Introducción a la teor´ıa de grupos finitos

Introducción a la teorı́a
de grupos finitos
por Alberto Garcı́a Raboso
5 de marzo de 2008
II
Este documento ha sido realizado en AMS-LATEX 2ε .
v. 1.0 (26 de agosto de 2001).
v. 1.1 (24 de febrero de 2004): Actualización de dirección de correo electrónico.
v. 1.2 (8 de marzo de 2007): Corrección de algunas erratas (gracias a Jorge Núñez
Pascual). Modificada tabla al final del capı́tulo 10 para incluir grupos abelianos (por
sugerencia de Jorge Núñez Pascual). Actualización de dirección de correo
electrónico.
v. 1.3 (5 de marzo de 2008): Corrección de algunas erratas.
Se puede contactar con el autor en <agraboso@physics.rutgers.edu> y
<agraboso@gmail.com>
Índice general
Índice general
III
1 Grupos y subgrupos
1.1. Primeras definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
2 Teorema de Lagrange
2.1. Clases de un grupo módulo un subgrupo . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Producto interno de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
3 Grupos cı́clicos
3.1. Definición de grupo cı́clico . . . . . . . .
3.2. Propiedades de los elementos de torsión
3.3. Corolarios del teorema de Lagrange . . .
3.4. Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . .
3.5. Clasificación de grupos cı́clicos . . . . .
3.6. Subgrupos de grupos cı́clicos . . . . . .
3.7. Generadores de grupos cı́clicos . . . . .
3.8. Imagen homomórfica de grupos cı́clicos .
3.9. Automorfismos de grupos cı́clicos . . . .
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11
11
11
13
13
15
16
18
18
19
4 Acciones de grupos. Subgrupos normales
21
4.1. El teorema de órbita-estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Elementos conjugados y clases de conjugación . . . . . . . . . . 23
4.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Grupos cociente y teoremas de isomorfı́a
29
5.1. Grupo cociente y teorema de correspondencia . . . . . . . . . . 29
5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfı́a . . . . . . 30
5.3. Corolarios de los teoremas de isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Grupos simétricos, alternados y diédricos
iii
35
Índice general
IV
6.1. Permutaciones. Descomposición en ciclos disjuntos . . . . . . .
6.2. Descomposición en transposiciones. Sistemas de generadores de
Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Signatura de una permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Estructura de los grupos simétricos y alternados . . . . . . . .
6.6. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. Grupos diédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
37
37
39
41
42
43
44
7 Producto directo y semidirecto
47
7.1. Producto directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2. Producto semidirecto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8 p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles
8.1. p-grupos y p-subgrupos de Sylow . . . . . . . . .
8.2. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Corolarios de los teoremas de Sylow . . . . . . .
8.4. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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53
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9 Grupos abelianos finitos
9.1. Factorización de elementos de grupos abelianos finitos
9.2. Clasificación de los grupos abelianos finitos . . . . . .
9.3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Grupos abelianos de orden bajo . . . . . . . . . . . . .
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69
69
70
72
74
10 Clasificación de grupos de orden menor que 16
10.1. Primeros grupos clasificados . . . . . . . . . . . .
10.2. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Grupos de orden 8 . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Grupos de orden 12 . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografı́a
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75
Capı́tulo 1
Grupos y subgrupos
1.1.
Primeras definiciones y propiedades
Definición 1.1.1 Un grupo es un conjunto G dotado de una operación binaria ∗ que satisface los siguientes axiomas:
(G1) Operación interna:
∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G
(G2) Propiedad asociativa:
∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
(G3) Existencia de elemento neutro:
∃e ∈ G : ∀g ∈ G, e ∗ g = g ∗ e = g
(G4) Existencia de elemento inverso:
∀g ∈ G, ∃g −1 ∈ G : g ∗ g −1 = e = g −1 ∗ g
Definición 1.1.2 Se dice que un grupo (G, ∗) es abeliano si para todos x, y ∈
G se cumple x ∗ y = y ∗ x.
Definición 1.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se llama orden de (G, ∗) al cardinal
|G| del conjunto subyacente. Se dice que (G, ∗) es finito si dicho cardinal lo
es, e infinito en caso contrario.
Proposición 1.1.4 (Propiedades cancelativas) Sea (G, ∗) un grupo. Para todos a, b, c ∈ G se cumple
a ∗ c = b ∗ c =⇒ a = b
c ∗ a = c ∗ b =⇒ a = b
1
2
Grupos y subgrupos
Demostración. Dado c ∈ G, el axioma (G4) asegura la existencia de un
elemento c−1 ∈ G tal que c ∗ c−1 = e. Entonces, componiendo a ∗ c = b ∗ c por
la derecha con c−1 , se tiene
(a ∗ c) ∗ c−1 = (b ∗ c) ∗ c−1
−1
a ∗ (c ∗ c
−1
) = b ∗ (c ∗ c
)
a∗e=b∗e
utilizando (G2)
utilizando (G4)
utilizando (G3)
a=b
Análogamente, y dado que c−1 ∗ c = e, componiendo c ∗ a = c ∗ b por la
izquierda con c−1 ,
c−1 ∗ (c ∗ a) = c−1 ∗ (c ∗ b)
−1
(c
−1
∗ c) ∗ a = (c
e∗a=e∗b
∗ c) ∗ b
utilizando (G2)
utilizando (G4)
utilizando (G3)
a=b
Q.E.D.
Proposición 1.1.5 El elemento neutro e de un grupo (G, ∗) es unico.
Demostración. Supongamos que existiesen en (G, ∗) dos elementos neutros
distintos e, f ∈ G. Entonces, utilizando el axioma (G3), e = e ∗ f = f .
Q.E.D.
Proposición 1.1.6 El elemento inverso de cualquier elemento g de un grupo
(G, ∗) es único.
Demostración. Supongamos que existiesen dos elementos g −1 , g ? ∈ G tales
que g ∗ g −1 = g −1 ∗ g = e y g ∗ g ? = g ? ∗ g = e. Entonces, g ∗ g −1 = g ∗ g ? ,
y, utilizando la propiedad cancelativa por la izquierda, se tiene g −1 = g ? .
Q.E.D.
Proposición 1.1.7 Sea (G, ∗) un grupo. Para todo g ∈ G se tiene que (g −1 )−1 =
g.
Demostración. Dada la unicidad del elemento inverso, basta observar que
g ∗ g −1 = g −1 ∗ g = e.
Q.E.D.
Proposición 1.1.8 Sea (G, ∗) un grupo. Para todos x, y ∈ G se tiene que
(x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 .
Demostración. La unicidad del elemento inverso y las relaciones
(x ∗ y) ∗ (x ∗ y)−1 = x ∗ (y ∗ y −1 ) ∗ x−1 = x ∗ e ∗ x−1 = x ∗ x−1 = e
(x ∗ y)−1 ∗ (x ∗ y) = y −1 ∗ (x−1 ∗ x) ∗ y = y −1 ∗ e ∗ y = y −1 ∗ y = e
demuestran el enunciado.
Q.E.D.
1.2. Subgrupos
3
Proposición 1.1.9 Sea (G, ∗) un grupo. Entonces,
(G, ∗)es abeliano ⇐⇒ ∀x, y ∈ G, (x ∗ y)−1 = x−1 ∗ y −1
Demostración. De la definición de grupo abeliano, (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 =
x−1 ∗ y −1 .
Recı́procamente, si para todos x, y ∈ G se tiene (x ∗ y)−1 = x−1 ∗ y −1 ,
entonces, utilizando sucesivamente las proposiciones 1.1.7 y 1.1.8, la hipótesis
y de nuevo la proposición 1.1.7,
x ∗ y = (x−1 )−1 ∗ (y −1 )−1 = (y −1 ∗ x−1 )−1 = (y −1 )−1 ∗ (x−1 )−1 = y ∗ x
Q.E.D.
1.2.
Subgrupos
Definición 1.2.1 Dado un grupo (G, ∗) y un subconjunto H ⊆ G, se dice que
(H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗), y se denota (H, ∗) ≤ (G, ∗), si H es un grupo
con respecto a la operación ∗ definida en G.
Definición 1.2.2 Sea (G, ∗) un grupo. Los subconjuntos G y {e} reciben el
nombre de subgrupos impropios de G. El resto de subgrupos de G reciben el
nombre de subgrupos propios de G.
Proposición 1.2.3 Sea (G, ∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H 6= ∅. (H, ∗) es un
subgrupo de (G, ∗) si y sólo si para todos x, y ∈ H se cumple x ∗ y −1 ∈ H.
Demostración. Sea H un subgrupo de G. Si x, y ∈ H entonces, por (G4),
y −1 ∈ H, y, por (G1), x ∗ y −1 ∈ H.
Recı́procamente, sea x ∈ H. Entonces x ∗ x−1 = e ∈ H y e ∗ x−1 =
−1
x ∈ H, demostrando (G3)y (G4). Para probar (G1), basta observar que
x ∗ y = x ∗ (y −1 )−1 ∈ H. Por último, la asociatividad de la operación en H se
deduce de la asociatividad de la operación en G.
Q.E.D.
Proposición 1.2.4 Sea I un conjunto
de ı́ndices, y sean Hi , i ∈ I subgrupos
T
de un grupo (G, ∗). Entonces, i∈I Hi es un subgrupo de G.
Demostración. Sean x, y ∈ Hi para todo i ∈ I. Por
T ser Hi subgrupos,
−1
−1
x ∗ y ∈ Hi para todo i ∈ I. Entonces, x, y, x ∗ y ∈ i∈I Hi .
Q.E.D.
Definición 1.2.5 Sea X un subconjunto cualquiera de un grupo G. Se llama
subgrupo generado por X, y se denota hXi, a la intersección de todos los
subgrupos de G que contienen a X.
Proposición 1.2.6 En las condiciones de la definición anterior,
hXi = {xα1 1 ∗ xα2 2 ∗ · · · ∗ xαnn : x1 , x2 , . . . , xn ∈ X, α1 , α2 , . . . , αn ∈ Z}
4
Grupos y subgrupos
Demostración. Sea HX el conjunto del miembro derecho de la igualdad.
Es claro que HX es un subgrupo de G. Como X ⊆ HX y hXi es el mı́nimo
subgrupo que contiene a X, se tiene que hXi ⊆ HX .
Falta probar la inclusión contraria. Puesto que hXi es un subgrupo de
G y X ⊆ hXi, si xi ∈ X, xi ∈ hXi para todo i = 1, 2, . . . , n, de donde
Q.E.D.
xα1 1 ∗ xα2 2 ∗ · · · ∗ xαnn ∈ hXi y HX ⊆ hXi.
Definición 1.2.7 Se llama retı́culo de los subgrupos de un grupo (G, ∗) al
conjunto de todos los subgrupos de (G, ∗), junto con sus relaciones de inclusión.
1.3.
Homomorfismos de grupos
Definición 1.3.1 Sean (G1 , ∗), (G2 , ?) grupos, y sea f : G1 −→ G2 una aplicación entre ellos. Se dice que f es un homomorfismo de grupos si
f (x ∗ y) = f (x) ? f (y)
Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en sı́ mismo, automorfismo.
Si existe un isomorfismo entre (G1 , ∗) y (G2 , ?), se dice que ambos grupos
son isomorfos, y se denota (G1 , ∗) ∼
= (G2 , ?).
Proposición 1.3.2 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homomorfismo entre ellos. Entonces, para todos x, y ∈ G,
f (x ∗ y −1 ) = f (x) ? f (y)−1
f (y −1 ∗ x) = f (y)−1 ? f (x)
Demostración. Utilizando que f es un homomorfismo,
f (x ∗ y −1 ) ? f (y) = f ((x ∗ y −1 ) ∗ y) = f (x)
y basta componer con f (y)−1 por la derecha. La demostración del segundo
aserto es análoga.
Q.E.D.
Corolario 1.3.3 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homomorfismo entre ellos. Entonces,
1. f (eG ) = eH .
2. Para todo g ∈ G, f (g −1 ) = f (g)−1 .
Demostración.
1. Basta aplicar la proposición anterior al caso x = y.
1.3. Homomorfismos de grupos
5
2. Basta aplicar la proposición anterior al caso x = eG , y = g.
Q.E.D.
Proposición 1.3.4 La relación de isomorfı́a de grupos es una relación de
equivalencia.
Demostración. Sean G, H, K grupos.
La aplicación idG : G −→ G es claramente un isomorfismo, por lo que
∼
G = G.
Si φ es un isomorfismo de G en H, φ−1 existe y es una biyección de H
en G. Si x1 , x2 ∈ G, y1 , y2 ∈ H, entonces φ−1 (yi ) = xi si y sólo si φ(xi ) = yi .
Además, φ(x1 x2 ) = y1 y2 , de donde φ−1 (y1 y2 ) = x1 x2 . Ası́,
φ−1 (y1 )φ−1 (y2 ) = x1 x2 = φ−1 (y1 y2 )
demostrando que φ−1 es un homomorfismo. Por tanto, H ∼
= G.
Finalmente, si φ es un isomorfismo de G en H, y ψ es un isomorfismo de
H en K, ψ ◦ φ es una biyección de G en K. Además,
ψ ◦ φ(xy) = ψ(φ(xy))
= ψ(φ(x)φ(y))
por ser φ homomorfismo
= ψ(φ(x))ψ(φ(y))
por ser ψ homomorfismo
= (ψ ◦ φ(x))(ψ ◦ φ(y))
de modo que ψ ◦ φ es un homomorfismo, y G ∼
= K.
Q.E.D.
Definición 1.3.5 Sean (G, ∗), (H, ?) grupos, y sea f : G −→ H un homomorfismo entre ellos. Se llaman núcleo e imagen de f a los conjuntos
kerf = {g ∈ G : f (g) = e}
imf = f (G) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : f (g) = h}
Proposición 1.3.6 Sean G, H grupos, y f : G −→ H un homomorfismo. Si
G es abeliano, f (G) es abeliano.
Demostración.
f (x)f (y) = f (xy) = f (yx) = f (y)f (x)
Q.E.D.
Proposición 1.3.7 El conjunto Aut G de automorfismos de un grupo G es
un grupo bajo la operación de composición.
6
Grupos y subgrupos
Demostración. Sean f, g : G −→ G automorfismos de G. Entonces, tanto f1 ◦ f2 como f2 ◦ f1 son biyecciones de G en G. Para demostar que son
automorfismos, basta, por tanto, comprobar que son homomorfismos.
(f1 ◦ f2 )(gh) = f1 (f2 (gh))
= f1 (f2 (g)f2 (h))
por ser f2 homomorfismo
= f1 (f2 (g))f1 (f2 (h))
por ser f1 homomorfismo
= (f1 ◦ f2 )(g)(f1 ◦ f2 )(h)
con demostración análoga para f2 ◦ f1 .
La asociatividad se deduce de la asociatividad de la composición de aplicaciones.
La aplicación identidad es, evidentemente, un automorfismo, y cumple
f ◦ idG = idG ◦ f = f , demostrando la existencia de elemento neutro.
Por último, la inversa de una aplicación biyectiva es biyectiva, y, si g 0 =
f −1 (g) y h0 = f −1 (h),
f −1 (gh) = f −1 (f (g 0 )f (h0 ))
= f −1 (f (g 0 h0 ))
0 0
=gh =f
−1
por ser f homomorfismo
−1
(g)h
(h)
demuestra que es un homomorfismo.
Q.E.D.
Capı́tulo 2
Teorema de Lagrange
2.1.
Clases de un grupo módulo un subgrupo
Definición 2.1.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por la
izquierda de G módulo H a cada conjunto
gH = {gh : h ∈ H}
con g ∈ G.
Análogamente, se llama clase por la derecha de G módulo H a cada conjunto
Hg = {hg : h ∈ H}
de nuevo con g ∈ G.
Proposición 2.1.2 Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relación
∼H definida en G según
x ∼H y ⇐⇒ x−1 y ∈ H
es una relación de equivalencia, con [g] = gH.
Demostración. La relación ∼H es reflexiva ya que x−1 x = e ∈ H por
ser H subgrupo. Es simétrica, puesto que, si x ∼H y, x−1 y ∈ H, entonces
(x−1 y)−1 = y −1 x ∈ H y se tiene y ∼H x. Finalmente, es transitiva, porque,
si x ∼H y, y ∼H z, x−1 y, y −1 z ∈ H, entonces (x−1 y)(y −1 z) = x−1 z ∈ H y
x ∼H z. Por tanto, la relación ∼H es de equivalencia.
Si x ∼H g, entonces g −1 x = h para algún h ∈ H, por lo que x = gh ∈ gH.
Recı́procamente, si gh ∈ gH entonces g −1 (gh) = h ∈ H y g ∼H gh. Q.E.D.
Corolario 2.1.3 Sea H un subgrupo de un grupo G. Las clases por la izquierda módulo H forman una partición de G.
Proposición 2.1.4 Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g ∈ G
existe una biyección entre H y gH.
7
8
Teorema de Lagrange
Demostración. Sea α : H −→ gH definida según α(h) = gh. Para comprobar que es inyectiva, basta notar que, si α(x) = α(y), se tiene gx = gy ⇒ x =
y. La sobreyectividad es evidente: todo elemento de gH es de la forma gh con
h ∈ H, y, por tanto, es la imagen de h por α.
