potencial electrico

POTENCIAL ELECTRICO
El potencial eléctrico (V) en un punto es el trabajo
requerido para mover una carga unitaria q (energía o
trabajo por unidad de carga) desde ese punto hasta el
infinito, donde el potencial es cero. Matemáticamente
se expresa por:
La energía por unidad de carga por lo general es más
útil para aplicaciones eléctricas que la energía
potencial mutua. Esta magnitud se determina
utilizando una carga de prueba positiva, la cual se
puede utilizar para hacer el mapeo de un campo
eléctrico. Para tal carga de prueba qo localizada a una
distancia r de una carga q, la energía potencial
electrostática mutua es:
De manera equivalente, el potencial eléctrico es
=
Considérese una carga puntual q en presencia de un
campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza
eléctrica
Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en
equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se
requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la
generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá
tener la misma magnitud que la primera, pero
dirección contraria, es decir:
(1)
Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este
caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de
un punto a otro. De tal forma que al producirse un
pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW.
Es importante resaltar que el trabajo será positivo o
negativo dependiendo de cómo se realice el
desplazamiento en relación con la fuerza . El trabajo
queda, entonces, expresado como:
Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la
dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar
su componente en la dirección del movimiento.
Será considerado trabajo positivo el realizado por un
agente externo al sistema carga-campo que ocasione
un cambio de posición y negativo aquél que realice el
campo.
Teniendo en cuenta la expresión (1):
Por lo tanto, el trabajo total será:
Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria
cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos
en presencia de un campo eléctrico conservativo.
Expresándolo matemáticamente:
Ahora bien, sea una carga q que recorre una
determinada trayectoria en las inmediaciones de una
carga Q tal como muestra la figura.
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del
vector fuerza F por el vector desplazamiento dl,
tangente a la trayectoria, o sea:
Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la
carga q en la dirección radial.
Para calcular el trabajo total, se integra entre la
posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y
la posición final B, distante rB del centro fijo de
fuerzas:
De lo anterior se concluye que el trabajo W no
depende del camino seguido por la partícula para ir
desde la posición A a la posición B. lo cual implica
que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q
sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la
energía potencial es:
Por definición, el nivel cero de energía potencial se ha
establecido en el infinito, o sea, para
.
Potencial eléctrico Considérese una carga de prueba positiva en
presencia de un campo eléctrico y que se traslada
desde el punto A al punto B conservándose siempre
en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el
agente que mueve la carga, la diferencia de potencial
eléctrico se define como:
El trabajo WAB puede ser positivo, negativo o nulo.
En estos casos el potencial eléctrico en B será
respectivamente mayor, menor o igual que el potencial
eléctrico en A. La unidad mks de la diferencia de
potencial que se deduce de la ecuación anterior es
Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva
unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1
Joule/Coulomb.
Un electrón volt (eV) es la energía adquirida para un
electrón al moverse a través de una diferencia de
potencial de 1V, 1 eV = 1,6x10^-19 J. Algunas veces
se necesitan unidades mayores de energía, y se usan
los kiloelectrón volts (keV), megaelectrón volts
(MeV) y los gigaelectrón volts (GeV). (1 keV=10^3
eV, 1 MeV = 10^6 eV, y 1 GeV = 10^9 eV).
Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y
desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir
que el potencial eléctrico en un punto de un circuito
representa la energía que posee cada unidad de carga
al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga
recorre un circuito constituyendóse en corriente
eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o
voltaje) a medida que atraviesa los diferentes
componentes del mismo. Obviamente, la energía
perdida por cada unidad de carga se manifestará como
trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en
una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un
motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se
recupera al paso por fuentes generadoras de tensión.
Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en
un punto (energía por unidad de carga situada en ese
punto) y corriente eléctrica (número de cargas que
atraviesan dicho punto por segundo).
Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia
(en rigor el infinito)de toda carga y el potencial
eléctrico a esta distancia infinita recibe
arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el
potencial eléctrico en un punto poniendo
y
eliminando los índices:
Siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior
para mover la carga de prueba desde el infinito al
punto en cuestión.
Obsérvese que la igualdad planteada depende de que
se da arbitrariamente el valor cero al potencial en
la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera
podido escogerse de cualquier otro valor así como
también se hubiera podido seleccionar cualquier otro
punto de referencia.
También es de hacer notar que según la expresión que
define el potencial eléctrico en un punto, el potencial
en un punto cercano a una carga positiva aislada es
positivo porque debe hacerse trabajo positivo
mediante un agente exterior para llevar al punto una
carga de prueba (positiva) desde el infinito.
Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa
aislada es negativo porque un agente exterior debe
ejercer una fuerza para sostener a la carga de prueba
(positiva) cuando la carga positiva viene desde el
infinito.
Por último, el potencial eléctrico queda definido como
un escalar porque y son escalares.
Tanto WAB como
son independientes de la
trayectoria que se siga al mover la carga de prueba
desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el
punto B no tendría un potencial eléctrico único con
respecto al punto A y el concepto de potencial sería de
utilidad restringida.
Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el
campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias.
