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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO agropecuario No. 2
Hidrostática
Cd. Delicias, Chih. 2015.
Situación problema.
Hidrostática.
Principio de Pascal.
Principio
de Arquímedes.
Objetivo.
Analiza las características fundamentales de los fluidos en reposo
a través de las teorías, principios, teoremas o modelos
matemáticos aplicándolos en situaciones cotidianas. Utiliza los
conceptos de la Hidráulica para explicar el principio de Pascal y
Arquímedes en situaciones cotidianas.
Situación problema para el estudio de la hidrostática.
Un poco de historia.
Según se cree, Arquímedes fue llamado por él el rey Herón de
Siracusa, donde Arquímedes vivió en el siglo III A.C., para
dilucidar el siguiente problema. Se cuenta que el rey Herón de
Siracusa le había entregado a un platero una cierta cantidad de oro
para con ella le hiciera una corona. Cuando estuvo terminada, se
decía que el platero había sustituido una parte del oro por una
cantidad equivalente de plata, devaluando con ello la corona y
engañando, pues, al rey.
El rey encargó a Arquímedes que descubriera si había sido
engañado. El problema que Arquímedes debía resolver era
determinar si el joyero había sustraído parte del oro o no, pero no
podía romper la corona para averiguarlo. Arquímedes pensó
arduamente cómo resolver el problema, sin poder encontrar una
solución.
Se dice que mientras se disponía a
bañarse en una tina, en la que por
error había puesto demasiada agua,
al sumergirse en ella, parte del
agua se derramó. Arquímedes se
dio cuenta de que este hecho podía ayudarle a resolver el enigma
planteado por Herón y fue tal su regocijo que, desnudo, salió
corriendo de la tina gritando "¡Eureka, eureka!" (que significa
"¡Lo encontré, lo encontré!").
¿Cómo crees que Arquímedes llego a esta conclusión? ¿Podrías
diseñar un pequeño modelo o experimento que pueda evidenciar
la solución de Arquímedes?
Con este descubrimiento puedes explicar la siguiente situación
siguiente:
Imagina que te vas de vacaciones a la playa en compañía de tus
compañeros de salón. El hotel donde se van a hospedar posee una
piscina con trampolín. Después de cambiarse, todos corren para
aventarse a la piscina desde el trampolín y, entre juegos,
comienzas a brincar para realizar un clavado, pero, ¡oh sorpresa!
Pierdes el equilibrio y caes de “panzazo”.
Aunque te mueres de la vergüenza y no quieres salir del agua,
sientes como poco a poco vas ascendiendo. Con pena, caminas
lentamente pues el agua no te permite avanzar más rápido.
Mientras tus amigos se ríen te preguntas: ¿por qué no me quedé
en el fondo de la piscina? ¿Por qué sentí un golpe fuerte en el
abdomen? ¿Por qué no puedo moverme con facilidad para salir y
esconderme?
Escribe en tu cuaderno tus hipótesis y predicciones para cada uno
de los cuestionamientos que encontraras en el texto,
posteriormente compáralo con los integrantes del equipo al cual
te integraras, finalmente presente al grupo las conclusiones
obtenidas en el equipo.
Hidrostática.
En este apartado estudiaremos a fondo la hidrostática y sus
aplicaciones; iniciaremos su estudio por el principio de pascal y
posteriormente analizaremos el principio de Arquímedes, así
como sus aplicaciones en nuestra vida diaria.
La aplicación de las leyes de la hidrostática ha permitido construir
sistemas como el gato y la prensa hidráulicos. También ha
permitido a los expertos sacar a flote un barco hundido en el fondo
del mar mediante la inyección de aire o incluso diseñar
dispositivos que se emplean en la industria para mejorar la
producción.
Principio de Pascal.
