Potencias de números enteros

Matemática
Para grado 6º y 7º
Programa de Bachillerato Semipresencial y a Distancia
Fundación Atenea y Centro Educativo Bolivariano
Enlace para ver los Videos de Apoyo en Matemática:
http://www.bachilleratohumanista.com/multi/multi.html
http://www.southamericanuniversity.org/videos/matematica/factorizacion.html
Más Videos sobre Polinomios, Sistemas de Ecuaciones, Trigonometría y más en:
http://www.southamericanuniversity.org/videos/matematica/matematica1.html
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Matemática para grado 6° y 7°
Núcleo 1
Números naturales
Los distintos tipos de números
Los niños usan los números naturales para aprender a contar. Sin embargo, este tipo de números
es demasiado limitado para resolver algunos problemas, como los de geometría. Por tanto, se hizo
necesario crear nuevos números y añadirles elementos nuevos, tales como signos, comas, rayas
de fracción, radicales, etc.
¿Cuáles son los diferentes tipos de números?
I. Una breve historia de los números
1. Números naturales
Tal como nos sugiere el adjetivo “naturales”, estos son los primeros números que todos usamos:
igual que los niños aprenden a contar usando sus dedos, los seres humanos comenzaron a contar
objetos o animales. De forma natural, nosotros contamos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, y es algo que
preocupa mucho a los matemáticos, ¡los números naturales comienzan en el 0, no en el 1!
NUMEROS NATURALES:
Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son
aquellos números positivos y sin parte decimal.
N= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}
2. Los números racionales
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Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de longitudes
provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones; estos nuevos números son
conocidos en matemáticas como números racionales, como el número , por ejemplo. Los
griegos solo sabían acerca de los números naturales (excepto el cero) y de los números
racionales.
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los
naturales, enteros.
Estos números son fracciones del tipo , donde a y b son números enteros y
La letra Q es la usada para nombrar al conjunto de los números racionales.
Ejemplos:
.
y son números racionales.
Todos los números decimales pueden ser escritos como fracción, por ejemplo:
Por lo tanto, cada número decimal es un número racional. En otras palabras:
.
.
3. Los números irracionales
Los discípulos de Pitágoras demostraron que la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado
midiera 1, no era un número racional.
En la actualidad escribimos este número como
y si lo resolvemos, obtenemos un número
decimal infinito cuya parte decimal no es periódica. A este tipo de números, cuyo resultado nunca
puede obtenerse como cociente de dos enteros, los llamamos números irracionales.
NUMEROS IRRACIONALES:
Son los números que poseen infinitas cifras decimales.
p = 3,141592354....
e = 2,7182818....
4. Los números decimales
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Son los mismos números irracionales.
Los números decimales se pueden obtener de dos formas distintas: como resultado de una
división inexacta o al resolver una raíz cuadrada inexacta. Se pueden distinguir fácilmente
observando la parte decimal del número (la que va a la derecha de la coma):
—en los primeros, lo que encontramos detrás de la coma casi siempre suele ser una cantidad
infinita y periódica —que se repite— (8,3333333333…).
—en los segundos no hay parte periódica, son números infinitos, pero su parte decimal no se
repite (1,4142135623730950488016887242097).
Nota: la parte periódica de los números decimales puede ser pura (8,333333333…) o mixta
(6,23444444444…), cuando la parte periódica no aparece justo después de la coma.
El matemático holandés Simon Stevin publicó el primer tratado de los números decimales, El
arte de las Décimas, en el siglo XVI. La notación que él usaba no era como la que usamos en la
actualidad: si quisiéramos escribir el número 6,19 tendríamos que hacerlo diciendo “6 más 1
primo más 9 segundos”. Las palabras “primo” y “segundo” indicaban respectivamente lo que hoy
conocemos como décimas y centésimas.
La notación que usamos en la actualidad para los números decimales data de principios del siglo
XVII.
5. Los números negativos
Hay evidencias de que los números negativos ya eran usados en la India en el siglo VII. Es
importante destacar que los hindúes usaban el cero, una condición necesaria para concebir los
números negativos. Los números negativos eran llamados “números de débito” por razones
comerciales, tal como podemos ver hoy día en los informes de cuentas de las empresas o de los
bancos, que contienen una columna de datos llamada “debe” (donde se anotan los gastos) y otra
para el “haber” (donde se van apuntando los ingresos).
