Tema 7casidef

Relación de problemas: Tema 7
1.-Una partícula puntual de masa m y carga q incide con una velocidad inicial v0,
paralela al eje x, sobre una zona de inducción magnética B constante, de módulo B y
siguiendo la dirección del eje z. Se observa que en esta región la partícula describe una
trayectoria circular de radio R con una velocidad de módulo constante e igual a v0.
Dicha trayectoria está incluida en un plano paralelo al plano xy. Calcular la carga de la
partícula, supuesto conocidos B, v0, m y R.
B
F = qv0 × B
v0
mv0 2
mv
En módulos: qv0 B =
→ q= 0
R
RB
2.- Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia muy grande de la
Tierra. Calcúlese la velocidad que tendrá el meteorito al impactar sobre la superficie
terrestre, despreciando el rozamiento con la atmósfera. (Tómese el radio de la Tierra
como RT=6·106 m y g=10 m/s2.)
g = 10 m/s2
RT =6·106 m
EmB = EcB + E pB = 0
EmA = EcA + E pA =
EmB = EmA ⇒
1
GM T m 1
mv A2 −
= mv A 2 − gRT m
2
2
RT
1
2
mv
/ A − gRT m
/ = 0 ⇒ v A = 2 gRT
2
vA = 1.1⋅104 m / s
1
3.- Supóngase que en un punto del ecuador de un planeta se observa que si se suelta un
cuerpo cerca de la superficie, el cuerpo se queda flotando. Si el día dura 1 h 24 min 18 s,
¿cuál es la densidad del planeta?
El equilibrio de fuerzas en el cuerpo conduce a:
GMm
/
2
=m
/ω R
2
R
M
3 M
3 ω2
ρ=
=
=
con G = 6.6732 ⋅10−11
4 3 4π R 3 4π G
πR
3
El tiempo que tarda en dar una vuelta: t=1h 24 min 18s =5058 s
Luego:
Fg =
2π
y
t
3 4π 2 3π
ρ=
= 2 = 5520 Kg / cm3
2
4π t G t G
ω=
ρ = 5.52 g / cm3
4.- Estímese la densidad media del Sol a partir de los datos siguientes: la constante de
gravitación universal G, la duración del año terrestre y el ángulo subtendido por el disco
solar visto desde la Tierra (≈0,55º).
G = 6.6732·10-11
t = 365·24·60·60 =3.1536·107 s
El equilibrio de fuerzas en la Tierra produce:
GM S M T
= M T ω 2 RTS
RTS 2
ρ sol =
3M S
4π Rsol 3
Rsol = RTS sen
θ
2
2
MS
MS
M S ω 2 4π 2
3
3
=
pero
=
=
RTS 3 G t 2G
4π sen3 θ R 3 4π sen3 θ RTS 3
TS
2
2
2
3
4π
3π
luego ρ sol =
=
= 1280 Kg / m3
2
θ
θ
4π sen3 t G sen3 t 2G
2
2
ρ sol =
ρ = 1.28 g / cm3
5.- Un electrón incide con una velocidad v0, en la dirección del eje positivo x y
coincidiendo dicho eje, en una región donde actúa una inducción magnética uniforme B
en la dirección del eje positivo y. Calcúlese el módulo y la dirección del campo eléctrico
que habría que aplicar para que el electrón no variara su trayectoria.
Fm = qv × B = qv0 Bkˆ
Luego el campo que habría que aplicar sería:
E = − qv0 Bkˆ
6.- Dos partículas con cargas iguales y de signo opuesto se mueven en una región libre
de campos con velocidades paralelas entre si, en el mismo sentido y de módulos
diferentes. Las partículas penetran en otra región en la que existe un campo magnético
uniforme, B, cuya dirección es perpendicular al plano de sus trayectorias. Las partículas
se encuentran después de haber girado ángulos φ1 = 90º y φ2 = 150º. Despreciando la
interacción entre las partículas en toda su trayectoria, calcule la relación entre:
a) Sus masas, m2/m1.
b) Los radios de sus orbitas, R2/R1.
c) Los módulos de sus velocidades, v2/v1.
a)
∆ϕ 2
ω2
∆t = 150 = 5
=
ω1 ∆ϕ1
90 3
∆t
q (ω R ) B = mω 2 R
qB = mω → m1ω1 = m2ω2
m2 ω1
m
3
=
→ 2 =
m1 ω2
m1 5
3
b)
R1 = R2 sin 30º →
R2
=2
R1
c)
v2
v1
= ω2 R2 = 5 ⋅ 2 →
ω1R1
3
v2
v1
= 10
3
7.-Considérese dos satélites artificiales B y C en órbitas circulares alrededor de la
Tierra. El radio de la órbita de C es doble que el de B: rC=2rB. Calcular el cociente
entre:
a) Sus aceleraciones.
b) Sus periodos.
c) El módulo de sus velocidades.
rC
= 2 → rC = 2rB
rB
mM
FC = G C 2 T = mC aC
rC
mM
FB = G B 2 T = mB aB
rB
a) Dividiendo miembro a miembro:
2
aC rB 2  rB  1
=
=  =
aB rC 2  rC  4
aC 1
=
aB 4
b) Sobre cada satélite actúa una fuerza centrípeta:
4