Las flechas muestran a E en tres puntos de la
trayectoria II
Es posible demostrar que las diferencias de potencial
son independientes de la trayectoria para el caso
especial representado en la figura. Para mayor
simplicidad se han escogido los puntos A y B en una
recta radial.
Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia
B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la
trayectoria II completamente arbitraria.
La trayectoria II puede considerarse equivalente a una
trayectoria quebrada formada por secciones de arco y
secciones radiales alternadas. Puesto que estas
secciones se pueden hacer tan pequeñas como se
desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la
trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II
el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de
las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos,
la fuerza y el corrimiento son perpendiculares y en
tales casos
es nulo. La suma del trabajo hecho en
los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II
es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria
I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo
conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II
es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado
es el mismo para todas las trayectorias que unen A con
B.
Aún cuando esta prueba sólo es válida para el caso
especial ilustrado en la figura, la diferencia de
potencial es independiente de la trayectoria para dos
puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se
desprende de ello el carácter conservativo de la
interacción electrostática el cual está asociado a la
naturaleza central de las fuerzas electrostáticas.
Superficies equipotenciales Las líneas negras muestran cuatro trayectorias a lo
largo de las cuales se desplaza una carga de prueba
entre superficies equipotenciales.
El lugar geométrico de los puntos de igual potencial
eléctrico se denomina superficie equipotencial. Para
dar una descripción general del campo eléctrico en
una cierta región del espacio, se puede utilizar un
conjunto de superficies equipotenciales,
correspondiendo cada superficie a un valor diferente
de potencial. Otra forma de cumplir tal finalidad es
utilizar las líneas de fuerza y tales formas de
descripción están íntimamente relacionadas.
No se requiere trabajo para mover una carga de prueba
entre dos puntos de una misma superficie
equipotencial, lo cual queda manifestado por la
expresión:
puesto que WAB debe ser nulo si VA − VB = 0. Esto es
válido porque la diferencia de potencial es
independiente de la trayectoria de unión entre los dos
puntos aún cuando la misma no se encuentre
totalmente en la superficie considerada.
La figura muestra un conjunto arbitrario de superficies
equipotenciales. El trabajo necesario para mover una
carga siguiendo las trayectorias I y II' es cero porque
comienzan y terminan en la misma superficie
equipotencial. El trabajo que se necesita para mover
una carga según las trayectorias I' y II no es cero, pero
tiene el mismo valor porque las trayectorias unen el
mismo par de superficies equipotenciales.
Las superficies equipotenciales son siempre
perpendiculares a las líneas de fuerza y, por
consiguiente, a . Si no fuera así, el campo tendría una
componente en ella y, por consiguiente, debería
hacerse trabajo para mover la carga en la superficie.
Ahora bien, si la misma es equipotencial, no se hace
trabajo en ella, por lo tanto el campo debe ser
perpendicular a la superficie.
Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple
que V = Ed, donde d es la distancia entre las placas
paralelas y E es el campo eléctrico constante en la
región entre las placas.
Potencial e intensidad de campo Campo eléctrico uniforme
Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico
uniforme, estando A a una distancia d de B en la
dirección del campo, tal como muestra la figura.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un
campo eléctrico uniforme E mediante un agente
exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
Considérese una carga de prueba positiva q
moviéndose sin aceleración, por efecto de algún
agente externo, siguiendo la recta que une A con B.
La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta
hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita
arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una
fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida
hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que
proporciona esta fuerza es:
Teniendo en cuenta que:
sustituyendose obtiene:
Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia
de potencial y la intensidad de campo en un caso
sencillo especial.
El punto B tiene un potencial más elevado que el A.
Esto es razonable porque un agente exterior tendría
que hacer trabajo positivo para mover la carga de
prueba de A hacia B.
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un
campo eléctrico no uniforme E mediante un agente
exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
Campo eléctrico no uniforme
En el caso más general de un campo eléctrico no
uniforme, este ejerce una fuerza sobre la carga de
prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la
carga acelere, debe aplicarse una fuerza que sea
exactamente igual a
para todas las posiciones del
cuerpo de prueba.
Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se
mueva siguiendo un corrimiento a lo largo de la
trayectoria de A a B, el elemento de trabajo
desarrollado por el agente externo es
. Para
obtener el trabajo total
hecho por el agente externo
al mover la carga de A a B, se suman las
contribuciones al trabajo de todos los segmentos
infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria.
Así se obtiene:
Como
obtiene que
, al sustituir en esta expresión, se
Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el
potencial al infinito toma el valor de cero, esta
ecuación da el potencial en el punto B, o bien,
eliminando el subíndice B,
Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia
de potencial entre dos puntos cualesquiera si se
conoce .