Q.E.D.
Corolario 2.1.5 |H| = |gH|
Proposición 2.1.6 Sea H un subgrupo de un grupo G. La aplicación α definida según α(gH) = Hg −1 establece una biyección entre el conjunto de clases
por la izquierda de G módulo H y el conjunto de clases por la derecha de G
módulo H.
Demostración. Para probar que α es inyectiva, supongamos que α(x) =
α(y). Entonces, Hx−1 = Hy −1 y existe h ∈ H tal que x−1 = hy −1 . Ası́,
y −1 x = h−1 ∈ H y por tanto xH = yH. La sobreyectividad se deduce de que,
para todo x ∈ G, α(x−1 H) = Hx.
Q.E.D.
2.2.
Teorema de Lagrange
Definición 2.2.1 Se llama ı́ndice de H en G, y se denota [G : H], al número
de clases por la izquierda de G módulo H.
Teorema 2.2.2 (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. Entonces, |H| divide a |G|. En particular, se tiene que
|G| = [G : H]|H|
Demostración. Basta observar que la relación de equivalencia ∼H particiona G en [G : H] clases distintas, todas ellas con el mismo cardinal |H|.
Q.E.D.
Corolario 2.2.3 Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que H ≤ K ≤ G.
Entonces,
[G : H] = [G : K][K : H]
Demostración. Del teorema de Lagrange,
[G : K][K : H] =
|G| |K|
|G|
=
= [G : H]
|K| |H|
|H|
Q.E.D.
2.3. Producto interno de subgrupos
2.3.
9
Producto interno de subgrupos
Definición 2.3.1 Dados dos subgrupos A y B de un grupo G. Se llama producto interno de A y B al conjunto
AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}
.
Proposición 2.3.2 Sean A y B subgrupos de un grupo G. AB es un subgrupo
de G si y sólo si AB = BA, en cuyo caso se dice que A y B conmutan.
Demostración. Supongamos que AB es un subgrupo. Sea ab ∈ AB. Existe
entonces un elemento a0 b0 ∈ AB tal que a0 b0 = (ab)−1 de donde
ab = (a0 b0 )−1 = (b0 )−1 (a0 )−1 ∈ BA
lo cual demuestra que AB ⊆ BA. Por otro lado, para todo ba ∈ BA se tiene
ba = (a−1 b−1 )−1 ∈ AB
por lo que BA ⊆ AB y, finalmente, AB = BA.
Recı́procamente, sean a1 b1 , a2 b2 ∈ AB. Como AB = BA, existe elementos
0
a ∈ A, b0 ∈ B tales que b1 a2 = a0 b0 . Ası́,
(a1 b1 )(a2 b2 ) = (a1 a0 )(b0 b2 ) ∈ AB
demostrando (G1). La asociatividad (G2), se deduce de la de la operación
definida en G. (G3) es evidente, ya que e ∈ A, e ∈ B ⇒ e ∈ AB. Por último,
para probar (G4) basta observar que (ab)−1 = b−1 a−1 ∈ BA = AB. Q.E.D.
Proposición 2.3.3 Sean A y B subgrupos finitos de un grupo G. Entonces,
|AB| =
|A||B|
|A ∩ B|
Demostración. Sea {xi (A ∩ B) : i = 1, . . . , k} el conjunto de clases por la
izquierda de A módulo A ∩ B, de modo que xi x−1
/ A ∩ B. Puesto que éstas
j ∈
establecen una partición en A, para todo a ∈ A podemos escribir a = xi g para
algún 1 ≤ i ≤ k y algún g ∈ A ∩ B.
Ası́, todo elemento ab ∈ AB puede escribirse según ab = xi (gb) ∈ xi B.
−1
Además, xi B 6= xj B, ya que, en caso contrario, xi x−1
j ∈ B, y, como xi xj ∈ A
por definición, se tendrı́a xi x−1
j ∈ A ∩ B.
Esto demuestra que {xi B : i = 1, . . . , k} es el conjunto de clases por la
izquierda de AB módulo B, de manera que
[A : A ∩ B] =
|A|
|AB|
=k=
= [AB : B]
|A ∩ B|
|B|
de donde se deduce la afirmación del enunciado.
Q.E.D.
Capı́tulo 3
Grupos cı́clicos
3.1.
Definición de grupo cı́clico
Definición 3.1.1 Se dice que un grupo (G, ∗) es cı́clico si existe al menos un
elemento a ∈ G tal que hai = G. Entonces, se dice que a es un generador de
G.
Definición 3.1.2 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el orden de a ∈ G como
ord(a) = |hai|.
Definición 3.1.3 Sea (G, ∗) un grupo. Se dice que a ∈ G es un elemento de
torsión de G si ord(a) es finito.
Proposición 3.1.4 Sea (G, ∗) un grupo finito y a ∈ G. Si n = ord(a), entonces an = e y
hai = {a, a2 , . . . , an−1 , an = e}
siendo distintos todos los elementos de este conjunto.
Demostración. Puesto que (G, ∗) es un grupo finito, el conjunto {xr : r ∈ Z}
debe contener repeticiones. Existen, pues, enteros positivos i < j tales que
xi = xj . Entonces,
e = xj ∗ x−j = xj ∗ x−i = xj−i
Tomando n como el menor entero positivo tal que xn = e, veamos que los
elementos del conjunto {x, x2 , . . . , xn−1 , xn = e} son todos distintos.
En efecto, si existieran en él dos elementos iguales xr = xs con r < s < n,
se tendra que xs−r = e con s − r < n, en contradicción con la definición de n.
Q.E.D.
3.2.
Propiedades de los elementos de torsión
Proposición 3.2.1 Sea (G, ∗) un grupo y a, b ∈ G elementos de torsión. Se
cumplen las siguientes propiedades:
11
12
Grupos cı́clicos
1. ak = e ⇐⇒ ord(a)|k,
2. ord(a) = 1 ⇐⇒ a = e,
3. ord(a−1 ) = ord(a),
4. ord(ak ) =
m y n),
ord(a)
(ord(a),k)
(donde (m, n) denota el máximo común divisor de
5. si ord(ab) es finito, entonces ord(ab) = ord(ba), y
6. si ab = ba, entonces ord(ab)|[ord(a), ord(b)]; además, si ord(a) y ord(b)
son coprimos, ord(ab) = ord(a)ord(b) (siendo [m, n] el mı́nimo común
múltiple de m y n).
Demostración.
1. Sea k = cn + r : c, r ∈ N, 0 ≤ r < n. Entonces,
xk = xcn+r = xcn xr = xr
de donde, necesariamente, ha de ser r = 0 y k = cn. El recı́proco es
evidente.
2. Si ord(a) = 1, entonces a1 = a = e. Recı́procamente, si a = e, hai = {e}
y ord(a) = |hai| = 1.
3. Basta observar que (a−1 )m = e ⇐⇒ (am )−1 = e ⇐⇒ am = e.
4. Denotando n = ord(a), d = (n, k), podemos hacer n = n0 d, k = k 0 d. Si
(ak )m = akm = e, se tiene que n|km, o equivalentemente, n0 |k 0 m. Como
(n0 , k 0 ) = 1, n0 |m. Ası́, ord(ak ) = n0 .
5. Sea m = ord(ab), de modo que (ab)m = e. Entonces,
(ab)m = (ab)(ab) . . . (ab)(ab) = a(ba) . . . (ba)b = e
⇐⇒ (ba)m−1 = a−1 b−1 ⇐⇒ (ba)m−1 = (ba)−1 ⇐⇒ (ba)m = e
6. Si a y b conmutan, se tiene (ab)k = ak bk . Por tanto, si M = [ord(a), ord(b)],
el primer apartado implica que (ab)M = aM bM = e y ord(ab)|M .
Además, si n = ord(a), m = ord(b), (m, n) = 1, hacemos s = ord(ab), y
utilizamos los resultados anteriores,
(ab)s = as bs = e ⇐⇒ as = b−s ⇐⇒ ord(as ) = ord(bs ) ⇐⇒
m
n
=
⇒ n|s, m|s ⇐⇒ M |s
⇐⇒
(n, s)
(m, s)
Como también s|M , se tiene s = M .
Q.E.D.
3.3. Corolarios del teorema de Lagrange
3.3.
13
Corolarios del teorema de Lagrange
Corolario 3.3.1 Para todo g ∈ G con G finito, ord(g)||G|
Demostración.
Q.E.D.
Se deduce de la definición del orden de x como |hxi|.
Corolario 3.3.2 Sea G un grupo de orden p primo. Entonces G es cı́clico.
Demostración. Sea g ∈ G, g 6= e. Puesto que los únicos divisores de un
número primo son la unidad y él mismo, y ord(g) = 1 implicarı́a g = e, se
debe tener |hgi| = p.
Q.E.D.
3.4.
Teoremas de Euler y Fermat
Proposición 3.4.1 Sea ā ∈ Z∗n . Se dice que ā es una unidad de Zn si existe
b̄ ∈ Z∗n tal que āb̄ = b̄ā = 1̄.
El conjunto de unidades de Zn se denota U (Zn ), y cumple
U (Zn ) = {k ∈ N : k ≤ n, (k, n) = 1}
Demostración. De la definición, es claro que el inverso multiplicativo de
una unidad de Zn es también una unidad de Zn .
Ası́, sean ā, b̄ ∈ U (Zn ) inversos recı́procos. Entonces, ab ≡ 1 (mód n), de
donde (ab, n) = (1, n) = 1 y, por tanto, (a, n) = (b, n) = 1.
Recı́procamente, sea ā ∈ Z∗n tal que (a, n) = 1. La ecuación ax ≡ 1
(mód n) tiene entonces una solución única hasta congruencia.
Q.E.D.
Proposición 3.4.2 (U (Zn ), ·) es un grupo abeliano.
Demostración. La asociatividad se deduce de la asociatividad del producto
de números enteros, y el axioma (G4) es consecuencia directa de la definición
de U (Zn ).
Sean ā, b̄ ∈ U (Zn ), y sean c̄, d¯ sus respectivos inversos. Entonces,
ab dc = a bd c = a 1 c = ac = 1̄
dc ab = d ca b = d 1 b = db = 1̄
lo que demuestra que ab ∈ U (Zn ) y 1̄ ∈ U (Zn ).
Q.E.D.
Definición 3.4.3 Se llama función ϕ de Euler a la aplicación ϕ : N −→ N
definida según ϕ(n) = |U (Zn )|
Proposición 3.4.4 La función ϕ de Euler cumple las siguientes propiedades:
1. Si (m, n) = 1, entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n),
14
Grupos cı́clicos
2. ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1) si p es primo, y
Q
3. ϕ(n) = n (1 − p1i ), donde pi son los divisores primos de n.
Demostración.
1. Consideremos los números 1, 2, 3, . . . , mn, y formemos la tabla
0,
1,
2,
n,
n + 1,
n + 2,
...
...
...
(m − 1)n, (m − 1)n + 1, (m − 1)n + 2,
...
k,
...
n + k,
...
...
. . . (m − 1)n + k,
. . . n − 1,
. . . 2n − 1,
...
...,
. . . mn − 1
Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) = 1. En cada fila
hay ϕ(n) números primos con n. Observando que los números de una
misma columna son congruentes entre sı́ módulo n, deducimos que, si
(k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima columna son primos
con n.
Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1:
n, n + k, 2n + k, . . . , (m − 1)n + k
Estos números pueen considerarse como los valores de la función lineal
nx + k : (n, m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restos
módulo m,
x = 0, 1, 2, . . . , m − 1
Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completo
de restos módulo m, y, por tanto, contiene ϕ(m) números que son primos
con m.
2. Es claro que ϕ(p) = p − 1 con p primo. Sea ahora n = pk , k > 1. El
sistema completo de restos módulo pk consta de pk−1 sistemas completos
de restos módulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) números primos con
p.
Q
3. Sea n = pki i . Utilizando los apartados anteriores,
Y
Y k −1
ϕ(n) =
ϕ(pki i ) =
pi i (pi − 1)
Y k
Y
1
1
=
pi i (1 − ) = n (1 − )
pi
pi
Q.E.D.
Teorema 3.4.5 (Euler) Para todos a ∈ Z, n ∈ N tales que (a, n) = 1, se
tiene
aϕ(n) ≡ 1 (mód n)
3.5. Clasificación de grupos cı́clicos
15
Demostración. Por el teorema de Lagrange, ord(a)||U (Zn )| = ϕ(n), de
donde aϕ(n) = 1 en U (Zn ).
Q.E.D.
Teorema 3.4.6 (Pequeño Teorema de Fermat) Para todo a ∈ Z y todo
p ∈ N primo con p - a, se tiene
ap−1 ≡ 1
(mód p)
Demostración. Aplicando el segundo apartado de la proposición 3.4.4 al
teorema de Euler,
aϕ(p) ≡ 1
(mód p) =⇒ ap−1 ≡ 1
(mód p)
Q.E.D.
3.5.
Clasificación de grupos cı́clicos
Proposición 3.5.1 Todo grupo cı́clico es abeliano.
Demostración. Puesto que todo elemento de un grupo cı́clico G = hgi es
de la forma g n para algún n ∈ Z, se tiene
g i g j = g i+j = g j+i = g j g i
Q.E.D.
Teorema 3.5.2 (Teorema de clasificación de grupos cı́clicos) Si (G, ∗)
es un grupo cı́clico infinito, entonces es isomorfo a (Z, +)
Si (H, ∗) es un grupo cı́clico de orden finito |H| = n, entonces es isomorfo
a (Zn , +).
Demostración. Sea (G, ∗) un grupo cı́clico infinito y φ : (Z, +) −→ (G, ∗) la
aplicación dada por φ(r) = g r . La aplicación φ es un homomorfismo, ya que
φ(r + s) = g r+s = φ(r) + φ(s), y es evidentemente biyectiva. Por tanto φ es
un isomorfismo.
Sea (H, ∗) un grupo cı́clico de orden finito |H| = n y ψ : (Zn , +) −→ (H, ∗)
la aplicación dada por ψ(r̄) = g r .
Veamos que ψ está bien definida. Sean r, s ∈ Z tales que r ≡ s (mód n),
i.e., r = s + kn. Entonces,
ψ(r̄) = g r = g s+kn = g s = ψ(s̄)
El mismo argumento prueba que esta aplicación es inyectiva. Además, es un
homomorfismo, ya que
ψ(r̄ + s̄) = g r+s = g r g s = ψ(r̄)ψ(s̄)
Puesto que una aplicación inyectiva entre conjuntos con la misma cardinalidad
es biyectiva, ψ es un isomorfismo de grupos.
Q.E.D.
16
Grupos cı́clicos
3.6.
Subgrupos de grupos cı́clicos
Proposición 3.6.1 Todo subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico.
Demostración. Sea G = hgi un grupo cı́clico, y sea H ≤ G. Es claro que si
H es un subgrupo impropio de G es cı́clico. Supongamos que H es un subgrupo
propio. Sea g k ∈ H tal que g m ∈
/ H para m < k, y sea g s otro elemento de H.
Utilizando el algoritmo de división de Euclides, podemos escribir s = ck + r
con 0 ≤ r < k. Como H es un subgrupo, (g k )−1 = g −k ∈ H. Por tanto,
g s (g −k )c = g s−ck = g r ∈ H
en contra de la definición de k, a menos que r = 0.
Ası́, cada elemento de H es de la forma (g k )n para algún n ∈ Z, y H es
cı́clico generado por g k .
Q.E.D.
Proposición 3.6.2 Sea G = hgi un grupo cı́clico de orden n. Entonces,
1. Para cada divisor d de n, existe un único subgrupo de G de orden d,
n
hg d i.
2. Si d y e son divisores de n, entonces la intersección de los subgrupos de
órdenes d y e es el subgrupo de orden (d, e).
3. Si d y e son divisores de n, entonces el producto interno de los subgrupos
de órdenes d y e es el subgrupo de orden [d, e].
Demostración.
n
n
1. Es claro que el elemento g d tiene d potencias distintas, de donde hg d i es
un subgrupo de orden d. Supongamos que existiese otro subgrupo H de
orden d, generado por un elemento x = g r para algún r ∈ Z. Entonces,
xrd = e, por lo que n|rd. Ası́, r debe ser de la forma k nd para algún
n
k ∈ Z y x es una potencia de g d . Por lo tanto, H debe ser un subgrupo
n
de hg d i, y, puesto que tiene el mismo cardinal, coinciden.
n
n
2. Sea x = g r ∈ hg d i ∩ hg e i. Como
d = d0 (d, e), e = e0 (d, e),
n
n
d |r, e |r,
se tiene que [ nd , ne ]|r. Pero, si
n n
n 1 1
n
,
=
,
=
d e
(d, e) d0 e0
(d, e)
Por tanto,
n
(d,e) |r
n
y x ∈ hg (d,e) i.
n
Recı́procamente, sea y = g s ∈ hg (d,e) i, de modo que
y
n n
e | (d,e) ,
se tiene que
n
d |s
y
n
e |s,
n
d
n
(d,e) |s.
n
e
n
Como nd | (d,e)
de donde y ∈ hg i ∩ hg i.