Hemos visto en el apartado anterior que un líquido produce una
presión hidrostática debido a su peso. Sin embargo, si el líquido
se encierra en un recipiente hermético puede aplicársele otra
presión mediante un émbolo. ¿Has pensado de dónde se obtiene
la fuerza de las grúas que mueven objetos tan pesados como las
estructuras prefabricadas cuando se construye un puente? ¿Y la
fuerza que emplean las máquinas que comprimen desperdicios
industriales? ¿Por qué es tan fácil levantar un automóvil para
cambiarle una llanta con lo que llamamos comúnmente gato
hidráulico? Pues la respuesta a estas preguntas las encontramos en
la hidráulica, es decir, aprovechar la presión dentro de sistemas
cerrados, ya que, por la incompresibilidad propia de los líquidos,
se transmitirá íntegramente en todos los puntos del mismo.
Actividad 1.
Analiza el siguiente video y describe el mismo explicando lo
sucedido en el experimento, entrega esta explicación a tu maestro
en la siguiente clase.
https://www.youtube.com/watch?v=iD37eSO4Krc
En 1648, Blaise Pascal descubrió, realizando experimentos con
fluidos, lo siguiente:
«El incremento de presión aplicado a la superficie de un
fluido incompresible, contenido en un recipiente
indeformable, se transmite con el mismo valor a cada
una de las partes del mismo»
Este enunciado se conoce como principio de Pascal.
El montaje que se muestra en la figura siguiente también es una
demostración del principio de Pascal, ya que la variación de
presión ejercida por el émbolo se propaga de manera constante a
cualquier lugar en el interior del líquido, lo que queda en
evidencia porque se observa que el fluido ejerce la misma presión
en cada uno de los manómetros instalados en cada uno de los
agujeros, mostrando que el cambio de presión se trasmite a todos
ellos en igual magnitud.
El principio de Pascal es utilizado en muchos objetos tecnológicos
que trabajan con líquidos. Por esta razón, estas máquinas se
llaman hidráulicas, ya que usan los fluidos para aplicar y aumentar
las fuerzas.
El recipiente cilíndrico de
la figura contiene un
fluido. Cuando lo mueves
con el émbolo o pistón.
¿Qué manómetro medirá
mayor presión?
Principio de Pascal.
La presión ejercida en un punto de un fluido se trasmite por él en
todas direcciones con la misma intensidad.
Piensa, por ejemplo, en los componentes de un vehículo: ¿qué
características tienen en común la dirección hidráulica, los frenos
hidráulicos y el gato hidráulica?
Análisis matemático del principio de pascal.
Consideremos el esquema que
se muestra en la figura. La
presión inicial (P1), aplica una
fuerza inicial F1 a un pistón de
área muy pequeña A1. Según el
principio de Pascal, esta
presión
se
transmite
íntegramente al pistón de salida
cuya área es A2. Como:
P1 = F1 /A1
𝐹
P2 = F2 /A2
𝐹
𝐹
P1 = P2, y como 𝑃1 = 𝐴1 y 𝑃2 = 𝐴2 , podemos concluir que 𝐴1 =
1
𝐹2
𝐴2
2
1
, de donde:
𝐹2 =
𝐴2
𝐴1
∗ 𝐹1 , esta expresión también puede expresarse en
términos de los diámetros o radios al cuadrado de los pistones
2
dado que 𝐴 = 𝜋𝑟 = 𝜋
𝐷2
4
𝜋𝑟22
, por lo que 𝐹2 = 𝜋𝑟 2 ∗ 𝐹1 , de donde
eliminamos 𝜋, quedándonos 𝐹2 =
1
𝑟22
𝑟12
∗ 𝐹1 , el mismo análisis seria
𝐷22
para los diámetros, de donde obtenemos 𝐹2 = 𝐷2 ∗ 𝐹1
1
Lo cual nos indica que la fuerza inicial F1 se multiplica tantas
veces como el área de salida, A2 es mayor que el área de entrada
A1. Así, si aplicamos una fuerza inicial de 10 Newton en un área
de 1 cm2, y si el pistón de salida tiene un área de 100 cm2, la fuerza
de salida será de 1000 Newtons, es decir, la fuerza inicial se
multiplicó por 100.
Una aplicación muy común de este principio lo encontramos en el
sistema de frenado hidráulico de los autos, en donde una pequeña
fuerza aplicada al pedal de los frenos, se transmite a través de
tubos muy delgados llenos de un líquido hasta llegar a los
cilindros de frenado, convertida en una fuerza lo suficientemente
grande para detener la marcha del vehículo.