Definición matemática El potencial eléctrico suele definirse a través del
campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la
fisica
donde E es el campo eléctrico vectorial generado por
una distribución de carga eléctrica. Esta definición
muestra que estrictamente el potencial eléctrico no
está definido sino tan sólo sus variaciones entre
puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de
campo eléctrico nulo el potencial asociado es
constante. Suele considerarse sin embargo que el
potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado
de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación
anterior puede escribirse:
En términos de energía potencial el potencial en un
punto r es igual a la energía potencial entre la carga Q:
El potencial eléctrico también puede calcularse a
partir de la definición de energía potencial de una
distribución de cargas:
Ejemplos de potencial eléctrico asociados a diferentes distribuciones de carga Potencial debido a una carga puntual
Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente
exterior de A hasta B en el campo producido por una
carga q0
Considérense los puntos A y B y una carga puntual q
tal como muestra la figura. Según se muestra, apunta
a la derecha y , que siempre está en la dirección del
movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:
Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl
hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r
decreciente porque r se mide a partir de q como
origen. Así pues:
Por lo cual:
Combinando esta expresión con la de E para una carga
punto se obtiene:
Escogiendo el punto de referencia A en el infinito,
esto es, haciendo que
, considerando que
en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:
Esta ecuación muestra claramente que las superficies
equipotenciales para una carga puntual aislada son
esferas concéntricas a la carga puntual.
Superficies equipotenciales producidas por una carga
puntual
Potencial debido a dos cargas puntuales
El potencial en un punto P debido a dos cargas es la
suma de los potenciales debido a cada carga individual
en dicho punto.
Siendo y las distancias entre las cargas y y el
punto P respectivamente.
Potencial eléctrico generado por una distribución
discreta de cargas
El potencial en un punto cualquier debido a un grupo
de cargas punto se obtiene calculando el potencial
debido a cada carga, como si las otras cargas no
existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o
sea:
Siendo el valor de la enésima carga y la distancia
de la misma al punto en cuestión. La suma que se
efectúa es una suma algebraica y no una suma
vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del
potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico.
Las superficies equipotenciales cortan
perpendicularmente a las líneas de campo. En el
gráfico se representa la intersección de las superficies
equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipotenciales es:
Potencial eléctrico generado por una distribución
continua de carga
Si la distribución de carga es continúa y no una
colección de puntos, la suma debe reemplazarse por
una integral:
Siendo dq un elemento diferencial de la distribución
de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V
y dV el potencial que dq produce en ese punto.
Potencial eléctrico generado por un plano infinito
Un plano infinito con densidad de carga de superficie
σ crea un potencial eléctrico saliente en la dirección
perpendicular al plano de valor constante
Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se
encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto
x es igual a:
Donde se ha considerado como condición de contorno
V(x)=0 en x=0
Esfera conductora cargada
Sea Q la carga total almacenada en la esfera
conductora. Por tratarse de un material conductor las
cargas están situadas en la superficie de la esfera
siendo neutro su interior.
Potencial en el exterior de la corteza: El potencial
en el exterior de la corteza es equivalente al creado
por una carga puntual de carga Q en el centro de la
esfera
Donde r es la distancia entre el centro de la corteza y
el punto en el que medimos el potencial eléctrico.
LEY DE GAUSS
Cuando tenemos un elemento de área cualquiera
podemos admitir que siempre se podrá dividir en un
elemento sumamente pequeño tal que ese elemento se
pueda considerar plano y despreciable la variación de
E.
El flujo en un pequeña área
DAi con un campo normal
En será Df = En.DAi Y para
obtener el flujo total que
atraviesa la superficie se
debería hacer lo siguiente
Y se cumple lo mismo que en
el caso de un plano con
campo uniforme.
Lo que normalmente interesa
es calcular el flujo total o
neto que atraviesa una
superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo
según predomine el E
saliente o entrante.
Como el flujo es proporcional al número de líneas de
fuerza que atraviesan una superficie cualquiera, el
flujo neto es proporcional al número neto de líneas de
fuerza que atraviesa a la superficie (suma y resta de
líneas entrantes y salientes).
Cuando la suma de infinitos términos se hace en una
superficie cerrada, se indica con el símbolo Por lo
tanto el flujo neto será
APLICACIÓN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esférica
Se procederá a calcular el FLUJO NETO
que atraviesa una superficie esférica de radio r que
encierra una carga q.
Sabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es
y además el campo eléctrico es
normal a la superficie considerada pues tiene la
dirección radial, la cual es siempre perpendicular a la
superficie de la esfera
Þ
Como el valor
es constante en la integral se
puede sacar de factor común fuera de la misma y por
lo tanto
pero
es el área total de una esfera Þ
Por lo tanto
pero como
el flujo neto total será
El resultado se puede generalizar para cualquier
superficie cerrada, que encierre una carga q dado que
el número de líneas que sale de una carga es el mismo
o sea que la superficie es atravesada por el mismo
flujo.
Enunciado de la Ley de Gauss:
El flujo neto que atraviesa una superficie que
encierra totalmente una carga q es
numéricamente igual a la carga q dividida
por la constante de permitividad del vacío
εo.
Si dentro de la superficie se encierran más de
una carga la expresión de la ley de Gauss pasa a
ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga unica por la
suma de las cargas obteniéndose la carga neta
encerrada en la superficie de Gauss.
Cálculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los
siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de
carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo.