3.6. Subgrupos de grupos cı́clicos
n
17
n
3. Sea x ∈ hg d ihg e i. Entonces, existen enteros k1 , k2 tales que
n
n
n
x = g k1 d +k2 e = g de (k1 e+k2 d)
y, evidentemente,
n
de (k1 e
n
n
, de donde x ∈ hg [d,e] i.
+ k2 d)| [d,e]
n
Recı́procamente, sea y ∈ hg [d,e] i. Entonces, existe un entero k tal que
k n
y = g [d,e] . Utilizando la ecuación ab = (a, b)[a, b] y la propiedad lineal
del máximo común divisor,
y=g
n
k [d,e]
n
n
n
n
n
= g k de (k1 d+k2 e) = g kk2 d g kk1 e ∈ hg d ihg e i
Q.E.D.
Proposición 3.6.3 Sea G = hgi un grupo cı́clico infinito. Entonces,
1. Para cada d ∈ N, existe exactamente un subgrupo de G de ı́ndice d, hg d i.
Además, todo subgrupo no trivial de G es de ı́ndice finito.
2. Sean d, e ∈ N. La intersección de los subgrupos de ı́ndices d y e es el
subgrupo de ı́ndice [d, e].
3. Sean d, e ∈ N. El producto interno de los subgrupos de ı́ndices d y e es
el subgrupo de ı́ndice (d, e).
Demostración.
1. Es claro que hg d i tiene ı́ndice d. Basta observar que las clases por la
izquierda de G módulo hg d i son g k hg d i para cada 0 ≤ k < d.
Supongamos que existiese otro subgrupo H = hg s i de ı́ndice d. Entonces,
g l hg s i con 0 ≤ k < s son las clases por la izquierda de G módulo H, de
donde, necesariamente, s = d.
2. Es claro que si x = g r ∈ hg d i ∩ hg e i, se debe tener d|r, e|r y, por tanto,
[d, e]|r y x ∈ hg [d,e] i.
Recı́procamente, si y = g s ∈ hg [d,e] i, entonces [d, e]|s, y, por tanto,
d|s, e|s, de donde y ∈ hg d i ∩ hg e i.
3. Sea x = g r ∈ hg d ihg e i. Existen, entonces, enteros k1 , k2 tales que r =
k1 d + k2 e. Es evidente que (d, e)|r, de donde x ∈ hg (d,e) i.
Recı́procamente, sea y = g s ∈ hg (d,e) i. Entonces, existe un entero k tal
que s = k(d, e). Ası́, utilizando la propiedad lineal del máximo común
divisor,
y = g k(d,e) = g kk1 d+kk2 e = g kk1 d g kk2 e ∈ hg d ihg e i
Q.E.D.
18
Grupos cı́clicos
3.7.
Generadores de grupos cı́clicos
Proposición 3.7.1 Los enteros 1 y −1 son los únicos generadores del grupo
(Z, +).
Demostración. Es claro que todo entero n puede ponerse en cualquiera de
las dos formas
n=n·1
n = −n · (−1)
de modo que 1 y −1 generan efectivamente (Z, +). Sin embargo, el elemento
1 no puede ponerse en la forma 1 = m + m + · · · + m = nm con n ∈ Z para
ningún m 6= 1, −1.
Q.E.D.
Proposición 3.7.2 Un elemento g k es un generador de un grupo cı́clico G =
hgi de orden finito n si y sólo si (k, n) = 1.
Demostración. Basta utilizar la proposición 3.2.1, según la cual
ord(g k ) =
ord(g)
n
=
(k, ord(g))
(k, n)
de donde ord(g k ) = n si y sólo si (k, n) = 1.
Q.E.D.
Corolario 3.7.3 Todo grupo cı́clico de orden finito n tiene ϕ(n) generadores
Demostración. De entre todos los elementos de G = hgi, sólamente serán
generadores aquéllos que sean de la forma g k , k < n, (k, n) = 1. Este conjunto
es U (Zn ), cuyo cardinal es ϕ(n).
Q.E.D.
3.8.
Imagen homomórfica de grupos cı́clicos
Proposición 3.8.1 Sea G = hgi un grupo cı́clico, y sea f : G −→ G0 un
homomorfismo. Entonces, f (G) = hf (g)i.
Demostración. Basta observar que todo x ∈ f (G) es de la forma x =
f (g n ) = f (g)n .
Q.E.D.
Proposición 3.8.2 Sea a un elemento de torsión de un grupo G, y sea
f : G −→ G0 un homomorfismo. Entonces, ord(f (a))|ord(a), con igualdad si
f es inyectiva.
Demostración. Sea a ∈ G tal que ord(a) = n, ord(f (a)) = m. Entonces,
e = f (an ) = f (a)n , de donde m|n. Además, si f es inyectiva, f (a)m = e
implica am = e, y n|m.
Q.E.D.
3.9. Automorfismos de grupos cı́clicos
3.9.
Automorfismos de grupos cı́clicos
Proposición 3.9.1 Sea G ∼
= (Z, +). Se tiene que
Aut G ∼
= Z2
Demostración. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generador
de G. Puesto que G = f (G) = hf (g)i, se tiene que f (g) debe ser también un
generador. Como G posee únicamente dos generadores, Aut G es un grupo de
orden dos, y, por tanto, isomorfo a Z2 .
Q.E.D.
Proposición 3.9.2 Sea G ∼
= (Zn , +). Se tiene que
Aut G ∼
= U (Zn )
Demostración. Sea f : G −→ G un automorfismo, y sea g un generador
de G. Puesto que todo automorfismo es inyectivo, ord(f (g)) = ord(g) = n, de
donde f (g) debe ser también un generador de G. Ası́,
Aut G = {fi : G −→ G, fi (g) = g i : (i, n) = 1}
Sea ζ : Aut G −→ U (Zn ) definida según ζ(fi ) = i. Utilizando el hecho de que
Aut G es un grupo,
ζ(fi fj ) = ζ(fij ) = ij = ζ(fi )ζ(fj )
lo que prueba que ζ es un homomorfismo. Puesto que ζ es evidentemente
biyectiva, es un isomorfismo.
Q.E.D.
19
Capı́tulo 4
Acciones de grupos.
Subgrupos normales
4.1.
El teorema de órbita-estabilizador
Definición 4.1.1 Sea G un grupo, y X un conjunto. Una acción de G sobre
X es una familia de aplicaciones
Φ = {φg : X −→ X : g ∈ G}
que cumple las siguientes propiedades:
(A1) φe (x) = x, y
(A2) φa (φb (x)) = φab (x).
Definición 4.1.2 Dada una acción Φ de un grupo G sobre un conjunto X, y
un elemento x ∈ X, se llama estabilizador de x al conjunto
Gx = {g ∈ G : φg (x) = x}
Proposición 4.1.3 En las condiciones de la definición anterior, Gx ≤ G
Demostración. El axioma (A1) asegura que el elemento neutro de G pertenece a Gx . (A2) asegura que, si a, b ∈ Gx , entonces,
φab (x) = φa (φb (x)) = φa (x) = x
por lo que ab ∈ Gx . Por último, si a ∈ Gx , se tiene que
φa−1 (x) = φa−1 (φa (x)) = φe (x) = x
demostrando que a−1 ∈ Gx .
Q.E.D.
21
22
Acciones de grupos. Subgrupos normales
Proposición 4.1.4 Dada una acción Φ de un grupo G sobre un conjunto X,
la relación definida según
x ∼Φ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : φg (x) = y
es de equivalencia.
Demostración. El axioma (A1) asegura que x ∼Φ x.
Si x ∼Φ y, entonces φg (x) = y para algún g ∈ G. Ası́,
φg−1 (y) = φg−1 (φg (x)) = φg−1 g (x) = φe (x) = x
demostrando que y ∼Φ x.
Por último, si x ∼Φ y, y ∼Φ z, entonces φg (x) = y, φh (y) = z y
z = φh (y) = φh (φg (x)) = φhg (x)
de donde se deduce la transitividad de la relación.
Q.E.D.
Definición 4.1.5 La clase de equivalencia de un elemento x ∈ X bajo la
relación de la proposición anterior recibe el nombre de órbita de x.
orb(x) = {y ∈ X : y ∼Φ x}
Teorema 4.1.6 (Órbita-estabilizador) Sea Φ una acción de un grupo G
sobre un conjunto X. Para cada x ∈ X,
|orb(x)| = [G : Gx ]
Demostración. Dado x ∈ X, definimos una aplicación θ de la órbita de x en
el conjunto de clases por la izquierda de G módulo Gx según θ(φg (x)) = gGx .
Comprobemos que θ está bien definida. Supongamos que φg (x) = φh (x).
Entonces, φh−1 g (x) = x y, por tanto, h−1 g ∈ Gx , de donde gGx = hGx .
Veamos que es inyectiva. Si θ(φg (x)) = θ(φh (x)), se tiene que gGx = hGx
y h−1 g ∈ Gx . Ası́,
φh (x) = φh (φh−1 g (x)) = φhh−1 g (x) = φg (x)
Por último, θ es suprayectiva, ya que cada gGx es θ(φg (x)) por definición.
Por tanto, θ es una biyección, y sus conjuntos dominio e imagen poseen el
mismo cardinal.
Q.E.D.
4.2. Elementos conjugados y clases de conjugación
4.2.
23
Elementos conjugados y clases de conjugación
Definición 4.2.1 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la acción de H sobre G
definida según
Conj(G, H) = {κh : G −→ G, κh (g) = hgh−1 : h ∈ H}
recibe el nombre de conjugación de G por H.
La órbita de un elemento g ∈ G se denomina clase de conjugación de g en
H.
ClH (g) = {κh (g) : h ∈ H}
El estabilizador de g ∈ G recibe el nombre de centralizador de g en H.
CH (g) = {h ∈ H : κh (g) = g}
Proposición 4.2.2 Sea G un grupo. La familia de aplicaciones que forma la
acción Conj(G, H) posee estructura de grupo bajo la operación de composición.
Este grupo, Int G recibe el nombre grupo de automorfismos internos de G, y
se tiene
Int G ≤ Aut G
Demostración. Es claro que Int G ⊆ Aut G. El axioma (A2) asegura que
Int G es cerrado por la operación de composición. El axioma (A1) asegura la
existencia del elemento neutro, κe . Por último,
(κa−1 ◦ κa )(x) = κa−1 a (x) = κe (x)
(κa ◦ κa−1 )(x) = κaa−1 (x) = κe (x)
asegura la existencia de inversos.
Q.E.D.
Proposición 4.2.3 Sea G un grupo, y sean x, y ∈ G. Entonces,
1. y ∈ ClG (x) ⇐⇒ ∃a, b ∈ G : x = ab, y = ba,
2. y ∈ ClG (x) =⇒ ord(x) = ord(y), y
3. Ges abeliano ⇐⇒ ClG (x) = x ∀x ∈ G.
Demostración. Sea y = zxz −1 .
1. Haciendo a = z −1 y b = zx, se tiene x = ab e y = ba. Recı́procamente,
sea x = ab. Entonces, y = ba = b(ab)b−1 = bxb−1 , de modo que
y ∈ ClG (x).
2. Sea ord(x) = n, ord(y) = m. Entonces,
y m = e ⇐⇒ (zxz −1 )m = zxm z −1 = e ⇐⇒ xn = e
24
Acciones de grupos. Subgrupos normales
3. Sea G abeliano. Entonces, para cada x ∈ G se tiene gxg −1 = xgg −1 = x
con g ∈ G. Recı́procamente, si ClG (x) = x, entonces gxg −1 = x para
todos x, g ∈ G, o, equivalentemente, gx = xg.
Q.E.D.
Proposición 4.2.4
CH (g) = CG (g) ∩ H
Demostración. Basta observar que
CH (g) = {h ∈ H : κh (g) = g}
= {h ∈ G : κh (g) = g} ∩ H = CG (g) ∩ H
Q.E.D.
Definición 4.2.5 Se llama centro de G al subgrupo
\
Z(G) =
CG (g) = {g ∈ G : gh = hg ∀h ∈ G}
g∈G
Proposición 4.2.6 Z(G) es un subgrupo abeliano de G.
Demostración. De la propia definición de Z(G) como intersección de subgrupos, se deduce que es un subgrupo, y la caracterización Z(G) = {g ∈ G :
gh = hg ∀h ∈ G} demuestra que éste es abeliano.
De hecho, se puede demostrar que Z(G) es el mayor subgrupo abeliano
contenido en G, en el sentido de que todo subgrupo abeliano de G está contenido en él, de modo que G es abeliano si y sólo si G = Z(G).
Q.E.D.
Proposición 4.2.7 (Ecuación de clases de conjugación) Sea G un grupo finito, y sea C = {x1 , x2 , . . . , xm } una colección completa de representantes
de clases de conjugación de G en G. Entonces,
X
|G| = |Z(G)| +
|Cl(x)|
x∈C
x∈Z(G)
/
Demostración. G puede escribirse como unión disjunta de clases de conjugación según
[
G=
Cl(x)
x∈C
=
[
x∈C
x∈Z(G)
Cl(x) ∪
[
x∈C
x∈Z(G)
/
Cl(x)
4.3. Subgrupos normales
25
Ahora bien, las clases de conjugación de los elementos de Z(G) constan de un
único elemento. Por tanto,
[
|G| = |Z(G)| + |
Cl(x)|
x∈C
x∈Z(G)
/
= |Z(G)| +
X
|Cl(x)|
x∈C
x∈Z(G)
/
Q.E.D.
Definición 4.2.8 Sea G un grupo. Dado H ≤ G, la acción de H sobre el
conjunto de subgrupos de G, denotado ℘(G), definida según
Conj(℘(G), H) = {χh : ℘(G) −→ ℘(G), χh (K) = hKh−1 : h ∈ H}
recibe el nombre de conjugación de subgrupos de G por H.
La órbita de un subgrupo K ⊆ G se denomina clase de conjugación de K
en H.
ClH (K) = {χh (K) : h ∈ H}
El estabilizador de K ⊆ G recibe el nombre de normalizador de K en H.
NH (K) = {h ∈ H : χh (K) = K}
4.3.
Subgrupos normales
Definición 4.3.1 Sea G un grupo, y sea H ≤ G. Se dice que H es normal
en G, y se denota H G si, para todo g ∈ G, se tiene gHg −1 = H.
Proposición 4.3.2 Son equivalentes:
1. H es normal en G.
2. Para todo g ∈ G, gH = Hg.
3. G = NG (H).
4. ClG (H) = H.
Demostración.
(1 ⇒ 2) Componiendo gHg −1 = H por la derecha con g, obtenemos gH =
Hg.
(2 ⇒ 3) El normalizador de H en G es
NG (H) = {g ∈ G : χg (H) = H}
= {g ∈ G : gHg −1 = H}
= {g ∈ G : Hgg −1 = He = H}
=H
utilizando la hipótesis
26
Acciones de grupos. Subgrupos normales
(3 ⇒ 4) Si G = NG (H), entonces gHg −1 = H para todo g ∈ G,de donde
ClG (H) = H.
(4 ⇒ 1) Sea gHg −1 un conjugado de H. Entonces, gHg −1 ∈ ClG (H) = H,
de donde gHg −1 = H y H G.
Q.E.D.
Proposición 4.3.3 Sea G un grupo. Entonces,
1. {e} G, G G.
2. Si H ≤ G, entonces H NG (H).
3. Si H ≤ Z(G), entonces H G.
4. Si H ≤ G y G abeliano, entonces H G.
5. Si H ≤ G y [G : H] = 2, entonces H G.
6. Si H es el único subgrupo de G de orden n, entonces H G.
Demostración.
1. Para todo g ∈ G, g{e}g −1 = {e}, luego {e} G. Para todo g ∈
G, gGg −1 = G, luego G G.
2. Basta observar el tercer apartado de la proposición 4.3.2. De hecho,
NG (H) es el mayor subgrupo en el cual H es normal, en el sentido de
que cualquier otro subgrupo en el que H sea normal debe estar contenido
en NG (H).
3. Si H ≤ Z(G), todo h ∈ H conmuta con todo g ∈ G. Por tanto, gH = Hg
y, por el segundo apartado de la proposición 4.3.2, H G.
4. Si G es abeliano, es claro que gH = Hg y H G por el segundo apartado
de la proposición 4.3.2.
5. Si [G : H] = 2, las clases por la izquierda y por la derecha de G módulo
H deben coincidir: H y gH para cualquier g 6∈ H (H y Hg −1 , respectivamente). Aplicando ahora el segundo apartado de la proposición 4.3.2,
H G.
6. Para todo g ∈ G, se tiene |gHg −1 | = |H|. Puesto que H es el único
subgrupo de G de orden n, gHg −1 = H, demostrando la normalidad de
H en G.
Q.E.D.
Proposición 4.3.4 Sean H y K subgrupos de un grupo G. Si K G, entonces
HK ≤ G y H ∩ K H; si además H G, entonces HK G y H ∩ K G.
4.3. Subgrupos normales
Demostración. Como K G, se tiene que hK = Kh para todo h ∈ G. En
particular, HK = KH, y, por la proposición 2.3.2, HK ≤ G.