El uso de los números negativos en Occidente llegó mucho más tarde. Los matemáticos del
Renacimiento italiano, que eran especialistas en álgebra (parte de las matemáticas dedicada a las
ecuaciones), comprendieron que sin los números negativos no podían resolver ciertas
ecuaciones (x + 7 = 0, por ejemplo). Sin embargo, no estaban seguros de que este tipo de
números fueran los correctos. Y aún en el siglo XVII, el matemático francés Descartes describía
los números negativos como los “números falsos”.
No fue hasta el siglo XIX cuando los números negativos fueron tratados, finalmente, como
verdaderos números.
6. Los números enteros
Es el conjunto de números que contiene tanto los valores enteros positivos (o naturales) como los
negativos (enteros negativos). Se caracterizan porque siempre van precedidos de un signo que los
identifica: '+' para los positivos o '-' para los negativos. Se usa la letra Z (en alemán, Zahl,
significa número) para designar al conjunto de todos los números enteros (Z+ y Z-)
5
Ejemplos: +3, 0 y -72 son números enteros.
Nota: todos sabemos que los números enteros positivos se pueden escribir sin usar el signo “+”
delante de ellos. Por ejemplo: +7 = 7.
En consecuencia, los números naturales son también números enteros positivos (Z+). En
matemáticas, decimos que el conjunto de los número naturales (N) está incluido en el conjunto de
los números enteros (Z). Esto se expresa de la siguiente manera:
.
NUMEROS ENTEROS
Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de
referencia, podemos indicar con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si
se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos:
- Conjunto de números positivos
- Conjunto de números negativos
El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama
conjunto de números enteros.
6
El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números
cardinales y los enteros negativos, representados por la letra mayúscula I. Esto es,
I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Reglas para efectuar operaciones con los números enteros
A. Suma
Positivo + Positivo : Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.
Ejemplos: 8 + 7 = 15; 5 + 11 = 16
Negativo + Negativo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo.
Ejemplos: -12 + -4 = -16; -9 + - 6 = - 15
Positivo + Negativo o Negativo + Positivo: Se halla la diferencia de los valores
absolutos de los números. El resultado es positivo, si el número positivo tiene el valor
absoluto mayor. El resultado es negativo, si el número negativo tiene el valor absoluto
mayor.
Ejemplos: 13 + -6 = 7; 19 + - 11 = 8; -14 + 6 = -8; -12 + 7 = -5; 3 + (-3) = 0
B. Resta
Cuando se resta números enteros, se cambia el ejercicio de resta a la suma de su
opuesto. El número que está siendo restado se llama sustraendo. El sustraendo es el
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número que está después del signo de resta. El signo de resta se reemplaza por el
signo de suma y se busca el opuesto del sustraendo. Luego de transformar el ejercicio
de resta a suma, se procede con las reglas de suma de números enteros. Esto es,
si a y b son enteros, entonces, a – b = a + (- b).
Ejemplos: 8 – 12 = 8 + (-12) = -4
8 – (-12) = 8 + 12 = 20
-2 – (-10) = -2 + 10 = 8
-2 – 10 = -2 + (-10) = -12
C. Multiplicación
Positivo x
Positivo x
Negativo x
Negativo x
Positivo = Positivo
Negativo = Negativo
Positivo = Negativo
Negativo = Positivo
Ejemplos: 3 x 5 = 15: 3 x (-5) = -15; -3 x 5 = -15; -3 x (-5) = 15
D. División
Positivo ÷ Positivo = Positivo
Positivo ÷ Negativo = Negativo
Negativo ÷ Positivo = Negativo
Negativo ÷ Negativo = Positivo
Ejemplos: 28 ÷ 4 = 7; 28 ÷ (-4) = -7; -28 ÷ 4 = -7; -28 ÷ (-4) = 7
3. Los números decimales
También hay números decimales positivos y negativos. Se usa la letra D para denominan a este
conjunto numérico.
Ejemplos: 12,258 y – 45,6.
Cualquier número entero positivo puede ser escrito como número decimal, es decir, usando coma
decimal, por ejemplo: – 2 = – 2,0.
En consecuencia, cualquier número entero es un número decimal. En otras palabras:
.
