unidad 8 modelo de asignación

UNIDAD 8
MODELO DE ASIGNACIÓN
características de asignación.
método húngaro o de matriz reducida.
Investigación de operaciones
Introducción
U
n caso particular del modelo de transporte es el modelo de
asignación, que tiene como propósito asignar personas u objetos a
tareas de tal forma que se optimice algún objetivo, por ejemplo:
Históricamente el problema de asignación se resolvió utilizando las
mismas técnicas que se utilizaban para el modelo de transporte,
sin embargo, resultaba tedioso hacerlo de esta manera debido a las
características particulares del mismo. A partir del trabajo realizado por
dos matemáticos húngaros, se obtiene un algoritmo eficiente para este
modelo, el cual se conoce como método húngaro.
Iniciamos la unidad planteando el problema general de asignación,
hacemos hincapié en su estructura, como en el caso especial del
modelo de transporte y planteamos algunos problemas tipo. Continuamos
resolviendo el modelo de asignación por el método húngaro. Terminamos
la unidad estudiando algunos problemas de asignación desbalanceados.
8.1. Definición del modelo de asignación
Los problemas de asignación aparecen en varios contextos de la
ingeniería económica, en donde se requiere asignar de manera óptima
objetos o personas “ indivisibles” a ciertas tareas, por ejemplo:
especializados en cada tipo de soldadura existentes (mig, tig,
bajo el agua, eléctrica, oxiacetilénica, etc.). Si no se cuenta
con personal especializado representa un costo extra en gasto
de material. Por lo tanto, se debe asignar a la persona óptima en
cada puesto de trabajo para minimizar costos.
en cada máquina (recta, zigzag, ojales, etc.) para minimizar tiempos
de producción.
grupo, pensando en optimizar los espacios disponibles.
309
Unidad 8
El problema clásico de asignación consiste en asignar n objetos o
personas indivisibles a m tareas de una manera óptima.
Las propiedades que debe cumplir un conflicto para formularse como
un problema de asignación son las siguientes:
Cij de asignación de la persona i a la tarea j.
totales.
8.1.1. Construcción del modelo de asignación
Las variables que se utilizan en el modelo de asignación son variables
binarias, es decir, variables que sólo pueden tomar los valores 0 o 1.
Matemáticamente se escribe:
xij
1 si el asignado i realiza la tarea j
0 en caso contrario
para i=1, 2,... n j=1, 2, 3,... n
El costo total de la asignación es igual a la suma de los productos de
cada variable xij por el costo asignado Cij
n
n
Zmín
Cij xij
i 1 j 1
En las restricciones se asigna una persona a cada una de las tareas y cada
tarea debe ser realizada por una persona. Esto lo representamos como:
n
xij
1 para i 1, 2,... n
xij
1 para j 1, 2,... n
j 1
n
i 1
El modelo completo de asignación se obtiene al añadi r la restricción de
no negatividad y la de variables binarias:
310
Investigación de operaciones
n
Zmín
i 1
n
j 1
Cij xij
Sujeto a:
n
xij
1 para i 1, 2,... n
xij
1 para j 1, 2,... n
j 1
n
i 1
xij binarias para toda i y j
xij
0
Vemos que el modelo de asignación es muy parecido al modelo de
transporte, la diferencia radica en que las variables del modelo de
asignación son binarias, mientras que en el modelo de transporte las
variables son enteras. Entonces podemos tomar el modelo de asignación
como un problema de transporte donde cada una de las personas es el
origen y cada una de las tareas son los destinos. La oferta y demanda son
igual a uno, es decir, cada origen tiene una sola persona y cada destino
necesita sólo una persona. Los costos de capacitación representan el
costo de transportar una unidad del origen i al destino j. Por lo tanto,
el objetivo es encontrar la combinación que minimice los costos de
asignación y cumpliendo las restricciones de oferta y demanda.
Al f inal de la unidad veremos problemas que aunque no cumplen la
primera propiedad pueden formularse como problemas de asignación.