Ejemplo 1.
Un elevador de taller mecánico tiene pistones de entrada y salida
(el de levantamiento) de 5 centímetros y de 60 centímetros de
radio respectivamente. Con este dispositivo se mantiene levantado
un auto de 2000 Kg. ¿Cuál es la fuerza aplicada al pistón de
entrada?
Datos.
F2 = W = mg =19600N
r1 = 5 cm
r2 = 60 cm
Utilizamos la formula
𝑟2
𝐹1 = 𝑟12 ∗ 𝐹2
2
Al deposito
Sustituyendo datos tenemos:
𝐹1 =
(5 𝑐𝑚)2
(19,600 𝑁) = 136.1 N
(60 𝑐𝑚)2
¡Con el peso de un niño de 14 kg se puede levantar este carro de
2000 kg!
Ejemplo 2:
Para el sistema que se
muestra en la figura de la
derecha, el cilindro L de la
izquierda tiene una masa de
600 kg y un área de sección
transversal de 800 cm2. El
pistón S de la derecha tiene
un área en su sección
transversal de 25 cm2 y peso
despreciable. Si el dispositivo se llena con aceite (ρ = 0.78 g/cm3),
calcule la fuerza F que se requiere para mantener al sistema en
equilibrio.
Las presiones en los puntos H1 y H2 son iguales porque, en un solo
fluido conectado, se encuentran en el mismo nivel. Por
consiguiente,
(Presión en H1) = (Presión en H2) + La presión debida
a los8.0 m de aceite.
𝐹
𝑃1 = 𝐴1
=
1
𝐹
𝑃2 = 𝐴2
+
2
ρgh
Sustituyendo datos:
𝐾𝑔
(600 𝑘𝑔)(9.81 2 )
𝑠
2
0.0800𝑚
=
𝐹
25 𝑥 10−4 𝑚
2 + (780
𝐾𝑔
𝐾𝑔
𝑚
𝑠2
3 )(9.81
)(8.0 𝑚)
Primero despejamos ρgh y la pasamos restando del lado 1, ya que
ambas son valores de presión, luego despejamos F quedándonos
de la siguiente forma:
F = (73,575 Pa – 61,214.4 Pa) * 25 x 10-4 m2
De donde F = 31 N.
Resultado F = 31 N.
Ejemplos en video.
Ejemplo 3: https://www.youtube.com/watch?v=D2Q8FEPsT6g
Ejemplo 4: https://www.youtube.com/watch?v=7ZE0of8_TV0
En el siguiente video se resume lo analizado sobre el principio de
pascal, si tienes dudas revísalo.
https://www.youtube.com/watch?v=3-XW-ARrjGs
Principio de Arquímedes.
Actividad 2.
PARTE I. Trabajo individual
¿Cómo flotan los barcos?
Con seguridad has observado
embarcaciones pequeñas y otras
gigantescas que navegan en el
mar. Sin duda, el caso más
desconcertante es el de las naves
de gran tamaño y peso, como en
el caso de los trasatlánticos, que
son verdaderos edificios flotantes. ¿Qué pasaría si tomamos todo
el metal y los otros materiales que componen un barco, luego
hiciéramos una esfera homogénea con ellos e intentáramos
ponerla en flotación? ¿Se hundiría?
a) Lo anterior, se puede modelar con un trozo de plastilina.
¿Podría flotar una esfera de plastilina en el agua?
b) ¿Qué magnitud física es necesario cambiar para que la esfera
de plastilina flote?
PARTE II. Trabajo en equipo
Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas
dadas a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra
de ellas. A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que
dé respuesta a la segunda pregunta.
a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles
son las variables observables que pueden medir y/o controlar.
b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento
experimental que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es
una explicación aceptable o debe ser descartada. Dibujen su
montaje experimental y describan brevemente, pero con
precisión, el procedimiento que sugieren.
Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea
factible de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el
uso de materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos
razonables para la observación y el análisis de sus resultados.
c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas donde
expongan las variables utilizadas, factores que influyen en el
experimento y las conclusiones de lo que ocurre.
En equipo analiza el siguiente video y compara lo encontrado por
Arquímedes
y
tus
conclusiones:
https://www.youtube.com/watch?v=JxrwpyywpOs
Análisis del principio de Arquímedes.
Vamos a modificar un poco la secuencia en este tema, primero
vamos
a
analizar
el
siguiente
video
https://www.youtube.com/watch?v=SNlkow9kpwg, realiza un
resumen en tu cuaderno de la información que encontraras en el
mismo y a partir de lo documentado cómpralo con la información
que se te brinda aquí.
Ahora vamos a analizar de manera escrita el principio de
Arquímedes, en las líneas siguientes explicamos este importante
principio de la hidrostática.
Arquímedes de Siracusa vivió entre los años 287 y 212 A.C.
Entre sus descubrimientos más notables está el
principio de flotabilidad de los cuerpos, conocido hoy
como principio de Arquímedes.
Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido
parcial o totalmente en el interior de un fluido,
experimenta una fuerza hacia arriba, llamada fuerza
de empuje o, simplemente, empuje, cuyo módulo es
igual al peso del fluido que desplaza.
En la figura podemos observar el aumento que el nivel de agua en
el tubo es el mismo que se tendría si, en vez de poner la piedra en
el tubo, se vertiera en él un volumen de agua igual al volumen de
la piedra.
A esta fuerza vertical que
apunta hacia arriba la
llamaremos empuje. Este
empuje es la resultante de
las fuerzas ejercidas sobre
el cuerpo sólido. Tales fuerzas son el resultado de la diferencia de
presión con respecto a la altura en un líquido.
En conclusión podemos establecer que un cuerpo total o
parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con
una fuerza igual al peso del fluido desplazado. Se puede
considerar que la fuerza boyante (fuerza de empuje) actúa
verticalmente hacia arriba a través del centro de gravedad del
fluido desplazado
En términos matemáticos, el empuje se define, entonces, del
siguiente modo: Empuje = Peso de fluido desplazado, esto es:
E = Wfd
Donde E es la fuerza de empuje y Wfd corresponde al peso del
fluido desplazado.
Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el
peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del
fluido desplazado (mfd):
Wfd = (mfd)(g)
Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es: W = m *g
La ecuación de Empuje también puede expresarse en la siguiente
forma
E = ρf gVfd
Donde ρf = densidad del fluido donde se sumerge el objeto
Vfd = Volumen de fluido desalojado, que es igual al volumen
del objeto que se sumerge.
g = gravedad 9.81 m/s2
En muchas ocasiones se tiene parcialmente sumergido un objeto
dentro del fluido, por lo que aparenta tener menor peso, sin
embargo eso no es totalmente cierto dado que el peso real fuera
del agua se calcula por W=mg. Si queremos saber el peso real del
objeto total o parcialmente sumergido en un líquido entonces se
debe considerar el empuje recibido en el objeto por el agua, por lo
que:
Wo= Waparente + E,
donde Wo = Peso real del objeto fuera del líquido;
Waparente = peso del objeto parcial o totalmente sumergido en
el líquido;
E = Empuje o fuerza boyante.
En términos de empuje la ecuación también puede quedar así:
E =Waire - Waparente
Ejemplo 5.
La masa de un bloque de aluminio es de 25.0
gr. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Cuál será la
tensión en una cuerda que sostiene al bloque
cuando éste está totalmente sumergido en el
agua? La densidad del aluminio es de 2 700
kg/m3
Solución.
Datos.
mal =25.0 gr
ρo = 2 700 kg/m3
ρf = 1000 kg/m3
Para calcular el Volumen del bloque de aluminio utilizamos la
𝑚
ecuación de ρo = 𝑉 , de donde despejamos el volumen V. También
debemos considerar que la masa esta en gramos por lo que
1 𝑘𝑔
debemos convertirla a kilogramos m = 25 gr [1000 𝑔𝑟 ] = 0.025 kg.