vC 2
= mC aC → vC = aC rC 
rC
aC rC
1
 vC
=
=

v
aB rB
2
v2
mB B = mB aB → vB = aB rB  B
rB

mC
vC
1
=
vB
2
c)
vC
r 
2π
→ TC =
= 2π C 
ωC
rC
vC  TC rC vB
=
=2 2

vB
rB  TB rB vC
2π
ωB = → TB =
= 2π
ωB
rB
vB 
TC
=2 2
TB
ωC =
8.- Un objeto en la superficie de la Tierra que descansa sobre un plano horizontal sufre
la acción del peso y la reacción normal de dicho plano horizontal. Habitualmente se
consideran iguales ambas fuerzas, sin embargo esto no es así si se tiene en cuenta la
rotación de la Tierra. Calcúlese el error relativo que se comete al despreciar la rotación
de la Tierra. (Tómese el radio de la Tierra como RT=6·106 m y g=10 m/s2.)
Suponiendo que el cuerpo está en el ecuador.
P − N = mω 2 RT


P = mg = 10m

RT = 6 ⋅106 m


2π
ω=
rad / s 
24 ⋅ 60 ⋅ 60

N1 = mg − mω 2 RT
N 2 = mg (sin tener en cuenta la rotación de la Tierra)
ε relativo
N 2 − N1
2mω 2 RT
=
⋅100 =
= 0.32%
2mg − mω 2 RT
( N 2 + N1 ) 2
ε relativo = 0.32%
5
9.- Calcule el campo eléctrico creado en cualquier punto de su eje por una distribución
de carga lineal, de forma circular, radio a y densidad lineal de carga ρl.
r = zkˆ
r ′ = a ρˆ ′
dl ′ = adϕ ′
E=
1
4πε 0
∫
(
ρL r − r′
( r − r′)
3
) adl′ = ρ a ( zkˆ − aρˆ ′)dϕ ′ =
2π
L
4πε 0
∫
0
3
( z 2 + a2 ) 2
ρ L az 2π kˆ
3
4πε 0 ( z 2 + a 2 ) 2
ρ L azkˆ
⇒E=
(
2ε 0 z 2 + a 2
)
3
2
10.- Calcúlese el campo creado por una distribución lineal de carga recta de longitud L y
densidad lineal de carga ρl en cualquier punto que equidiste de sus extremos.
r = ρρˆ
r ′ = z ′kˆ
E=
L
2
1
4πε 0
⇒E=
∫
−
L
2
(
)
ρ L ρρˆ − z ′kˆ dz ′
( ρ 2 + z′
3
2 2
)
=
ρ L ρρˆ
4πε 0
L
2
∫
−
L
2
dz ′
3
( ρ 2 + z ′2 ) 2
ρ ρρˆ 
z′
= L 
4πε 0  ρ 2 ρ 2 + z ′2
L
2

 − L
2
ρ L Lρˆ
2πρε 0 L2 + 4 ρ 2
6
11.-Una carga de densidad volumétrica constante ρ0 tiene la forma de una plancha de
grosor a. Las caras de la plancha son planos infinitos paralelos al plano xy. Tómese
como origen el punto medio entre las caras y encuéntrese E para todos los puntos.
Compárese los resultados para el caso de un plano infinito de densidad superficial σ.
a)
a
(punto en el interior)
2
1
E xy + E xy = ρ0 xy 2z
z ≤
ε0
ρz
E = ± 0 kɵ
ε0
b)
En el exterior:
z >
a
2
Exy + Exy =
1
ε0
ρ0 xya
ρ a
E = ± 0 kɵ (1)
ε0 2
Para un plano infinito.
Aplicando Gauss se obtiene:
E=±
σ k ( 2)
2ε 0
Comparando las expresiones (1) y (2) se observa que ρoa
juega el mismo papel que σ.
7
12.-Calcular la intensidad del campo gravitatorio, en todos los puntos del espacio,
debido a una esfera maciza, de radio R y masa M, homogénea y con una distribución de
masa con simetría esférica. A partir del resultado anterior, suponer que se pudiera
practicar un túnel que atravesara completamente la Tierra pasando por su centro y se
abandona en una de las bocas del túnel un cuerpo de masa m, cayendo éste sin
rozamiento al interior. Demostrar que el movimiento que realiza el cuerpo será un
movimiento armónico simple. Calcular la frecuencia de las oscilaciones en esta
situación. Despreciar en cualquier caso los posibles rozamientos.
a) Aplicamos la ley de Gauss en dos zonas:
r ≤ R (radio de la Tierra)
ρ = densidad volúmica de masa=
MT
4 3
πR
3
∫ S EG ⋅ dS = −4π G ∫V ρ dV
4
EG 4π r 2 = −4π G ρ π r 3
3
M
4
EG = − πρ Gr = −G 3T r r ≤ R
3
R
El signo indica que es un campo dirigido al interior de la Tierra.
r>R
4
EG 4π r 2 = − 4π G ρ π R3
3
M
4
R3
EG = − πρ G 2 = −G 2T
3
r
r
r>R
MT
r r≤R
R3
M
EG = −G 2T r > R
r
EG = −G
8
b)
La fuerza que actúa sobre m es:
F =−
GM T m
r=
− Kr
= ma
3
R
Fuerza recuperadora
K
→Movimiento
armónico simple.
MT
r
R3
K
ω=
m
a = −G
ω=
GM T
R3
13.-Calcular el campo eléctrico producido en un punto de su eje, por un disco plano de
radio a, cargado con una densidad superficial de carga ρS. Deducir a partir del resultado
cual será el campo eléctrico producido por un plano indefinido cargado con la misma
densidad superficial de carga.
9
dS ′ = ρ ′dϕ ′d ρ ′

′
′
r = ρ ′ρˆ ′ r = R
− r = zkˆ − ρ ′ρˆ ′

R = zkˆ 

(
r = z + ρ′
2
(
1
2 2
r = z + ρ′
3
2
( )
dE R =
)
3
2 2
1
)
4πε 0
ρ S dS ′
r
zkˆ − ρ ′ρˆ ′
1
==
ρ
d
ϕ
′
ρ
′
d
ρ
′
3
4πε 0 S
r3
2
2 2
z + ρ′
(
)
(
)
a
zkˆ − ρ ′ρˆ ′
ρ S 2π
dϕ ′ ∫ ρ ′d ρ ′
E=
3
4πε 0 ϕ ′∫=0
ρ ′= 0
2
2 2
( z + ρ′ )
Por la simetría del campo, la integral en ρ ′ se anula.
ρ S zkˆ a
E R =
2ε 0 ρ ′∫=0
( )
a
ρ ′d ρ ′
(z
2
3
2 2
+ ρ′
)
ρ S zkˆ  −1 
=
2ε 0  z 2 + ρ ′2 

0
ρ S zkˆ  −1
1 
E R =
+


2ε 0  z 2 + a 2
z 2 
( )
( )
E R =

ρS z  1
1
 −
 kˆ
2
2
2ε 0  z
z + a 
a→∞
( )
E R =±
ρS ˆ
k
2ε 0
10
14.-En una región del espacio el potencial electrostático en el S.I. viene dado por la
expresión:
y2
V = 3x +
− 3 yz + 35
x
.
Calcular:
a) La fuerza que actúa sobre una carga puntual de 200 µC localizada en el punto
A(1,2,1) m.
b) El trabajo realizado cuando desplazamos dicha carga desde el punto A al B(-1,3,2) m.
a)
V = 3x +
y2
− 3 yz + 35
x
q = 200 µC
A (1, 2,1) m
F A = qE A