Ejemplo 1
Una empresa contrata a cuatro personas para cubrir los siguientes
puestos: supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de
producción, supervisor de materia prima.
A cada uno se aplica un examen de aptitudes para determinar sus
habilidades. A partir del resultado de los exámenes se determina el costo
que tiene su capacitación para cada uno de los puestos. Los costos se
presentan en la siguiente tabla.
311
Unidad 8
Si se desea conocer la asignación de menor costo para la empresa,
obtener la tabla inicial asociada al problema.
La tabla inicial asociada al problema es:
Ejemplo 2
Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cómputo
adquirió seis máquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide
una prórroga de un mes para que le entreguen las máquinas. La empresa
tiene que almacenar las seis máquinas durante este tiempo, se cotizan los
precios de seis bodegas que pueden almacenar las máquinas, los costos
se muestran en la siguiente tabla.
312
Investigación de operaciones
Nuevamente podemos ver este problema como un modelo de transporte,
donde los orígenes son las máquinas, los destinos son las bodegas y el
costo Cij es el costo de almacenaje. La oferta de cada uno de los orígenes
es uno, mientras que la demanda de cada uno de los destinos también es
uno. Nuevamente, las variables sólo pueden tomar el valor cero o uno. La
tabla inicial de este problema es:
Ejercicio 1
1. El objetivo en el problema de asignación es ________________ los
costos.
2. Las variables en el problema de asignación son _______________.
3. Una persona debe ser asignada a ________tarea.
4. El número de tareas y el número de personas por asignar deben ser
_____________.
5. Construir la tabla inicial del siguiente problema de asignación.
Se abrirán 3 centros de cómputo en diferentes ciudades de la República
Mexicana, por lo que se lanza una convocatoria para que se presenten
propuestas. Tres empresas interesadas hacen las siguientes ofertas:
Empresa 1: $ 3 000, $ 5 000 y $ 8 000 por cada uno de los centros.
Empresa 2: $ 4 000, $ 6 000 y $ 9 000 por cada uno de los centros.
Empresa 3: $ 3 500, $ 5 000 y $ 7 000 por cada uno de los centros.
Se desea asignar de manera óptima cada uno de los proyectos a cada una
de las empresas.
313
Unidad 8
8.2. Método húngaro o de matriz reducida
Una vez que obtenemos el modelo de un problema de asignación, es
conveniente desarrollar un procedimiento que nos permita hallar la
solución óptima del mismo. Dos matemáticos húngaros desarrollaron
un algoritmo ef iciente para el problema de asignación llamado método
de matriz reducida o método húngaro, en honor a sus creadores. A
continuación describimos el algoritmo.
Algoritmo general
1. Se construye una tabla de n+1 por n+1, la primera columna se utiliza
para colocar las etiquetas de los candidatos a asignar, mientras que la
primera fila se utiliza para colocar las etiquetas de las tareas. En las
intersecciones se escribe el costo de asignación asociado.
2. Se identifica el costo menor de cada una de las filas y se resta a los
costos de la misma fila (o renglón).
3. Para la matriz que resulte del punto anterior, se identifica el costo
menor por columna y se resta a los costos de la misma columna.
4. Se buscan los llamados ceros de asignación que son únicos en
su renglón y su columna, de manera que si existen dos o más ceros
en un solo renglón o en una sola columna, éstos se marcan con dos
líneas cruzadas. Los ceros de asignación generan la solución óptima del
problema. La posición de los ceros de asignación indican la tarea que
corresponde a cada persona. Cuando el número de ceros de asignación
sea igual al número de columnas (o filas) hemos llegado a la solución
óptima. Termina, si no, seguir con el algoritmo.
5. Si no es posible obtener todos los ceros de asignación con el proceso
anterior, entonces se procede como sigue:
a) Trazamos el menor número de líneas rectas horizontales y verticales,
de tal manera que se cubran todas las entradas con un cero.
b) Seleccionamos el costo menor no cubierto por línea de alguna de
las rectas trazadas en el inciso anterior y se lo restamos al resto de las
entradas no cubiertas.
314
Investigación de operaciones
c) Se suma a los elementos que se encuentren en el cruce de dos líneas el
elemento menor seleccionado del i nciso anterior.
d) Los elementos cruzados por una sola línea se copian en la nueva
tabla.
e) Regresa al paso 4.
Ejemplo 3
Hallar la solución óptima del siguiente problema de asignación:
Una empresa compra 3 i mpresoras, una de inyección de tinta, una de
punto matriz y una láser. Las impresoras se deben asignar a los siguientes
departamentos: recursos humanos, facturación y di rección. Debido a la
frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de impresora se tiene
un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:
Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:
Paso 2. El costo menor de cada una de las f ilas es 5, 4 y 4
respectivamente. Al restar 5 a los elementos de la primer f ila, restar 4 a
los de la segunda y 4 a los de la tercera, obtenemos:
315
Unidad 8
Paso 3. El costo menor de cada una de las columnas es 0, 0 y 2
respectivamente. Al restar en su columna respectiva obtenemos:
Paso 4. Buscamos los ceros de asignación. En este caso, la entrada (1, 1)
tiene asignado un cero, por lo tanto la impresora de inyección de tinta
va al departamento de recursos humanos. La celda (2, 2) tiene un
cero de asignación, por lo tanto, la impresora de punto matriz va al
departamento de facturación. La celda (3, 3) tiene un cero de asignación,
por lo tanto, la impresora láser va a la dirección. El costo total mínimo
de esta asignación es: 5 + 4 + 6 = $ 15.
Una manera de identificar si se puede realizar una asignación óptima
es: “ si al per mutar las filas podemos hacer que la diagonal principal de
la tabla tenga entradas cero” .
316
Investigación de operaciones
Ejemplo 4
Retomando el ejemplo 1, cuya tabla de costos es:
Obtener la asignación de menor costo para la empresa.
Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:
Paso 2. El costo menor de cada una de las filas es 100, 300, 250 y
150 respectivamente. Al restar el costo mínimo de cada una de las filas
correspondientes obtenemos:
Paso 3. El costo menor por columna de esta nueva tabla es 50, 0, 0 y 0.
Al restar este costo mínimo a cada una de las columnas correspondientes
obtenemos:
317
Unidad 8
Paso 4. Para verif icar si es posible realizar una asignación factible
óptima, intercambiamos las filas para ver si es posible obtener entradas
ceros en la diagonal principal.
Intercambiamos la fila cuatro por la f ila uno y obtenemos la siguiente
tabla:
El método asegura que la asignación óptima es: La persona 4 super visa
el departamento de acabado, la persona 2 al departamento de empaque,
la persona tres al departamento de producción y la persona uno al
departamento de materia prima, con un costo mínimo de $ 850.
Ejemplo 5
Se necesitan hacer trabajos de jardinería, pintura y plomería en una casa.
Se pide a Juan, Pedro y Luis que realicen un presupuesto sobre cada uno
de los trabajos de manera independiente. A continuación se muestra el
costo que presentaron para las diferentes tareas.
318
Investigación de operaciones
Debemos asignar una tarea a cada uno de ellos, de tal manera que se
minimice el costo total.
Paso 1. La tabla inicial es:
Paso 2. Los costos mínimos de cada una de las filas son 15, 25 y 18
respectivamente. Al restar cada uno de ellos a cada una de las f ilas
respectivas obtenemos:
Paso 3. Los costos mínimos de esta nueva tabla por columna son 0, 0 y
3. Al restar cada uno de estos valores a la columna respectiva obtenemos
la siguiente tabla:
Paso 4. La celda (1, 2) y la (2, 2) tienen cero, pero no es cero de
asignación por no ser único en su columna. La celda (3, 1) tiene un cero,
pero no es de asignación. La celda (3, 3) tiene un cero pero tampoco es
de asignación ya que no es único en su renglón.