Para todo x ∈ H ∩ K y todo h ∈ H, hxh−1 ∈ H por ser H subgrupo de
G. Además, puesto que x ∈ K y K es normal en G, hxh−1 ∈ K. Por tanto,
hxh−1 ∈ H ∩ K.
Si tanto H como K son normales en G, sus clases por la izquierda y por
la derecha coinciden, de donde, para todo g ∈ G
gHKg −1 = HgKg −1 = HKgg −1 = HK
demostrando la normalidad de HK en G.
Por último, si x ∈ H ∩ K, entonces gxg −1 ∈ H ∩ K para todo g ∈ G.
Q.E.D.
Definición 4.3.5 Se dice que un grupo G es simple si sus únicos subgrupos
normales son sus subgrupos impropios.
27
Capı́tulo 5
Grupos cociente y teoremas
de isomorfı́a
5.1.
Grupo cociente y teorema de correspondencia
Proposición 5.1.1 Sea N un subgrupo normal de un grupo G. El conjunto de clases por la izquierda de G módulo N es un grupo bajo la operación
(xN )(yN ) = xyN . Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobre
N y se denota G/N .
Demostración. En primer lugar, es necesario comprobar que la operación
está bien definida. Si xN = uN e yN = vN , entonces, u−1 x, v −1 y ∈ N y se
tiene
(uv)−1 (xy) = v −1 u−1 xy
= v −1 ny
donde n = u−1 x ∈ N
= v −1 y(y −1 ny)
Dado que N es normal, y −1 ny ∈ N . Como v −1 y ∈ N , también (uv)−1 (xy) ∈ N
y xyN = uvN .
Los axiomas de grupo se cumplen, entonces, de manera evidente: el elemento neutro es 1N = N , y el inverso de gN es g −1 N .
Q.E.D.
Teorema 5.1.2 (Teorema de correspondencia) Sea N un subgrupo normal de un grupo G. Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos
de G/N y los subgrupos de G que contienen a N . Además, H G si y sólo si
H/N G/N .
Demostración. Sea H ? un subgrupo de G/N . Definimos la aplicación β del
conjunto de las partes de G/N en el conjunto de las partes de G según
β(H ? ) = {g ∈ G : gN ∈ H ? }
29
30
Grupos cociente y teoremas de isomorfı́a
β(H ? ) es un subgrupo de G, ya que es no vacı́o (N ⊆ β(H ? ), pues, para todo
n ∈ N se tiene nN = N ∈ H ? por ser H ? ≤ G/N ) y
a, b ∈ β(H ? ) =⇒ aN, b−1 N ∈ H ?
=⇒ ab−1 N ∈ H ?
=⇒ ab−1 ∈ β(H ? )
Recı́procamente, sea N ≤ H ≤ G. Definimos la aplicación α del conjunto
de las partes de G en el conjunto de las partes de G/N según
α(H) = {hN ∈ G/N : h ∈ H} = H/N
α(H) es un subgrupo de G/N , ya que es no vacı́o (N ∈ α(H)) y
−1
h1 N, h2 N ∈ α(H) ⇒ h1 , h2 ∈ H ⇒ h1 h−1
2 ∈ H ⇒ h1 h2 N ∈ α(H)
Veamos ahora que tanto α como β son biyecciones, inversas la una de la
otra. En efecto, sea N ≤ H ≤ G. Entonces,
β ◦ α(H) = β(H/N ) = {g ∈ G : gN ∈ H/N } = H
Recı́procamente, si H ? ≤ G/N , entonces
α ◦ β(H ? ) = α({g ∈ G : gN ∈ H ? }) = {gN ∈ H ? } = H ?
Si H G, entonces ghg −1 ∈ H para todo g ∈ G, de donde
(gN )(hN )(gN )−1 = (ghg −1 )N ∈ H/N
∀gN ∈ G/N
demostrando la normalidad de H/N en G/N . Recı́procamente, si H/N G/N ,
entonces (gN )(hN )(gN )−1 = (ghg −1 )N ∈ H/N para todo gN ∈ G/N implica
que ghg 1 ∈ H para todos h ∈ H y g ∈ G, de modo que H G.
Q.E.D.
5.2.
Homomorfismos, subgrupos y teoremas de
isomorfı́a
Proposición 5.2.1 Sean G1 y G2 grupos, y f : G1 −→ G2 un homomorfismo.
1. H1 ≤ G1 =⇒ f (H1 ) ≤ G2 .
2. H2 ≤ G2 =⇒ f −1 (H2 ) ≤ G1 .
3. H1 G1 y f suprayectivo =⇒ f (H1 ) G2 .
4. H2 G2 =⇒ f −1 (H2 ) G1 .
Demostración.
5.2. Homomorfismos, subgrupos y teoremas de isomorfı́a
31
1. Sean u, v ∈ f (H1 ), de modo que existen x, y ∈ H1 tales que u = f (x), v =
f (y). Entonces,
uv −1 = f (x)f (y)−1 = f (xy −1 ) ∈ f (H1 )
2. Sean u, v ∈ H2 , de modo que existen x, y ∈ H1 tales que u = f (x), v =
f (y). Entonces,
uv −1 = f (x)f (y)−1 = f (xy −1 ) ∈ H2 ⇒ xy −1 ∈ f −1 (H2 )
3. Sea u ∈ f (H1 ), de modo que existe x ∈ H1 tal que f (x) = u. Para todo
v ∈ G2 , existe g ∈ G1 tal que f (g) = v, por ser f suprayectiva. Ası́,
vuv −1 = f (g)f (x)f (g)−1 = f (gxg −1 ) ∈ f (H1 )
ya que H1 es normal, de donde gxg −1 ∈ H1 .
4. Sea x ∈ f −1 (H2 ), de modo que existe u ∈ H2 tal que f (x) = u. Para
todo g ∈ G1 , existe v ∈ G2 tal que f (g) = v. Como H2 G2 ,
vuv −1 = f (g)f (h)f (g)−1 = f (gxg −1 ) ∈ H2
de donde gxg −1 ∈ f −1 (H2 ) para todo g ∈ G1 , luego f −1 (H2 ) G1 .
Q.E.D.
Teorema 5.2.2 (Primer teorema de isomorfı́a) Sean G y H grupos, y
f : G −→ H un homomorfismo. Entonces,
1. imf ≤ H,
2. kerf G, y
3. G/kerf ∼
= imf .
Demostración.
1. Basta aplicar el primer apartado de la proposición anterior al subgrupo
impropio G.
2. Aplı́quese el último apartado de la proposición anterior al subgrupo impropio {e}.
3. Sea θ : G/N −→ imf la aplicación tal que θ(xN ) = f (x).
Supongamos que xN = yN , de modo que x−1 y ∈ N . Entonces,
θ(xN ) = f (x) = f (x)e = f (x)f (x−1 y) = f (y) = θ(yN )
32
Grupos cociente y teoremas de isomorfı́a
demostrando que θ está bien definida.
El hecho de que f sea un homomorfismo implica que θ también lo es,
según
θ((xN )(yN )) = θ(xyN ) = f (xy) = f (x)f (y) = θ(xN )θ(yN )
Además, es suprayectiva, ya que cada f (x) ∈ imf es θ(xN ) por definición, e inyectiva, ya que
θ(xN ) = θ(yN ) ⇒ f (x) = f (y) ⇒ f (xy −1 ) = e
⇒ xy −1 ∈ N ⇒ xN = yN
Por tanto, θ es un isomorfismo.
Q.E.D.
Teorema 5.2.3 (Segundo teorema de isomorfı́a) Sean H ≤ G, N G.
Entonces,
H ∼ HN
=
N ∩H
N
Demostración. Sea ϕ : G −→ G/N el homomorfismo canónico con núcleo
N definido según ϕ(g) = gN . Si consideramos la restricción de ϕ a H, tenemos
ϕ(H) = HN/N y kerϕ|H = H ∩N . Basta, entonces, aplicar el primer teorema
de isomofı́a a ϕ|H .
Q.E.D.
Teorema 5.2.4 (Tercer teorema de isomorfı́a) Sean H, N G, N ≤ H.
Entonces,
G/N ∼
= G/H
H/N
Demostración. Considérese la aplicación χ : G/N −→ G/H definida según
χ(gN ) = gH. Se tiene im χ = G/H y ker χ = H/N . Basta aplicar ahora el
primer teorema de isomorfı́a.
Q.E.D.
5.3.
Corolarios de los teoremas de isomorfı́a
Proposición 5.3.1
G/Z(G) ∼
= Int G
Demostración. Sea ξ : G −→ Int G la aplicación definida según ξ(g) = κg .
Esta aplicación es un homomorfismo, pues
ξ(gh)(x) = κgh (x) = [κg ◦ κh ](x) = [ξ(g) ◦ ξ(h)](x)
5.3. Corolarios de los teoremas de isomorfı́a
33
y es suprayectiva, ya que κg es ξ(g) por definición. Basta ahora aplicar el
primer teorema de isomorfı́a, ya que
ker ξ = {g ∈ G : κg = κe }
= {g ∈ G : κg (x) = κe (x) ∀x ∈ G}
= {g ∈ G : gxg −1 = x ∀x ∈ G}
= Z(G)
Q.E.D.
Corolario 5.3.2 Sea G un grupo. Son equivalentes:
1. G es abeliano,
2. Int G es trivial, y
3. Int G es cı́clico.
Demostración.
(1 ⇒ 2) Para todos a, g ∈ G, κa (g) = aga−1 = gaa−1 = a.
(2 ⇒ 3) Evidente.
(3 ⇒ 1) Supongamos que IntG es cı́clico. Utilizando la proposición anterior,
existe un elemento a ∈ G tal que G/Z(G) ∼
= haZ(G)i. Para todos x, y ∈
G existen enteros i, j y elementos b, c ∈ Z(G) tales que x = ai b, y = aj c.
Entonces, xy = ai baj c, y, puesto que todos estos elementos conmutan entre
sı́, xy = ai baj c = aj cai b = yx.
Q.E.D.
Capı́tulo 6
Grupos simétricos, alternados
y diédricos
6.1.
Permutaciones. Descomposición en ciclos
disjuntos
Definición 6.1.1 Se llama grupo simétrico de orden n, Sn , al grupo de permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}.
Proposición 6.1.2
|Sn | = n!
Demostración. Existen n! permutaciones en un conjunto de n elementos.
Q.E.D.
Proposición 6.1.3 Sean π ∈ Sn , e i ∈ {1, 2, . . . , n}. Si k es el menor entero
positivo tal que π k (i) ∈ {i, π(i), . . . , π k−1 (i)}, entonces π k (i) = i.
Demostración. Supongamos que π k (i) = π r (i) para algún 0 < r < k.
Entonces, π k−r (i) = i, en contra de la definición de k. Por tanto, r = 0.
Q.E.D.
Definición 6.1.4 Una permutación ρ se llama k-ciclo si existen k ∈ N e
i ∈ {1, 2, . . . , n} tales que
k es el menor entero positivo tal que ρk (i) = i, y
ρ(j) = j para todo j ∈
/ {i, ρ(i), . . . , ρk−1 (i)}.
Se denota entonces ρ = (iρ(i) . . . ρk−1 (i)). Un 2-ciclo recibe el nombre de
transposición.
Proposición 6.1.5 Sea ρ un k-ciclo. Entonces, ord(ρ) = k.
35
36
Grupos simétricos, alternados y diédricos
Demostración. Basta observar que ρ es un k-ciclo si k es el mı́nimo entero
positivo tal que ρk (i) = i, por la proposición 6.1.3.
Q.E.D.
Definición 6.1.6 Se dice que ρ, σ son permutaciones disjuntas si no existe
i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que ρ(i) 6= i y σ(i) 6= i.
Proposición 6.1.7 Toda permutación puede escribirse como producto de ciclos disjuntos.
Demostración. Sea σ ∈ Sn . Definamos una relación en {1, 2, . . . , n} según
iRj ⇐⇒ ∃k ∈ N : σ k (i) = j
Esta relación es de equivalencia.
iRi, i.e., existe r ∈ N tal que σ r (i) = i, ya que, en caso contrario, el
conjunto {σ k (i) : k ∈ N} serı́a infinito. Si iRj, entonces existe k ∈ N tal
que σ k (i) = j, de donde i = σ r (i) = σ r−k σ k (i) = σ r−k (j). Por último, si
iRj y jRk, se tienen k, m ∈ N tales que σ k (i) = j y σ m (j) = k, de donde
σ k+m (i) = k.
Por la proposición 6.1.3, cada una de las clases de equivalencia de esta
relación es un ciclo. La disjunción de estas clases implica la disjunción de los
ciclos.
Q.E.D.
Proposición 6.1.8 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces ρσ = σρ, y,
para todo k ∈ N, (ρσ)k = ρk σ k .
Demostración. Sea i ∈ {1, 2, . . . , n} que queda fijo por ρ. Entonces, σ r (i)
queda también fijo por ρ, de donde ρσ(i) = σ(i) = σρ(i).
Anlogamente, si j ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por σ, ρr (j) queda también
fijo por σ y ρσ(j) = ρ(j) = σρ(j).
Por último, si k ∈ {1, 2, . . . , n} queda fijo por ambas, es evidente que
ρσ(k) = σρ(k) = k.
Si ρ y σ conmutan, es evidente entonces que (ρσ)k = ρk σ k para todo k ∈ N.
Q.E.D.
Corolario 6.1.9 Sean ρ, σ permutaciones disjuntas. Entonces,
ord(ρσ) = [ord(ρ), ord(σ)]
Demostración. Si (ρσ)m = ρm σ m = e, entonces ρm = e; σ m = e, por ser
permutaciones disjuntas. Ası́ m = ord(ρσ) es el mı́nimo entero positivo tal
que ord(ρ)|m y ord(σ)|m, es decir, m = [ord(ρ), ord(σ)].
Q.E.D.
6.2. Descomposición en transposiciones. Sistemas de generadores de Sn
6.2.
Descomposición en transposiciones. Sistemas
de generadores de Sn
Proposición 6.2.1 Todo k-ciclo en Sn puede descomponerse en un producto
de k − 1 transposiciones.
Demostración. Basta observar que el k-ciclo π = (12 . . . k) admite la factorización π = (1k) . . . (13)(12), de donde
(i1 i2 . . . ik ) = (i1 ik ) . . . (i1 i3 )(i1 i2 )
Q.E.D.
Corolario 6.2.2 Las transposiciones generan Sn .
Demostración. Evidente de la proposición anterior
Q.E.D.
Proposición 6.2.3 Sean ρ, π ∈ Sn . La descomposición en ciclos disjuntos de
πρπ −1 se obtiene de la de ρ sustituyendo cada entero i en la descomposición
de ρ por el entero π(i).
Demostración. En efecto, πρπ −1 (π(i)) = πρ(i). Por tanto, πρπ −1 aplica
π(i) en π(ρ(i)), mientras que ρ aplica i en ρ(i).
Q.E.D.
Corolario 6.2.4 Para todo n ∈ N, las transposiciones de la forma (k k + 1)
con 1 ≤ k ≤ n − 1 generan Sn .
Demostración. Veamos que toda transposición (ij) con i < j puede escribirse como producto de transposiciones de la forma (k k + 1). Utilizando la
proposición anterior, vemos que
(i i + 2) = (i + 1 i + 2)(i i + 1)(i + 1 i + 2)−1
En general,
(ij) = (j − 1 j)(j − 2 j − 1) . . . (i + 1 i + 2)(i i + 1)
(i + 1 i + 2)−1 . . . (j − 2 j − 1)−1 (j − 1 j)−1
Basta ahora utilizar las proposiciones 6.2.1 y 6.1.7.
6.3.
Q.E.D.
Signatura de una permutación
Proposición 6.3.1 Sea Fn el conjunto de los polinomios en n variables, y
sea Ξ la familia de aplicaciones ξσ : Fn −→ Fn con σ ∈ Sn definidas según
ξσ (f (x1 , x2 , . . . , xn )) = f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) )
Ξ es una acción de Sn sobre Fn .
37
38
Grupos simétricos, alternados y diédricos
Demostración. En efecto, si denotamos I la permutación identidad,
ξI (f (x1 , x2 , . . . , xn )) = f (x1 , x2 , . . . , xn )
verificando (A1). Para comprobar (A2), basta observar que
ξρ ◦ ξσ (f (x1 , x2 , . . . , xn )) = ξρ (f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ))
= f (xρσ(1) , xρσ(2) , . . . , xρσ(n) )
= ξρσ (f (x1 , x2 , . . . , xn ))
Q.E.D.
Proposición 6.3.2 Si
Y
∆n =
(xi − xj ) ∈ Fn
1≤i<j≤n
se define la signatura de σ como la aplicación sgn : Sn −→ {−1, 1} definida
según
sgn(σ)∆n = ξσ (∆n )
Esta aplicación sgn es un homomorfismo.
Demostración. Es claro que, para todo λ ∈ R, ξσ (λf ) = λξσ (f ). Por tanto,
utilizando la proposición anterior,
sgn(ρσ)∆n = ξρσ ∆n
por definición
= ξρ ◦ ξσ (∆n )
por el axioma (A2)
= ξρ (sgn(σ)∆n )
por definición
= sgn(σ)ξρ (∆n )
= sgn(σ)sgn(ρ)∆n
por definición
Q.E.D.
