificamos a ver si con estos valores la igualdad es verdadera:
3.7 + 5.2 = 31, 21 + 10 = 31 es verdadera y
4.7 – 2 = 26, 28 – 2 = 26 también es verdadera. Por lo tanto ahora si estamos seguros que efectivamente x vale 7 e y vale 2.
5. Expresa en forma de sistemas de ecuaciones y luego resuelve. JUSTIFICA.
a) Los boletos para un teatro estudiantil se vendieron a $ 2,5 y $ 5. Calcular el número de boletos vendidos de cada
precio si en total se vendieron 275 boletos y el ingreso fue de $ 1.187,50.
SOLUCIÓN. Sea
b) Una lancha recorre 6 km en 40 minutos a favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora. Encontrar la
rapidez de la lancha en agua tranquila y la rapidez de la corriente.
c) Dos ciclistas, Néstor y Raúl, salen simultáneamente del pueblo X hacia el pueblo Y, que distan entre si 60 km. Néstor
viaja 4 km/h más lento que Raúl. Raúl llega a Y y regresa de inmediato, encontrándose con Néstor a 12 km de Y. ¿Cuál es
la velocidad de Néstor?
6. Representar en la recta real los siguientes números irracionales. EXPLICA EL PROCEDIMIENTO PARA CADA CASO.
a) √2
b) √3
c) √5
d)√7
e) √8
f) √28
g) √45
h) √12
7. Extrae todos los factores fuera del radical que sea posible, teniendo en cuenta que siempre es un entero: la raíz
cuadrada de un cuadrado perfecto, la raíz cúbica de un cubo perfecto, la raíz cuarta de un cuarto perfecto, etc:
JUSTIFICA.
a) 5√64
b) 3√243
c) √x4
d) 3√27.a.b3
8. Halla la suma de radicales, sabiendo que esto es posible cuando los radicales son semejantes, esto es cuando tienen
igual índice e igual radicando, luego de extraer todos los factores posibles fuera del radical. JUSTIFICA.
a) 4√3 + 2. 4√3 + 3. 4√3
b) √12 + 3.√90 - √5
c) 2.√x – 1 – 3.√x – 1 + 5.√x – 1
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9. Reduce a índice común los siguientes radicales, hallando el mínimo común múltiplo de todos los índices. JUSTIFICA.
a) √2, 3√6
b) 3√5, 12√64
c) √x, 4√x3, 3√x
10. Halla el producto de los radicales, sabiendo que si no tienen igual índice, lo puedes reducir a índice común.
JUSTIFICA.
a) √2 . √3 . √5
b) 3√3 . 3√5
c) 3√7 . 4√11
d) √2 . 3√5 . 4√4
11. Elimina los radicales del denominador y simplifica. JUSTIFICA.
a) 5
√5
SOLUCIÓN. Básica la técnica consiste en eliminar el número irracional del denominador por la simple razón que ningún
número puede ser dividido por un número irracional, pues no se puede repartir (dividir) un número en un número de
partes que no sabemos donde termina, pues el irracional es un número decimal de cifras decimales infinitas no
periódicas. Para ello se utiliza: cuadrado perfecto, cubo perfecto, cuarto perfecto, diferencia de cuadrado. Sólo debes
reconocer cual es la situación y cual utilizar.
En este caso para eliminar la raíz cuadrada de 5 necesito obtener un cuadrado perfecto, pues la raíz cuadrada de un
cuadrado perfecto es un entero. Para ello podemos multiplicar todo el ejercicio por uno pues ello no modificará el
número y sabemos que ese uno lo podemos escribir como el cociente de cualquier número con la única condición que el
numerador sea igual que el denominador. En particular para este caso ese uno nos conviene que sea la raíz cuadrada de
5, pues al multiplicar por la otra la raíz cuadrada de 5 obtendremos la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto que
simplemente será 5; o sea,
5. 1
√5
5 . √5
√5 √5
5 . √5
√52
5 . √5
5
Y como 5 dividido por 5 es 1, nos queda solamente √5.