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la
superficie cerrada.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el
módulo del campo eléctrico
Caso 1) Campo Electrico debido a una carga
lineal uniforme (l) de longitud infinita
Debido a la simetría que existe en cuanto a las
cargas distribuidas a lo largo del conductor
respecto a un punto, el campo debe ser
perpendicular a la línea cargada y solamente
puede depender de r, lo cual pasaremos
explicar.
Para hallar el campo en un punto a cierta
distancia del conductor cargado, observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto
al conductor, nos encontraremos que a ambos
lados de dicho punto sobre el conductor
existirán siempre cargas iguales y simétricas
respecto a dicho punto. Debido a esa simetría
como se ve en la figura de la derecha, la suma
de los vectores campo de puntos simétricos
como el a y el b darán una resultante que
siempre será perpendicular al conductor, esto se
puede repetir para todos los puntos que uno
desee, por lo tanto E solo puede depender de r.
Llamando l a la densidad lineal de carga
definiremos un cilindro de Gauss con la
generatriz paralela al conductor ( como se
observa en la figura de la izquierda) y aplico a
dicha superficie cerrada el Teorema de Gauss.
Para ello calculo el flujo total que atraviesa la
superficie total del cilindro que consta de dos
caras y la superficie lateral. Siendo por lo tanto
el flujo neto total la suma de los flujos netos
que atraviesan las caras o bases y la superficie
lateral.
f neto = f sup. lateral + f sup. caras como el
flujo es saliente y perpendicular a la línea de
carga, el f caras = 0 dado que las líneas de
fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan.
Þ f neto = f sup. lateral = En . 2p. r .L y
entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
f neto = En . 2p r L =
ÞE=
=
Þ E=
Donde la Sq (sumatoria de la carga encerrada
dentro del cilindro de Gauss) es igual al
producto l.L es decir el producto de la carga por
unidad de longitud multiplicada por la longitud
del conductor encerrada dentro del cilindro de
Gauss.
Si se elimina K y se sustituye por su
equivalencia en función de la constante de
permitividad del vacío nos quedaría que
k=
Þ =
Þ E=
=
o en función de k
Es la fórmula que nos permite calcular dicho campo
donde se observa claramente que la intensidad de
campo eléctrico es directamente proporcional a la
densidad lineal de carga l e inversamente proporcional
a la distancia al conductor r y desde el punto de vista
vectorial por simetría como ya se explicó el vector
campo es perpendicular al conductor, alejándose de él
si está cargado positivamente o acercándose si la carga
es negativa.
Caso 2) Campo Electrico o debido a un plano
infinito de distribución uniforme de carga
Se define densidad superficial de carga s al
cociente entre la carga total del plano y su
superficie s = q/A y se mide en (N/m2).
Por razones de simetría deducimos que el
campo debido a su carga produce líneas de
fuerza perpendiculares al mismo y que salen
hacia ambas caras. Se aplica aquí criterio
similar en cuanto a simetría que en el caso del
conductor cargado, simplemente que la simetría
se da en infinitas rectas que se ubican sobre el
plano, pasando por el pie de la perpendicular
trazada desde el punto (donde se quiere calcular
el campo) al plano.
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa
un cilindro imaginario de Gauss que tenga
características que hagan cómodo el cálculo del
flujo total, por ello se traza con caras paralelas
al plano y generatriz perpendicular al mismo.
Como las líneas de fuerza son perpendiculares
al plano, resultan paralelas a la generatriz del
cilindro, por lo que son rasantes a la superficie
lateral que no atraviesan, solamente serán
atravesada las bases del cilindro. Por lo tanto el
flujo total o neto será
Þ
Donde la Sq (sumatoria de la carga encerrada
dentro del cilindro de Gauss) es igual al
producto s.A es decir el producto de la carga
por unidad de superficie multiplicada por la
superficie del plano encerrada dentro del
cilindro de Gauss.
De la fórmula para calcular dicho campo donde se
observa claramente que la intensidad de campo
eléctrico es directamente proporcional a la densidad
superficial de carga s y es independiente de la
distancia al plano cargado. El campo existe a ambos
lados del plano. Si la carga del plano es positiva el
vector campo se alejará del plano y se la carga es
negativa, se dirigirá hacia el plano.
Caso 3) Campo eléctrico debido una corteza
esferica cargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss, esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea
siempre perpendicular en todo punto a la superficie
que envuelve a la corteza cargada. Siendo R el radio
de la esfero de Gauss. Para estudiar el campo en el
exterior de la corteza R debe ser mayor que r por lo
tanto
R>r
corteza
siendo Q la carga total de la
Þ
Þo
En el interior de la corteza R < r y haciendo una
esfera de Gauss interior a la corteza nos da un flujo
neto
por lo tanto si el flujo es cero también será
cero el campo E.
El campo en el interior de la esfera es 0 debido
a que el flujo neto en una superficie cerrada en
dicho interior da cero.
En el exterior de la corteza el campo se comporta
igual que si fuera una
carga puntual colocada en
el centro de la corteza esférica
Siendo Q la carga total de la corteza esférica, por lo
tanto el campo es directamente proporcional a la carga
total Q e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia del centro de la corteza al punto considerado
R.