Definición 6.3.3 Se dice que σ ∈ Sn es una permutación par si sgn(σ) = 1.
Se dice que σ ∈ Sn es una permutación impar si sgn(σ) = −1.
Corolario 6.3.4 Sean π, σ ∈ Sn . Entonces,
1. sgn(π) = sgn(π −1 ), y
2. sgn(πσπ −1 ) = sgn(σ).
Demostración. Utilizando que sgn es un homomorfismo,
1 = sgn(I) = sgn(ππ −1 ) = sgn(π)sgn(π −1 )
de donde sgn(π) = sgn(π −1 ), y
sgn(πσπ −1 ) = sgn(π)sgn(σ)sgn(π) = sgn(σ)
Q.E.D.
6.4. Grupos alternados
39
Corolario 6.3.5 Sea σ un k-ciclo. Entonces, sgn(σ) = (−1)k−1
Demostración. Es claro que la transposición (12) es impar, puesto que produce un único cambio de signo en ∆n , la del factor (x1 −x2 ). Una transposición
de la forma (1k) puede escribirse como
(1k) = (2k)(12)(2k)−1
luego es impar por el corolario 6.3.4. Finalmente,
(lk) = (1l)(1k)(1l)−1
por lo queda demostrado que toda transposición es impar.
Por la proposición 6.2.1, todo k-ciclo puede factorizarse en un producto de
k − 1 transposiciones. Del hecho de que sgn es un homomorfismo se sigue el
enunciado.
Q.E.D.
Proposición 6.3.6 Sea σ ∈ Sn una permutación par. Entonces, toda descomposición de σ en transposiciones posee un número par de transposiciones.
Anlogamente, si σ ∈ Sn es una permutación impar, toda descomposición
de σ en transposiciones posee un número impar de transposiciones.
Demostración. Supongamos que σ ∈ Sn posee dos factorizaciones distintas
con k y l transposiciones, respectivamente. Entonces, las signaturas de cada
una de ellas debe coincidir con la signatura de σ. Ası́, si σ es par,
sgn(σ) = 1 = (−1)k = (−1)l
de manera que tanto k como l deben ser pares. Análogamente, si σ es impar,
sgn(σ) = −1 = (−1)k = (−1)l
y k y l deben ser impares.
6.4.
Q.E.D.
Grupos alternados
Definición 6.4.1 Se llama grupo alternado de orden n, An al subgrupo de
todas las permutaciones pares de Sn .
Proposición 6.4.2 An = ker(sgn).
Demostración. En efecto,
ker(sgn) = {σ ∈ Sn : sgn(σ) = 1}
es efectivamente el conjunto de todas las permutaciones pares de Sn . Q.E.D.
40
Grupos simétricos, alternados y diédricos
Corolario 6.4.3
1. An Sn .
2. |An | =
n!
2.
Demostración. Por el primer teorema de isomorfı́a, aplicado al homomorfismo sgn, An Sn y Sn /An ∼
= {−1, 1}. Aplicando ahora el teorema de Lagrange,
|An | =
|Sn |
|Sn |
n!
=
=
[Sn : An ]
|Sn /An |
2
Q.E.D.
Proposición 6.4.4
1. A2 = I.
2. A3 ∼
= Z3 .
Demostración.
1. Es evidente del hecho de que S2 = {I, (12)}.
2. Puesto que S3 = {I, (12), (13), (23), (123), (132)}, se tiene que A3 =
{I, (123), (132)}. Pero
(123)(123) = (132),
(123)(123)(123) = I
Ası́, A3 es un grupo cı́clico de orden 3, y, por tanto, isomorfo a Z3 .
Q.E.D.
Proposición 6.4.5 Para cada n ≥ 3, los 3-ciclos generan An .
Demostración. De la propia definición de grupo alternado, cada permutación de An puede escribirse como producto de un número par de transposiciones. Agrupando las transposiciones por pares, (ij)(kl), se tienen dos casos. Si
i, j, k, l son enteros distintos,
(ij)(kl) = (ikj)(ikl)
Si alguno de ellos coincide,
(ij)(il) = (ilj)
Por tanto, todo elemento de An con n ≥ 3 puede escribirse como producto de
3-ciclos.
Q.E.D.
6.5. Estructura de los grupos simétricos y alternados
41
Corolario 6.4.6 Para cada par r0 , s0 ∈ {1, 2, . . . , n} con r0 6= s0 , los 3-ciclos
de la forma (r0 s0 i) generan An .
Demostración. El resultado se sigue de la proposición anterior, observando
que
(ijk) = (r0 ij)(r0 jk)
(r0 jk) = (r0 s0 j)(r0 s0 i)(r0 s0 i)
Q.E.D.
6.5.
Estructura de los grupos simétricos y
alternados
Proposición 6.5.1 Sean n, m ∈ N tales que n ≤ m. Entonces,
1. Sn ≤ Sm , y
2. An ≤ Am .
Demostración. Basta ver que Sn ⊆ Sm y An ⊆ Am , y que Sn y An poseen
estructura de grupo.
Q.E.D.
Proposición 6.5.2 Sn es no abeliano para n ≥ 3.
Demostración. S3 no es conmutativo, ya que (12), (13) ∈ S3 y
(12)(13) = (132)
(13)(12) = (123)
Como S3 ≤ Sn para n ≥ 3, Sn es no abeliano para n ≥ 3.
Q.E.D.
Proposición 6.5.3 An es no abeliano para n ≥ 4.
Demostración. A4 no es conmutativo, ya que (123), (134) ∈ A4 y
(123)(134) = (234)
(134)(123) = (124)
Como A4 ≤ An para n ≥ 4, An es no abeliano para n ≥ 4.
Proposición 6.5.4 Para n ≥ 3, Z(Sn ) = I.
Q.E.D.
42
Grupos simétricos, alternados y diédricos
Demostración. Sea σ ∈ Sn , σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n tales
que σ(i) = j 6= i. Sea k ∈ 1, 2, . . . , n distinto de i y de j, y sea τ = (jk).
Entonces,
στ (i) = σ(i) = j
τ σ(i) = τ (j) = k
Por tanto, Z(Sn ) = I.
Q.E.D.
Proposición 6.5.5 Para n ≥ 4, Z(An ) = I.
Demostración. Sea σ ∈ An , σ 6= I. Entonces, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , n tales
que σ(i) = j 6= i. Sea k, l ∈ 1, 2, . . . , n distintos de i y de j, y sea τ = (jkl).
Entonces,
στ (i) = σ(i) = j
τ σ(i) = τ (j) = k
Por tanto, Z(An ) = I.
Q.E.D.
Corolario 6.5.6 Sn y An no tienen subgrupos normales de orden dos.
Demostración. A3 no puede tener subgrupos de orden dos, pues contradirı́a
el teorema de Lagrange, ya que |A3 | = 3.
En el resto de casos, el centro de los grupos considerados es el subgrupo
trivial. Supongamos, entonces, que existiese un subgrupo normal de orden dos,
H = {e, a}. Para cualquier elemento b 6= a del grupo considerado, se tendrı́a
bab−1 = a, o, equivalentemente, ab = ba, en contra de que el centro del grupo
es trivial.
Q.E.D.
6.6.
Teorema de Abel
Proposición 6.6.1 Sea N An con n ≥ 3. Si N contiene un 3-ciclo, entonces
N = An .
Demostración. Sea (r0 s0 i) ∈ N . Entonces todo 3-ciclo de la forma (r0 s0 j)
pertenece a N , ya que
((ij)(r0 s0 ))−1 (r0 s0 i)2 ((ij)(r0 s0 )) = (r0 s0 j)
y N es normal. Ası́,
h(r0 s0 i), (r0 s0 j), ...i ⊆ N
Pero, por el corolario 6.4.6, el primer miembro de la última inclusión es An .
Q.E.D.
6.7. Teorema de Cayley
43
Proposición 6.6.2 A5 es simple.
Demostración. Sea N A5 , N 6= {I}, y sea σ ∈ N, σ 6= I. Se tienen tres
casos:
1. σ = (ab)(cd): tomando un entero e distinto de a, b, c, d, sea ρ = (abe) ∈
An . Entonces,
σ[ρσρ−1 ] = (abe) ∈ N
por ser N un subgrupo normal de An .
2. σ = (abc).
3. σ = (abcde): puesto que N es un subgrupo normal,
σ −1 [(abc)σ(abc)−1 ] = (ace) ∈ N
Ası́ pues, aplicando la proposición anterior, se debe tener N = An . Q.E.D.
Teorema 6.6.3 (Abel) An es simple si n ≥ 5.
Demostración. Según la proposición anterior, A5 es simple. Supongamos
que Ak es simple para todo 5 ≤ k ≤ n − 1.
Sea N An , N 6= {I}. Veamos que existe una permutación σ ∈ N, σ 6= I
tal que σ(i) = i para algún i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Supongamos que no existiese tal σ. Sea π ∈ An . Entonces existen tres
enteros distintos a, b, c ∈ {2, . . . , n} tales que π(1) = a, π(b) = c. Si ρ =
(1a)(bcde), entonces (ρπρ−1 )σ ∈ N , por ser N normal. Pero
(ρπρ−1 )π(1) = 1
(ρπρ−1 )π(c) = d
de manera que (ρπρ−1 )π fija 1 y no es la permutación identidad, en contra de
la hipótesis.
Ası́ pues, sea G(i) = {σ ∈ An : σ(i) = i} ∼
= An−1 , que es simple por la
hipótesis de inducción. Entonces, N (i) = N ∩G(i), que es un subgrupo normal
de G(i), debe ser N (i) = G(i).
Por tanto, todo subgrupo normal de An contiene a A5 , de donde debe
también contener un 3-ciclo. Por el corolario 6.4.6, se tiene entonces N = An .
Q.E.D.
6.7.
Teorema de Cayley
Teorema 6.7.1 (Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo
de las biyecciones de G. En particular, si G es finito, G es isomorfo a un
subgrupo de un grupo de permutaciones.
44
Grupos simétricos, alternados y diédricos
Demostración. Sea F una aplicación que asigna a cada g ∈ G la aplicación
Fg : G −→ G definida según Fg (x) = gx. Cada Fg es inyectiva, pues
Fg (x) = Fg (y) =⇒ gx = gy =⇒ x = y
y también suprayectiva, ya que x = Fg (g −1 x). Ası́, F : G −→ B(G), donde
B(G) es el grupo de las biyecciones de G con la operación de composición.
F es un homomorfismo, puesto que
Fgh (x) = ghx = Fg (hx) = Fg ◦ Fh (x)
Además, kerF = {e}. Por el primer teorema de isomorfı́a, G es isomorfo a su
imagen, que es un subgrupo de B(G).
Q.E.D.
6.8.
Grupos diédricos
Definición 6.8.1 Se llama grupo diédrico de orden 2n, D2n al grupo de simetrı́as de un polı́gono regular de n lados.
Proposición 6.8.2 Sea A la rotación de ángulo 2π
n alrededor del centro de
un polı́gono regular de n lados, y sea B la simetrı́a con respecto a la recta que
pasa por el centro del mismo y por uno cualquiera de sus vértices. Entonces,
A, A2 , . . . , An ; A ◦ B, A2 ◦ B, . . . , An ◦ B
son todas las simetrı́as del polı́gono, i.e.,
D2n = {A, A2 , . . . , An ; A ◦ B, A2 ◦ B, . . . , An ◦ B}
Demostración. Los movimientos del plano que dejan invariante un polı́gono
regular de n lados, es decir, sus simetrı́as, son:
Las rotaciones de ángulo k 2π
n para k ∈ Z:
Como la composición de giros alrededor de un centro común es también
un giro alrededor del mismo centro, estas rotaciones están generadas por
el giro A. Puesto que An = I, se tiene ord(A) = n y
hAi = {A, A2 , . . . , An = I}
es el conjunto de rotaciones que dejan invariante el citado polı́gono.
Las simetrı́as con respecto a cada una de las rectas que pasan por el
centro del polı́gono y por uno de sus vértices, o por el centro del polı́gono
y por el punto medio de uno de sus lados:
Numerando los vértices con los n primeros números naturales, el giro A
viene determinado poer las ecuaciones
A(n) = 1
A(i) = i + 1
para todo 1 ≤ i < n
6.8. Grupos diédricos
45
Si elegimos B como la simetrı́a con respecto a la recta que pasa por el
centro y por el vértice 1, entonces
B(1) = 1
B(i) = n − i + 2
para todo 1 < i ≤ n
Veamos que A ◦ B es también una simetrı́a con respecto a una recta. En
efecto,
A ◦ B(1) = 2
A ◦ B(2) = 1
A ◦ B(i) = n − i + 3
para todo 3 ≤ i ≤ n
son las ecuaciones de la simetrı́a con respecto a la recta que pasa por el
centro y por el punto medio del lado que determinan los vértices 1 y 2.
Análogamente, puede mostrarse que el resto de composiciones de la forma Ak ◦ B son simetrı́as con respecto a rectas. Éstas, junto con B, son
las n simetrı́as con respecto a rectas del polı́gono regular de n lados.
Q.E.D.
Proposición 6.8.3 En las condiciones de la proposición anterior,
A ◦ B = B ◦ A−1
Demostración. El movimiento A−1 viene dado por las ecuaciones
A−1 (1) = n
A−1 (i) = i − 1
para todo 1 < i ≤ n
Entonces,
B ◦ A−1 (1) = 2
B ◦ A−1 (2) = 1
B ◦ A−1 (i) = n − i + 3
para todo 2 < i ≤ n
ecuaciones que coinciden con las de A ◦ B, dadas en la demostración de la
proposición anterior.
Q.E.D.
Proposición 6.8.4 El grupo diédrico D2n es isomorfo a un subgrupo de Sn .
Demostración.
Dn −→ Sn según
En efecto, basta definir el homomorfismo inyectivo F :
F (A) = (12 . . . n)
F (B) = (2 n)(3 n − 1) . . .
Q.E.D.
Capı́tulo 7
Producto directo y
semidirecto
7.1.
Producto directo de grupos
Proposición 7.1.1 Sean Gi , i = 1, 2, . . . , n grupos. El producto cartesiano
G1 × G2 × . . . × Gn dotado de la operación
(g1 , g2 , . . . , gn )(g10 , g20 , . . . , gn0 ) = (g1 g10 , g2 g20 , . . . , gn gn0 )
posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto directo de los grupos
Gi , i = 1, 2, . . . , n.
Demostración. La asociatividad de la operación definida es evidente de
la estructura de grupo de Gi para i = 1, 2, . . . , n. El elemento neutro es
(e1 , e2 , . . . , en ), y el elemento inverso de (g1 , g2 , . . . , gn ) es (g1−1 , g2−1 , . . . , gn−1 ).
Q.E.D.
Proposición 7.1.2 Sean G y H grupos. Entonces,
1. G × H ∼
= H × G,
2. G ∼
= G = {(g, eH ) : g ∈ G}, y
3. G G × H.
Demostración.
1. Basta considerar la aplicación ϕ : G × H −→ H × G definida según
ϕ(g, h) = (h, g), que es claramente un isomorfismo.
2. Basta considerar la aplicación ψ1 : G −→ G definida según ψ1 (g) =
(g, eH ), que es de nuevo un isomorfismo.
47
48
Producto directo y semidirecto
3. Si consideramos la proyección canónica sobre la segunda componente
π2 : G × H −→ H definida según π2 (g, h) = h, podemos observar que
kerπ2 = G, de modo que, por el primer teorema de isomorfı́a, GG×H.
Q.E.D.
Proposición 7.1.3 Sea G un grupo, y sean M, N G. Si M ∩ N = {e}, y
M N = G, entonces G ∼
= M × N.
Demostración. Puesto que G = M N , para cada g ∈ G existen n ∈ N, m ∈
M tales que g = mn. Como M ∩ N = {e}, esta representación debe ser única.
En efecto, si mn = m0 n0 , entonces (m0 )−1 m = n0 n−1 ∈ M ∩ N , de donde
m = m0 y n = n0 . Ası́, la aplicación f : G −→ M × N tal que f (g) = (m, n)
está bien definida y es biyectiva.
Falta comprobar que f es un homomorfismo de grupos. Para ello, basta
observar que si n ∈ N, m ∈ M , se cumple nm = mn, ya que la normalidad
de M y N implican
n−1 m−1 nm = n−1 (m−1 nm) ∈ N N = N
n−1 m−1 nm = (n−1 m−1 n)m ∈ M M = M
y puesto que M ∩ N = {e}, se debe tener n−1 m−1 nm = e. Entonces, si
g = mn, g 0 = m0 n0 ,
f (gg 0 ) = f ((mn)(m0 n0 ))
0
0
= f (m(nm )n )
0
por la definición de f
por la propiedad asociativa
0
= f (m(m n)n )
= f ((mm0 )(nn0 ))
0
0
= (mm , nn )
0
por la propiedad asociativa
por la definición de f
0
= (m, n)(m , n )
por la definición de producto directo
0
= f (g)f (g )
Q.E.D.
Proposición 7.1.4 Un grupo G es isomorfo al producto directo de sus subgrupos Hi , i = 1, 2, . . . , n si
1. Hj G para cada j = 1, 2, . . . , n,
2. Hj ∩ (
3.
