Ejercicios de teoría de de Broglie

Ejercicios de teoría de de Broglie
1. Se acelera un protón mediante una diferencia de potencial de 3000 V.
a) Calcule la velocidad del protón y su longitud de onda de De Broglie.
b) Si en lugar de un protón fuera un electrón el que se acelera con la misma
diferencia de potencial, ¿tendría la misma energía cinética? ¿Y la misma longitud
de onda asociada?
mp = 1,7·10–27kg, me = 9,1·10–31kg, h = 6,63·10–34Js, e = 1,6·10–19C
2. Sobre una fotocélula incide una radiación de longitud de onda 500nm. La frecuencia
umbral de ese material es 4.5·1014Hz.
a) Demuestre que se va a producir el efecto fotoeléctrico y calcule la velocidad a la
que saldrán expulsados los electrones.
b) Calcule la longitud de onda de lo electrones emitidos.
me = 9,1·10–31kg, h = 6,63·10–34Js, c = 3·108ms-1
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Soluciones
1. Se acelera un protón mediante una diferencia de potencial de 3000 V.
a) Calcule la velocidad del protón y su longitud de onda de De Broglie.
b) Si en lugar de un protón fuera un electrón el que se acelera con la misma
diferencia de potencial, ¿tendría la misma energía cinética? ¿Y la misma longitud
de onda asociada?
mp = 1,7·10–27kg, me = 9,1·10–31kg, h = 6,63·10–34Js, e = 1,6·10–19C
a) El protón se acelera mediante una diferencia de potencial que está relacionada con un campo
eléctrico. Por lo tanto es una fuerza eléctrica la que acelera la partícula. Como dicha fuerza es
conservativa, la energía mecánica se conserva.
ΔV
Fe
E
WFNC = ΔEm
0 = ΔEm
0 = ΔEc + ΔEp
ΔEc = –ΔEp
Ec = – qΔV
El signo negativo se compensa al ser negativa la variación de energía potencial, es decir el
protón pierde energía potencial.
1
mv 2 = qΔV
2
v=
v=
2qΔV
m
2 ⋅ 1.6 ⋅ 10−19 ⋅ 3000
9.1 ⋅ 10− 31
v= 3.25 · 107m/s
La teoría de De Broglie afirma que las partículas, al igual que la radiación, presentan un
comportamiento dual onda-corpúsculo. Cualquier partícula tiene una onda asociada cuya
longitud de onda se conoce como longitud de onda de De Broglie.
λ=
h
mv
En este caso:
6.63 ⋅10 −34
λ=
9.1 ⋅10 −31 ⋅ 3.25 ⋅10 7
λ = 2.24 · 10–11m
b) Si se acelerase un electrón en lugar de un protón el balance energético sería el mismo. El
electrón se movería hacia potenciales crecientes en contra del sentido del campo pero la carga
negativa del mismo daría como resultado que el electrón perdería energía potencial.
WFNC = ΔEm
0 = ΔEm
0 = ΔEc + ΔEp
ΔEc = –ΔEp
Ec = –qΔV
Por lo tanto el electrón tendría la misma energía cinética que el protón.
La longitud de onda asociada vale
λ=
h
mv
si se expresa en términos de la energía cinética, se expresaría
1
E c = mv 2
2
2E c
v=
m
y sustituyendo en la expresión de la longitud de onda asociada
λ=
h
2E c
m
m
λ=
h
2mE c
Tenemos que (Ecp = Ece) y (mp > me) por lo que λp < λe.
Aunque las energías cinéticas del protón y del electrón son iguales al ser menor la masa del
electrón, la longitud de onda asociada al electrón sería mayor que la del protón.
2. Sobre una fotocélula incide una radiación de longitud de onda 500nm. La frecuencia
umbral de ese material es 4.5·1014Hz.
a) Demuestre que se va a producir el efecto fotoeléctrico y calcule la velocidad a la
que saldrán expulsados los electrones.
b) Calcule la longitud de onda de lo electrones emitidos.
me = 9,1·10–31kg, h = 6,63·10–34Js, c = 3·108ms-1
a) La radiación de λ = 500nm está compuesta por fotones de frecuencia:
c = λ ⋅ν
c
ν=
λ
3 ⋅108
ν=
500 ⋅10 −9
ν = 6 ⋅1014 Hz
al ser la frecuencia de los fotones incidentes mayor que la frecuencia umbral, se va a producir el
efecto fotoeléctrico.
El balance energético en el efecto fotoeléctrico consiste en que la energía de la radiación
incidente se invierte en parte en arrancar al electrón del material y el resto es la energía cinética
del electrón emitido.
E f = W e + Ec
1
hν = hν 0 + mv 2
2
despejando la velocidad se obtiene
v=
2h (ν − ν 0 )
m
v = 4.68·105 m/s
b) La teoría de De Broglie afirma que las partículas, al igual que la radiación, presentan un
comportamiento dual onda-corpúsculo. Cualquier partícula tiene una onda asociada cuya
longitud de onda se conoce como longitud de onda de De Broglie.
λ=
h
mv
En este caso:
6.63 ⋅10 −34
λ=
9.1⋅10 −34 ⋅ 4.68 ⋅10 5
λ = 1.56 · 10–9m