Caso 4) Campo eléctrico debido dos planos
infinitos cargados y paralelos
El campo en el exterior de los planos es cero
dado que son vectores campo iguales y
opuestos, por lo tanto su suma es cero. Ya se
vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos
creados por los dos planos cargados por lo tanto nos
queda que:
DIFERENCIAR LA CORRIENTE ELECTRICA CONTINUA Y ALTERNA La razón del amplio uso de la corriente alterna viene
determinada por su facilidad de transformación,
cualidad de la que carece la corriente continua
La enegia electrica viene dada por el producto de la
tension, la intensidad y el tiempo. Dado que la sección
de los conductores de las líneas de transporte de
energía eléctrica depende de la intensidad, podemos,
mediante un transformador, elevar el voltaje hasta
altos valores(alta tension). Con esto la misma energía
puede ser distribuida a largas distancias con bajas
intensidades de corriente y, por tanto, con bajas
pérdidas por causa del efecto joule Una vez en el
punto de utilización o en sus cercanías, el voltaje
puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o
doméstico de forma cómoda y segura.
HALLAR EL VALOR DE INTENSIDAD DE LA
CORRIENTE
Veamos ahora qué ocurre con la intensidad de la
corriente si la resistencia, en lugar de tener 3 ohm,
como en el ejemplo anterior, tiene 6 ohm. En este caso
la incógnita a despejar sería el valor de la corriente
"A", por tanto tapamos esa letra:
Sustituimos a continuación la V por el valor de la
tensión de la batería, es decir, 1,5 V y la R por el
valor de la resistencia (6 ) y efectuamos la operación
matemática dividiendo el valor de la tensión o voltaje
entre el valor de la resistencia:
En este resultado podemos comprobar que,
efectivamente, la resistencia es inversamente
proporcional al valor de la corriente, porque al
aumentar el valor de "R", de 3 a 6 ohm, la intensidad
"A" de la corriente varió también, disminuyendo su
valor de 0, 5 a 0,25 ampere.
Resistencia Ley de OHM
Las cargas se mueven en un conductor para producir
una corriente bajo la acción de undentro del Campo
electricoconductor. Un Campo electrico puede existir
en el conductor en este caso debido a que estamos
tratando con cargas en movimiento, una situación no
electrostatica..
Considere un conductor de área transversal A que
conduce una corriente I. La densidad de corriente J en
el conductor se define como la corriente por unidad de
área. Puesto que la corriente I=nqvdA, la densidad de
corriente es:
Donde J tiene unidades del Sistema Internacional
A/m2. La expresión es válida sólo si la densidad de
corriente es uniforme y sólo si la superficie del área
de la sección transversal A es perpendicular a la
dirección de la corriente. En general, la densidad de
corriente es una cantidad vectorial:
A partir de esta definición, vemos otra vez que la
densidad de corriente, al igual que la corriente, está en
la dirección del movimiento de los portadores de carga
negativa.
Una densidad de corriente J y un campo eléctrico E se
establece en un conductor cuando se mantiene una
diferencia de potencial a través del conductor. Si la
diferencia de potencia es constante, la corriente
también lo es. Es muy común que la densidad de
corriente sea proporcional al campo eléctrico.
(27.7)
Donde la constante de proporcionalidad σ recibe el
nombre de conductividad del conductor. Los
materiales que obedecen la ecuación 27.7 se dice que
cumplan la ley de ohm en honor de Simon Ohm
(1787-1854). Más específicamente, la ley de ohm
establece que
En muchos materiales (incluidos la mayor parte de los
metales, la proporción entre la densidad de corriente y
el campo eléctrico es una constante, σ, que es
independiente del campo eléctrico productor de la
corriente.
Los materiales que obedecen la ley de Ohm y que, en
consecuencia, presentan este Comportamiento lineal
entre E y J se dice que son óhmicos. El
Comportamiento eléctrico de la mayor parte de los
materiales es bastante lineal para pequeños cambios
de la corriente. Experimentalmente, sin embargo, se
encuentra que no todos los materiales tienen esta
propiedad. Los materiales que no obedecen la ley de
Ohm se dice que son no óhmicos. La ley de Ohm no
es una ley fundamental de la naturaleza sino más bien
una relación empírica válida sólo para ciertos
materiales.
ELECTRODINAMICA
LEYES DE KIRCHOFF
Aunque el concepto de generador y fuerza electromotriz se verá
en otro capítulo, adelantaremos que la fuerza electromotriz
(f.e.m.) es la tensión que suministra un generador (pila o
bateria) cuando no se le conecta ninguna resistencia.
Concepto de malla: Se llama malla en un circuito a cualquier
camino cerrado.
FIG. 1
En el ejemplo de la figura hay tres mallas:
ABEF
BCDE
ABCDEF
El contorno de la malla está formado por ramas. Hay tres
ramas:
EFAB
BE
BCDE
Concepto de nudo: Se llama nudo en un circuito a cualquier
punto en el que concurren más de dos ramas. En el ejemplo de
la figura hay dos nudos: los puntos B y E.