5. Los números reales
A pesar de lo dicho en el párrafo anterior, existen un tipo de números decimales que no surgen de
la división de dos enteros. Es decir, que no forman parte del conjunto de los números racionales.
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Tenemos como ejemplo , el cual no es racional. Este conjunto de números recibe el nombre de
números irracionales.
Todos los tipos de números descritos hasta ahora, forman lo que se conoce como el conjunto de
los números reales. La letra R es usada para representar al conjunto de los números reales.
Ejemplos: 5; – 29; – 49,21; ; y son números reales.
En la ilustración inferior puedes observar una clasificación de los números de este ejemplo, cada
uno de ellos dentro del conjunto al cual pertenece:
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Núcleo 2
Expresiones numéricas
Calcular una expresión numérica utilizando la calculadora
Con la ayuda de la calculadora, vamos a resolver la siguiente expresión numérica: 2 + 3 × 4. Si
introducimos la siguiente secuencia: 2 + 3 × 4 =, nos dará como resultado 20 o 14,
dependiendo del tipo de calculadora. ¿Por qué obtenemos estos resultados tan diferentes?
—Si el resultado es 20, la calculadora es “normal”; es decir, su manera de llevar a cabo las
operaciones es en el mismo orden en que nosotros las hemos introducido. En el ejemplo
propuesto, calculará primero 2 + 3 = 5, y después multiplicará el resultado por 4; 5 × 4 = 20.
—Si el resultado es 14, la calculadora es “científica”; es decir, su forma de calcular el resultado
será haciendo un uso correcto del orden de jerarquía de las operaciones. En el ejemplo, ella
primero realizará la multiplicación 3 × 4 = 12, y después hará la suma: 2 + 12 = 14.
I. Calcular una expresión sin fracciones
1. Con una calculadora ordinaria
Observa de nuevo la expresión 2 + 3 × 4. Como ya sabemos, la primera operación que hay que
realizar es la multiplicación (ver artículo Orden de las operaciones). Con una calculadora
“normal”, la expresión debe ser introducida con las teclas en este orden:
3 × 4 + 2 =
Si la expresión que vamos a calcular tuviera paréntesis, deberíamos empezar la secuencia de
teclas introduciendo primero la operación que se encuentra entre paréntesis. Por ejemplo, para
calcular la expresión: 2 × (3 + 4), deberíamos introducir la siguiente secuencia en la calculadora:
3 + 4 × 2 =
Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis, debemos comenzar por aquellas operaciones que se
encuentran dentro de los paréntesis más internos. Por ejemplo, para calcular la expresión
2 + (5 × (4 – 2)), deberíamos introducir la siguiente secuencia:
4 – 2 × 5 + 2 =
2. Con una calculadora científica
Con una calculadora científica podemos introducir la expresión tal como aparece: escribiéndola
tal como la leemos, de izquierda a derecha, gracias a que tiene teclas especiales que nos permiten
escribir los paréntesis.
Ejemplo: para calcular la expresión 2 × (6 – (7 – 3 × 2)), introducimos la secuencia:
2(6 – (7 – 3 × 2)) =
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II. Calcular expresiones con fracciones
Damos por hecho que vamos a usar una calculadora científica.
Cuando una expresión numérica contiene un cociente escrito mediante fracción debemos fijarnos
en el aspecto que tienen el numerador y el denominador. Especialmente comprobaremos si
contienen alguna operación que sea necesario resolver antes de empezar.
En ese caso, debemos escribir la expresión reemplazando la raya de fracción por el símbolo de
división (:), y escribiremos el contenido del numerador y del denominador entre paréntesis.
Ejemplo 1: queremos calcular la expresión:
Escribiremos la expresión de esta otra forma: A = 3 + (6 + 4) : (7 – 2).
Debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 3 + (6 + 4) : (7 – 2) =
Y obtendríamos 5 como resultado.
Ejemplo 2: queremos calcular la siguiente expresión:
Para empezar, la expresión puede ser escrita así:
Por lo tanto, también de la siguiente manera: B = 7 – 9 : [(1 + 4) : (2 + 3)].
Para resolverla debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 7 –
9 : ((1 + 4) : (2 + 3)) =
Y obtenemos como resultado: –2.
