U1 Problemas 9_10_11 explicados

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UNIDAD 1: PROBLEMAS 9, 10 Y 11 EXPLICADOS
UNIDAD 1
Problema 9 parcialmente explicado
9)Una carga q1 = 5 C está ubicada a 3 cm de otra carga q2 = 3C.
a) Hallar la fuerza electrostática que se ejerce sobre una carga de prueba q 0 = 1 nC, ubicada a 4cm de q1 y a
5cm de q2
b)¿Cuál es el campo que generan q1 y q2 en el punto donde se ubica q0?
c) Suponiendo que q1 esté ubicada en el origen de coordenadas y q2 sobre el eje x, hallar la expresión del
campo E(x,y) en cualquier punto (x,y) del plano donde están ubicadas las cargas.
c) Dibujar cualitativamente las líneas del campo eléctrico en el plano xy producido por las dos cargas q1 y q2.
Comenzamos por adoptar un sistema de referencia en el cual la carga q1 está ubicada en el origen de coordenadas
y la carga q2 en el punto del eje x de coordenadas (0,03 cm; 0, 0). La carga de prueba qo debe estar ubicada en el
vértice del triángulo cuyos vértices están ocupados por las tres cargas. Dicho triángulo necesariamente debe ser
un triángulo rectángulo ya que sus lados miden 3, 4 y 5 centímetros. Por lo tanto la carga de prueba debe estar
ubicada en el punto (0; 0,04; 0). Esto se puede apreciar en la figura.
En la misma figura hemos indicado la
posición de un punto P de coordenadas (x,
y) para el que calcularemos el campo
eléctrico que se pide en el ítem (c)
a) La fuerza que actúa sobre qo es la suma
vectorial de la fuerza que la carga q1 ejerce
sobre qo y la fuerza que la carga q2 ejerce
sobre qo (Principio de superposición)
Como tanto qo como q1 son ambas
positivas se repelen entre sí y entonces la
fuerza F1 tiene la dirección del eje y. Su
sentido es hacia las y positivas.
Como q2 es negativa, atrae a qo Ambas
fuerzas se pueden determinar aplicando la
ley de Coulomb. El cálculo de la fuerza que
ejerce la carga q1 es bastante sencillo.

F1 
6
9
2
q1qo ˆ
9 Nm 5  10 C  1  10 C ˆ
j

9

10
J  0,028125N ˆj
4 o r102
C2
(0,04 m) 2
1
El cálculo de la fuerza que ejerce la carga q2 es más complicado ya que esta fuerza tiene componentes tanto en el
eje x como en el eje y.

F2 
q 2 qo
4 o r202
1
 3ˆ 4
 i 
5
 5
6
9
2
ˆj   9  109 Nm  3  10 C  1 10 C   3 iˆ  4
5
C2
(0,05m) 2

 5
ˆj   0,0108 N   3 iˆ  4
5

 5
En esta expresión el paréntesis es el versor que indica la dirección de la recta que une ambas cargas y el sentido
que señala desde la carga q2 hacia la carga qo.
Haciendo las cuentas se obtiene:

F2  0,00648N iˆ  0,00864N ˆj
Por último falta sumar ambas fuerzas para obtener la fuerza total que actúa sobre qo :

F  0,00648N iˆ  0,019485ˆj

F  0,02 N
b) El campo eléctrico en el punto (0; 4 cm; 0) se obtiene aplicando la definición. Es decir dividiendo la fuerza
calculada en (a) por el valor de la carga de prueba qo
ˆj 

2
c) Para hallar la expresión general del campo para un punto de coordenadas (x, y) elegimos un punto P cualquiera.
Calculamos el campo que provoca la carga q1 en dicho punto, luego calculamos el campo en el mismo punto
produce la carga q2 y finalmente sumando ambos vectores obtenemos el campo eléctrico total en P.