Se fijan en cada malla un sentido de referencia arbitrario, que
no tiene por qué ser el mismo en todas las mallas. En el ejemplo
se ha escogido el sentido de las agujas del reloj para ambas.
Basta con tomar las mallas que sean independientes. La
ABCDEF no es independiente, porque está formada por las
otras dos.
Se conviene en asignarle a los generadores signo positivo
cuando tienden a producir corriente en el mismo sentido que el
de referencia, y negativo en caso contrario.
1ª Ley de Kirchoff o ley de mallas
A lo largo de una malla, la suma de fuerzas electromotrices es
igual a la suma de las diferencias de potencial producidas en las
resistencias.
Otra manera de expresar esto es: la suma algebraica de las
tensiones a lo largo de una malla es cero. Obsérvese que esta
ley no es sino la ley de Ohm generalizada.
2ª Ley de Kirchoff o ley de nudos
En un nudo, la suma de las corrientes que entran es igual a las
de que salen.
O vien, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula.
Esto es evidente, ya que los electrones no se pueden acumular
en un nudo, ni tampoco pueden producirse allí.
Como aplicación, se resolvera el jemplo propuesto: (ver Fig. 1)
Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla I :
- 3 V + 5 V = I1 x 1 + I1 x 2 + I1 x 5 - I3 x 3
2 V = I1 x 8 - I3 x 3 ( I )
Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla II :
0 V = I2 x 2 + I2 x 4 + I2 x 1 + I3 x 3
0 V = I2 x 7 + I3 x 3 ( II )
Aplicamos la 2ª ley de Kirchoff al nudo B:
I1 + I3 = I2 ( III )
Resolviendo el sistema de ecuaciones ( I ) ( II ) ( III )
I1 = 20 / 101 = 0,198 A.
I2 = 6 / 101 = 0,0594 A.
I3 = -14 / 101 = - 0,138 A.
El signo negativo de I3 quiere decir que, en realidad, dicha
corriente tiene sentido contrario al que hemos supuesto y
dibujado en nuestra figura 1.
Recordemos la asociación de resistencias en serie y paralelo:
A) Asociación en serie
E = VI + VII + VIII
En este montaje tenemos UNA sola malla. No hay, por lo tanto, nudos. La
corriente I que circula por la única malla es la MISMA para todas las
resistencias. Lo que cambia es la tensión en cada una de ellas. La suma de todas
las tensiones será igual a la f.e.m. E producida por el generador (1ª Ley de
Kirchoff)
La flecha que he puesto al lado de
E significa que el generador nos
eleva la tensión en el valor que
tenga E. Las flechas puestas
encima de las VI ,VII , VIII
significan que la tensión
disminuye en esos valores.La
corriente I circula en el sentido del
polo positivo de la bateria (el
supeior en la figura) al negativo
atravesándo las resistencias.
B) Asociación en paralelo
I= I1 + I2 + I3
Circuitos RLC en corriente alterna.
En este artículo se hará un repaso de los circuitos
básicos, formados por resistencias (R), condensadores
(C) y bobinas (L), cuando se alimentan por una fuente
de tensión alterna senoidal. En corriente alterna
aparecen dos nuevos conceptos relacionados con la
oposición al paso de la corriente eléctrica. Se trata de
la reactancia y la impedancia. Un circuito presentará
reactancia si incluye condensadores y/o bobinas. La
naturaleza de la reactancia es diferente a la de la
resistencia eléctrica. En cuanto a la impedancia decir
que es un concepto totalizador de los de resistencia y
reactancia, ya que es la suma de ambos. Es por tanto
un concepto más general que la simple resistencia o
reactancia.
El más simple y sencillo:
Empezaremos con un circuito formado por una
resistencia alimentada por una fuente de tensión
alterna senoidal:
La tensión vg tendrá un valor instantáneo que vendrá
dado en todo momento por
En corriente alterna la oposición al paso de la
corriente eléctrica tiene dos componentes, una real y
otra imaginaria. Dicha oposición ya no se llama
resistencia sino impedancia, Z. La impedancia se
expresa mediante un número complejo, por ejemplo
de la forma a + jb, siendo a la parte real del número
complejo y b su parte imaginaria. Pues bien, una
resistencia presenta una impedancia que sólo tiene
componente real, ya que la su componente imaginaria
es de valor cero. Tendremos entonces que en el caso
que nos ocupa la impedancia total del circuito será
igual al valor que presente la resistencia R, ya que no
existe ningún otro elemento en el circuito. Así pues:
Tras lo visto, podemos calcular el valor de la corriente
i que circula por el circuito aplicando la Ley de Ohm:
Tenemos pues que i será, al igual que la tensión vg, de
tipo alterna senoidal. Además, como el argumento de
la función seno es el mismo en ambos casos, la
corriente i estará en fase con la tensión vg:
El condensador en corriente alterna:
El circuito base para el estudio del condensador en
corriente alterna es el siguiente:
En este circuito el condensador presentará una
oposición al paso de la corriente alterna. Dicha
oposición se llama reactancia capacitiva. ¿Cuál es la
naturaleza de la reactancia capacitiva? Este tipo de
oposición al paso de la corriente eléctrica es de
carácter reactivo, entendiendo tal cosa como una
"reacción" que introduce el condensador cuando la
tensión que se le aplica tiende a variar lentamente o
nada. Cuando el condensador está totalmente
descargado se comporta como un cortocircuito.