y2   2 y
E = −∇V = −  3 − 2  iˆ −  − 3z  ˆj − ( −3 y ) kˆ
x   x


E = iˆ − ˆj + 6kˆ
A
(
)
F A = 2 ⋅10−4 iˆ − ˆj + 6kˆ N
b)
A (1, 2,1) → B ( −1,3, 2 )
(
)
W = q V ( B ) − V ( A) = −6.2 ⋅10−3 J = Trabajo realizado por
nosotros contra el campo.
W= − 6.2 ⋅10−3 J
V ( A) = 36 v 
 El campo apunta hacia potenciales decrecientes.
V ( B ) = 5 v 
(
Trabajo realizado por campo eléctrico: W ( campo ) = −q V ( B ) − V ( A)
)
11
15.-Una línea infinita de densidad de carga ρL, se rodea con un cilindro infinitamente
largo de radio ρ0, cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee una
densidad superficial de carga constante σ. ¿Qué valor en particular de σ hará que E =0
para todos los puntos fuera del cilindro cargado? Calcular la diferencia de potencial
entre el cilindro y la línea.
a)
-Campo creado por la línea: Ley de Gauss.
λ = ρL
σ = ρS
Q
ρL L
T
E
dS
E
L
⋅
=
→
2
=
→
El =
πρ
l
∫ l
ε0
ε0
S
ρL
ρˆ ∀ρ
2πρε 0
-Campo creado por el cilindro:
En el interior del cilindro de radio ρo:
E C = 0 ρ < ρ0
Para ρ ≥ ρo: Ley de Gauss.
∫S
Q
σ 2πρ0 L σρ0
E C ⋅ dS = T → EC 2πρ L =
→ EC =
ρˆ
ε0
ε0
ε0ρ
ρ ≥ ρ0
El campo total (por superposición):
ET =
ρL
ρˆ ρ < ρ0
2πε 0 ρ
 ρ
σρ 
E T =  L + 0  ρˆ ρ ≥ ρ0
 2πε 0 ρ ε 0 ρ 
Para que E T = 0 para ρ ≥ ρ0 →
σρ0
ρL
+
= 0 ∀ρ ≥ ρ0
2πε 0 ρ ε 0 ρ
ρL
ρ
= −σρ 0 → σ = − L
2π
2πρ 0
-La diferencia de potencial ente el cilindro y la línea es:
12
ρ0
ρ0
0
0
V ( cilindro ) − V ( línea ) = ∫ dV = − ∫
=−
ρL
2πε 0
ρ0
∫0
dρ
ρ
=−
ρL
ρˆ ⋅ d ρˆ =
2πε 0 ρ
ρ
ρL
ln ρ  0 = ∞
0
2πε 0
V ( cilindro ) − V ( línea ) = ∞
Si a la línea le damos un pequeño radio a:
V ( cilindro ) − V ( línea ) =
ρL
[ ln a − ln ρ0 ] < 0
2πε 0
Representa el trabajo que hay que realizar para llevar una carga de 1 C desde un punto a
otro (desde la línea al cilindro).
V ( cilindro ) − V ( línea ) > 0
Representa el trabajo que hay que realizar para llevar una carga de 1 C desde el cilindro
a la línea contra el campo que crea la línea.
16.- Hallar el campo magnético B producido por una espira cuadrada de lado a recorrida
por una intensidad de corriente I, en un punto cualquiera de su eje.
Lamamos a los vértices A, B, C y D
13

a
 r = zk − x′iɵ + j

a
2
Lado AB → r ′ = x′iɵ + j 
2 
R = zk
1
2 2

a 
2
2
r = x + z +   

 2  

El campo sólo tendrá componente kɵ :
B = Bz kɵ y los cuatro lados contribuyen por igual.
ɵ
B dl ′ × r ⋅ k
µ0 I
Bz =
4
4π ∫A
r3
a
a
 dl ′ × r = − dxiɵ ×  zk
− x′iɵ + j  = zdx ɵj − dxkɵ
2 
2

