ESTIMACION DE ALGUNOS PARAMETROS EN POBLACIONES

ESTIMACION DE ALGUNOS
PARAMETROS EN
POBLACIONES ANIMALES
Jorge Graneri,
Laboratorio de Probabilidad y Estadística,
Facultad de Ingeniería-Facultad de
Ciencias. Universidad de la República.
Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros. La visión dura un
segundo o acaso menos; no sé cuántos pájaros vi. ¿Era definido o
indefinido su número? El problema involucra el de la existencia
de Dios. Si Dios existe, el número es definido, porque Dios sabe
cuántos pájaros vi. Si Dios no existe, el número es indefinido,
porque nadie pudo llevar la cuenta. En tal caso, vi menos de diez
pájaros (digamos) y más de uno, pero no vi nueve, ocho, siete,
seis, cinco, cuatro, tres, o dos pájaros. Vi un número entre diez
y uno, que no es nueve, ocho, siete, seis, cinco, etcétera. Ese
número entero es inconcebible, ergo, Dios existe. (Jorge Luis
Borges)
Cuando nació Confucio un unicornio recorrió la
comarca. Por la forma y el tamaño parecía un
buey. La madre del maestro ató en el cuerno del
animal una cinta. Setenta y siete años después
el unicornio reapareció y lo mataron; la cinta
estaba rota. Confucio dijo:
-El unicornio ha vuelto; han pasado los años;el
día de mi muerte está próximo.
E.R.Huc, L’Empire Chinois (1850)
¿Qué conclusiones podemos
sacar de la observación de un
grupo de animales?
Diversidad
Abundancia
Estimación de tamaños
poblacionales
• Lincoln (1930)
• Jackson (1933)
•Dowdeswell, Fisher & Ford (1940)
• De Lury (1947)
Ideas básicas para la estimación
1. Contar la cantidad de
animales de cierta especie
en determinada área
Ideas básicas para la estimación
• MARCADO Y RECAPTURA
2. Capturar determinado
número de animales de
cierta especie, marcarlos,
liberarlos y hacer una
nueva captura al cabo de
cierto tiempo (muestreo
directo).
3. Capturar determinado
número de animales de
cierta especie, marcarlos y
liberarlos. Capturar
individualmente animales
hasta que aparezca el késimo animal marcado
(muestreo inverso).
•
Marcado y recaptura
Marcado y recaptura
Marcado y recaptura
muestra:
Marcado y recaptura
marcado:
Marcado y recaptura
Marcado y recaptura
Marcado y recaptura
muestra:
Marcado y recaptura
Sean
a: número de animales marcados,
x: tamaño poblacional,
n: número de animales capturados en la segunda
instancia.
X: número de animales marcados capturados en
la segunda instancia.
Marcado y recaptura
P{X=r}=C(n,r) (a/x)r (1-a/x)n-r
donde
C(n,r)= n!/(r!(n-r)!)
Marcado y recaptura
Si escribimos esta probabilidad en función de x
f(x)=P{X=r}=C(n,r) (a/x)r (1-a/x)n-r
No es difícil ver que el máximo de esta función se
alcanza en
x’=a n /r
Marcado y recaptura
Con la corrección de Bailey obtenemos un
estimador más preciso
x*=a (n+1) /(r+1)
Marcado y Recaptura (muestreo inverso)
Capturar determinado
número de animales
de cierta especie,
marcarlos y
liberarlos. Capturar
individualmente
animales hasta que
aparezca el m-ésimo
animal marcado
.
J.B.S. Haldane
Marcado y Recaptura (muestreo inverso)
Quiero calcular la probabilidad de que el tercer
animal marcado aparezca en la sexta extracción.
Marcado y Recaptura (muestreo inverso)
hay C(7,2)=7!/(5!2!)=21 formas de elegir las animales que
serán capturados en los primeros cinco lugares.
Marcado y recaptura
De ellos hay C(3,2)C(4,3)=12 formas de elegir las animales
que serán capturados en los primeros cinco lugares, de
modo que exactamente 2 de ellos estén marcados.
Marcado y Recaptura (muestreo inverso)
Para el sexto lugar, quedan sólo dos animales,
de los cuales uno está marcado y el otro no.
la probabilidad de elegir el marcado es ½.