Qn
Q
i=1 Hi
i6=j
Hi ) = {e} para cada j = 1, 2, . . . , n, y
= G.
7.1. Producto directo de grupos
49
Demostración. Debido a la condición tercera, para cada g ∈ G existen
hj ∈ Hj , j = 1, 2, . . . , n tales que g = h1 h2 . . . hn . Esta descomposición es
única, ya que, si h1 h2 . . . hn = (h01 h02 . . . h0n ), entonces
(h01 )−1 h1 = (h02 . . . h0n )(h1 . . . hn )−1
De
Q la normalidad de los Hj se sigue que el segundo miembro pertenece a
i6=1 Hi , y, como el primero pertenece a H1 , la segunda condición del enunciado nos lleva a que h1 = h01 . Continuando con este argumento, se llega a que
hj = h0j para todo j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Ası́, podemos definir la aplicación f : G −→ H1 × . . . × Hn según
f (g) = (h1 , h2 , . . . , hn )
Esta aplicación es evidentemente biyectiva, y es un homomorfismo, pues, si
g = h1 h2 . . . hn y g 0 = h01 h02 . . . h0n ,
f (gg 0 ) = (h1 h01 , h2 h02 , . . . , hn h0n )
= (h1 , h2 , . . . , hn )(h01 , h02 , . . . , h0n )
= f (g)f (g 0 )
Q.E.D.
Proposición 7.1.5 Sea A G, B H. Entonces, A × B G × H y
G×H ∼ G H
×
=
A×B
A
B
Demostración. Si ϕG : G −→ G/A y ϕH : H −→ H/B son los homomorfismos canónicos con núcleos A y B, respectivamente, consideremos la aplicación
ϕG×H ≡ ϕG × ϕH : G × H −→ G/A × H/B
Esta aplicación es un homomorfismo suprayectivo con núcleo A × B. El enunciado se sigue entonces de la aplicación del primer teorema de isomorfı́a.
Q.E.D.
Proposición 7.1.6 Sean m, n ∈ Z tales que (m, n) = 1. Entonces,
Zm × Zn ∼
= Zmn
Demostración. Sea x un generador de Zm , e y un generador de Zn . Entonces, los elementos (x, 0), (0, y) ∈ Zm × Zn tiene órdenes m, n, respectivamente.
Por tanto, por la proposición 3.2.1, se tiene
ord((x, y)) = [ord(x, 0), ord(0, y)] = [m, n] = mn
Q.E.D.
50
Producto directo y semidirecto
7.2.
Producto semidirecto de grupos
Proposición 7.2.1 Sean G, H grupos, y sea φ : H −→ Aut G un homomorfismo. El producto cartesiano G × H dotado de la operación
(a, b) oφ (c, d) = (aφb (c), bd)
posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto semidirecto de G y
H con respecto a φ, y se denota G oφ H.
Demostración. Es claro que la operación es cerrada en el producto cartesiano G × H.
La asociatividad se demuestra según
[(a, b) oφ (c, d)] oφ (e, f ) = (aφb (c), bd) oφ (e, f )
= (aφb (c)φbd (e), bdf )
= (aφb (c)φb (φd (e)), bdf )
= (aφb (cφd (e)), bdf )
= (a, b) oφ (cφd (e), df )
= (a, b) oφ [(c, d) oφ (e, f )]
El elemento neutro es, claramente, (eG , eH ), pues
(a, b) oφ (eG , eH ) = (aφb (eG ), beH ) = (a, b)
El inverso de un elemento (a, b) es (φb−1 (a−1 ), b−1 ). En efecto,
(a, b) oφ (φb−1 (a−1 ), b−1 ) = (aφb (φb−1 (a−1 )), bb−1 )
= (aφbb−1 (a−1 ), bb−1 )
= (aa−1 , bb−1 ) = (eG , eH )
(φb−1 (a−1 ), b−1 ) oφ (a, b) = (φb−1 (a−1 )φb−1 (a), b−1 b)
= (φb−1 (a−1 a), b−1 b) = (eG , eH )
Q.E.D.
Proposición 7.2.2 Sean G y H grupos. Entonces,
1. G ∼
= G = {(g, eH ) : g ∈ G}, y G G oφ H.
2. H ∼
= H = {(eG , h) : h ∈ H}
Demostración.
7.2. Producto semidirecto de grupos
51
1. La aplicación biyectiva f : G −→ G definida según f (g) = (g, eH ) es un
homomorfismo, pues
f (gg 0 ) = (gg 0 , eH ) = (gφeH (g 0 ), eH ) = (g, eH ) oφ (g 0 , eH ) = f (g) oφ f (g 0 )
Además, para todos (g, eH ) ∈ G, (a, b) ∈ G oφ H, se tiene
(a, b) oφ (g, eH ) oφ (a, b)−1 = (aφb (g), b) oφ (φb−1 (a−1 ), b−1 )
= (aφb (g)φb (φb−1 (a−1 )), eH )
= (aφb (g)a−1 , eH ) ∈ G
2. La aplicación biyectiva f : H −→ H definida según f (h) = (eG , h) es un
homomorfismo, pues
f (hh0 ) = (eG , hh0 ) = (eG φh (eG ), hh0 ) = (eG , h)oφ (eG , h0 ) = f (h)oφ f (h0 )
Q.E.D.
Proposición 7.2.3 Sea G un grupo, y sean M G, N ≤ G. Si M ∩N = {e},
y M N = G, entonces G ∼
= M oκ N , donde κ : N −→ Aut M viene dada por
−1
κn (m) = nmn .
Demostración. Al igual que en la demostración de la proposición 7.1.3, cada
g ∈ G posee una factorización única g = mn. La aplicación f : G −→ M oφ N
dada por f (g) = (m, n) está, por tanto, bien definida, y es biyectiva.
Sean g1 = m1 n1 y g2 = m2 n2 . Entonces,
g1 g2 = m1 n1 m2 n2 = m1 n1 m2 (n−1
1 n1 )n2 = m1 κn1 (m2 )n1 n2
Por tanto,
f (g1 g2 ) = (m1 κn1 (m2 ), n1 n2 ) = (m1 , n1 ) oκ (m2 , n2 ) = f (g1 ) oκ f (g2 )
lo cual muestra que f es un isomorfismo.
Q.E.D.
Capı́tulo 8
p-grupos y teoremas de
Sylow. Grupos solubles
8.1.
p-grupos y p-subgrupos de Sylow
Definición 8.1.1 Sea G un grupo, y p un divisor primo de |G|. Denotamos
por |G|p la máxima potencia de p que divide a |G|.
Se dice que g ∈ G es un p-elemento si ord(g) es una potencia de p.
Se dice que G es un p-grupo si |G| es una potencia de p.
Se dice que H ≤ G es un p-subgrupo si |H| es una potencia de p.
Se dice que H ≤ G es un p-subgrupo de Sylow si |H| = |G|p .
Proposición 8.1.2 Sea G un p-grupo finito no trivial. Entonces, Z(G) es no
trivial.
Demostración. Sean C1 , C2 , . . . , Cr las distintas clases de conjugación de G,
de modo que
|G| = |C1 | + |C2 | + · · · + |Cr |
(∗)
Sin pérdida de generalidad, tomamos C1 = {e}. Por el teorema de órbitaestabilizador, si xi ∈ Ci con i 6= 1, se tiene
|Ci | =
|G|
|CG (xi )|
de modo que |Ci | debe ser una potencia de p.
Pero entonces, se tendrı́a que el segundo miembro de (*) es congruente
con 1 módulo p, mientras que el primero es divisible por p. Ası́ pues, debe
existir un valor de i (distinto de 1) tal que CG (xi ) = G, por lo que xi ∈ Z(G).
Q.E.D.
53
54
p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles
Proposición 8.1.3 Sea G un grupo de orden p2 con p primo. Entonces, G
es abeliano.
Demostración. Por el teorema anterior, Z(G) es no trivial. Por el teorema
de Lagrange, se debe tener |Z(G)| = p ó |Z(G)| = p2 . Si |Z(G)| = p2 , es claro
que G = Z(G), por lo que G es abeliano. Si |Z(G)| = p, entonces G/Z(G) es
cı́clico de orden p. Por el corolario 5.3.2, G es abeliano.
Q.E.D.
8.2.
Teoremas de Sylow
Proposición 8.2.1 Sea p número primo, y sea m ∈ Z, (m, p) = 1. Entonces,
n p m
≡ m (mód p)
pn
Demostración. El número combinatorio
n
xp en la expansión binomial de
(1 + x)p
nm
pn m
pn
es el coeficiente del término
n
= ((1 + x)p )m
Ahora bien,
n
(1 + x)p ≡ 1 + xp
n
(mód p)
ya que los coeficientes de los
demás términos de la expansión son divisibles por
n n
n
p. Ası́, el coeficiente ppnm es congruente al coeficiente de xp de (1 + xp )m ,
y, por tanto, es congruente con m módulo p.
Q.E.D.
Teorema 8.2.2 (Teorema de Sylow) Sea p un número primo, y G un grupo finito de orden pn m con (p, m) = 1. Entonces,
1. G tiene, al menos, un p-subgrupo de Sylow.
2. El número de p-subgrupos de Sylow de G es congruente a 1 módulo p, y
divide a m.
3. Todo p-subgrupo de G está contenido en un p-subgrupo de Sylow.
4. Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.
Demostración.
1. Sea X la colección de los subconjuntos de G con |G|p = pn elementos, y
consideremos la acción de G sobre X definida según
φg (S) = gS
8.2. Teoremas de Sylow
55
Sean O1 , O2 , . . . , Or las órbitas de esta acción, de modo que se tiene la
unión disjunta
X = O1 ∪ O2 ∪ · · · ∪ Or
n Como, por la proposición 8.2.1, |X| = ppnm ≡ 1 (mód p), debe existir
alguna órbita O tal que p - |O|. Sea A ∈ O tal que 1 ∈ A. Entonces,
GA ⊆ GA A = A, de donde |GA | ≤ |A| = |G|p . Además, por el teorema
de órbita-estabilizador, |G| = |O||GA |, de donde |G|p ||GA |.
Por tanto, GA = A, de donde |GA | = |G|p y GA es un p-subgrupo de
Sylow de G. Además,
G/GA = {gGA : g ∈ G}
= {gA : g ∈ G}
=O
Por otro lado, sea P es un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces, G/P
es una colección de subconjuntos de G con cardinal |G|p , y, por tanto, G/P ⊆ X. Además, |G/P | es la órbita en X de P , y (p, |G/P |) =
(p, m) = 1. Por tanto, existe una correspondencia biyectiva entre la
colección de los p-subgrupos de Sylow de G y las órbitas en X cuya cardinalidad es coprima con p, siendo cada una de éstas órbitas los grupos
cociente de G sobre el p-subgrupo de Sylow correspondiente.
2. Sea X 0 el conjunto de los elementos de X que pertenecen a una órbita
cuya cardinalidad es coprima con p. Entonces, |X 0 | = rm, donde r es el
número de tales órbitas. Como |X\X 0 | es divisible por p,
|X 0 | ≡ |X| (mód p)
n p m
rm ≡
(mód p)
pn
rm ≡ 1 (mód p)
r≡1
(mód p)
por la proposición 8.2.1
ya que (p, m) = 1
Basta ahora recordar la correspondencia biyectiva entre órbitas de cardinalidad coprima con p y p-subgrupos de Sylow, de donde r es el número
de éstos últimos.
3. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G, y Q un p-subgrupo cualquiera de
G con |Q| = pr . Sea
Y = {gP g −1 : g ∈ G}
Consideremos la acción de Q sobre Y dada por
φx (gP g −1 ) = x(gP g −1 )x−1 = (xg)P (xg)−1
56
p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles
Por el teorema de órbita-estabilizador, la cardinalidad de cada una de
las órbitas de esta acción debe ser una potencia (quizá trivial) de p. En
efecto,
|orb(gP g −1 )| = [Q : QgP g−1 ] =
|Q|
|QgP g−1 |
=
pr
|QgP g−1 |
Además,
|Y | = [G : NG (P )] =
[G : P ]
m
=
[NG (P ) : P ]
[NG (P ) : P ]
por lo que |Y ||m. Como p - m, se tiene, entonces, p - |Y |. Ası́, debe
existir alguna órbita con un único elemento, pues, en caso contrario, se
tendrı́a p||Y |, ya que Y puede escribirse como unión disjunta de órbitas.
Sea {P1 = gP g −1 } una de tales órbitas. Entonces, para todo x ∈
Q, xP x−1 = P . Por tanto, QP1 = P1 Q y QP1 ≤ G por la proposición
2.3.2. Utilizando la proposición 2.3.3, es claro que QP1 es un p-subgrupo,
de donde, necesariamente, QP1 = P1 , y, por tanto, Q ≤ P1 .
4. Si Q es también un p-subgrupo de Sylow, Q ≤ P1 y |Q| = |P1 | implican
Q = P1 = gP g −1 .
Q.E.D.
8.3.
Corolarios de los teoremas de Sylow
Proposición 8.3.1 Sean G un grupo finito, P un p-subgrupo de Sylow de G,
y N G. Entonces,
1. P N/N es un p-subgrupo de Sylow de G/N , y
2. P ∩ N es un p-subgrupo de Sylow de N .
Demostración. En primer lugar, observemos que para demostrar que un
subgrupo H de un grupo G es un p-subgrupo de Sylow, basta comprobar que
H es un p-subgrupo y que [G : H] no es divisible por p.
1. Por el teorema de correspondencia, [G : P N ] = [G/N : P N/N ]. Pero,
como [G : P N ] divide a [G : P ] por factorización de ı́ndices y p - [G : P ],
se tiene p - [G/N : P N/N ]. Puesto que P N/N ∼
= P/(P ∩ N ) por el
segundo teorema de isomorfı́a, P N/N es un p-grupo, ya que P/(P ∩ N )
lo es. Ası́, P N/N es un p-subgrupo de G/N .
2. De la proposición 2.3.3, se tiene que [N : P ∩ N ] = [P N : P ]. Como P N
es un subgrupo de G por la proposición 4.3.4, y P es un p-subgrupo de
Sylow de G, p - [P N : P ]. Por tanto, P ∩ N es un p-subgrupo de G cuyo
ı́ndice en N es coprimo con p, i.e., P ∩ N es un p-subgrupo de Sylow de
N.
8.4. Grupos solubles
57
Q.E.D.
Teorema 8.3.2 (Cauchy) Sea G un grupo finito. Para todo p primo tal que
p||G| existe un elemento de orden p.
Demostración. Por el teorema de Sylow, existe en G un p-subgrupo de Sylow, P . Por el teorema de Lagrange, todos los elementos de P son p-elementos,
y, por tanto, alguna potencia de ellos posee orden p.
Q.E.D.
Corolario 8.3.3 Sea G un grupo finito. G no tiene subgrupos propios si y
sólo si |G| es primo.
Demostración. Supongamos que |G| no fuese primo. Entonces, por el teorema de Cauchy, debe existir un elemento g de orden p para cada primo p que
divide a |G|, y hgi serı́a un subgrupo propio de G.
El recı́proco es evidente del teorema de Lagrange.
Q.E.D.
Corolario 8.3.4 Un grupo finito G es un p-grupo si y sólo si todos sus elementos son p-elementos.
Demostración. Por el teorema de Lagrange, si |G| = pn , el orden de todo
elemento de G debe ser una potencia de p.
Recı́procamente, supongamos que todos los elementos de G son p-elementos.
Si existiese un número primo q 6= p tal que q||G|, el teorema de Sylow implicarı́a que existe un q-subgrupo de Sylow, en contra de la hipótesis. Q.E.D.
Corolario 8.3.5 Sea G un p-grupo de orden finito pn . Para cada entero i =
0, 1, . . . , n − 1 existe un subgrupo normal en G de orden pi .
Demostración. Para n = 0 la proposición es evidente. Supongamos que el
enunciado es cierto para todo k < n.
Sea |G| = pn . Por la proposición 8.1.2, Z(G) es no trivial. Por tanto, existe
0 < r ≤ n tal que |Z(G)| = pr . Por el teorema de Cauchy, Z(G) posee un
elemento g de orden p. Ası́, H = |hgi| = p y H G.
Por la hipótesis de inducción, G/H (que tiene orden pn−1 ) posee subgrupos
normales Ji de orden pi para cada i = 0, 1, . . . , n − 1. Por el teorema de
correspondencia, cada Ji G/H es de la forma Ji = Hi /H, donde Hi G y
|Hi | = pi+1 .
Q.E.D.
8.4.
Grupos solubles
Definición 8.4.1 Sea G un grupo finito. Se llama serie de composición a una
cadena de subgrupos
{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G
58
p-grupos y teoremas de Sylow. Grupos solubles
tal que Hi Hi+1 , y Hi+1 /Hi es un grupo simple para todo i = 0, 1, 2, . . . , k−1.
Los grupos cociente Hi+1 /Hi reciben el nombre de factores de composición.
Teorema 8.4.2 (Jordan-Hölder) Sea G un grupo finito. Si G posee dos
series de composición,
{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G
{e} = J0 ≤ J1 ≤ J2 ≤ · · · ≤ Jr−1 ≤ Jr = G
entonces k = r y existe σ ∈ Sk tal que Hi+1 /Hi ∼
= Jσ(i)+1 /Jσ(i) .