Cuando está totalmente cargado como una resistencia
de valor infinito. Para valores intermedios de carga se
comportará como una resistencia de valor intermedio,
limitando la corriente a un determinado valor. Como
en corriente alterna el condensador está
continuamente cargandose y descargandose, mientras
más lentamente varíe la tensión (frecuencia baja) más
tiempo estará el condensador en estado de casi carga
que en estado de casi descarga, con lo que presentará
de media una oposición alta al paso de la corriente.
Para variaciones rápidas de la tensión (frecuencias
altas) el efecto será el contrario y por tanto presentará
una oposición baja al paso de la corriente. Podemos
decir, por tanto, que la naturaleza de este tipo de
oposición es de carácter electrostático: la carga
almacenada en el condensador se opone a que éste
siga cargándose y esta oposición será mayor cuanto
más carga acumule el condensador.
El circuito presentará una impedancia al paso de la
corriente alterna dada por:
donde Xc es la reactancia capacitiva que se calcula
así:
Como puede apreciarse, la impedancia que presenta
un condensador sólo tiene componente imaginaria o
reactiva.
¿Qué podemos decir de la corriente que circula por el
circuito? Partamos de la conocida expresión que
relaciona la tensión en extremos de un condensador,
su capacidad eléctrica y el valor de la carga que
almacena dicho condensador:
La tensión en extremos del condensador será vg, con
lo que podemos poner que:
Si ahora derivamos respecto al tiempo la expresión
anterior, resulta que
Reordenando términos, y teniendo en cuenta que cos a
= sen ( a + 90º ), obtenemos finalmente que
La expresión anterior supone un desfase de 90º en
adelanto de la corriente que circula por el circuito
respecto de la tensión en extremos del condensador.
Esto se puede ver claramente en la siguiente gráfica:
La bobina en corriente alterna:
Al igual que en los casos anteriores, el circuito sobre
el que se estudia el comportamiento básico de la
bobina en corriente alterna es el siguiente:
La bobina presentará oposición al paso de la corriente
eléctrica y ésta será reactiva, de manera similar al caso
capacitivo. Sin embargo, la naturaleza de la reactancia
inductiva no es de carácter electrostático, sino de
carácter electromagnético. Una bobina inducirá en sus
extremos (debido a su autoinducción) una tensión que
se opondrá a la tensión que se le aplique, al menos
durante unos instantes. Ello provoca que no pueda
circular corriente libremente. Cuanto mayor sea la
velocidad de variación de la tensión aplicada mayor
valor tendrá la tensión inducida en la bobina y,
consecuentemente, menor corriente podrá circular por
ella. Así, a mayor frecuencia de la tensión aplicada
mayor será la reactancia de la bobina y, a la inversa, a
menorfrecuencia de la tensión aplicada menor será la
reactancia de la bobina.
La impedancia que presenta la bobina, y por ende el
circuito, será la siguiente:
siendo Xl la reactancia inductiva de la bobina (que
viene a ser la oposición que ésta presenta al paso de la
corriente alterna) que se calcula así:
Veamos ahora qué valor tendrá la corriente que circula
por el circuito. Igual que en el caso del condensador,
partiremos de una expresión que debiera ser conocida,
la que se suele usar para definir la autoinducción:
Como vg es la tensión en extremos de la bobina
podemos poner lo siguiente:
Integrando los dos miembros de la igualdad resulta
que
que tras reordenar y tener en cuenta la igualdad
trigonométrica - cos a = sen ( a - 90º ), queda lo
siguiente:
Por tanto, la bobina en corriente alterna atrasa la
corriente 90º respecto a la tensión presente en sus
extremos. Esto se puede ver en la siguiente gráfica:
El circuito RC serie en corriente alterna
Por el circuito circulará una sola corriente i. Dicha
corriente, como es común a todos los elementos del
circuito, se tomará como referencia de fases.
La impedancia total del circuito será la suma (circuito
serie) de las impedancias de cada elemento del
mismo. O sea,
Por tanto, la intensidad que circula por el circuito será:
que como puede apreciarse tendrá parte real y parte
imaginaria. Esto implica que el desfase de i respecto a
vg no será ni cero (que sería el caso de circuito
resistivo puro) ni 90º (caso capacitivo puro), sino que
estará comprendido entre estos dos valores extremos:
La gráfica roja es la de la tensión de alimentación del
circuito. La gráfica azul corresponde con la tensión
vc. Por último, la gráfica verde es la corriente i que
circula por el circuito.
A partir de la expresión en forma binómica de la
corriente es posible expresarla en otra forma
cualquiera de las posibles para un número complejo.
