Métodos en Computación Científica 1º Cuatrimestre de 2010 Práctico nº8: Aproximación e Interpolación de funciones Ejercicio nº1 Dada la función de Runge: 1 1 25 x 2 definida sobre el intervalo [-1,1]; considere los puntos equidistantes: 2 xi 1 (i 1) i 1, , n 1 n a) Grafique usando MATLAB f(x). b) Obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange para n=4, n=8, y n=12 y represéntelos en un único gráfico junto a f(x). c) Analice qué sucede cuando n se incrementa. ¿Qué sucede en el origen, y en los extremos del intervalo [-1,1]? f ( x) Ejercicio nº2 Probar que si g interpola a la función f en x0 , x1 , ..., xn1 y si h interpola f en x1 , x2 , ..., xn , entonces la función: x x ( x) g ( x) 0 ( g ( x) h( x)) x n x0 interpola f en x0 , x1 , ..., xn . Nótese que h y g no necesitan ser polinomios. Ejercicio nº3 La ecuación x 9 x 0 tiene una solución en [0,1]. Hallar el polinomio que interpola a la función f ( x) x 9 x sobre los nodos x0 0. , x1 0.5 , x2 1. Encuentre las raíces de dicho polinomio. Ejercicio nº4 Considere la tabulación de la función f ( x) x1.9 para x=1,2,...,5 y efectúe una estimación de f(2.5) y f(3.8) usando interpolación lineal. Compare los resultados con la respuesta correcta.(Usar interp1 de Matlab) b) Repita el cálculo anterior con un polinomio cúbico. c) Analice cómo trabaja esta función. a) Ejercicio nº5 Determinar todos los valores de a, b, c, d, e para los cuales la siguiente función es una spline cúbica: a( x 2) 2 b( x 1) 3 si x ,1 2 f ( x) c( x 2) si x 1,3 d ( x 2) 2 e( x 3) 3 si x 3,8 Luego determinar los valores de los parámetros tal que la spline cúbica interpole esta tabla: X Y 0 26 1 7 4 25 Ejercicio nº6 Dada la tabla: x Y -2 4 0 0 2 -4 3 -30 4 -40 5 -50 a) Interpolar usando una spline cúbica. (usar la función spline) b) Interpolar usando un polinomio de Lagrange . c) Graficar los datos y los polinomios resultantes de a) y b) en el mismo gráfico. ¿Qué curva parece dar una representación más realista de la función cuyos datos han sido extraídos? Ejercicio nº7 Se cree que la cantidad de energía eléctrica mensual E que consume una planta de procesamiento de materiales se relaciona con la temperatura promedio del medio ambiente (T, en grados Farenheit), el número de días que se trabajó en el mes (D), la pureza promedio del producto obtenido (P) y la cantidad de toneladas producidas (O). Los datos recogidos en los últimos meses se presentan en esta tabla: E 240 236 270 274 301 316 300 296 267 276 288 261 T 25 31 45 60 65 72 80 84 75 60 50 38 D 24 21 24 25 25 26 25 25 24 25 25 23 P 91 90 88 87 91 94 87 86 88 91 90 89 O 100 95 110 88 94 99 97 96 110 105 100 98 a) Encuentre un modelo de regresión lineal para estos datos b) Cual sería el consumo esperado en un mes con temperatura promedio de 75°F, 24 días trabajados, producto obtenido a un 90% de pureza en promedio y 98 toneladas de producción? Ejercicio nº8 Determine las constantes a y b para que S a.ebT aproxime los datos de la siguiente tabla en el sentido de los cuadrados mínimos. T S 77 2.4 100 3.4 185 7.0 239 11.1 285 19.6