Chequemos con la calculadora hallando la expresión decimal aproximada del ejercicio original y la expresión
aproximada del ejercicio convertido, en este caso la raíz de 5 que es aproximadamente 2,236067978….. Ahora hallamos
5 dividido por la raíz de 5, que también nos da 2,236067978…. Por lo tanto esta bien lo que hicimos.
b) 5
3√5
c) 2
4√4
d)
1
√x + 1
e)
1 .
√3 - √2
SOLUCIÓN. Para este caso debemos utilizar la diferencia de cuadrados que dice algebraicamente lo siguiente:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Por lo tanto hacemos:
1
.1
√3 - √2
1
. √3 + √2
√3 - √2 √3 + √2
√3 + √2
√32 - √22
√3 + √2
3 – 2 , pues la raíz cuadrada de tres al cuadrado es tres como la raíz cuadrada de dos al cuadrado es dos
√3 + √2
1
√3 + √2
Chequemos con la calculadora hallando aproximadamente su expresión decimal de 1 dividido por el resultado de raíz
de 3 menos la raíz de 2; o sea, 1 : (√3 - √2) que es aproximadamente 1 : ( 1,732050808… - 1,414213562… ) que da
aproximadamente 3,14626437….
Ahora hallemos √3 + √2 que si da el mismo resultado estará bien: veamos, 1,732050808… + 1,414213562… que da
aproximadamente 3,14626437….
f) √2 .
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√3 - √2
g)
√3 .
2 + √3
SOLUCIÓN. Para este caso debemos utilizar la diferencia de cuadrados que dice algebraicamente lo siguiente:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Por lo tanto hacemos:
√3
.1
2 + √3
√3
. 2 - √3
2 + √3
2 - √3
√3.(2 - √3)
22 - √32
2√3 - √32
4 – 3 , pues la raíz cuadrada de tres al cuadrado es tres
2√3 - 3
1
2√3 - 3
Chequemos con la calculadora hallando aproximadamente su expresión decimal de raíz de tres dividido por el
resultado dos más la raíz de 3; o sea, √3 : (2 + √3) que es aproximadamente 1,732050808… : (2 + 1,732050808…) que
da aproximadamente 0,464101615….
Ahora hallemos 2√3 - 3 que si da el mismo resultado estará bien: veamos, 2.1,732050808… - 3 que da
aproximadamente 0,464101615….
12. Hallen el valor exacto del volumen del cuerpo. JUSTIFICA.
√15
√10
√6
13. En el círculo de centro O y radio 10 cm, AC es un diámetro, OD es perpendicular a AC y el ángulo AOB = 120°.
Hallar el área de la figura no sombreada dentro de la circunferencia. JUSTIFICA.
.
14. Sea ABC un triángulo tal que AB es 3, AC mide el número irracional raíz cuadrada de 13 y BC mide también el
número irracional de la raíz cuadrada de 34. Hallar la altura del triángulo ABC correspondiente al vértice A. JUSTIFICA.
15. Con una cartulina rectangular, cuyos lados miden 25 cm y 20 cm, se quiere construir una caja. JUSTIFICA.
x
Se cortan en las esquinas 4 cuadrados (los sombreados) siendo x la medida del lado de cada uno. La caja se forma
plegando la cartulina por las líneas de puntos.
a) Expresen mediante una función polinómica el volumen de la caja.
b) Expresen mediante una función polinómica la superficie de la base.
16. Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. JUSTIFICA.
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x
x-2
x+4
17. Dados los siguientes polinomios. JUSTIFICA.
P (x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 7; Q (x) = 2x2 – 2x + 3 ; R (x) = x3 + x2 – 6x + 2 ;
a) Halla el grado de cada polinomio.
SOLUCIÓN. El grado del polinomio esta dado por el termino no nulo de mayor grado. Por lo tanto el termino no nulo de
mayor grado de P(x) es 2x3, entonces el grado de P(x) es 3.
El termino no nulo de mayor grado de Q(x) es 2x2, por lo tanto el grado de Q(x) es 2.
El termino no nulo de mayor grado de R(x) es x3, por lo tanto el grado de R(x) es 3.
b) Halla P (x) + R (x) y el grado del polinomio suma.
SOLUCIÓN. Para sumar dos polinomios lo único que debemos hacer es encolumnar los términos del mismo grado y
sumar o restar según sea el caso de los signos.
P (x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 7
R (x) = x3 + x2 – 6x + 2
P(x) + Q(x) = 3x3 - 2x2 – 2x – 5
c) Halla P (x) – Q (x) y el grado del polinomio resta.
SOLUCIÓN.
Para restar dos polinomios se resuelve sumando al primero el opuesto del segundo; es decir P (x) + (– Q (x))
Esto significa que a P(x) se le suma el opuesto de Q(x); es decir:
P (x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 7
+
-Q (x) =0x3 -2x2 + 2x – 3
2x3 – 5x2 + 6x – 10
d) Halla Q (x) . R (x) y el grado del polinomio producto.
SOLUCIÓN. Aquí lo que debemos hacer es aplicar una múltiple distributiva; es decir, multiplicar todo por todo y luego
encolumnar los términos de igual grado y luego sumar o restar según sea el caso de los signos que tengan.
Q (x) =
2x2 – 2x + 3
x R (x) = . x3 + x2 – 6x + 2
4x2 – 4x + 6
3
-12x + 12x2 – 18x
4
2x - 2x3 + 3x2
5
2x - 2x4 +3x3
.
2x5+0x4 -11x3 + 19x2 – 22x + 6
18. Realiza las siguientes divisiones. JUSTIFICA.
a) (3x3 – 2x2 + x – 1) : (x2 + x + 1)
SOLUCIÓN. Realizaremos la división práctico, esto es como si estuviéramos dividiendo dos números.
Polinomio dividendo
_3x3 – 2x2 + x – 1
3x3 + 3x2 + 3x
0x3 - 5x2 - 2x - 1
- -5x2 - 5x - 5
0x2 + 3x + 4
Polinomio divisor
∣x2 + x + 1
Para hallar el primer cociente lo que debemos hacer es tomar el primer
3x - 5
Polinomio Término del polinomio dividendo y dividir por el primer término del
cociente divisor; o sea, 3x3 : 1x2 es 3 dividido por 1 y se aplica el cociente de
potencias de igual base donde se restan los exponentes, entonces nos
queda 3x3-2 = 3x. Luego se multiplica el 3x por cada término del
polinomio divisor; o sea, 3x(x2 + x + 1) es igual 3x.x2 +3x.x + 3x.1 es
3x3 + 3x2 + 3x, que le restamos a 3x3 – 2x2 + x y para obtener el primer
resto. Luego bajamos el -1. Ahora dividimos -5x2 : x2 = -5x2-2 = -5.1 = -5.
Ahora multiplicamos por el polinomio divisor cuyo resultado le
restamos a -5x2 - 2x – 1; o sea, -5.( x2 + x + 1) que es igual a -5x2 - 5x – 5.
El resto es 3x + 4.
Verifiquemos si la división es correcta: sabemos por la condición de división entre números cumple que el dividendo es
igual al divisor por el cociente más el resto: 3x3 – 2x2 + x – 1 = (x2 + x + 1) : (3x – 5) + (3x + 4)
b) (4x5 + 15x4 + 26x3 + 10x2 – 9x – 20) : (x2 + 3x + 4) c) (3x4 – 2x2 – 5x + 3) : (x – 2)
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19. Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones. JUSTIFICA.
a) (x4 + 1) : (x – 1)
SOLUCIÓN. como el polinomio no está completo, pues faltan los términos de grado 3, 2 y 1, lo completamos con ceros;
es decir, x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1; y este polinomio completo y ordenado de mayor grado a menor grado, lo dividimos por
x – 1, de la siguiente disposición práctica.