Escribir una expresión numérica correspondiente a una
secuencia de operaciones
Vas al mercado y compras tres lechugas a 0,85 € cada una y dos coliflores a 1,95 € cada una. Si
has pagado con un billete de 10 €, ¿cuánto te tienen que devolver?
Aquí está la solución detallada que nos ha dado un alumno:
¿Sería posible escribir una expresión numérica que resuma todos los cálculos que se han
llevado a cabo? En otras palabras, ¿es posible escribir una expresión numérica que
contenga todos los datos del enunciado y que dé como resultado 3,55?
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I. Primer ejemplo: total a pagar y el cambio
Usemos el ejemplo de arriba. El total a pagar se puede calcular mediante la expresión: 2,55 + 3,9,
o bien, 0,85 × 3 + 1,95 × 2 (respetando las reglas de jerarquía u orden de las operaciones).
El cambio o la vuelta es la diferencia entre 10 euros y el precio total a pagar, y lo podemos
representar mediante esta expresión:
10 – (0,85 × 3 + 1,95 × 2), que resume los cálculos que hemos hecho, paso a paso, en el ejemplo
de la introducción.
II. Segundo ejemplo: cálculo de un área
La figura 1 nos muestra el plano de una casa. Vamos a escribir una expresión que nos permita
calcular el área del jardín.
El jardín es rectangular. Sus dimensiones (en metros) son:
—largo: 14 – 5;
—ancho: 10 – 6.
El área del jardín (en metros cuadrados) es por lo tanto igual a: (14 – 5) × (10 – 6).
Esta expresión resume todas las operaciones a realizar y nos permite calcular el área del jardín
(igual a 36 m²).
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Núcleo 3
Variables, Expresiones y Monomios
Variable
Variable, cada una de las letras que se utilizan en álgebra en expresiones algebraicas,
polinomios y ecuaciones, para designar números desconocidos. Véase Indeterminada.
También se llaman variables a las letras (x, y…) que se relacionan mediante las
funciones.
Expresión algebraica
Expresión algebraica, concatenación de números y letras ligados por operaciones
diversas. Por ejemplo:
son expresiones algebraicas. Véase también Monomio; Polinomio.
Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras,
números, potencias y signos.
Coeficiente
3a2
Grado
Parte literal
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Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y
al exponente le llamamos grado.
Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una
expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones
que se nos indiquen.
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej:
3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej:
2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 – 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Monomios
Monomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. También a un
número se le llama monomio. Son monomios: 4x2y
x
–
xz2; xy.
Las letras de un monomio se llaman variables o indeterminadas, pues representan
números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que
aparece multiplicando a las letras es el coeficiente.
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que
intervienen. Los números son monomios de grado cero.
Por ejemplo:
4x2y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x2y, y grado 3, pues la x está al
cuadrado y la y elevada a 1 (2 + 1 = 3)
x
–
xz2 es 4 –
expresado mediante operaciones que se dejan indicadas.
El coeficiente de xy es 1; su grado es 2.
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=
x0 puede considerarse como un monomio sin parte literal. Su
El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras es el número que
resulta al sustituir las letras por sus valores y efectuar las operaciones indicadas. El
valor numérico de 4x2y para x = -5 e y = 7 es 4 · (-5)2 · 7 = 700.
Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal. Para sumar monomios
semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. Por ejemplo: 7x2y +
11x2y – x2y = (7 +11 –1) x2y = 17x2y
La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar, se ha de dejar
indicada.
El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los
coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. El grado del
monomio producto es la suma de los grados de los monomios factores. Así,
(5x2y
xyz
x2yxyz
x3y2z
El cociente de dos monomios no es, en general, un monomio. Sólo lo será cuando la
parte literal del dividendo sea múltiplo de la parte literal del divisor. Por ejemplo,
7x2y/2xy = (7/2)x sí es monomio porque x2y es múltiplo de xy; 7x2y/2xyz = 7x/2z no es
monomio.
En matemática superior se considera que el número cero es un monomio de grado
“menos infinito” con el fin de que se respete la regla de que el grado del producto de los
monomios es igual a la suma de los grados de los factores.
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Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario
que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte
literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 – 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.