Aunque permutemos las f ilas no es posible colocar ceros en la diagonal
principal, como fue el caso del ejemplo 1, por lo tanto continuamos con
el algoritmo:
319
Unidad 8
Trazamos el menor número de líneas rectas que cubran todas las celdas
con entradas cero
a) El costo menor no cubierto es $ 2, que se resta de las entradas no
cubiertas por línea alguna:
b) Le sumamos el costo menor $ 2 a las celdas donde se intersectan dos
rectas:
c) La tabla que obtenemos es:
Regresamos al paso 4.
Paso 4. Si intercambiamos la fila tres con la f ila uno, obtenemos los
ceros de asignación en la diagonal principal:
320
Investigación de operaciones
Como el número de ceros de asignación es igual al número de columnas
(filas), por lo tanto la asignación óptima es:
A Luis el trabajo de jardinería con un costo de $ 18, a Pedro el trabajo
de pintura con un costo de $ 25 y a Juan el trabajo de plomería con un
costo de $ 20. El costo total mínimo es de $ 63.
Ejemplo 6
Hallar la solución óptima del problema del ejemplo 3, pero con la
condición de que Juan no realiza trabajos de plomería.
Paso 1. La tabla inicial del modelo es:
Paso 2. Los costos mínimos por fila son 15, 25 y 18, se restan a los
valores en la f ila correspondiente:
321
Unidad 8
Paso 3. Los costos mínimos por columna son 0, 0 y 12, se restan a los
valores de su columna correspondiente:
Paso 4. Se buscan los ceros de asignación. En la celda (2, 1) se tiene un
cero de asignación ya que es único en su fila y columna. Si en la celda
(1, 2) elegimos el cero como de asignación entonces el cero de su misma
columna se anula y por tanto el cero en la celda (3, 3) también será de
asignación. Concluimos que:
Pedro realiza el trabajo de jardinería, Juan el de pintura y Luis el de
plomería con un costo mínimo de $ 25 + $ 15 + $ 30 = $ 70.
Ejercicio 2
1. El método de matriz reducida fue desarrollado por dos matemáticos:
a) Ingleses.
b) Rusos.
c) Estadounidenses.
d) Húngaros.
2. El tamaño de la tabla inicial del método de matriz reducida es de:
a) m n
b) n m
c) n n
d) n–1 n–1
322
Investigación de operaciones
3. Para comenzar el algoritmo se selecciona el costo _______________por
f ila y se resta del resto de las entradas de la f ila.
4. Para poder llevar acabo una asignación óptima, debemos escribir la
matriz reducida con ____________en la diagonal principal.
5. Si no es posible realizar una asignación óptima, debemos trazar el
_____________número de líneas posibles que cubran todas las celdas con
entrada cero.
6. Una empresa compra 3 computadoras, una Pentium I, una Pentium II
y una Pentium III. Las computadoras se deben asignar a los siguientes
departamentos: recursos humanos, facturación y di rección. Debido a la
frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de computadora se
tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:
Hallar la asignación óptima y el costo mínimo.
8.3. Algoritmo de solución
Una vez que aprendimos a utilizar el método húngaro para la solución de
problemas de asignación, es importarte que ahora estudiemos el porqué
funciona.
En la primera sección de la unidad encontramos que el modelo de P. L.
de asignación es el siguiente:
n
Zmín
i 1
n
j 1
Cij xij
323
Unidad 8
Sujeto a:
n
xij
1 para i 1, 2,... n
xij
1 para j 1, 2,... n
j 1
n
i 1
xij binarias para toda i y j
xij
0
Vamos a demostrar que la solución óptima de este modelo permanece
sin cambios si se suma o resta una constante a cualquier fila o columna
de la matriz de costos.
Supongamos que la matriz de costos es la siguiente:
Sea pi el costo menor de cada f ila, al restar esta cantidad de cada f ila nos
queda un nuevo costo, dado por: C’ ij = Cij – pi
La tabla actualizada es:
Sea qj el costo menor por columna de la tabla anterior, al restar esta
cantidad de cada columna nos queda un nuevo costo, dado por:
C’’ ij = Cij – pi –qj . La tabla actualizada es:
324
Investigación de operaciones
Ahora calculemos la función objetivo, en término de estos nuevos
costos:
Z=(C11–p1–q1)x11+(C12–p1–q2)x12+(C21–p2–q1)x21+(C22–p2–q2)x22
Realizando algunos cambios algebraicos, podemos llegar a la siguiente
expresión equivalente:
Z=C11x11+ C12x12+ C21x21+ C22x22–(p1+q1) x11–( p1+q2)x12–(p2+q1)x21
–( p2+q2)x22
Esta expresión la podemos rescribir como:
n
n
n
Z
n
Cij xij
( pi
i 1 j 1
q j ) xij
i 1 j 1
Por restricciones del problema de asignación, sólo una de las variables
de cada fila puede ser igual a uno y el resto debe ser igual a cero, por lo
tanto, la suma del segundo térmi no es:
n
n
n
( pi
n
q j ) xij
pi
qj
i 1
i 1 j 1
j 1
Finalmente la f unción objetivo la podemos escribir como:
n
Cij xij
i 1 j 1
pi
i 1
n
n
n
n
Z
n
qj
j 1
Cij xij
constante
i i j 1
Debido a que esta función objetivo dif iere de la original por sólo una
constante, ambas deben tener los mismos valores de xij , por lo tanto
tienen la misma solución. Con esto demostramos que los pasos realizados
en el algoritmo húngaro son válidos.
325
Unidad 8
Ejemplo 7
Una empresa compra 3 compresoras de diferentes capacidades, una
grande, una mediana y una chica. Las compresoras se deben asignar a
los siguientes departamentos: pintura de interiores, pi ntura de exteriores
y pintura de detalle. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento
y al tipo de compresora se tiene un costo de asignación, el cual se
muestra en la siguiente tabla:
Obtener la asignación de compresoras a los diferentes departamentos de
tal manera que se minimicen los costos.
Paso 1. Al resolver el modelo, obtenemos la tabla inicial:
Paso 2. Las cantidades mínimas de cada fila son 10, 2 y 5 respectivamente,
se restan a cada valor en la fila correspondiente:
326
Investigación de operaciones
Paso 3. Las cantidades mínimas por columna son 0, 0 y 2 respectivamente,
se restan a cada valor en la columna correspondiente:
Paso 4. Los ceros de asignación están en la diagonal principal de la
tabla, por tanto, la solución óptima del problema es: la compresora
grande a pintura de exteriores, la compresora mediana a pintura de
interiores y la compresora chica a pintura de detalle (solución óptima:
x11=1, x22=1, x33=1) con un costo mínimo de asignación de Z=$ 19.
Ahora, si los costos se incrementan en 10% la tabla con los nuevos costos
es:
Al resolver obtenemos:
Paso 2. Los costos menores por f ila son 11, 2.20 y 5.50, respectivamente,
se restan de los costos en su f ila correspondiente:
327
Unidad 8
Paso 3. Los costos menores por columna son 0, 0 y 2.20, respectivamente,
se restan de los costos en su columna correspondiente:
La solución óptima del problema es: x11=1, x22=1, x33=1 con un costo
mínimo de asignación de Z=$ 20.90. Obser vamos que la solución es la
misma, es decir, tenemos las mismas variables con valor uno, lo único
que cambia es el valor de Z, el cual se incrementa en $ 1.90.
8.4. Problemas no balanceados
La primera condición que debe cumplir un problema de asignación es
que el número de personas a asignar sea igual al número de tareas, sin
embargo, en ocasiones algunos problemas no lo cumplen. En esta sección
vamos a aprender cómo podemos modificar este tipo de problemas para
aplicar el algoritmo de asignación.
Ejemplo 8
Una empresa de transportes tiene cuatro diferentes modelos de camiones.
Dependiendo de la pericia del conductor para manejar los cambios de la
caja de velocidades, el camión consume más o menos combustible. En
la actualidad la planta cuenta con tres conductores. Los costos por uso
adicional de combustible se muestran en la siguiente tabla:
328
Investigación de operaciones
Hallar la asignación que minimiza los costos de combustible adicional.