Por lo tanto, la probabilidad de que el tercer animal
marcado aparezca en la sexta extracción es:
P{Y=6} = (12/21).(1/2)=12/42
Marcado y Recaptura (muestreo inverso)
En general, la probabilidad de que el m-ésimo animal
marcado aparezca en la n-ésima extracción es:
P{Y=n} = (C(a,m-1)C(x-a,n-m)/C(x,n)).(a-m+1)/(x-n+1)
primeros n-1 animales
último animal
maximizar esta probabilidad con respecto a x nos lleva al
estimador
x= n(a+1)/m –1
Remoción selectiva
Remoción selectiva
Remoción selectiva
muestra:
Remoción selectiva
Remoción selectiva
Remoción selectiva
Remoción selectiva
Nx,1= tamaño de la población de machos en el primer censo
Ny,1= tamaño de la población de hembras en el primer censo
nx,1= número de machos contados en el primer censo
ny,1= número de hembras contadas en el primer censo
Nx,2= tamaño de la población de machos en el segundo censo
Ny,2= tamaño de la población de hembras en el segundo censo
nx,2= número de machos contados en el segundo censo
ny,2= número de hembras contadas en el segundo censo
Remoción selectiva
Extracción
Primer sondeo
E(nx,1)= k1 Nx,1
Número de machos:
Nx,1 e-M t
1
E(ny,1)= k1 Ny,1
Segundo sondeo
E(nx,2)= k2 Nx,2
E(ny,2)= k2 Ny,2
Número de hembras:
Ny,1 e-M t
1
Remoción selectiva
Luego de la extracción:
Pasado un tiempo t2:
Número de machos:
Número de machos:
Nx,1 e-M t - Cx
1
Número de hembras:
Ny,1 e-M t - Cy
1
Nx,2 =e-M t ( Nx,1 e-M t - Cx )
2
1
Número de hembras:
Ny,2 = e-M t ( Ny,1 e-M t - Cy )
2
1
Remoción selectiva
si definimos:
α = e-M t / k1
1
β =
e M t / k2
2
obtenemos las ecuaciones:
β E(nx,2) =(α E(nx,1) - Cx )
β
E(ny,2) =(α E(ny,1) - Cy )
Remoción selectiva
planteamos el sistema:
-β nx,2 +α nx,1 = Cx
−β ny,2+α ny,1= Cy
cuya solución es:
α ’ = (Cx ny,2- Cy nx,2 )/ (nx,1 ny,2- ny,1 nx,2 )
β ’ = (Cx ny,1- Cy nx,1 )/ (nx,1 ny,2- ny,1 nx,2 )
Remoción selectiva
Si asumimos:
M=0
obtenemos los estimadores:
Ňx,1 = α ’ nx,1
Ňy,1 = β ’ ny,1
Estimación por regresión
Se registra la captura de determinado animal por semana
CAPTURA POR SEMANA
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Estimación por regresión
Sean:
N: tamaño poblacional.
p: probabilidad de que un determinado animal sea
capturado en una instancia de captura determinada.
yi= número de animales capturados en la i-ésima
instancia.
xi= número total de animales capturados hasta la
(i-1)-ésima instancia.
Estimación por regresión
consideramos un modelo binomial:
y1 ” Bin(N, p)
y2  Bin(N- y1, p)
y3  Bin(N- y1 – y2, p)
en general
yi  Bin(N- xi, p)
Estimación por regresión
consideramos un modelo binomial:
E(y1 ) = N. p
E(y2 ) = (N- x2) p=Np- x2 p
E(y3 ) = (N- x3) p=Np- x3 p
en general:
E(yi ) = (N- xi) p=Np- xi p
Estimación por regresión
con los datos anteriores, ajustamos una recta
con pendiente -p y ordenada en el orígen Np.
y1= 80 , y2= 72, y3= 43, y4= 42, y5= 35,
x1= 0 , x2= 80, x3= 152, x4= 195, x5= 237.
Estimación por regresión
los estimadores por mínimos cuadrados son,
respectivamente:
-p’ = (n”
xi yi -  xi  yi )/ (n xi2 - (  xi )2) = -0,2067
y
N’p’= (  yi + p’ xi )/
n = 81,8498
Se usa el valor de p’ obtenido en la ecuación anterior
Estimación por regresión
el estimador de N será entonces: N’ = 396
Método de Hanson
l1=35 (regiones),
x1=30 (animales encontrados)
Método de Hanson
l2=17 (regiones),
x2=5 (animales encontrados)
Método de Hanson
Incógnitas
K : tamaño poblacional,
P: probabilidad de ver a un animal cualquiera
mientras se inspecciona la región en la que está,
Y1: animales no detectados en toda la región,
y1: animales no detectados en las regiones en las
que se encontraron animales.
Método de Hanson
Y1=15 (animales no encontrados ” )
Método de Hanson
Y1=15 (animales no encontrados ),
y1=4
Método de Hanson
Ecuaciones:
Solución:
x1=PK
x2=P(K- x1- y1)
K= x1/(1-(x2/x1)1/2)
Y1 =K- x1
En el ejemplo:
y1=Y1 x1/K
K= 30/(1-(5/30)1/2) = 50,87
Método de Hanson
Mejora:
Si se hacen n sondeos sucesivos, en los que se
cuentan respectivamente x1, x2,. . ., xn animales.
El estimador de K será:
K*= x1/(1-d1/2)
donde:
d= (x2+ x3+...+ xn )/ (x1+ x2+...+ xn-1 )