Ej: 2x3 + 5x3 – 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean
semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se
suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja
la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
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Núcleo 4
Polinomios
Polinomio
1
INTRODUCCIÓN
Polinomio, suma de monomios, cada uno de los cuales se denomina término del
polinomio. También los monomios son considerados polinomios de un solo término. Los
polinomios con dos términos se llaman binomios, y los de tres, trinomios.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Los polinomios más comúnmente utilizados son aquellos en los que sólo interviene una
indeterminada o variable. Su expresión más general es: P(x) = a0xn + a1x n -1 + a2x n -2
+…+ an -1x + an
En este artículo se tratarán los polinomios con una indeterminada.
2 ADICIÓN DE POLINOMIOS
Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los
monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos
polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los
términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es
automática.
Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:
La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por
lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se
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obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su
opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el
opuesto de Q(x).
3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno
por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el
producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2
+ 4:
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo
altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de
otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento
inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que
sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que P(x)·[Q(x) + R(x)] = P(x)·Q(x) +
P(x)·R(x)
4 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado n al
proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen las
siguientes condiciones:
P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)
grado de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1
18
Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y
resto.
Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y
divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 +
2x - 1:
El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
• El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del
numerador por el del denominador: 5x3/x2 = 5x
• Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.
• Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.
• El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que
el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x,) y se
cumple la relación: P(x) = Q(x)·C(x)
19
Si todavía no has comprendido…..
Más información sobre polinomios
Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + ... + a n
Donde n Î N (número natural) ; a0, a1, a2, ... , an son coeficientes reales (pertenecientes
al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.
Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de
potencia más alto.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 3x – 4 Polinomio de grado 2
R(x) = 3 Polinomio de grado 0
Q(x) = x5 + 7 x3 – 2 Polinomio de grado 5
M(x) = 0 Polinomio nulo.
Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un
valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.
Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 hallar P(2) Þ P(2) = 22 + 3.2 – 4 Þ P(2) = 4 + 6 – 4Þ P(2) =
6
Polinomio opuesto: Dado dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus
coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se
ubica un "-" delante del polinomio.
Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 (es opuesto a) - P(x) = - x2 – 3x + 4
Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus
coeficientes de igual grado, son iguales.
Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este
apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.
Adición De Polinomios: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y
otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la
práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la
misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos
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semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los
términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.
Para sumar P(x) = 3x4 – 5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:
P(x) + Q(x) = (3x4 – 5x2 + 7x) + (x3 + 2x2 – 11x + 3)
= 3x4 + x3 + x2 (2– 5) + x (7 – 11) + 3 =
= 3x4 + x3 – 3x2 – 4x + 3
La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera,
por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se
obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su
opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el
opuesto de Q(x).
Multiplicación De Polinomios:
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno
por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios
semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el
producto de dos polinomios. Para los polinomios
P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:
P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)
P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)
P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44
P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera.
Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el
conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.
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La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los
polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P(x) · [Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x)
División de polinomios: Dados dos polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x) (llamado divisor)
de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x)  0 siempre hallaremos dos
polinomios C(x) (llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado
de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.
Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se
procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 – 3 y Q(x) = x2 + 2x – 1:
El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador
por el del denominador: 5x3:x2 = 5x
Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.
Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.
El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el
dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x) y se cumple la relación:
P(x) = Q(x) · C(x)
Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de
22
forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".
R = P(  a ). Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:
P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14
Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es raíz de un
polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele d
ecir, también, que el polinomio P(x) se anula parax = a.
Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x – a, pues
el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele
designar x1 , x2, x3, etc
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + . . . + a n
P(x) = a0 (x – x1) (x – x2) . . . (x – xn) (Polinomio factoreado).
Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene
en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras
del polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden
ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.
Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de
Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cuál de estos valores
da como resto cero.
P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12
P(1) = 14 – 6.13 + 9.12 + 4.1– 12 = – 4
Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por
que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1:
P(– 1) = (– 1)4 – 6.(– 1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0
–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:
23
x – 1, o lo
P(x) = (x + 1)(x3 – 7x2 + 16x – 12)
Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12. Se prueba
de nuevo con – 1:
P(– 1) = (– 1)3 – 7(– 1)2 + 16(– 1) – 12 = – 36
– 1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:
P(2) = (2)3 – 7(2)2 + 16(2) – 12 = 0
2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – 5x + 6)
Apliquemos cuadrática
P(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3)
2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización
completa de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)2 (x – 3)
En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar
los resultados buscados de x
24
Otros conceptos sobre Polinomios
Definición de polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta
de dos o más monomios.