El problema tiene tres personas para asignar, pero el número de tareas
(camiones) es de cuatro, por lo tanto tenemos un problema no balanceado.
Para poder utilizar el método húngaro, lo primero que debemos hacer es
balancear el problema. Para hacerlo debemos agregar un conductor ficticio,
el costo para este conductor en todos los casos es cero, para que de esta
manera no afecte el resultado de la función objetivo. Al agregar un nuevo
conductor, la tabla inicial del problema queda de la siguiente forma:
Ahora aplicamos el método húngaro.
Paso 1. La tabla inicial del modelo es:
Paso 2. Los costos mínimos por f ila son 150, 250, 100, 0, respectivamente,
al restar este valor de cada una de las f ilas obtenemos la siguiente tabla:
329
Unidad 8
Paso 3. El paso tres no es necesario, debido a que todas las columnas
contienen al menos un cero que proviene de la fila de la persona ficticia.
Paso 4. Intercambiamos las filas 1 con la 2 y la 3 con la 4 para obtener
los ceros de asignación en la diagonal principal:
La asignación óptima es:
El conductor 2 al camión 1, el conductor 1 al camión 2 y el conductor
3 al camión 4. La asignación del conductor 4 al camión 3 no es posible,
debido a que el conductor 4 es ficticio, por lo tanto, el camión 3 es el
que no se ocupa. El costo mínimo es de $ 500.
Ejemplo 9
En un centro de cómputo se tienen tres lugares libres, el de programador,
el de analista y el de supervisor. La empresa tiene a cuatro candidatos
para ocupar los puestos; el salario de cada uno de ellos depende del
puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se resume esta
información.
Candidato 1
Candidato 2
Candidato 3
Candidato 4
Programador
$ 11 800
$ 12 500
$ 20 000
$ 18 000
Analista
$ 15 000
$ 13 000
$ 18 000
$ 17 000
Supervisor
$ 20 000
$ 14 400
$ 23 000
$ 16 000
En este caso, tenemos cuatro personas para tres tareas, por lo tanto el
problema es desbalanceado. Tenemos que agregar un puesto ficticio para
balancear el problema, con un costo de cero para todos los candidatos:
330
Investigación de operaciones
Utilizamos el método húngaro.
Paso 1. La tabla inicial es:
Paso 2. Este paso no tiene ningún sentido aplicarlo, porque el costo
menor por fila es cero, por lo tanto la tabla queda igual al paso uno.
Paso 3. Las cantidades mínimas por columna son 11 800, 13 000,
14 400, 0, respectivamente, se restan a cada valor en la columna
correspondiente:
331
Unidad 8
Paso 4. No es posible obtener la matriz con ceros en la diagonal,
sólo tenemos 3 ceros de asignación y existen 4 columnas, por lo tanto
debemos continuar con el algoritmo.
Paso 5. a)
b) El costo menor no tachado es 1 600, lo restamos al resto de las
entradas libres.
c) Sumamos el costo menor (1 600) a las celdas donde se intersectan dos
rectas.
Regresamos al paso 4.
Paso 4. Buscamos los ceros de asignación:
332
Investigación de operaciones
Intercambiamos la fila 3 por la 4.
Por lo tanto la asignación óptima es candidato 1 a programador,
candidato 2 a analista y candidato 4 a supervisor. El candidato 3 no se
emplea. El costo de esta asignación es $ 40 800.
Ejercicio 3
1. Decimos que un problema de asignación es no balanceado si el número
de personas a asignar y el número de tareas a ocupar son:
a) Diferentes.
b) Positivas.
c) Negativas.
d) Iguales.
2. Si tenemos una tarea más que personas para asignar debemos crear:
a) Una tarea ficticia.
b) Una persona f icticia.
c) Dos tareas f icticias.
d) Asignar dos personas a una tarea.
333
Unidad 8
3. El costo de asignación para una columna ficticia debe ser igual a:
a) 10
b) 5
c) 0
d) Negativa.