En la parte superior dentro de la H se coloca las raíces del polinomio; o sea, 1 0 0 0; y fuera de la H en la parte superior
derecha escribimos el termino de grado cero; o sea, 1 y fuera de la H en la parte inferior izquierda, escribimos el
opuesto de -1 que está en el polinomio divisor. Entonces nos queda lo siguiente:
1
0
+
0
+
0
1
+
-(-1) = 1
+1 +1 +1 +1
1 +1 +1 +1 +2
De donde resulta que 1, -1, +1, -1 son los coeficientes del polinomio cociente cuyo grado será uno menos que el grado 4
de P(x), pues éste se divide por x – 1 cuyo grado es uno; entonces el polinomio cociente C(x) será 1x3 + 1x2 + x + 1 y
cuyo resto R(x) es +2.
OBSERVACIÓN. Si hallamos la imagen del opuesto de -1 a través de P, obtendremos el resto de la división que a veces es
muy útil para determinar si un polinomio es divisor de otro pues si su resto es cero entonces es divisor. Veamos si con
esta técnica podemos hallar el resto 2 de esta división:
R(1) = 14 + 1 = 1 + 1 = 2 . Coincide el resto 2 por Ruffini y por el teorema del resto.
Para utilizar este teorema, lo único que hacemos es reemplazar x por el opuesto del término de grado cero del
polinomio divisor.
b) (x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x + 1 )
c) (3x2 + 4x + 3) : (x + 3)
d) (3x3 + 4x2 – 3x + 5) : ( x + 2)
20. Aplicando el Teorema del Resto, indiquen en cada caso, si la división es exacta. JUSTIFICA.
a) (3x4 – x2 + 2x – 1) : (x – 1)
SOLUCIÓN. Lo que hacemos es reemplazar a x por el opuesto de -1, que es +1, de la siguiente manera:
Simbolizamos el Teorema del Resto con R:
R(+1) = 3(1)4 – (1)2 + 2(1) – 1 = 3.1 -1 + 2 – 1 = 3 – 1 + 2 – 1 = 3
b) (2x3 + x2 + x + 2) : (x + 1)
SOLUCIÓN. R(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) + 2 = 2(-1) + 1 – 1 + 2 = -2 + 1 – 1 + 2 = 0
CONCLUSIÓN. Como el resto es cero, significa que x + 1 divide a 2x3 + x2 + x + 2
21. Halla el área de la zona sombreada de dos formas diferentes. En todos los casos, cada figura es el resultado de haber
combinado otras figuras como si fuera un rompecabezas.
a)
c) x
x
b
b
a
b
a
b)
x
b
a
x
d)
x
x
x
x
a
a
a
a
x
a
a
x
x
22. Dado el polinomio P(x) = x3 + 125:
a) Iguala a cero dicho po|linomio; es decir P(x) = 0.
SOLUCIÓN. x3 + 125 = 0
b) Encuentra el valor de x que anula a dicho polinomio; o sea encuentra el valor de x que hace que x3 + 125 sea igual a
cero.
SOLUCIÓN.
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x3 + 125 = 0, como esta suma es cero, significa que x3 es igual al opuesto de 125, pues la suma de dos opuestos es cero;
entonces x3 = -125. Acá vale la siguiente pregunta, ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces nos da el opuesto
de 125? Pensemos un poco: como se multiplica una cantidad impar de veces debe resultar negativo el número que
estamos buscando. Bien, ya sabemos que el número es negativo. Ahora, ¿qué número multiplicado tres veces por sí
mismo nos da 125? Y… ese número es 5, por lo tanto, x = -5. Este número es la raíz de la ecuación.
c) Halla el cociente C(x) de (x3 + 125) : ( x + 5) por Ruffini. ¿Qué resto tiene esta división?
SOLUCIÓN. para aplicar el Teorema de Ruffini, el polinomio dividendo debe estar completo y ordenado. En este caso
faltan los términos de grado 2, 1, que completaremos con ceros: x3 + 0x2 + 0x + 125, que dividiremos por el opuesto de
+5, que es -5.
1
0
0
125
+
+
+
-5
-5
25
-125
1
-5
25
0
Entonces C(x) es 1x2 - 5x + 25. La división tiene resto cero.
d) Grafica utilizando Geo Gebra la función asociada a C(x). La curva obtenida, ¿corta al eje x?¿en qué puntos?