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = a n x n + a n
Siendo a n , a n
- 1
-1
xn
- 1
+ an
- 2
xn
- 2
+ ... + a 1 x 1 + a 0
... a 1 , a o números, llamados coeficientes.
a o es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al
que se encuentra elevada la variable x.
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x 2 + 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x 3 − 2x 2 + 3x + 2
25
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x 4 + x 3 − 2x 2 + 3x + 2
Clases de polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos
sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x 2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son
de distinto grado.
P(x) = 2x 3 + 3x 2 − 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde
el término independiente hasta el término de mayor grado .
P(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo
forman están escritos de mayor a menor grado.
26
P(x) = 2x 3 + 5x − 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son
iguales.
P(x) = 2x 3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x 3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la
misma parte literal.
P(x) = 2x 3 + 5x − 3
Q(x) = 5x 3 − 2x − 7
Tipos de polinomios según el número de términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x 2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
27
P(x) = 2x 2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x 2 + 3x + 5
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por
un número cualquiera.
P(x) = 2x 3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 1 3 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Ejercicios resueltos de polinomios
1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son
polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y
término independiente.
1x 4 − 3x 5 + 2x 2 + 5
Grado: 5, término independiente: 5.
2
+ 7X 2 + 2
No, porque la parte literal del primer monomio
está dentro de una raíz.
28
31 − x 4
Grado: 4, término independiente: 1.
4
No, porque el exponente del primer monomio no
es un número natural.
5x 3 + x 5 + x 2
Grado: 5, término independiente: 0.
6x − 2 x −
3
+ 8
No, porque el exponente del 2º monomio no es
un número natural.
7
Grado: 3, término independiente: -7/2.
2 Escribe:
1Un polinomio ordenado sin término independiente.
3x 4 − 2x
2Un polinomio no ordenado y comple to.
3x − x 2 + 5 − 2x 3
29
3Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible
4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes
impares.
x 4 − x 3 − x 2 + 3x + 5
Igualdades notables
1- Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble
producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
2- Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
3- Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del
cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el
primero más cubo del segundo.
Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
4- Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del
cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el
primero menos cubo del segundo.
Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
5- La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2
30
Núcleo 4
factorización de Polinomios
y Propiedades de Potencias
5
TEOREMA DEL RESTO
Se llama valor de un polinomio P(x) = a0xn + a1x n -1 +…+ an -1x + an para x = c, y se
designa P(c), el valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la
indeterminada, x, por el número c y se realizan las operaciones. Por ejemplo, si P(x) =
3x4 - 5x2 + 3x - 20
para x = 2 se obtiene: P(2) = 3·24 - 5·22 + 3·2 - 20 = 14
Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el
resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número):
El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es,
precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues como
P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R =
R
6 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor
numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio
P(x) se anula para x = a.
Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible
por x - a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero:
Por tanto, P(x) = (x - a)P1(x), y si P(x) es de grado n, entonces P1(x) es de grado n - 1.
De este modo se puede ir descomponiendo P(x) en factores.
31
Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes
enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente.
Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 - 6x3 + 9x2 + 4x - 12 están entre los
divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, 4, 6, -6, 12 y -12.
Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la
regla de Ruffini. Para 1:
Puesto que el resto, -4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x - 1, o
lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con -1:
-1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1: P(x) = (x + 1)(x3 - 7x2 + 16x - 12)
Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P1(x) = x3 - 7x2 + 16x - 12. Se
prueba de nuevo con -1:
-1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:
2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x): P(x) = (x + 1)(x - 2)(x2 - 5x + 6)
Probando otra vez con 2:
32
2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la
factorización completa de P(x): P(x) = (x + 1)(x - 2)2(x - 3)
Propiedades de potencias
Los términos que están al otro lado del igual es la forma de resolver las potencias.
En el primer caso se presenta el producto de dos potencias de igual base, para
resolverlo se deja la misma base y se suman los exponentes, en éste primer caso la
base es x y los exponentes son m y n.
Por ejemplo:
53 54 = 57 = 78.125
33
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado
por varios factores iguales.
6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65
Base de una potencia
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí
mismo, en este caso el 6.
