2013. Examen febrero.

Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2012
Montevideo, 1 de marzo de 2013
Examen Teoría de juegos
Nombre ______________________________________
C.I.
_______________
El examen consta de dos partes. La primera parte debe ser realizada por todos los estudiantes y el
tiempo previsto es de 2 horas. La segunda parte debe ser realizada sólo por los estudiantes libres y el
tiempo adicional es de 1 hora. Es un examen con materiales a la vista.
Primera parte
1. (3 puntos) Tres ganaderos comparten un campo de pastoreo. Cada uno puede llevar
hasta tres animales al campo de pastoreo compartido. El valor que alcanza cada animal
depende de la cantidad total de animales pastoreando, de acuerdo con la siguiente
fórmula: 8 , donde y a son las cantidades de
animales que llevan los ganaderos 1 a 3. Las utilidades totales de cada ganadero son:
.
1.1. Identifique un equilibrio de Nash. Fundamente su respuesta.
1.2. Suponga ahora que los ganaderos pueden acordar la cantidad de ganado a llevar y
dividirse las utilidades en forma pareja. ¿Cuál sería la cantidad de ganado que deberían
acordar llevar al campo de pastoreo? Fundamente su respuesta.
1.3. ¿Si los productores no pudieran acordar la cantidad de ganado a llevar a pastorear,
habría una sobreexplotación de los recursos naturales en este ejemplo? Fundamente su
respuesta.
2. (3 puntos) Tres jugadores participan en un juego en el que cada jugador tiene una sola
jugada con dos acciones posibles que, por comodidad, llamaremos izquierda (I) y
derecha (D). El jugador 1 (J1) juega primero. El jugador 2 (J2) juega segundo. Cuando
llega su turno de jugar, conoce la decisión tomada antes por el jugador 1. El jugador 3
(J3) es el último en jugar. Cuando le toca jugar, conoce la jugada elegida por el jugador
2, pero desconoce qué jugada hizo antes el jugador 1.
2.1. ¿Es un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
2.2. Represente el árbol del juego. Identifique los conjuntos de información. Explique.
2.3. Identifique todos los subjuegos. Explique.
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3. (4 puntos) En el Califato de Oriente, donde gobierna desde hace décadas de
forma autoritaria el Sultán Shayj-al-islam, se vienen produciendo crecientes
protestas populares convocados por la organización disidente Yami'at al-Ijwan alMuslimin, que reclama una apertura democrática irrestricta (elecciones libres de
inmediato). En ese contexto el Sultán propone una apertura democrática
controlada (elecciones parciales en un año). Por lo tanto, ambas partes deben
decidir si aceptan o rechazan la propuesta del otro. Si una parte acepta la propuesta
de la otra se produce la apertura en los términos en que fue propuesta. Si las dos
partes aceptan la propuesta de la otra se produce una apertura en términos
intermedios entre ambas propuestas. En cambio, si ambas partes rechazan la
propuesta de la otra se mantiene la situación incambiada.
3.1. (2 puntos) Modele la interacción entre el Sultán y la oposición como un juego
no cooperativo utilizando la forma estratégica. Considere que para ambos el peor
resultado posible es que las cosas sigan como están.
3.2. (2 puntos) Analice el modelo propuesto indicando si existen estrategias
dominantes o dominadas y determine los equilibrios. Fundamente su respuesta.
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Pauta de respuesta
1.1. Identifique un equilibrio de Nash. Fundamente su respuesta.
En el equilibrio de Nash se verifica que:
∗ ̅
1
La expresión anterior surge de maximizar las utilidades de cada productor, tomando
como dadas las acciones de los otros. Ver los detalles en diapositivas TJuegos_Tr1.pdf .
En este ejemplo, ̅ 8 y = 3, por lo cual cada productor llevará ∗ = 2 animales a
pastorear.
1.2. Suponga ahora que los ganaderos pueden acordar la cantidad de ganado a llevar y
dividirse las utilidades en forma pareja. ¿Cuál sería la cantidad total de ganado que
deberían acordar llevar al campo de pastoreo? Fundamente su respuesta.
Como vimos en clase y se desarrolla en las diapositivas mencionadas en el punto
anterior, la cantidad total óptima de ganado a llevar al campo de pastoreo común es:
∗∗ = ̅ ⁄2 = 4.
1.3. ¿Si los productores no pudieran acordar la cantidad de ganado a llevar a pastorear,
habría una sobreexplotación de los recursos naturales en este ejemplo? Fundamente su
respuesta.
Sí, habría sobrepastoreo ya que en el mecanismo de decisión descentralizado se
llevarían 6 animales al campo de pastoreo común (2 cada productor), cuando el óptimo
social es 4. La decisión de llevar 2 animales cada uno es individualmente óptima, pero
no es socialmente óptima. La causa de la diferencia deriva de que cuando cada
productor decide en forma independiente no toma en cuenta los efectos negativos que su
acción tiene sobre el bienestar de los otros. Es decir que no toma en consideración la
“externalidad” que representa el hecho de que cada animal adicional que lleva a
pastorear reduce el rendimiento que obtienen los otros productores.