E1 

x

iˆ 
2
2

2
2
4 o x  y
 x y

E2 

xd
y

iˆ 
2
2

2
2
4 o ( x  d )  y
(x  d )2  y 2
 (x  d )  y
1
q1
1
y
x2  y2

ˆj 


q2

ˆj 


c) Para trazar las líneas de campo eléctrico es necesario recordar sus propiedades:
El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo
La líneas de campo se originan en las cargas positivas ( o provienen del infinito) y finalizan en las cargas
negativas (o se dirigen hacia el infinito)
La cantidad de líneas de campo que salen de una carga positiva (o que llegan a una carga negativa) es
proporcional al valor de la carga.
La última propiedad nos indica que en este caso la cantidad de líneas de campo que salen de q 1 es mayor que la
cantidad de líneas de campo que llegan a q2. Por cada 5 líneas que salen de q1 llegan 3 líneas a q2. y las 2
restantes se dirigen hacia el infinito.
Según la primera de las propiedades deberíamos calcular el campo en una gran cantidad de puntos del plano xy y
luego trazar líneas para las cuales dichos vectores fueran tangentes.
Si quisiéramos realizar una determinación precisa en forma analítica de las líneas de campo deberíamos hallar una
familia de expresiones y = y (x) . Esto se puede hacer sabiendo que estas curvas deben satisfacer una serie de
condiciones. En primer lugar
dy Ey( x, y )

dx Ex( x, y )
Esta expresión es una ecuación diferencial cuya solución es una familia de curvas y = y (x)
Otra condiciones que deben cumplir ciertas curvas de dicha familia es que deben pasar por los puntos (0;0;0) y
(3cm; 0;0).
Habrá curvas que pasan por (0;0;0) pero que no tienen fin.
Si queremos visualizar en forma rápida la forma de estas curvas podemos ir al sitio
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/cElectrico.html#Campo%20eléctrico%20de%20un%
20sistema%20de%20dos%20cargas%20eléctricas
Allí encontraremos una aplicación (“Applet”) que nos permite asignarle valores a las cargas. Lo que no podemos
hacer es modificar la distancia entre ellas. El programa dibujará las líneas de campo en color blanco y otra familia
de curvas en color verde que se denominan equipotenciales y que estudiaremos en la Unidad 3.
Otro applet que nos permite más libertad de eyección de variables se puede halla en el sitio
http://www.its.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
La desventaja de este otro programa es que no tiene sistema de coordenadas.
3
Unidad 1
Problema 10 explicado
10)Un varilla delgada de longitud L está ubicada sobre el eje x. Está cargada unifomemente con una densidad
lineal de carga (carga por unidad de longitud). Determinar el campo eléctrico en un punto del eje x ubicado
a una distancia d de uno de los extremos de la varilla.
En el esquema adjunto se muestra la
varilla ubicada sobre el eje x con su
centro coincidiendo con el origen de
coordenadas. Nuestro problema es
determinar el campo eléctrico en un
punto ubicado en el eje x a una
distancia d de uno de los extremos de
la varilla.
La carga de la varilla está dada
 L  L 



varilla. Si la densidad de carga dependiera de x, es decir si =(X), entonces  quedaría dentro del integrando.
por Q 

L
2
L
2
L
 dx    L2 dx           L ya que la densidad de carga es constante a lo largo de la

2
2
2
A partir de la ley de Coulomb y de la definición de campo eléctrico podemos calcular el campo eléctrico en un
punto del espacio provocado por una carga puntual:

E
q
rˆ
4 o r 2
1
Si la carga puntual está ubicada sobre el eje x y deseamos calcular el campo en un punto del mismo eje, la expresión
anterior nos queda:

E
q
iˆ
4 o ( x  x`) 2
1
En esta expresión x es la posición del punto en el que se desea calcular el campo (punto “campo”) y x` es la
posición en la que está ubicada la carga puntual q (punto “fuente”).
Antes de resolver completamente el problema de la varilla, vamos a resolver un problema que en cierta forma es
análogo, pero que posiblemente nos ayude a entender mejor la integración que reañlizaremos después.
_________ . ___________
Supongamos que en lugar de la varilla continua tuviéramos cuatro cargas puntuales cada una de valor Q/4 ubicadas
como se indica en la siguiente figura.
¿Cómo calcularíamos el campo en el
punto P?
Debemos calcular el campo que
produce cada carga en el punto P y
luego realizar la suma vectorial de
estos cuatro vectores. Es decir,
podemos aplicar el principio de
superposición1.
Está claro que esta distribución de
cuatro cargas puntuales no es
equivalente a la varilla, pero si la varilla
la dividimos en cuatro segmentos
iguales y a cada uno de ellos lo
consideramos como una carga puntual,
obtenemos esta distribución y
Si el “efecto” (el campo) es una función lineal de la “causa” (la carga) el campo producido por varias cargas se puede calcular
sumando (vectorialmente, ya que el campo es una magnitud vectorial) los campos producidos por cada una de las cargas
individualmente.
1
4
podemos esperar que el valor del campo en P calculado de este modo se aproxime al correcto.
Determinemos los cuatro vectores:

E1 
1
Q
iˆ
2
4 o 
7 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
3 
4 d  L 
8 


E2

1
Q
2
4 o 
5 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
1 
4 d  L 
8 

iˆ
Aplicando el principio de superposición obtenemos:

1 Q 4
1
E
iˆ

2
4 o 4 k 1 
2k  1 
L
d 
8


_________ . ___________
Este resultado se puede mejorar si consideramos a la varilla formada por N cargas puntuales. Si N  cada carga
puntual es ahora una fracción infinitesimal de la carga Q, que denominamos dq y la sumatoria se transforma en una
integral:

E
1
4 o
L/2
dq
 x  x`
2
L
iˆ 
2
1
4 o
L/2
 dx` ˆ
i
 x  x`
2
L
2
Es importante observar que la variable de integración es x` es decir la posición de cada carga “puntual” dq y la
integral se extiende a toda la región donde hay carga: la porción del eje x entre –L/2 y L/2 (la varilla).
En la integral x es una constante igual a (d+ L/2), la posición del punto P.
Resolución de la integral:
u  x  x`

E

E
1
4 o

4 o
du  dx`
L/2
dq
 x  x`
L
2
2
iˆ 
 u 1  1
 du
2

 


u
du


 u2

 1  u

4 o
L/2
dx`
 x  x`
L
2
iˆ 
2

4 o
  1 
1
iˆ 
iˆ
u 
4 o  x  x`  L / s
  L / s
L/2
L/2


 1
1 ˆ

L

i
iˆ


L
L
4

d
(
d

L
)
o
x 
x 
2
2 

Analicemos la expresión obtenida. Vemos que el campo en el punto P depende de la carga total de la varilla Q =
L. También depende de la distancia d. Cuanto mayor sea esta distancia el campo es más débil.

En particular si d >> L podemos considerar que d+L  d , entonces: E 
1
Q ˆ
i
4 o d 2
Es decir, si el punto en el cual evaluamos el campo está muy lejos de la varilla, d >> L, entonces la fórmula
coincide con el caso de una carga puntual Q ubicada a una distancia d del punto P. Dicho de manera muy imprecisa:
desde un punto P ubicado muy lejos, la varilla de longitud L “se ve” como un punto….
5
Para pensar…
1) ¿Se puede verificar en qué grado la expresión de la sumatoria se aproxima al valor exacto obtenido por
integración?
2) ¿Se puede demostrar que el límite de la sumatoria para N  coincide con la expresión hallada por
integración?
3) Si hubiéramos ubicado a la varilla en otra posición o, dicho de otro modo, hubiéramos elegido otro sistema de
referencia, ¿obtendríamos el mismo resultado? Por ejemplo si la varilla se ubica entre x = 0 y x = L, ¿cambia el
resultado?
4) Si la densidad de carga no fuera uniforme2, es decir si  = (x), ¿qué tendríamos que cambiar en nuestra
deducción?
5) ¿Cómo debemos proceder para calcular el campo eléctrico en puntos del eje y? ¿Qué dirección tendrá el campo
eléctrico en este caso?( con  uniforme)
6) Determinar el campo para puntos del eje y en el caso en que  = ax donde a es una constante. ¿Cuánto vale la
carga total de la varilla en este caso?
7) A partir de la expresión hallada en (6), encontrar una expresión aproximada para el caso en que d >> L (En
este caso d = y)
Ayudas…
1) Para evitar el cálculo algebraico que puede resultar muy engorroso se puede probar con valores. Por ejemplo si
L = 0,80 m y d = 5 m calcular el resultado de la sumatoria y comparar con el resultado obtenido por cálculo
integral.
2) Lo que habría que hacer es

E
Q N
1
iˆ

2
4 o N  N k 1 
2k  1 
L
d 
8


1
lím
y debería dar igual a


L
E
iˆ con la condición Q   L
4 o d (d  L)
3) En este caso la integral se debe extender para x` desde 0 hasta L y x = L + d
4) No se puede sacar  fuera de la integral. Tampoco es correcto que Q   L .
5) En este caso el versor r̂ que va desde cada elemento infinitesimal dq de la varilla (puntos “fuente”) hacia el
punto del eje y (punto “campo”) es variable y por lo tanto forma parte del integrando. Pero se pueden
aprovechar las condiciones de simetría para simplificar el cálculo. Cada carga “puntual” dq produce un campo