Exponente de una potencia
El exponente de una potencia indica el número de veces
que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5.
Potencias de números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir
un producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí
mismo, en este caso el 5.
Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces
que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
34
Propiedades de la potencias de números naturales
1. Un número elevado a 0 es igual a 1.
a0 = 1
50 = 1
2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.
a1 = a
51 = 5
3. Producto de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma
de los exponentes.
am · a
n
= a m+n
2 5 · 2 2 = 2 5 +2 = 2 7
4. División de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
la diferencia de los exponentes.
am : a
n
= am
25 : 22 = 25
- n
- 2
= 23
5. Potencia de una potencia:
35
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
(a m ) n = a m
· n
(2 5 ) 3 = 2 15
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es
el producto de las bases.
an · b
n
= (a · b)
n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es
el cociente de las bases.
a n : b n = (a : b) n
63 : 33 = 23
Potencias de números enteros
Para determinar el signo de la potencia de un número
entero tendremos en cuenta que:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
36
2 6 = 64
(−2) 6 = 64
2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de
la base.
23 = 8
(−2) 3 = −8
Potencias de exponente negativo
La potencia de un número entero con exponente negativo es
igual al inverso del número elevado a exponente positivo.
37
Potencias de números racionales
Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto
el numerador como el denominador al exponente.
Potencias de exponente negativo
Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a
la inversa de la fracción elevada a exponente positivo.
Potencias de números reales
38
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
Descomposición polinómica de un número
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias
de base 10.
El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
3 658 = 3 ·10 3 + 6 ·10 2 + 5 ·10 1 + 8
39
Propiedades de las Potencias
Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negat ivo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
40
Multiplicación de potencias con la misma base
am · a
n
= a m+n
2 5 · 2 2 = 2 5+2 = 2 7
División de potencias con la misma base
am : a
n
= am
25 : 22 = 25
- n
- 2
= 23
Potencia de un potencia
(a m ) n =a m
· n
(2 5 ) 3 = 2 15
Multiplicación de potencias con el mismo exponente
an · b
n
= (a · b)
n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
an : b
n
= (a : b)
n
63 : 33 = 23
Ejercicios
33 · 34 · 3 = 38
57 : 53 = 54
41
(5 3 ) 4 = 5 12
(5 · 2 · 3)
4
= 30 4
(3 4 ) 4 = 3 16
[(5 3 ) 4 ] 2 = (5 12 ) 2 = 5 24
(8 2 ) 3 =[( 2 3 ) 2 ] 3 = (2 6 ) 3 = 2 18
(9 3 ) 2 = [(3 2 ) 3 ] 2 = (3 6 ) 2 = 3 12
2 5 · 2 4 · 2 = 2 10
27 : 26 = 2
(2 2 ) 4 = 2 8
(4 · 2 · 3) 4 = 24 4
(2 5 ) 4 = 2 20
[(2 3 ) 4 ] 0 = (2 12 ) 0 = 2 0 = 1
(27 2 ) 5 =[(3 3 ) 2 ] 5 = (3 6 ) 5 = 3 30
(4 3 ) 2 = [(2 2 ) 3 ] 2 = (2 6 ) 2 = 2 12
(−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 9 = −512
(−2) −2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 5 = −32
2 −2 · 2 −3 · 2 4 = 2 −1 = 1/2
2 2 : 2 3 = 2 −1 = 1/2
42
2 −2 : 2 3 = 2 −5 = (1/2) 5 = 1/32
2 2 : 2 −3 = 2 5 = 32
2 −2 : 2 −3 = 2
43
Potencias con Fracciones
Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto
el numerador como el denominador al exponente.
Potencias de exponente negativo
44
Propiedades de las potencias de fracciones
1.
2.
3. Producto de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la
suma de los exponentes.
4. División de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes.
45
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el
producto de los exponentes.
6. Producto de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
producto de las bases
7. Cociente de potencias con el mismo ex ponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
cociente de las bases.
46
Ejercicios de potencias de fracciones
Realiza las siguientes operaciones con potencias de
fracciones:
1
2
3
4
5
6
47
7
8
9
10
11
12
48
13
Halla las operaciones de fracciones con potencias:
49
Potencias con Radicales
Para elevar un radical a una potencia, se eleva a
dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Ejercicios de potencias de radicales
50
51