Definición 8.4.3 Un grupo G es soluble si existe en él una serie de composición
{e} = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hk−1 ≤ Hk = G
en la cual los factores de composición Hi+1 /Hi , i = 0, 1, 2, . . . , k − 1 son
abelianos.
Proposición 8.4.4 S3 , S4 , A3 y A4 son solubles.
Demostración. Basta exhibir las series de composición
{I} ≤ A3 ≤ S3
{I} ≤ h(12)(34), (13)(24)i ≤ A4 ≤ S4
{I} ≤ A3
{I} ≤ h(12)(34), (13)(24)i ≤ A4
cuyos factores de composición son abelianos.
Q.E.D.
Proposición 8.4.5 Sn y An no son solubles para n ≥ 5.
Demostración. Para todo n ≥ 5, el teorema de Abel asegura que An es
simple. Por tanto,
{I} ≤ An ≤ Sn
∼ An
es una serie de composición en Sn , pero el factor de composición An /{e} =
no es abeliano. Por el teorema de Jordan-Hölder, cualquier otra serie de composición en Sn posee algún factor de composición isomorfo a An , y, por tanto,
no puede existir en Sn una serie de composición con factores de composición
abelianos.
Análogamente,
{I} ≤ An
es una serie de composición en An con un único factor de composición no
abeliano, An . De nuevo, el teorema de Jordan-Hölder asegura la imposibilidad de la existencia de una serie de composición con factores de composición
abelianos.
Q.E.D.
8.4. Grupos solubles
59
Definición 8.4.6 Sea G un grupo, y sean x, y ∈ G
[x, y] = x−1 y −1 xy
Se llama subgrupo conmutador de G al subgrupo generado por todos los conmutadores de elementos de G.
G0 = h{[x, y] : x, y ∈ G}i
Proposición 8.4.7 Sea G un grupo, y G0 su subgrupo conmutador. Entonces,
G0 G y G/G0 es abeliano. Además, si N G, G/N es abeliano si y sólo si
G0 ≤ N .
Demostración. Sean a, b, ∈ G, de modo que [a, b] ∈ G0 . Para todo g ∈ G,
[gag −1 , gbg −1 ] = (ga−1 g −1 )(gb−1 g −1 )(gag −1 )(gbg −1 ) = ga−1 b−1 abg −1 = g[a, b]g −1
demostrando la normalidad de G0 en G.
Sean ahora xG0 , yG0 ∈ G/G0 . Entonces,
(xG0 )(yG0 ) = xyG0 = xy[y, x]G0 = yxG0 = (yG0 )(xG0 )
Supongamos que N G y que G/N es abeliano. Entonces, para todos
x, y ∈ G se tiene (xN )(yN ) = (yN )(xN ), de donde x−1 y −1 xyN = N y
[x, y] ∈ N , mostrando que G0 ≤ N . Recı́procamente, si G0 ≤ N entonces
(xN )(yN ) = xyN = xy[y, x]N = yxN = (yN )(xN )
y G/N es abeliano.
Q.E.D.
Definición 8.4.8 Se llama serie derivada de G a la cadena de subgrupos
G(0) ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ · · · ≥ G(k) ≥ · · ·
donde G(0) = G y G(k) = (G(k−1) )0 .
Proposición 8.4.9 Un grupo G es soluble si y sólo si G(k) = {e} para algún
k ≥ 0.
Demostración. Supongamos que G es soluble, de manera que existe una
serie de composición
{e} = Hn ≤ Hn−1 ≤ · · · ≤ H1 ≤ H0 = G
en la que cada factor Hi−1 /Hi es abeliano. Probemos por inducción que G(i) ≤
Hi . Para i = 0 es trivial. Si G(i−1) ≤ Hi−1 , entonces, G(i) ≤ (Hi−1 )0 . Como
Hi−1 /Hi es abeliano, la proposición 8.4.7 asegura que (Hi−1 )0 ≤ Hi , y, por
tanto, G(i) ≤ (Hi−1 )0 ≤ Hi . Como Hn = {e}, se tiene, finalmente, G(n) = {e}.
Recı́procamente, si G(k) = {e} para algún k ≥ 0, entonces
{e} = G(k) ≤ G(k−1) ≤ · · · ≤ G(1) ≤ G(0) = G
es una serie de composición con factores abelianos, según la proposición 8.4.7.
Q.E.D.
Capı́tulo 9
Grupos abelianos finitos
9.1.
Factorización de elementos de grupos
abelianos finitos
Proposición 9.1.1 Sea G un grupo, y x ∈ G un elemento de orden mn
con (m, n) = 1. El elemento x puede escribirse de manera única como el
producto de dos elementos y, z que conmutan entre sı́, con órdenes n y m,
respectivamente. Además, y, z son potencias de x.
Demostración. Utilizando la propiedad lineal del máximo común divisor,
existen enteros u, v tales que 1 = um + vn. Entonces, x = xum+vn = xum xvn .
Tomando y = xum , z = xvn se tiene que y, z son potencias de x, y, por tanto,
conmutan entre sı́.
Sean n0 = ord(y), m0 = ord(z). Dado que y n = xumn = e, z m = xvmn = e,
se tiene que n0 |n, m0 |m. Por otro lado,
0
0
0
0
0
0
0
0
xn m = (yz)n m = y n m z n m = e
implica que mn|m0 n0 , de donde n = n0 , m = m0 .
Supongamos ahora que existen dos elementos y1 , z1 que cumplen también
los requerimientos del enunciado. Entonces, es claro que y1 , z1 conmutan con
x, pues
xy1 = y1 z1 y1 = y1 x
xz1 = z1 y1 z1 = z1 x
Por tanto, y1 , z1 conmutan con y, z, puesto que éstos últimos son potencias de
x.
Por otro lado, yz = x = y1 z1 implica w = y1−1 y = z1 z −1 . Entonces,
wn = (y1−1 )n y n = e
−1 m
wm = xm
1 (z ) = e
61
62
Grupos abelianos finitos
Como (m, n) = 1, se debe tener, necesariamente, w = e, de donde y = y1 y
z = z1 .
Q.E.D.
Corolario 9.1.2 Para cada elemento x ∈ G de orden pn1 1 pn2 2 . . . pnk k , donde
los pj son números primos distintos, existe una única factorización
x = x1 x2 . . . xk
de modo que xi xj = xj xi para todos i, j ∈ {1, 2, . . . , k} y cada xi es una
potencia de x de orden pni i .
Demostración. Basta aplicar repetidas veces la proposición anterior. Q.E.D.
Proposición 9.1.3 Todo grupo abeliano finito es isomorfo al producto directo
de todos sus p-subgrupos de Sylow.
Demostración. Sea G un grupo abeliano con |G| = n = pn1 1 pn2 2 . . . pnk k .
Puesto que G es abeliano, aplicando la proposición 4.2.3 y el teorema de
Sylow, deducimos que, para cada pi , existe un único pi -subgrupo de Sylow, al
que denotaremos Spi , que, además, es normal en G.
Además, si
Y
g ∈ Spj ∩ ( Spi )
i6=j
m
pj j
se tiene ord(g) =
con 0 Q
≤ mj ≤ nj . Por otro lado, utilizando el corolario
9.1.2, podemos escribir g = i6=j yi con yi ∈ Spi , de modo que
Y m
ord(g) = [ord(yi )]i6=j =
pi i
i6=j
Se sigue entonces que g = e.
Del corolario 9.1.2 se deduce que G = Sp1 Sp2 . . . Spk . Finalmente, aplicando
la proposición 7.1.4 se obtiene el enunciado.
Q.E.D.
9.2.
Clasificación de los grupos abelianos finitos
Definición 9.2.1 Dado un grupo abeliano G, se dice que {a1 , a2 , . . . , ar } es
un sistema de generadores de G si todo elemento x ∈ G puede escribirse en
la forma
x = n1 a1 + n2 a2 + · · · + nr ar
con nj ∈ Z.
Si la expresión anterior es única, se dice que {a1 , a2 , . . . , ar } es una base
de G.
Proposición 9.2.2 Sea G un grupo abeliano, y {a1 , a2 , . . . , ar } un sistema
de generadores de G. Son equivalentes:
9.2. Clasificación de los grupos abelianos finitos
1. {a1 , a2 , . . . , ar } es una base de G.
2. Si existen n1 , n2 , . . . , nr ∈ Z tales que
n1 a1 + n2 a2 + · · · + nr ar = 0
se debe tener nj aj = 0 para todo j = 1, 2, . . . , r.
Demostración.
(1 ⇒ 2) Supongamos que {a1 , a2 , . . . , ar } es una base de G. Entonces,
n1 a1 + n2 a2 + · · · + nr ar = 0 = 0a1 + 0a2 + · · · + 0ar
y, de la unicidad de la representación, se deduce que nj aj = 0 para todo
j = 1, 2, . . . , r.
(2 ⇒ 1) Recı́procamente, supongamos que x ∈ G posee dos descomposiciones
n1 a1 + n2 a2 + · · · + nr ar = x = n01 a1 + n02 a2 + · · · + n0r ar
Se tiene entonces
(n1 − n01 )a1 + (n1 − n02 )a2 + · · · + (n1 − n03 )ar = 0
y la hipótesis asegura que (nj − n0j )aj = 0 para todo j = 1, 2, . . . , r. Q.E.D.
Proposición 9.2.3 Sea {a1 , a2 , . . . , ar } una base de un grupo abeliano finito
G. Entonces,
r
M
G∼
hai i
=
i=1
Demostración. Como G es abeliano, cada haj i es normal en G. Puesto que
{a1 , a2 , . . . , ar } es un sistema de generadores de G, G = ha1 i+har i+· · ·+har i.
Finalmente, si
Y
x ∈ haj i ∩ ( hai i)
i6=j
se tiene que
x = nj aj =
X
ni ai
i6=j
y, de la proposición anterior, se tiene x = 0. El resultado se deduce entonces
de la proposición 7.1.4.
Q.E.D.
Teorema 9.2.4 (Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos)
Todo grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de grupos cı́clicos
de órdenes potencias de primos.
63
64
Grupos abelianos finitos
Demostración. Por las proposiciones 9.1.3 y 9.2.3, basta demostrar que
cualquier p-subgrupo de Sylow tiene una base. Ası́ pues, sea G un p-grupo.
Elegimos a1 ∈ G de orden máximo pm1 . Si G1 = ha1 i = G, entonces {a1 }
es una base de G.
Supongamos entonces que G1 ( G. Supongamos que tenemos k elementos
a1 , a2 , . . . , ak de órdenes pm1 , pm2 , . . . , pmk tales que
1. m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk y todo elemento de G que no pertenezca a Gk =
ha1 i ⊕ ha2 i ⊕ · · · ⊕ hak i tiene orden pt con t ≤ mk , y
2. {a1 , a2 , . . . , ak } es una base de Gk .
Si Gk ( G, tomamos b ∈ G\Gk de orden pt . Sea r el menor entero positivo
tal que rb ∈ Gk (existe, pues pt b = 0 ∈ Gk ). Utilizando el algoritmo de
Euclides, podemos escribir
pt = cr + r0
con 0 ≤ r0 < r
Por tanto, r0 b = pt b − crb ∈ Gk , por lo que r0 = 0. Por tanto, r|pt . Pongamos,
entonces, r = pmk+1 , y puesto que t ≥ mk+1 se tiene
m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ mk+1
Puesto que rb ∈ Gk , se tiene
rb =
k
X
ni ai
i=1
Multiplicando esta igualdad por
pt
r
= pt−mk+1 ,
pt b = 0 =
k
X
ni
i=1
t
pt
ai
r
t
Utilizando (2), se sigue que ni pr ai = 0, y, por tanto, nirp es un múltiplo de
pmi . Ası́,
ni pt
= n0i pmi ,
n0i ∈ N,
i = 1, 2, . . . , k
r
Entonces, ni = r(n0i pmi −t ) = rn00i , donde n00i ∈ N.
Definimos
k
X
ak+1 = b −
n00i ai
i=1
Pk
P
Se tiene que rak+1 = rb − i=1 rn00i ai = rb − ki=1 ni ai = 0, y, por tanto,
ord(ak+1 )|r. Por otro lado, sak+1 = 0 implica sb ∈ Gk , de donde r ≤ s por la
definición de r. Ası́, ord(ak+1 ) = r = pmk+1 .
9.2. Clasificación de los grupos abelianos finitos
Si
0=
k+1
X
ci ai
i=1
entonces ck+1 ak+1 ∈ Gk , de donde, por la definición de ak+1 , se tiene que
ck+1 b ∈ Gk .
Dividiendo ck+1 entre r, se tiene ck+1 = cr + r00 con 0 ≤ r00 < r. Debe ser,
entonces, r00 = 0, ya que r00 b = ck+1 b − crb ∈ Gk . Por ello, ck+1 es un múltiplo
de r = pmk+1 , y, por tanto,
ck+1 = pmk+1 c0k+1
Por tanto, ck+1 ak+1 = 0, lo cual, unido a (2), implica que {a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 }
es una base de Gk+1 .
Q.E.D.
Proposición 9.2.5 Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a una suma
directa de la forma
G∼
= Zpn1 ⊕ Zpn2 ⊕ · · · ⊕ Zprnr
1
2
Esta descomposición es única, salvo por el orden.
Demostración. La existencia es consecuencia directa del teorema de estructura, pues todo grupo cı́clico finito de orden k es isomorfo a (Zk , +).
Puesto que, para cada primo p que divide a G, existe un único p-subgrupo
de Sylow, basta demostrar la unicidad para éstos, i.e., basta hacerlo para
p-grupos.
Sea, por tanto, G un p-grupo abeliano finito, de orden pt . Supongamos que
G posee dos descomposiciones
G∼
= A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Ar
G∼
= B1 ⊕ B2 ⊕ · · · ⊕ Bs
donde Ai = (Zpei , +) y Bj = (Zpfj , +), y
e1 ≥ e2 ≥ . . . ≥ er
f1 ≥ f2 ≥ . . . ≥ fs
Para t = 1, el enunciado de la proposición se cumple trivialmente. Supongamos que también es cierto para todo p-grupo de orden pk con k < t.
Sea pG = {py : y ∈ G} ≤ G (no es una clase por la izquierda). Si
pG = {e}, todo elemento de G (excepto el neutro e) es de orden p, y, por
tanto, ei = fj = 1 para todos i = 1, 2, . . . , r y j = 1, 2, . . . , s, de donde
pt = |G| = pr = ps .
Si pG 6= {e}, veamos que podemos escribir
pG ∼
= hpa1 i ⊕ hpa2 i ⊕ · · · ⊕ hpar i
pG ∼
= hpb1 i ⊕ hpb2 i ⊕ · · · ⊕ hpbs i
65
66
Grupos abelianos finitos
donde hai i = Ai y hbj i = Bj .
Si px ∈ pG, x ∈ G, y, por tanto,
x=
r
X
ni ai
=⇒
i=1
px =
r
X
ni pai
i=1
Pr
Supongamos que px = 0. Entonces, i=1 ni pai = 0, y, puesto que {ai }ri=1
es una base de G, se debe tener ni pai = 0 para cada i = 1, 2, . . . , r. Ası́,
{pai }ri=1 es una base de pG, y, aplicando la proposición 9.2.3 se obtiene el
primer isomorfismo.
El segundo se demuestra de forma análoga.
Finalmente,
|pG| = pe1 −1 pe2 −1 . . . per −1 = pt−r
|pG| = pf1 −1 pf2 −1 . . . pfs −1 = pt−s
de donde r = s y ei = fi para cada i = 1, 2, . . . , r.
Q.E.D.
Definición 9.2.6 Sea G un grupo abeliano finito
G∼
= Zpn1 ⊕ Zpn2 ⊕ · · · ⊕ Zpnr r
1
Los números
(pn1 1 , pn2 2 , . . . , pnr r )
2
se llaman divisores elementales del grupo G.
Corolario 9.2.7 Dos grupos abelianos finitos con divisores elementales distintos no son isomorfos.
Demostración. El enunciado es una reformulación de la proposición 9.2.5
en términos de la definición anterior.
Q.E.D.
Corolario 9.2.8 Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a una suma directa
de la forma
G∼
= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmt
donde m1 ≥ 2 y mi divide a cada mj con j ≥ i. Esta descomposición es única.
Demostración. Con todos los divisores elementales de G, construimos la
matriz
 n11

p1
pn2 12 · · · pnr 1r
 pn21 pn22 · · · pn2r 
r
2
 1

 ..
..
.. 
.
.
 .
.
.
. 
nt1
nt2
n
p1
p2
· · · pr tr
en la cual nij ≤ ni+1,j .
Entonces, definimos mi = p1ni1 pn2 i2 . . . pnr ir . Es claro que mi divide a cada
mj con j ≥ i. Además, por la proposición 7.1.6,
Zmi ∼
= Zpni1 ⊕ Zpni2 ⊕ · · · ⊕ Zpnr ir
1
2
Ası́, el enunciado se sigue trivialmente de la proposición 9.2.5.
Q.E.D.