infinitesimal dE  dExiˆ  dEy ˆj pero al integrar (al sumar lo infinitos dE ) obtenemos un campo que sólo
puede tener componente en la dirección y.
6) Bueno, si pudiste comprender la explicación y además resolver los ítems anteriores estás en condiciones de
enfrentar este desafío.
7) En este caso la varilla está dividida en dos mitades con igual carga en valor absoluto pero con distinto signo 3.
Es decir, es un dipolo eléctrico. Una de las características del campo producido por una distribución bipolar de
carga es que para grandes distancias, en comparación con las dimensiones del dipolo, es que su módulo
disminuye en forma inversamente proporcional al cubo de la distancia.
2
3
Por ejemplo se puede resolver el problema considerando que  = ax donde a es una constante.
La carga total de la varilla es nula.
6
Problema explicado 11 de la Unidad 1
11) Una varilla delgada está ubicada sobre el eje z entre los puntos z 1 =  L/2 y z2= L/2. Está cargada
unifomemente con una densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud). ¿En qué posición del eje y se
debe colocar una partícula cargada, de igual carga que la varilla para que el campo eléctrico en el punto(0, a, 0)
sea nulo?
Comenzamos por hacer un esquema de la distribución
de carga. La varilla de longitud L provocará en cada
punto P del eje y un campo eléctrico E1 que tendrá la
misma dirección que el eje y. Esto es así ya que la varilla
está ubicada simétricamente respecto a dicho eje. La
carga total de la varilla está designada con q1. La carga
puntual q2 está ubicada a una distancia a del origen sobre
el eje y. Produce en el punto P un campo eléctrico E2 de
sentido opuesto.
En algún punto del eje y se cumplirá que la suma
vectorial de ambos campos será cero. Dicho de otra
manera, los módulos de ambos vectores, E1 y E2 , serán
iguales.
El campo E2 producido por la carga puntual se puede
expresar fácilmente, a partir de la ley de Coulomb y de la definición de campo eléctrico:

E2 
q2
1
4 o a  y 2
 ˆj 
Pero la expresión del campo producido por la varilla en el mismo punto es diferente, ya que la carga está
distribuida a lo largo de una longitud L. Por lo tanto el punto P está ubicado a distintas distancias de cada punto
de la varilla. Además cada uno de estos puntos del eje z (puntos “fuente” del campo) provocará un campo
eléctrico de distinta dirección en el punto P.
La expresión que necesitamos la podemos encontrar en el ejemplo resuelto 21.11 del capítulo 21 del Sears.
También la encontramos en la sección 26-4 del capítulo 26 del Resnick-Halliday-Krane.

E1 
L
1
4 o y y 2  L2
 ˆj 
4
El punto de coordenadas (0; y; 0) que satisface el enunciado se obtiene igualando lo módulos de estos vectores
con la condición adicional que la carga q2 sea igual a la carga q1. Es decir q2 = q1=L. De esta manera queda la
ecuación:
1
L
4 o y y 2  L2
a  y 2  y

4
1
L
4 o a  y 2
2
y2  L
4
Resolviendo esta ecuación encontraremos el punto P de coordenadas (0; y; 0) en función de la longitud de la
varilla L y de la distancia a la que está ubicada la carga puntual. La solución debe ser un valor de y comprendido
entre 0 y a.
________________________________________________________
Ahora bien, ¿cómo se obtiene la expresión del campo de la varilla? ¿Por qué este campo tiene la dirección del eje
y? Para responder estas preguntas debemos estudiar detalladamente las deducciones de los libros de texto. Por
ejemplo la del Sears o la del Resnick. Pero también podemos intentar hacerlo nosotros mismos. Esto es lo que
vamos a hacer en la página siguiente.
7
Determinación del campo eléctrico de una varilla delgada cargada uniformemente en puntos del
eje perpendicular a la varilla y que pasa por su centro.
Como la carga está distribuida a lo largo de la varilla debemos dividirla en elementos infinitamente pequeños.
Cada uno de estos elementos es una “fuente” de campo eléctrico y tiene una carga dq =  dz. Desde cada uno de
estos “puntos” hasta el punto P en el cual queremos determinar el campo trazamos un vector que será la
diferencia entre el vector posición del punto P y el vector posición del elemento infinitesimal de carga.
Una forma apropiada de expresar el campo eléctrico infinitesimal, completamente equivalente a la ley de
Coulomb, es la siguiente:

dE 
dq  
r  r `

4 0 r  r` 3
1
En nuestro caso el vector posición del “punto campo” es

simplemente r  y ˆj y el vector posición del “punto

fuente” es r ` z kˆ . Entonces el vector trazado en la figura
 
es r  r ` y ˆj  z kˆ .
El elemento infinitesimal de carga es dq   dz . Entonces:

dE 
1
 dz

4 0 y 2  z 2

3
y ˆj  z kˆ
2
Para determinar el campo en el punto P hay que “sumar” estos infinitos vectores. Es decir hay que integrar la
variable z entre L/2 y +L/2. Cada uno de estos vectores infinitesimales tiene una componente en el eje y y
una componente en el eje z. Todas las componentes infinitesimales en y tienen la misma dirección y sentido.
Pero para cada componente en la dirección z negativa, también existe la componente en z positiva.
Como vemos la integral se puede dividir en dos integrales. La integral en el versor kˆ debe dar cero.

E
 1
 y dz
 z dz
1
L  4 0 2 2 32 ˆj  4 0 2 2 32
y z
y z
 
2
l
2





kˆ 


Es importante notar que en esta integral y es constante ya que es la posición del punto P fijo, mientras que z es
variable porque es la posición de cada punto de la varilla
La componente del campo en el eje y, resultará entonces de resolver:
Ey 
y
4 o
L/2
 y
L
dz
2
2
 z2

3/ 2
Esta integral no es fácil de resolver. La buscamos en una tabla de integrales:
y
z
Ey 
2
4 o y y 2  z 2
Ey 
1
L/2

L / 2
L
4 o y y  L2 / 4
2
y 1 
L/2
 L/2   y 1



2
2
2
2
4 o y  y 2  L2 / 4
 4 o y
y

L
/
4

L
y  L2 / 4
2
8
La expresión que hemos hallado considerando y constante ahora se puede interpretar como una función de la variable
y, ya que el cálculo se realizó para un punto genérico P. Entonces el resultado es válido para cualquier punto del
eje y (La tarea de comprobar que la otra integral da cero queda a cargo del estudiante)
Campo para puntos del eje y muy alejados de la varilla.
Supongamos que el punto P está muy lejos de la varilla. ¿Qué queremos decir con “muy lejos”? Que la distancia y
2
es mucho mayor que la longitud de la varilla. Concretamente que se cumple que y 2  L
4
. Entonces
podemos reemplazar la raíz directamente por y.
El campo en un punto P ubicado “muy lejos” será entonces:
Ey 
L
1
4 o y y  L / 4
2
2

1
q
4 o y y
2

1
q
4 o y 2
Esta expresión corresponde al caso que la carga de la varilla estuviera concentrada en un punto, el origen de
coordenadas. Es decir si nos ubicamos en un punto P del eje y muy lejos de la varilla, la “vemos” como si fuera
una carga puntual…
Campo para una varilla muy larga.
¿Qué significa “muy larga”? Que la longitud L de la varilla es mucho mayor que la distancia y entre la varilla y el
punto P. Podemos pensar que L es tantas veces mayor que y, que es lo mismo que considerar que la varilla tiene
longitud infinita. Entonces resolvemos la integral entre los límites  y +  . Otra manera puede ser tomar el
resultado hallado y evaluar la expresión haciendo L  …
Ey 
Ey 
Ey 
L
1
4 o y y 2  L2 / 4
1
4 o
1
lim
L 

4 o y
L
y y  L /4
2 
2
2

1

lim
2L
4 o y L L y / L  1
2
2

1

lim
2L
4 o y L L y / L2  1
2

2 o y
Hemos obtenido una expresión que nos da el campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia y de una
varilla delgada de longitud infinita cargada uniformemente.
Si la varilla está ubicada sobre el eje z, el eje y puede ser
cualquier eje perpendicular. Además como la varilla es de
longitud infinita cualquier punto de la misma puede ser el
origen de coordenadas. Este es un caso de simetría
cilíndrica. Es decir, la expresión hallada sirve para cualquier
punto del espacio. Entonces podemos expresar el campo
en forma mucho más general utilizando coordenadas
cilíndricas:

E

rˆ
2 o r
Es decir el campo no depende de la coordenada , ni tiene
componente en la dirección del versor ̂ . Tampoco
depende de la coordenada z ni tiene componente en la dirección del versor kˆ . Sólo es función de la coordenada
r que en este caso (coordenadas cilíndricas) es la distancia desde un punto P cualquiera del espacio hasta la varilla
cargada. El campo tiene dirección normal a la varilla, es decir sólo tiene componente en el versor r̂