2.1. ¿Es un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
Es un juego de información imperfecta, porque J3 no conoce la jugada previa de J1.
2.2. Represente el árbol del juego. Identifique los conjuntos de información. Explique.
J1
I
D
J2
J3
3
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J1 tiene un único conjunto de información, integrado por el nodo inicial. J2 tiene dos
conjuntos de información, integrados por un único nodo cada conjunto. Son los nodos
que siguen a las acciones I y D de J1. J3 también tiene dos conjuntos de información,
cada uno integrado por dos nodos. Estos conjuntos de información no son singletons. J3
puede distinguir los nodos que siguen a la acción I de los que siguen a la acción D de
J2, pero no puede distinguir entre los dos nodos que siguen a I ni entre los dos nodos
que siguen a D, porque no observa la decisión de J1. Esto es lo que hace que sea un
juego de información imperfecta.
2.3. Identifique todos los subjuegos. Explique.
Empecemos por recordar que un subjuego en un juego en forma extensiva:
a) Empieza en un nodo de decisión que constituye un conjunto de información con un
único nodo (excluyendo el primero).
b) Incluye a todos los nodos que lo siguen.
c) No intersecta a ningún otro conjunto de información.
No es posible identificar ningún subjuego en este ejemplo. Empezando por el final,
vemos que J3 carece de singletons y, por lo tanto, ningún subjuego puede empezar en
los nodos en que le toca jugar a J3 (se violaría el punto a). Los conjuntos de
información de J2 son singletons y, en ese sentido, podrían en principio iniciar
subjuegos. Sin embargo, las ramas del árbol que se inician con las jugadas de J2 no
pueden ser subjuegos porque se viola el principio de no intersección (punto c de la
definición). Hay entonces un único subjuego que es el juego completo.
3.1. El modelo de juego en forma estratégica en el Califato de Oriente sería el siguiente:
Sultán
YIM
Aceptar
(1,1)
(2,0)
Aceptar
Rechazar
Rechazar
(0,2)
(-1,-1)
Se trata de un juego de dos jugadores: El Sultán Shayj-al-islam y el movimiento Yami'at
al-Ijwan al-Muslimin. Las acciones posibles de los jugadores están determinadas por la
letra: “ambas partes deben decidir si aceptan o rechazan la propuesta del otro.” Entonces
establecemos las acciones como “Aceptar” y “Rechazar”. De este modo resulta una
matriz de dos por dos que representa cuatro perfiles de estrategia. De la letra también
podemos inferir el orden de preferencias de los jugadores sobre esos resultados. El peor
perfil de estrategias es (rechazar, rechazar) ya que en ese caso se mantiene el statu quo
y, como dice la letra del ejercicio, ese es el peor escenario tanto para el sultán como
para la oposición. Sólo para fijar ideas, asignamos valores -1 a los pagos en este
escenario. Un resultado intermedio lo brinda el perfil (aceptar, aceptar), por lo que los
pagos deben ser superiores a los del escenario anterior. Le asignamos valor 1 al pago de
cada jugador en este caso. Finalmente, el escenario preferido por cada jugador es aquel
en que él rechaza y el otro acepta, ya que en ese caso se impone su solución. Con este
último perfil de estrategias, el que rechaza obtiene más que en cualquier otro perfil
(asignamos 2) y el que acepta obtiene menos que en el escenario en que ambos aceptan
pero más que en el que ambos rechazan (asignamos 0). Notar que los valores numéricos
son arbitrarios, salvo en su orden. Lo que importa es que 2>1>0>-1, pero el análisis
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sería el mismo si hubiéramos asignado otros valores a los pagos, siempre que respetaran
el mismo orden como, por ejemplo, 3>2>1>0.
3.2. Analizando el juego representado en la matriz se observa que no existen estrategias
dominadas ni dominantes, ya que ninguna acción es siempre mejor o peor que la otra.
Por otra parte se puede ver que existen dos equilibrios de Nash: (Aceptar, Rechazar) y
(Rechazar, Aceptar). Si el Sultán decide rechazar la propuesta del YIM, la mejor
respuesta del YIM es aceptar la propuesta del Sultán. Asimismo si el YIM decidiera
aceptar la propuesta del Sultán, la mejor respuesta del Sultán sería rechazar la propuesta
del YIM. Simétricamente ocurre otro tanto: si el YIM decide rechazar la propuesta del
Sultán, la mejor respuesta del Sultán aceptar la propuesta del YIM; así como en caso de
que el Sultán decidiera aceptar la propuesta del YIM, la mejor respuesta del YIM sería
rechazar la propuesta del Sultán. En términos generales el juego representa una
situación de interacción similar a la conocida con el nombre de Juego de la Gallina.
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