SOLUCIÓN.
La gráfica que se obtiene es una curva que no llega a cortar al eje x, pues la gráfica viene de arriba hasta cerca de “y”
luego dobla y vuelve para arriba.
e) Escriban al polinomio dividendo como el producto del polinomio divisor por el polinomio cociente más el polinomio
resto.
SOLUCIÓN. Esto significa que al polinomio lo escribiremos como producto de otros dos polinomios; es decir,
(x3 + 125) será igual a ( x + 5) multiplicado por el polinomio cociente obtenido por Ruffini; o sea,
x3 + 125 = ( x + 5) . (1x2 - 5x + 25).
23. Dado el polinomio P (x) = 2x2 + x – 1
a) Grafica la función asociada a P (x), utilizando Geo Gebra. La curva obtenida, ¿corta al eje x? ¿en qué puntos?
SOLUCIÓN. la curva que se obtiene es una curva que corta al eje x en dos puntos: primero en el punto A cuya
coordenadas son (-1;0) y en el punto B, cuya coordenada es (0,5;0). Estos puntos: x = -1, x = 0,5 se llaman raíces de la
ecuación 2x2 + x – 1, pues lo anulan a la ecuación en esos puntos, pues para x = -1 se verifica 2(-1)2 + (-1) – 1 = 2.1 – 1 –
1 = 0 y para x = 0,5 se verifica 2(0,5)2 + (0,5) – 1 = 2.0,25 + 0,5 – 1 = 0,5 + 0,5 – 1 = 1 – 1 = 0
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MATEMÁTICA DE 4º AÑO CICLO BÁSICO SECUNDARIO
b) Escriban al polinomio dividendo como el producto del polinomio divisor por el polinomio cociente más el polinomio
resto.
SOLUCIÓN.
El polinomio 2x2 + x – 1 es divisible por el Teorema de Ruffini por las raíces de la ecuación; o sea por x = -1 y x = 0,5.
Veamos
2
1
-1
2
1
-1
+
+
+
+
-1
-2
+1
0,5
+1
+1
2
-1
0
2
+2
0
C(x) = 2x -1
o
C(x) = 2x + 2
Por lo tanto (2x2 + x – 1) puede escribirse como el producto de los polinomios (2x – 1) . (x + 1) o (2x + 2) . (x – 0,5)
c) Realiza lo mismo para Q (x) = x2 - 16x – 161
24. Factoricen (transformar la suma en un producto) los siguientes polinomios:
a) x2 + x
SOLUCIÓN. Observemos que x2 + x es lo mismo que x.x + x. Y aquí vemos que hay un factor que se repite en ambos
términos, que es x, por lo tanto a este factor se lo llama factor común (pues es común en ambos términos); por lo tanto,
podemos escribir esta suma como si fuera una multiplicación en la cual todavía no se aplica la propiedad distributiva de
la multiplicación respecto de la suma; o sea, x(x + 1). Entonces, el polinomio x 2 + x es lo mismo que x(x + 1), lo que
significa que se ha factorizado, esto es, se ha transformado la suma x 2 + x en una multiplicación: x(x + 1). Es decir,
x2 + x = x.(x + 1) Hemos factorizado, utilizando lo que se llama el primer caso de factoreo: EL FACTOR COMÚN
b) 3ma – 12 mx2 + xa – 4x3
SOLUCIÓN. Aquí observemos que podemos reagrupar toda la suma de la siguiente manera: (3ma + xa) – 12mx2 – 4x3,
para que podamos hacer lo siguiente: (3ma + xa) – (12mx2 + 4x3). Entonces en el primer paréntesis aparece a como
factor común y en el segundo paréntesis aparece como factor común 4x 2, por tanto a factorizarlos nos queda:
a.(3m + x ) – 4x2.(3m + x). Y aquí nuevamente en ambos términos aparece ahora (3m + x) como factor común, por lo
tanto puede volverse a Factorizar de la siguiente manera: (3m + x).(a – 4x2). Hemos trasformado la suma en una
multiplicación; es decir, 3ma – 12 mx2 + xa – 4x3 = (3m + x).(a – 4x2). Hemos utilizado lo que se llama el segundo caso
de factoreo: EL FACTOR COMÚN POR GRUPOS.