V=
𝑚
𝜌
0.0250 𝑘𝑔
: 2700 𝑘𝑔 /𝑚3 = 9.26 x 10-6 m3 = 9.26 cm3
b) El bloque desplaza 9.26 x 10-6 m3 de agua cuando está
sumergido, así que la fuerza de empuje o boyante sobre él es:
E = peso del agua desplazada = (volumen) (ρ del agua) (g)
= (9.26 x 10-6 m3) (1000 kg/m3) (9.81 m/s2) = 0.0908 N
La tensión en la cuerda de sostén más la fuerza de empuje E debe
ser igual al peso del bloque para que esté en equilibrio, como se
muestra en la figura
Esto es, Wo= Waparente + E
o dicho en otras palabras
FT + E = mg, de donde
FT = mg – E = (0.025 kg) (9.81 m/s2) – (0.0908 N)
Resultado: FT = 0.154 N
Ejemplo 6.
Un iceberg, como el de la figura de la
izquierda, tiene una densidad de 920 kg/m3 y
flota en la superficie del agua de mar, cuya
densidad es de 1 030 kg/m3
a) ¿Qué fracción del iceberg se encuentra
sobre la superficie del mar?
Solución.
Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso ya que
está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, tenemos: W = E
m g = ρ g Vfd,
como ρiceberg =
𝑚iceberg
𝑉iceberg
, despejamos m,
Entonces: miceberg = ρiceberg Viceberg, y como la gravedad es común
en ambos lados de la igualdad la eliminamos, quedándonos la
siguiente ecuación:
ρiceberg Viceberg = ρ g Vfd
Despejando el volumen de fluido desalojado, dado que sería el
volumen
total
sumergido
del
iceberg
tenemos:
ρiceberg
𝑉iceberg = Vfd
ρ
𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟
𝑘𝑔
Sustituyendo datos:
920 3
𝑚
𝑘𝑔
1030 3
𝑚
𝑉iceberg = Vfd , tenemos que
0.89 Viceberg = Vfd
El equilibrio de fuerzas consiste en que el peso del iceberg es igual
al peso del agua desplazada, lo que se logra cuando una gran parte
del iceberg está sumergida. Esta porción tiene un volumen igual
al volumen del agua desplazada.
Por lo tanto, solo el 11% del volumen del iceberg es visible sobre
la superficie
Ejemplo 7.
Con una báscula, una pieza de aleación tiene una masa de 86 gr
en el aire y 73 gr cuando está sumergida en agua. Calcule su
volumen y densidad.
Solución:
El cambio aparente en la masa medida se debe a la fuerza boyante
del agua.
La figura de la izquierda muestra la situación cuando el objeto se
encuentra en el agua. De la figura, E + FT = mg, así que:
E = (0.086) (9.81) N - (0.073) (9.81) N = (0.013) (9.81) N
Pero el E debe ser igual al peso del agua desalojada.
𝑚
E = Wagua = (masaagua) (g), de la ecuación ρ= 𝑣 despejamos m =ρV
y sustituimos, tenemos:
E = (ρagua) (volumenagua) (g)
o
(0.013)(9.81) N = Vagua (1 000 kg/m3)(9.81 m/s2)
de donde Vagua = 1.3 x 10-5 m3. Éste también es el volumen de la
pieza de aleación.
Por tanto,
𝑚𝑎𝑠𝑎
ρde la aleación = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
0.086 𝑘𝑔
1.3 𝑥
10−5 𝑚3
= 6.6 x103 kg / m3
Respuesta: Vde aleación = 1.3 x 10-5 m3
ρde la aleación = 6.6 x103 kg / m3
Revisa los siguientes ejemplos en video: Ejemplo 8.
https://www.youtube.com/watch?v=47e3lZt6SXo
Ejemplo 9. https://www.youtube.com/watch?v=dsZu3akIWdc
Ejercicio 10. https://www.youtube.com/watch?v=scO9JARtW4s
Visita la página www.comoseresuelvelafisica.com
encontraras ejercicios resueltos del tema.
A continuación se te presenta un resumen del tema.
https://www.youtube.com/watch?v=95Jrk9W5wr0
donde