Quizás la más útil para nuestros fines sea la expresión
en forma polar o módulo-argumental. Para hacer la
conversión de una a otra forma de expresión se ha de
seguir el siguiente método:
m es el módulo del número complejo e indica cuan
grande es el vector comlejo. Por otro lado, j es el
argumento y representa el ángulo que forma el vector
comlejo respecto al eje positivo de "las x", que en
nuestro caso se corresponde con el ángulo de desfase.
Tomando esta forma de expresar los números
complejos, el módulo de i será
y su argumento o ángulo de desfase respecto a vg es
Como este ángulo será positivo, y recordando que la
referencia de fases es la propia i (y por tanto su
desfase será cero por definición), la tensión vg estará
desfasada respecto a i un ángulo -j, o sea, vg estará
atrasada un ángulo j respecto a i.
Conocida la corriente que circula por el circuito,
veamos las tensiones de la resistencia y del
condensador. El caso de la resistencia es muy sencillo,
ya que como vimos antes no introduce ningún desfase
entre tensión en sus extremos y corriente que la
atraviesa. Por tanto, la tensión de la resistencia, vr,
tendrá un desfase cero respecto a i y su módulo vendrá
dado por
El condensador sí introduce desfase entre la tensión en
sus extremos y la corriente que circula por el circuito
en el que se intercala. Ese desfase ya sabemos que es
de 90º de adelanto de la intensidad respecto a la
tensión, o lo que es lo mismo, de 90º de atraso de la
tensión respecto de la intensidad. Por tanto, vc estará
atrasada 90º respecto a i y su módulo se calculará
como
El circuito RL serie en corriente alterna:
El análisis de este circuito es comletamente similar al
del circuito RC serie. Así, el valor de la impedancia
será:
El módulo de la intensidad que circula por el circuito
es
y su ángulo de defase respecto a vg es
que evidentemente será negativo, indicando con ello
que la tensión vg está adelantada respecto a i (ya que
según el signo de este ángulo i está atrasada respecto a
vg).
En cuanto a las tensiones de la resistencia y la bobina,
las técnicas de cálculo son idénticas a las vistas
anteriormente, es decir, se aplica la Ley de Ohm
generalizada para corriente alterna. En concreto:
La tensión de la resistencia estará en fase con la
corriente y la de la bobina estará adelantada 90º
respecto a dicha corriente.
El circuito RLC serie en corriente alterna:
El valor de la impedancia que presenta el circuito será:
O sea, además de la parte real formada por el valor de
la resistencia, tendrá una parte reactiva (imaginaria)
que vendrá dada por la diferencia de reactancias
inductiva y capacitiva. Llamemos X a esa resta de
reactancias. Pues bien, si X es negativa quiere decir
que predomina en el circuito el efecto capacitivo. Por
el contrario, si X es positiva será la bobina la que
predomine sobre el condensador. En el primer caso la
corriente presentará un adelanto sobre la tensión de
alimentación. Si el caso es el segundo entonces la
corriente estará atrasada respecto a vg. ¿Qué ocurre si
X es cero? Este sería un caso muy especial que
veremos en el siguiente apartado.
Conocida Zt, la corriente se puede calcular mediante
la Ley de Ohm y su descompocisión en módulo y
ángulo de desfase no debería suponer mayor problema
a estas alturas. Así,
También por Ley de Ohm se calculan los módulos de
las tensiones de los diferentes elementos (las fases
respecto a i son siempre las mismas: 0º para vr, 90º
para vl y -90º para vc). Concretamente,
Resonancia en circuitos serie RLC:
Como se comentaba más arriba, existe un caso
especial en un circuito serie RLC. Éste se produce
cuando Xc=Xl y por lo tanto X=0. En un circuito de
este tipo dicha circunstancia siempre se podrá dar y
ello ocurre a una frecuencia muy determinada
(recordemos la dependencia de Xc y Xl respecto de la
frecuencia f de la tensión de alimentación). Cuando tal
ocurre decimos que el circuito está en resonancia, y la
frecuencia para la que ello ocurre se llamará
frecuencia de resonancia. ¿Cuál será el valor de dicha
frecuencia? Igualando Xc y Xl podremos conocer su
valor:
A la frecuencia de resonancia el circuito se
comportará como resistivo puro, ya que los efectos
capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.
Una representación gráfica del fenómeno de la
resonancia es la siguiente:
Lo aquí representado es el valor del módulo de la
corriente que recorre el circuito según sea la
frecuencia de la tensión de alimentación. Si se calcula
la frecuencia de resonancia se verá que para los
valores de la gráfica ésta es de 5033Hz, lo que
corresponde con el máximo de la curva de la gráfica.
Para frecuencia inferiores y superiores a la de
resonancia el valor de la corriente será menor, lo cual
es lógico ya que sólo para la frecuencia de resonancia
la resta de reactancias será cero. Para frecuencias
inferiores a la de resonancia predomina la reactancia
capacitiva, siendo la inductiva la que predomina para
frecuencias superiores a la de resonancia. La
expresión que proporciona la frecuencia de resonancia
en un circuito paralelo RLC puede llegar a ser
bastante más complicada que en el caso de
suhomólogo serie, pero si nos restringimos a un
circuito tan simple como el del apartado anterior será
la misma que la ya vista para el caso serie, o sea: