Tema 2: MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE LOS DATOS 1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: 9 9 9 9 9 Media Mediana Moda Cuantiles Otras 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: 9 9 9 9 Desviación típica Varianza Rango Otras 3. MEDIDAS DE FORMA: 9 9 Asimetría Apuntamiento 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA: 9 Diagrama de caja @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) MEDIDAS DESCRIPTIVAS ¿Para qué nos sirven? ¿Se pueden calcular todas con todo tipo de variables? ¿Cuáles son las más adecuadas en cada caso? ¿De qué forma podemos sacar partido a nuestra calculadora? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 8 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN(1) ¿Qué SON? LA MODA: (Cuando los datos no están agrupados en intervalos) Es el valor que aparece con una frecuencia mayor. Puede haber más de una: unimodal-bimodal-trimodal-plurimodal 7 11 10 7 2 2 7 11 5 5 7 3 4 5 8 11 8 7 7 ¿Qué valor toma la moda? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) LA MODA: (Cuando los datos están agrupados en intervalos) Clases ni [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 11 13 6 2 1 3 Marca de clase Podemos encontrar: La CLASE MODAL ¿En la representación gráfica? Pero, ¿y si queremos calcular exactamente el valor de la MODA? Mo = Li −1 + d i +1 l d i −1 + d i +1 i ¿Podemos calcularla para DATOS CUALITATIVOS? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 9 EJERCICIO 3: LA MODA Intervalo Frecuencia absoluta [0,5) 6 [5,10) 14 [10,15) 20 [15,20) 10 Calcular el valor exacto de la moda. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) EJERCICIO 4: LA MODA Clases ni [0,0.30) [0.30,0.60) 15 21 [0.60,1.20) 36 [1.20,3.00) 18 [3.00,6.00) 6 [6.00,9.00) 3 Marca de clase Calcular el valor exacto de la moda. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 10 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN(2) LA MEDIANA: (Cuando los datos no están agrupados en intervalos) Es la observación que ocupa el “lugar” central 7 11 10 7 2 2 7 11 5 5 7 3 4 5 8 11 8 7 7 ¿Qué valor toma la mediana? 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Tenemos en cuenta también los que se repiten. 3. La mediana, es el “CENTRO FÍSICO” ¿Cómo cambia el cálculo si N es par o impar? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) LA MEDIANA: (Cuando los datos están agrupados en intervalos) Clases ni [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 13 11 6 2 1 3 Marca de clase Podemos encontrar: El INTERVALO MEDIANO Pero, ¿y si queremos calcular exactamente el valor de la MEDIANA? N Me = Li −1 + 2 − Ni −1 ni li ¿Podemos calcularla para DATOS CUALITATIVOS? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 11 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN(3) LA MEDIA ARITMÉTICA: (Cuando los datos no están agrupados en intervalos) Es el PROMEDIO de los valores de la muestra 7 11 10 7 2 2 7 11 5 5 7 3 4 5 8 11 8 7 7 ¿Qué valor toma la media? 1. Sumamos los datos. 2. Los dividimos por el número total de datos (N). N X = xi ∑ i =1 = N x 1+x 2 + ... + x N N @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) LA MEDIA ARITMÉTICA: (Cuando los datos están agrupados en intervalos) Clases ni [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 13 11 6 2 1 3 Marca de clase El valor de la media con los datos agrupados en intervalos utiliza la marca de clase. ¿Podemos calcularla para DATOS CUALITATIVOS? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 12 La MEDIA ARITMÉTICA para datos agrupados en intervalos es entonces: K X = xi ni ∑ i =1 N , siendo "k" el nº de intervalos MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN(4) LA MEDIA PONDERADA: (Cuando los datos no están agrupados en intervalos) Es el PROMEDIO de los valores de la muestra, dando mayor importancia a unos datos frente a otros Para la calificación final de una asignatura, se tendrán en cuenta: 1. Nota del examen final: 70% 2. Trabajos y ejercicios: 20% 3. Asistencia: 10% Un alumno que tuvo un “6” en el examen final; un “7” en trabajos; y, asistió todos los días a clase, por lo tanto un “10”, ¿cuál será su nota final en la asignatura? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN(5) LOS CUANTILES: (Cuando los datos no están agrupados en intervalos) Nos divide en conjunto de datos en k partes. Si por EJEMPLO tenemos diez datos (N=10), y queremos hacer cuatro partes (k=4), necesitamos tres marcas (c1, c2 y c3) Cuando k=4, se llaman CUARTILES; cuando k=10, DECILES; y cuando k=100, CENTILES. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 13 CÁLCULO DE CUARTILES Tenemos el siguiente conjunto de datos: 47 72 1. 2. 3. 4. 52 72 52 78 57 81 63 81 64 86 69 91 71 Ordenamos los datos de menor a mayor. Calculamos c2 , que ocupa la posición correspondiente a la “mitad”, ¿con qué parámetro visto ya coincide este segundo cuartil? Ahora calculamos, la mitad de la primera parte: c1 . Y la mitad de la segunda parte: c3 Posición de c1 = (N+1)/4 Posición de c2 = 2(N+1)/4 = (N+1)/2 Posición de c3 = 3(N+1)/4 @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) REPRESENTACIÓN GRÁFICA UTILIZANDO LOS CUARTILES “El diagrama de caja” Utilizando el anterior conjunto de datos: 1. Los cálculos: Primer cuartil: 57 Segundo cuartil: 71 Tercer cuartil: 81 Media aritmética: 69,0667 2. Hay datos que pueden provenir de observaciones “mal tomadas”: datos atípicos. Para detectarlas, calculamos: LI=c1-1,5(c3-c1) LS=c3+1,5(c3-c1) Box-and-Whisker Plot 47 57 67 77 87 97 @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 14 EJERCICIO 5: DIAGRAMA DE CAJA 56 59 59 61 67 69 73 76 76 80 83 83 84 90 94 Construir el diagrama de caja para el anterior conjunto de datos. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) EJERCICIO 6: DIAGRAMA DE CAJA 35 45 45 55 57 62 64 64 64 65 73 74 74 76 78 80 82 84 86 92 92 92 93 94 97 112 116 116 123 123 124 128 140 143 173 214 255 277 Construir el diagrama de caja para el anterior conjunto de datos. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 15 MEDIDAS DE DISPERSIÓN (1) LA VARIANZA PRIMER CONJUNTO DE DATOS (Salarios anuales en € de la empresa A) 30700 32500 32900 33800 34100 34500 36000 SEGUNDO CONJUNTO DE DATOS (Salarios anuales en € de la empresa B) 27500 31600 31700 33800 35300 34000 40600 Vamos a calcular: MEDIA y MEDIANA de ambos conjuntos de datos: Observa ahora las representaciones gráficas. Señala media y mediana. ¿Tenemos suficiente información? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) Parece que la diferencia son las DISTANCIAS A LA MEDIA, vamos a calcularlas. x i- X Empresa A Empresa B x i- X 30700 -2800 27500 -6000 32500 -1000 31600 -1900 32900 -600 31700 -1800 33800 300 33800 300 34100 600 34000 500 34500 1000 35300 1800 36000 2500 40600 7100 ¿Cuánto suman nuestras dos nuevas columnas? NUEVA PROPIEDAD: (x i ∑ i N =1 ) −X = 0 ¿Por qué sucede esto? ¿Podemos solucionarlo de alguna manera? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 16 Modificamos nuestro cálculo: Empresa A Empresa B 30700 7840000 27500 36000000 32500 1000000 31600 3610000 32900 360000 31700 3240000 33800 90000 33800 90000 34100 360000 34000 3240000 34500 1000000 35300 250000 36000 6250000 40600 50410000 16900000 96840000 ¿Qué hacemos para poder compararlas? NUEVA DEFINICIÓN: (xi ∑ i N =1 −X ) ¿Qué indica este nuevo parámetro? 2 N = σ2 ¿Qué unidades tiene este nuevo parámetro? ¿Podemos cambiarlas? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) MEDIDAS DE DISPERSIÓN (2) EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN Cuando la media sea distinta de “0”, podemos calcular: CV = Nos permite comparar, porque no tiene unidades. σ X ¿Para qué nos sirve con una única base de datos? EJERCICIO 7: Analizamos el volumen de consultas durante el periodo de exámenes en 10 bibliotecas universitarias, y se comparan con las anotadas el año anterior. El % de incremento de consultas fue: 10.2 2.9 3.1 6.8 5.9 7.3 7.0 8.2 3.7 4.3 ¿Son los datos homogéneos? @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 17 MEDIDAS DE DISPERSIÓN (3) EL RANGO O RECORRIDO Lo calculamos como la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. MEDIDAS DE DISPERSIÓN (4) EL RANGO INTERCUARTÍLICO Lo calculamos como la diferencia entre el tercero y el primero de los cuartiles. EJERCICIO 8: Calcula estas dos medidas para el EJERCICIO 6. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) MEDIDAS DE POSICIÓN (1) ASIMETRÍA Podemos verlo gráficamente: La distribución es simétrica, la media deja por delante el mismo nº de observaciones que por detrás. Asimétrica dcha.: los valores bajos son los más frecuentes. Asimétrica izq.: los valores mayores son los más frecuentes. @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 18 MEDIDAS DE POSICIÓN (2) COEFICIENTES DE ASIMETRÍA Haciendo cálculos: 1. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON: CA = CA=0 CA>0 CA<0 X − Mo σ Simétrica Asimétrica dcha. Asimétrica izq. 2. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER (cuando existe más de una moda): N CA = (xi ∑ i =1 −x) Nσ 3 3 = m3 σ3 @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) MEDIDAS DE POSICIÓN (3) APUNTAMIENTO Podemos verlo gráficamente, comparándola con la curva normal: Un apuntamiento mayor significa una menor dispersión. COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER: N CAP = ∑ (x i =1 −x) CAP = 0 (mesocúrtica) 4 i Nσ 4 −3 CAP > 0 (leptocúrtica) CAP < 0 (platicúrtica) @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 19 EJERCICIO 9: Resumen de todo lo expuesto en los temas anteriores Trabaja con la siguiente base de datos (calificaciones de un grupo de alumn@s): 100 112 88 105 100 102 98 113 102 87 93 93 117 100 98 92 100 117 97 100 83 67 76 100 106 117 89 83 100 109 109 93 105 108 104 63 81 109 100 98 @Blanca Arteaga (Departamento de Estadística) 20