c) 4x2 – 9
SOLUCIÓN. Observemos que este polinomio lo podemos escribir de la siguiente manera: 2 2x2 – 32 que es los mismo que
(2x)2 – 32. Esto es una diferencia de cuadrado que se puede escribir como el producto de la suma por una diferencia de
las bases de esas potencias de los cuadrados perfectos; o sea, (2x – 3).(2x + 3). Si ustedes realizan la doble distributiva
comprobaran que da el mismo resultado.
Aquí nuevamente, hemos transformado la suma en una multiplicación; es decir, 4x2 – 9 = (2x – 3).(2x + 3). Utilizando el
tercer caso de factoreo: DIFERENCIA DE CUADRADOS.
d) x2 + 4x + 4
SOLUCIÓN. Observemos que aquí hay tres términos muy particulares, pues dos de ellos son cuadrados perfectos, el x2 y
el 4 = 22, y el tercer término es el producto de 2 por las bases de esas potencias cuadradas, pues 4x = 2.x.2, y cuando
todas esta condiciones se dan, decimos que el trinomio es un cuadrado trinomio perfecto, que resulta del desarrollo del
cuadrado de un binomio que en este caso estará formado por la suma de las bases de las potencias cuadradas como
sigue: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 = (x + 2).(x + 2). Queda factorizado utilizando el tercer caso de factoreo que es el llamado
CUADRADO DE UN BINOMIO.
e) x3 – 8
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SOLUCIÓN. Igualamos a cero x3 – 8 = 0 y resolvemos x3 = 8 entonces para encontrar el valor de x hallamos la raíz cúbica
de 8 que es 2, lo que significa que la raíz de esta ecuación es 2, por lo que el polinomio x3 – 8 es divisible por otro
polinomio que tendrá la forma x -2. Para encontrar el polinomio cociente utilizamos Ruffini, para ello completamos y
ordenamos: x3 + 0x2 + 0x – 8
1
0
0
-8
+
+
+
+2
+2
+4
+8
1
+2
+4
0
Como el resto es cero, significa que tiene un polinomio que lo divide exactamente, eso implica que lo podemos escribir
como el producto de dos factores; o sea, x3 – 8 = (1x2 + 2x +4).(x - 2)
f) x3 + 8
SOLUCIÓN. Igualamos a cero x3 + 8 = 0 y resolvemos x3 = -8 entonces para encontrar el valor de x hallamos la raíz
cúbica de -8 que es -2, lo que significa que la raíz de esta ecuación es -2, por lo que el polinomio x3 + 8 es divisible por
otro polinomio que tendrá la forma x + 2. Para encontrar el polinomio cociente utilizamos Ruffini, para ello
completamos y ordenamos: x3 + 0x2 + 0x + 8
1
0
0
+8
+
+
+
-2
-2
+4
-8
1
-2
+4
0
Como el resto es cero, significa que tiene un polinomio que lo divide exactamente, eso implica que lo podemos escribir
como el producto de dos factores; o sea, x3 + 8 = (1x2 - 2x +4).(x + 2)
g) x6 – 64
SOLUCIÓN. Igualamos a cero x6 - 64 = 0 y resolvemos x6 = 64 entonces para encontrar el valor de x hallamos la raíz
sexta de 64 que es 2, lo que significa que la raíz de esta ecuación es 2, por lo que el polinomio x6 - 64 es divisible por
otro polinomio que tendrá la forma x - 2. Para encontrar el polinomio cociente utilizamos Ruffini, para ello
completamos y ordenamos: x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 64
1
0
0
0
0
0
-64
+
+
+
+
+
+
+2
+2
+4 +8 +16
+32
+64
1
+2
+4 +8 +16
+32
0
Como el resto es cero, significa que tiene un polinomio que lo divide exactamente, eso implica que lo podemos escribir
como el producto de dos factores; o sea, x3 - 64 = (1x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x +32).(x - 2)
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