4. En un laboratorio farmacéutico se tienen tres puestos libres, el de
control de calidad, el de producción y el de supervisor. La empresa tiene
a cuatro candidatos para ocupar los puestos. El salario de cada uno de
ellos depende del puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se
resume esta información.
Hallar la asignación que optimiza los recursos.
Ejercicios propuestos
Resolver el siguiente problema de asignación:
1. Los tres hijos del sr. Rodrigo Uribe: Miguel, Pedro y Luis quieren
obtener recursos para asistir a una f iesta. Su padre les ofrece pagarles
si realizan algunas mejoras a su automóvil. Las mejoras posibles son:
lavar el exterior, lavar el interior y cambiar el aceite. Las reglas son que
cada uno sólo puede realizar una tarea y cada uno debe hacer una oferta
secreta de cuánto cobraría por cada una de las tareas. En la siguiente
tabla se muestran estos costos.
334
Investigación de operaciones
Hallar la asignación óptima.
2. Resolver el problema de asignación, cuya matriz de costos se muestra
a continuación.
3. En un centro de cómputo se tienen tres lugares libres, el de
programador, el de analista y el de supervisor. La empresa tiene a cuatro
candidatos para ocupar los puestos; el salario de cada uno de ellos
depende del puesto en donde se les coloque. En la siguiente tabla se
resume esta información:
Además el candidato 1 no puede ocupar el puesto de analista y el
candidato 3 no puede ocupar el puesto de programador. Hallar la
asignación óptima y el costo total mínimo.
335
Unidad 8
Autoevaluación
1. El problema de asignación balanceado tiene n fuentes y:
a) n+1 destinos.
b) n destinos.
c) n–1 destinos.
d) n–2 desti nos.
2. El método óptimo para resolver problemas de asignación es:
a) Símplex.
b) Símplex dual.
c) Modi.
d) Húngaro.
3. Las variables en el modelo de asignación son:
a) Fraccionarias.
b) Negativas.
c) No restringidas.
d) Binarias.
4. El objetivo del modelo de asignación es:
a) Minimizar costos.
b) Maximizar costos.
c) Minimizar ganancias.
d) Minimizar utilidades.
5. El paso 2 del método húngaro consiste en restar el costo menor de cada
f ila al resto de los elementos de:
a) La columna.
b) De toda la matriz.
c) De la diagonal.
d) La misma fila.
336
Investigación de operaciones
6. Si no es posible obtener una asignación factible, debemos trazar el
menor número de rectas que cubran todas las entradas con valor:
a) Cero.
b) Negativo.
c) Positivo.
d) Mayor a 5.
7. La solución óptima del siguiente problema de asignación es:
a) x12=1, x21=1, x33=1
b) x13=1, x21=1, x33=1
c) x11=1, x22=1, x33=1
d) x12=1, x33=1, x31=1
8. El costo de la asignación óptima del siguiente problema es:
a) $ 630
b) $ 520
c) $ 360
d) $ 620
337
Unidad 8
9. El costo de la asignación óptima del siguiente problema es:
a) $ 630
b) $ 520
c) $ 640
d) $ 620
10. El número de variables disti ntas de cero en un problema balanceado
de asignación es:
a) n+1
b) n
c) n+m–1
d) 2n–1
338
Investigación de operaciones
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. Minimizar.
2. Binarias.
3. Una.
4. Iguales.
5.
Ejercicio 2
1. d)
2. a)
3. Menor.
4. Ceros.
5. Menor.
6. x11=1, x22=1, x33=1 con Zmín=15
Ejercicio 3
1. a)
2. b)
3. c)
4. x11=1, x22=1, x43=1 Zmín=$ 41 400
339
Unidad 8
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. x12=1, x21=1, x33=1 Zmín=$ 27
2. x11=1, x23=1, x32=1, x44=1 Zmín=$ 21
3. x11=1, x22=1, x43=1 Zmín= $ 41 800
Respuestas a la autoevaluación
1. b)
2. d)
3. d)
4. a)
5. d)
6. a)
7. c)
8. a)
9. c)
10. b)
340