9.3. Cuerpos finitos
67
Definición 9.2.9 Sea G un grupo abeliano finito
G∼
= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmt
donde m1 ≥ 2 y mi divide a cada mj con j ≥ i. Los números mi reciben el
nombre de coeficientes de torsión o invariantes de G.
Corolario 9.2.10 Dos grupos abelianos finitos con coeficientes de torsión distintos no son isomorfos.
Demostración. De nuevo, este enunciado es una reformulación del corolario
9.2.8 en términos de la definición anterior y el corolario 9.2.8
Q.E.D.
Corolario 9.2.11 Sea G un grupo abeliano finito de orden n. Para cada divisor d de n existe un elemento de orden d.
Q
Demostración. Por el corolario 9.1.2, si d = ni=1 pni i , el elemento x tiene
Q
una factorización única x = ni=1 xi , donde cada xi es de orden pni i - Éstos
últimos existen por el corolario 8.3.5.
Q.E.D.
9.3.
Cuerpos finitos
Definición 9.3.1 Un cuerpo (F, +, ·) es un conjunto no vacı́o F , dotado con
dos operaciones, suma (+) y multiplicación (·), tales que
(F, +) y (F × = F \{0}, ·) son grupos abelianos, y
∀x, y, z ∈ F, x · (y + z) = x · y + x · z (propiedad distributiva).
Los elementos neutros con respecto a la suma y a la multiplicación se
denotan 0 y 1, respectivamente. El inverso aditivo de un elemento x ∈ F se
denota −x, y su inverso multiplicativo, x−1 .
Definición 9.3.2 Se llama caracterı́stica de un cuerpo (F, +, ·) al orden aditivo del elemento neutro de la multiplicación.
Proposición 9.3.3 La caracterı́stica de un cuerpo (F, +, ·) es cero o un número primo.
Demostración. Sea F un cuerpo de caracterı́stica positiva k, y supongamos
que d1 y d2 son divisores propios de k. Entonces
0 = k1 = d1 d2 1 = (d1 1)(d2 1)
Puesto que no existen en F divisores de cero, alguno de los dos factores debe
ser cero, en contra de la definición de k.
Q.E.D.
68
Grupos abelianos finitos
Proposición 9.3.4 Sea F un cuerpo finito de caracterı́stica p > 0. Entonces,
existe n ∈ N tal que
n
M
∼
(F, +) =
Zp
i=1
Demostración. Para todo x ∈ F , utilizando la definición de caracterı́stica,
px = p(1x) = (p1)x = 0
de donde todo elemento de F tiene orden p. Basta, entonces, aplicar la proposición 9.2.5.
Q.E.D.
Proposición 9.3.5 El grupo multiplicativo de todo cuerpo finito es cı́clico.
Demostración. Aplicando el corolario 9.2.8,
F× ∼
= Zm1 ⊕ Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmr
donde mi |mj para todo j ≥ i. Por tanto, para cada x ∈ F se tiene ord(x)|mr
y xmr = 1. Sin embargo, el polinomio xmr − 1 tiene, como máximo, mr soluciones. Se sigue, entonces, que |F × | = mr , luego F × es cı́clico.
Q.E.D.
9.4.
Grupos abelianos de orden bajo
Para elaborar la siguiente tabla se han utilizado las proposiciones 7.1.6 y
9.2.5 y los corolarios 3.3.2 y 9.2.7.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Z16 ,
Grupos abelianos de orden n
Z2
Z3
Z4 ,
Z2 × Z2
Z5
Z6 ∼
= Z2 × Z3
Z7
Z8 ,
Z4 × Z2 ,
Z2 × Z2 × Z2
Z9 ,
Z3 × Z3
Z10 ∼
= Z2 × Z5
Z11
Z4 × Z3 ,
Z2 × Z2 × Z3
Z13
Z14 ∼
= Z2 × Z7
Z15 ∼
= Z3 × Z5
Z8 × Z2 ,
Z4 × Z2 × Z2 ,
Z2 × Z2 × Z2 × Z2
Capı́tulo 10
Clasificación de grupos de
orden menor que 16
10.1.
Primeros grupos clasificados
A partir de lo demostrado en los capı́tulos anteriores, podemos clasificar
ya los siguientes grupos.
Grupos de orden primo. Por el corolario 3.3.2, los grupos de orden primo
son cı́clicos simples, y, por tanto, abelianos.
Son de este tipo los grupos de orden 2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Grupos de orden p2 . Según la proposición 8.1.3, todo grupo de orden el
cuadrado de un primo p es abeliano. Ası́ pues, el corolario 9.2.7 asegura
que todo grupo de orden p2 es isomorfo a Zp2 ó a Zp × Zp .
En esta clase se encuadran los grupos de orden 4 y 9.
10.2.
Grupos de orden pq
Proposición 10.2.1 Sean p y q primos con p > q, y G un grupo de orden
pq. Entonces,
Si p 6≡ 1
(mód q), entonces G ∼
= Zpq .
Si p ≡ 1
(mód q) y G es abeliano, entonces G ∼
= Zpq .
Si p ≡ 1
(mód q) y G no es abeliano, entonces G ∼
= Zp oκ Zq .
Demostración. Sean np , nq el número de p-subgrupos y q-subgrupos de
Sylow, respectivamente. Por el teorema de Sylow, np ≡ 1 (mód p) y np |q.
Como p > q, esto implica np = 1. Entonces, si P es el único p-subgrupo de
Sylow de G, se tiene P G.
69
70
Clasificación de grupos de orden menor que 16
Sea Q un q-subgrupo de Sylow de G. Como también nq ≡ 1 (mód q) y
nq |p, el subgrupo Q puede tener o bien un único conjugado (él mismo), o bien
p conjugados.
El primer caso se da si p 6≡ 1 (mód q), o si p ≡ 1 (mód q) y G es
abeliano. Entonces, Q G. Puesto que, por el teorema de Lagrange, P ∩ Q =
{e}, la proposición 2.3.3 asegura que P Q = G. Aplicando la proposición 7.1.3,
G∼
= P × Q. Pero P ∼
= Zp y Q ∼
= Zq , por ser P y Q grupos de orden primo.
Finalmente, basta observar que Zp × Zq ∼
= Zpq por la proposición 7.1.6.
Si p ≡ 1 (mód q) y G no es abeliano, G tiene p q-subgrupos de Sylow.
Como, por el teorema de Lagrange, P ∩ Q = {e}, de nuevo la proposición 2.3.3
asegura que P Q = G. Entonces, por la proposición 7.2.3, G ∼
= P oκ Q, donde
κ : Q −→ Aut P viene dada por κn (m) = nmn−1 . Finalmente, basta observar
que P ∼
Q.E.D.
= Zp y Q ∼
= Zq .
Esta proposición nos permite clasificar los grupos de orden 6 = 3 × 2, 10 =
5 × 2, 14 = 7 × 2 y 15 = 5 × 3.
Grupos de orden 2p. Si q = 2 y p es un primo impar, se tiene que p ≡
1 (mód q). Aplicando la proposición anterior, se tiene que todo grupo
abeliano de orden 2p es isomorfo a Z2p .
El grupo diédrico de orden 2p, D2p , es no abeliano. Puesto que la proposición anterior asegura que existe una única clase de isomorfı́a de grupos
no abelianos de orden 2p, llegamos a la conclusión de que todo grupo no
abeliano de orden 2p es isomorfo a D2p ∼
= Zp oκ Z2 . Nótese que existe
un único homomorfismo no trivial κ : Z2 −→ Aut Zp , que asigna al generador de Z2 el automorfismo que eleva cualquier elemento de Zp a la
potencia (p + 1)/2.
Quedan ası́ clasificados los grupos de orden 6, 10 y 14.
Nótese que S3 es un grupo no abeliano de orden 6, por lo que S3 ∼
= D6 .
Grupos de orden 15. Si p = 5 y q = 3, se tiene que p 6≡ 1 (mód q), de
donde todo grupo de orden 15 debe ser cı́clico, y, por tanto, abeliano.
10.3.
Grupos de orden 8
Según los resultados del capı́tulo anterior, existen tres clases de isomorfı́a
de grupos abelianos de orden 8, a saber:
Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2
Investiguemos ahora los grupos no abelianos de orden 8.
Proposición 10.3.1 Sea G un grupo no abeliano de orden p3 con p primo.
Entonces, |Z(G)| = p y G/Z(G) ∼
= Zp × Zp
10.3. Grupos de orden 8
71
Demostración. Por la proposición 8.1.2, Z(G) es no trivial. Por el teorema
de Lagrange, debe ser, entonces, |Z(G)| = p ó |Z(G)| = p2 . Pero |Z(G)| = p2
implicarı́a que Int G ∼
= G/Z(G) es cı́clico, y, por el corolario 5.3.2, G serı́a
abeliano. Por tanto, |Z(G)| = p.
Entonces, |G/Z(G)| = p2 . Si G/Z(G) ∼
= Zp2 , el corolario 5.3.2 implicarı́a
de nuevo la conmutatividad de G, por lo que G/Z(G) ∼
= Zp × Zp . Q.E.D.
Proposición 10.3.2 Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces, existe
en G algún elemento de orden 4.
Demostración. Supongamos que no existe ningún elemento de orden 4.
Entonces, cualquier elemento de G diferente del elemento unidad tiene orden
2. Sean g, h dos tales elementos y sea H = hg, hi. Entonces,
H = {e, g, h, gh, hg}
y se debe tener que gh = hg.
Q.E.D.
Sea G un grupo no abeliano de orden 8, de modo que Z(G) = {e, z}.
Supongamos que z es el único elemento de orden 2 en G. Por el corolario
8.3.5, podemos escoger un elemento y ∈ G de orden 4 tal que Q = hyi G.
Entonces, G/Q = hxQi, y como x no puede ser un elemento de orden 2, se
tiene que x2 = z. Además, también y 2 = z. Por tanto,
G = {e, z, x, x3 , y, y 3 }
Además, xyx−1 ∈ Q = {e, z, y, y 3 }. Pero
Si xyx−1 = e se tendrı́a y = e.
Si xyx−1 = z se tendrı́a y = z.
Si xyx−1 = y se tendrı́a xy = yx, de donde G serı́a abeliano.
Por tanto, xyx−1 = y 3 , de donde xy = y 3 x. Por tanto, encontramos la presentación
hx, y : x4 = e, x2 = y 2 , xy = y 3 xi
Este grupo recibe el nombre de grupo cuaterniónico, y se denota Q8 . Sus
elementos suelen denotarse 1, −1, i, −i, j, −j, k, −k, cumpliendo las siguientes
relaciones:
i2 = j 2 = k 2 = −1
ij = k
jk = i
ki = j
ji = −k
kj = −i
ik = −j
72
Clasificación de grupos de orden menor que 16
Sea, de nuevo, G un grupo no abeliano de orden 8, de modo que Z(G) =
{e, z}. Supongamos ahora que existe en G un elemento x de orden 2 distinto
de z. Si y es un elemento de orden 4, entonces
G = {e, y, y 2 , y 3 , x, xy, xy 2 , xy 3 }
Puesto que yx ∈ G, la única posibilidad que no lleva a contradicción con las
hipótesis es yx = xy 3 . Por tanto, este grupo es isomorfo a D8 .
10.4.
Grupos de orden 12
Proposición 10.4.1 Sea G un grupo de orden 12. Entonces, G tiene un subgrupo de Sylow normal.
Demostración. Por el teorema de Sylow, el número de 3-subgrupos de
Sylow de G debe ser uno o cuatro.
Supongamos que G posee cuatro 3-subgrupos de Sylow, P1 , P2 , P3 , P4 . Cada intersección Pi ∩ Pj con i 6= j debe ser un subgrupo propio de Pi . Como
Pi ∼
= Z3 , es necesario que Pi ∩ Pj = {e}. Por tanto, G contiene el neutro, y
ocho elementos de orden 3, incluidos en sus 3-subgrupos de Sylow. Quedan,
por tanto, tres elementos de orden una potencia de 2, por lo cual sólo puede
existir un 2-subgrupo de Sylow.
Q.E.D.
Sea G un grupo de orden 12, V un 2-subgrupo de Sylow y T un 3-subgrupo
de Sylow. Según resultados anteriores, se tiene T ∼
= Z3 , y V ∼
= Z4 ó V ∼
=
Z2 × Z2 . Además, por la proposición anterior, uno de los dos debe ser normal
en G.
Analicemos los distintos casos.
1. V G, T G, V ∼
= Z4 :
Por la proposición 7.1.3, G ∼
= Z4 × Z3 ∼
= Z12 .
2. V G, T G, V ∼
= Z2 × Z2 :
Por la proposición 7.1.3, G ∼
= Z2 × Z2 × Z3 .
3. V G, T ≤ G, V ∼
= Z4 :
Por la proposición 7.2.3, G ∼
= Z4 oκ Z3 . Sin embargo κ : Z3 −→ Aut Z4 ∼
=
Z2 sólo puede ser el homomorfismo trivial, por lo cual Z4 oκ Z3 = Z4 ×Z3 .
En este caso, también T G, repitiendo el primer caso.
4. V G, T ≤ G, V ∼
= Z2 × Z2 :
Por la proposición 7.2.3, G ∼
= (Z2 × Z2 ) oκ Z3 . Si κ : Z3 −→ Aut Z2 × Z2
10.4. Grupos de orden 12
73
está definida según
κ0̄ (0̄1̄) = 0̄1̄
κ0̄ (1̄0̄) = 1̄0̄
κ0̄ (1̄1̄) = 1̄1̄
κ1̄ (0̄1̄) = 1̄0̄
κ1̄ (1̄0̄) = 1̄1̄
κ1̄ (1̄1̄) = 0̄1̄
κ2̄ (0̄1̄) = 1̄1̄
κ2̄ (1̄0̄) = 0̄1̄
κ2̄ (1̄1̄) = 1̄0̄
y denotamos a = (0̄1̄, 0̄), b = (1̄0̄, 0̄), c = (0̄0̄, 1̄), este grupo admite la
presentación
ha, b, c : a2 = b2 = c3 = e, ab = ba, cac−1 = a, cbc−1 = abi
El homomorfismo que aplica
a 7−→ (12)(34)
b 7−→ (14)(23)
c 7−→ (123)
establece un isomorfismo de este grupo con el cuarto grupo alternado,
A4 .
5. V ≤ G, T G, V ∼
= Z4 :
Por la proposición 7.2.3, G ∼
= Z3 oκ Z4 , donde el homomorfismo κ :
Z4 −→ Aut Z3 viene dado por
κ0̄ (1̄) = κ2̄ (1̄) = 1̄
κ1̄ (1̄) = κ3̄ (1̄) = 2̄
Tomando a = (1̄, 2̄), b = (1̄, 1̄), concluimos que este grupo admite la
presentación
ha, b : a6 = e, a3 = b2 , bab−1 = a−1 i
Suele denominarse grupo cuaterniónico generalizado de orden 12, Q12 .
6. V ≤ G, T G, V ∼
= Z2 × Z2 :
Por la proposición 7.2.3, G ∼
= Z3 oκ (Z2 × Z2 ). Si κ : Z2 × Z2 −→ Aut Z3
viene dado por
κ0̄0̄ (1̄) = κ1̄1̄ (1̄) = 1̄
κ0̄1̄ (1̄) = κ1̄0̄ (1̄) = 2̄
la elección a = (1̄, (1̄, 1̄)), b = (1̄, (1̄, 0̄)) nos lleva a la presentación
ha, b : a6 = b2 = e, ab = ba−1 i
es decir, al grupo D12 de simetrı́as de un hexágono regular.
74
Clasificación de grupos de orden menor que 16
10.5.
Resumen
La siguiente tabla muestra las distintas clases de isomorfı́a de grupos de
orden menor que 16, resumiendo los resultados de este capı́tulo, ası́ como los
del anterior.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Grupos abelianos de orden n
Z2
Z3
Z4 ,
Z2 × Z2
Z5
Z6 ∼
= Z2 × Z3
Z7
Z8 ,
Z4 × Z2 ,
Z2 × Z2 × Z2
Z9 ,
Z3 × Z3
Z10 ∼
= Z2 × Z5
Z11
Z4 × Z3 ,
Z2 × Z2 × Z3
Z13
Z14 ∼
= Z2 × Z7
Z15 ∼
= Z3 × Z5
Grupos no abelianos de orden n
∼
D6 = S3
D8 , Q8
D10
D12 , Q12 , A4
D14
-
Bibliografı́a
[1]
J.L. Alperin, Rowen B. Bell. Groups and Representations. Graduate
Texts in Mathematics 162, Springer-Verlag New York Inc., New York,
1995, ISBN 0-387-94526-1.
[2]
José Dorronsoro, Eugenio Hernández. Números, grupos y anillos.
Addison-Wesley / Universidad Autónoma de Madrid, Salamanca, 1996,
ISBN 0-201-65395-8, ISBN 84-7829-009-5.
[3]
John F. Humphreys. A Course in Group Theory. Oxford Science Publications, Oxford University Press Inc., New York, 1996, ISBN 0-19-853459-0.
[4]
Serge Lang. Algebra. Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading,
Massachusetts, 3rd edition, 1993, ISBN 0-201-55540-9.
75