a
dl ′ × r ⋅ k = − dx
2
a
a
− dx
2
µI
2
B = 0
(
(
)
)
z
π
∫
3
2 2

a 
2
2
x + z +   

 2  

x
dx
=
Buscando en las tablas: ∫
3
2
2
2
 x2 + a2  2 a x + a


Finalmente queda:
Bz =
−
a
2
4 µ0 Ia 2
1
π ( a 2 + 4 z 2 )( 2a 2 + 4 z 2 ) 2
17.-Hallar el campo magnético producido en cualquier punto del espacio por un
conductor cilíndrico hueco de radios a y b, por el que circula una intensidad I.
14
J=
I
k sólo entre a y b.
2
π b −a
(
)
2
Dividimos el espacio en tres regiones:
ρ <a
∫ L
B ⋅ dl =µ0
a≤ ρ ≤b
B 2πρ =
B=
∫S
J ⋅ dS como J = 0 → B = 0
µ0 I
π (b − a
2
µ0 I
(
2πρ b − a
2
ρ >b
B 2πρ = µ0 I
µ I
B= 0 ϕ
2πρ
2
)
π ( ρ 2 − a2 )
)
(ρ
2
B=0
2
)
B=
− a2 ϕ
B=
µ0 I
2πρ ( b − a
2
2
)
(ρ
2
− a 2 ) ϕɵ
µ0 I ϕ
2πρ
18.- Un cilindro infinito vertical, de radio r2, cargado con una densidad volúmica de
carga homogénea ρv, con su eje pasando por el punto a=(0,d,0) de forma que d > r2, se
encuentra rodeado por una superficie cilíndrica vertical de radio r1, cargada con
densidad superficial de carga homogénea ρs, que está colocada de forma que su eje pasa
por el centro de coordenadas y se cumple d+r2 < r1, según se muestra en la figura.
Calcúlese la diferencia de potencial entre los puntos a situado en (0,d,0) y b de la
superficie cilíndrica exterior, que se encuentra en el plano xy y cuyo vector de posición
forma un ángulo ϕ con el eje x.
En realidad, el cilindro de fuera no interviene en el
problema, que resulta consistir en calcular la diferencia
de potencial entre el centro de una densidad volúmica
de carga cilíndrica e infinita y un punto exterior.
15
El campo de esta distribución de carga es:
 ρV ρ
ρˆ ρ < ra
 2ε 0
E=
2
 ρV ra ρˆ ρ > r
a
 2 ρε 0
ρb
ra
ρb
ρρ
ρ r2
ρ r2
ρ 
Luego: ∆V = − ∫ E ⋅ d ρˆ = − ∫ v d ρ − ∫ V a d ρ = − V  a + ra 2 ln b 
2ε 0
2 ρε 0
2ε 0  2
ra 
0
0
ra
ρb es la distancia del punto b al punto a, como el punto b se encuentra en:
rb cos ϕ iˆ + rb senϕ ˆj
ρb = rb 2 cos 2 ϕ + ( rb senϕ − d ) = rb 2 + d 2 − 2rb dsenϕ
2

 r 2 + d 2 − 2r dsenϕ  
ρV ra 2  1
b

∆V = −
+ ln  b


 
2ε 0  2
ra



19.- Calcúlese el campo magnético generado por una plancha plana muy extensa y de
grosor d, paralela al plano xy, por la que circula una densidad de corriente constante J
en dirección positiva del eje x, en cualquier punto del espacio.
∫ B ⋅ dl = µ0 I
∫ B ⋅ dl = 2BL
d

 JLd si Z > 2
I =
 JL 2 Z si Z ≤ d

2
16

d
µ0 Jzjˆ si Z <


2
B =  µ Jdz
ˆj si Z ≥ d
 0
2
 2Z

20.- Calcúlese la fuerza que ejerce una espira cuadrada de lado L, por la que circula una
intensidad de corriente I, sobre un hilo recto infinito coplanario con la espira, paralelo a
dos de sus lados y que dista una distancia d de ésta, por el que circula una corriente de la
misma intensidad que la de la espira.
F hilo→espira = I
dl
∫ × B hilo
C
µI
B hilo = 0 ϕˆ
2πρ
Las fuerzas que se generan en la parte de arriba y en la parte de debajo de la espira se
anulan, por lo que no se calculan:
( )
0
L
µ0 I −iˆ
ˆj
ˆj 
µ Iiˆ µ I 2 L 
ˆ
F hilo→espira = F1 + F3 = ∫ I dlk ×
+ ∫ I dlkˆ × 0 = 0
+ 
−
2π ( d + L ) L
2π d
2π  d + L d 
0
F hilo→espira =
µ0 I 2 L 
d ˆ
j
1 −
2π d  d + L 
17