SOLUCIÓN AL PROBLEMA 45 45.- Considerar una onda plana

SOLUCIÓN AL PROBLEMA 45
45.- Considerar una onda plana uniforme propagándose por el vacío con un fasor
campo
donde
r
eléctrico
dado
r
r
r
r
k = kx ax + ky ay + kz az
por
la
expresión
habitual
v
r r
j
k
.r ,
−
E = E0 e
r
r
es el vector de onda, r es el vector de posición
r
y E0 es la amplitud constante. Se cumple además que k .k = k02 , siendo k0 el
número de onda en el vacío. Si el vector de onda fuese un número complejo
r r
r
k = kr + j ki , se pide
a) ¿Qué tipo de onda resultaría?. Justificar la respuesta.
b) Utilizando que
r r
k .k = k02
r
demostrar que los vectores kr y
r
ki
son
y que k02 = kr2 − ki2 . ¿Qué quiere decir, desde el punto de
r
r
vista físico, que los vectores kr y ki sean ortogonales?. Justificar la
ortogonales
respuesta.
r r
r r
r
r
r
r
r
−
j
k
.r , donde k = k + j k , k = k ( av + av )
c) Si E = 10 ( −ax + ay + az ) e
y
r
r
z
i
0 x
r
r
r
r
ki = k0 ( a ax + b ay + c az ) , siendo a, b y c constantes desconocidas, calcular
r
el vector unitario en la dirección de propagación y el vector ki (es decir, las
r
constantes a, b y c).
d) Aplicando la ley de Faraday obtener el campo magnético en función del
eléctrico y comentar la diferencia con el caso de una onda plana uniforme.
Aplicar la expresión obtenida para calcular el campo magnético
Solución:
a)
El campo eléctrico es
r
r r
r
r
r r − jkr.rr r − j k r + jki .r r − jk .rr k .rr
r
E = E0 e
= E0 e
= E0 e
e i
(
)
ecuación que muestra una onda plana propagándose en la dirección dada por el
r
r
vector k r y atenuándose en la dirección dada por el vector ki . Esto significa
r r
que los planos de fase constante kr .r = cte y los planos de amplitud constante
r r
ki .r = cte no coinciden y el resultado es una onda plana no uniforme.
b)
Podemos escribir que
rr
r r r r
r r
r r
k .k = k02 = kr .kr − ki .ki − 2 jkr .ki ⇒ kr .ki = 0
r
r
lo que significa que los vectores k r y ki son ortogonales y que kr2 − ki2 = k02 . El
r
r
significado físico de que los vectores kr y ki sean ortogonales es que los planos
de fase constante y los planos de amplitud constante son perpendiculares entre
sí.
c)
De las condiciones anteriores se tiene que
⎧a + c = 0
r r
⎪
k r .ki = 0 ⇒ 2 − a 2 + b2 + c 2 + 2 j ( a + c ) = 1 ⇒ ⎨
⎪⎩a 2 + b2 + c 2 = 1
(
)
De la condición de onda plana
r r
k .E0 = 0 ⇒ ( −1 + 1) + j ( −1 + b + c ) = 0 ⇒ a = b + c
Tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Despejando se obtiene
a=
1
2
1
; b=
; c=−
6
6
6
r
r
r
r kr a x + a y
n= r =
.
2
kr
El vector unitario en la dirección de propagación es
d)
r
r
Utilizando la ley de Faraday ∇x E = − j ω µ0 H podemos escribir (ver tema 4)
r
H=−
1
j ω µ0
rr
r
∇x E0 e − jk .r =
1
j ω µ0
rr
r r
E0 x ∇ e − jk .r =
1
ω µ0
rr
r r
k x E0 e − jk .r
que podemos utilizar para calcular el campo magnético en función del eléctrico.
r
En el caso de una onda plana uniforme, el vector de onda k da la dirección de
propagación y se puede obtener la expresión habitual
r
k r r
H = 0 nxE =
ω µ0
r r
ε0 r r
n x E = Y0 n x E .
µ0
Pero en el caso dado de esta onda plana no uniforme, la dirección de
r
propagación no la da el vector de onda k sino su parte real, por lo que no se
puede usar la expresión habitual anterior. Tenemos entonces
r
r 10k0 ⎡ r
r
r
r
r
r
r ⎤ − jk .rr
j r
H=
a
a
a
a
a
x
a
a
a
e
2
+
+
+
−
−
+
+
=
(
)
x
y
z
x
y
z ⎥
ω µ0 ⎢⎣ x z
6
⎦
(
=
) (
)
r
r
r
r ⎤ − jk .rr
10k0 ⎡ r
3j r
a
a
a
a
a
2
−
−
+
+
+
(
y
z
x
z ) ⎥e
ω µ0 ⎢⎣ x
6
⎦
(
)
Am