Campo magnético Física II Grado en Ingeniería de Organización Industrial Primer Curso Joaquín Bernal Méndez/Ana Marco Ramírez Curso 2011-2012 Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 2/56 Introducción El campo eléctrico es un campo vectorial responsable de la fuerza eléctrica sobre las cargas Las cargas son fuente del campo eléctrico Existe otro campo vectorial que puede ejercer fuerzas sobre las cargas: campo magnético Veremos que las cargas eléctricas en movimiento (corrientes eléctricas) son fuente del campo magnético Existe una estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo Ambos fenómenos se unen en la llamada teoría electromagnética o electromagnetismo 3/56 Introducción histórica Las primeras referencias al fenómeno del magnetismo están relacionadas con los imanes: 800 a.C.: los griegos conocían el hecho de que la magnetita (Fe3O4) atrae trozos de hierro s. XII: Primeras referencias escritas al uso de imanes en navegación (brújulas) en China Experiencia de Oersted (1820): una corriente en un alambre puede desviar la aguja de una brújula Corrientes eléctricas originan campo magnético Ampère (1820): describió la fuerza magnética entre corrientes Corrientes eléctricas sufren los efectos del campo magnético Ampère ideó el concepto de “corrientes amperianas” para explicar el magnetismo natural Faraday (1831): un campo magnético variable con el tiempo produce un campo eléctrico Maxwell (Final S.XIX): un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Dedujo la existencia de ondas electromagnéticas Las ecuaciones de Maxwell describen la teoría electromagnética clásica 4/56 Magnetismo en imanes Si una barra imantada se deja girar libremente uno de sus extremos se orienta hacia el norte y otro hacia el sur Se denominan polo norte y polo sur del imán Los polos opuestos de los imanes se atraen, mientras que los polos iguales se repelen Un objeto que contiene hierro es atraído por cualquiera de los polos de un imán Ejemplo: imanes en las puertas de los frigoríficos No existen polos magnéticos aislados Por analogía con interacciones eléctricas afirmamos que un imán genera un campo magnético que emerge en su polo norte y entra por su polo sur Una aguja imantada (brújula) tiende a alinearse con el campo magnético El sentido del campo magnético lo indica el polo norte de la brújula 5/56 Campo magnético de un imán (I) Líneas de campo magnético dentro y fuera de una barra imanada: carecen de principio y fin 6/56 Campo magnético de un imán (II) Líneas de campo magnético exteriores a una barra imanada visualizadas mediante limaduras de hierro 7/56 Magnetismo terrestre La tierra es un imán con su polo sur próximo al Polo Norte geográfico El campo magnético de la tierra es similar al de una barra imantada inclinada unos 11º respecto al eje de giro La magnitud del campo magnético sobre la superficie de la tierra varía en un rango de 0.3 a 0.6 gauss El campo magnético de la tierra no es constante en dirección Muestras de rocas de diferentes épocas en un mismo lugar muestran magnetizaciones en direcciones diferentes El campo magnético ha invertido su sentido 171 veces durante los últimos 71 millones de años 8/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 9/56 Fuerza del campo magnético sobre cargas (I) Llamaremos B al campo magnético Cuando una carga q se desplaza con velocidad v en el seno de un campo magnético aparece una fuerza sobre ella: F es proporcional a q y v Si v B F 0 F plano formado por v y B Sentido de F : regla de la mano derecha ó del sacacorchos F sobre carga negativa: sentido opuesto que si fuera positiva 10/56 Fuerza del campo magnético sobre cargas (II) Regla de la mano derecha: Unidades del campo magnético: tesla (T) N N 1T=1 =1 Cm/s Am A veces de usa el gauss (no S.I.): 1G=10-4 T 11/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 12/56 Fuerza sobre corrientes En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador Densidad numérica: n vd Carga de cada partícula libre: q vd A A vd Velocidad de deriva: vd L Corriente eléctrica: I=nqvd A Fuerza sobre un portador: Fi qvd B Número de portadores en el segmento: N nAL Fuerza sobre el segmento: F i qvd B qvd B nAL 13/56 Ecuación de la fuerza sobre hilos rectos de corriente En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador Densidad numérica: n vd vd A Carga de cada partícula libre: q A vd Velocidad de deriva: v d Corriente eléctrica: I=nqvd A L Fuerza sobre el segmento: F IL B FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN HILO RECTO DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME L : vector cuyo módulo es la longitud del hilo, con dirección paralela al hilo y sentido el de la corriente 14/56 Fuerza sobre hilos de corriente de forma arbitraria Generalización: Cable de forma arbitraria Campo magnético no uniforme La fórmula anterior es válida para un segmento infinitesimal del hilo dF Idl B La fuerza total se obtiene por integración: dl a b F I dl B B b dF Idl B a 15/56 Fuerza sobre espiras Ejemplo: Fuerza neta sobre una espira cerrada de corriente en un campo magnético uniforme F I dl B B0 B B0 I es uniforme F I dl B0 0 0 La fuerza que un campo magnético uniforme ejerce sobre una espira cerrada de corriente es nula 16/56 Par sobre espiras Suponemos una espira plana cuadrada en un campo uniforme La orientación de una espira plana se especifica con un vector unitario:n̂ Módulo: la unidad Dirección: perpendicular al plano de la espira Sentido: depende del sentido de circulación de la corriente y viene dado por la regla de la mano derecha 17/56 Par sobre espiras: espira plana cuadrada Sobre cada lado recto: F IL B F3 F4 0 y no producen ningún par por estar sobre la misma línea de acción z y x F4 F3 F1 IaBk F2 IaBk Constituyen un par de fuerzas que tienden a provocar un giro de la espira 18/56 Par sobre espiras: cálculo del momento Cálculo del momento del par de fuerzas (O en el centro de la espira): r01 F1 r02 F2 z IA B x con: A abnˆ 19/56 Par sobre espiras: momento dipolar magnético Momento dipolar magnético de una espira plana: IA Unidades: Am2 Para una espira de N vueltas: NIA Momento del par sobre una espira plana: B Es válida para espiras planas, aunque no sean cuadradas Se cumple para cualquier orientación del campo Supone que el campo magnético es uniforme El momento dipolar de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo Analogía con dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo: p E 20/56 Analogía entre espiras, dipolos eléctricos e imanes Una barra o aguja imanada (brújula) también tiende a orientarse paralelamente a un campo magnético externo El polo norte de la aguja apunta en el sentido del campo Veremos que a un imán se le puede asignar también un momento magnético Su comportamiento se modela por analogía con el de las espiras de corrientes Usaremos el concepto de “corrientes amperianas” en el imán Trabajaremos con dos analogías: 1) Espira/campo magnético - dipolo eléctrico/campo eléctrico 2) Espira/campo magnético - imán/campo magnético 21/56 Par sobre espiras Aplicación: motor eléctrico Conversión de energía eléctrica en energía mecánica Hay diversos tipos (DC, síncronos, asíncronos…) Se encuentran en electrodomésticos como ventiladores, lavadoras, frigoríficos… Rotor: corriente continua Esquema de un motor síncrono. Estator: corriente alterna trifásica El estator genera un campo magnético giratorio Las espiras del rotor “persiguen” al campo magnético 22/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 23/56 Fuentes del campo magnético Hasta ahora hemos estudiado el efecto del campo magnético sobre cargas y corrientes Pero, ¿cuál es la fuente del campo magnético? Lo que sabemos: Imanes: primeras observaciones sobre el fenómeno del magnetismo Oersted (1820) comprobó que una corriente eléctrica es capaz de desviar la aguja de una brújula cercana Lo que vamos a ver: La corriente eléctrica actúa como fuente del campo magnético El magnetismo de los imanes puede explicarse en base a un modelo de corrientes microscópicas moleculares en el material (corrientes amperianas) 24/56 Ley de Biot-Savart Es una Ley experimental deducida por Ampère Proporciona el campo magnético creado por un hilo de corriente Campo dB debido a una I que pasa a través de un dl : 0 Idl rˆ dB 4 r 2 0 4 107 Tm A Permeabilidad del vacío Elemento de corriente Propiedades: dB dl y dB r 2 dB 1/ r , I ,sen 25/56 Campo debido a un hilo finito Hay que integral a lo largo de la longitud del hilo En general se trata de un cálculo complicado Idl rˆ B 0 4 r2 Puede aplicarse el principio de superposición El campo magnético creado por varias distribuciones de corriente es la suma vectorial de los campos creados por cada distribución aisladamente I1 B2 B B1 B2 B1 I2 26/56 Campo de una espira circular Ejemplo: B en el centro de una espira circular 0 Idl rˆ dB 4 r 2 dB B 0 Idl sen 4 R 2 1 0 I 0 I dl 2R 2 2 4 R 4 R B 0 I 2R 27/56 Campo de una espira circular Campo magnético en todos los puntos del espacio 28/56 Campo lejos de la espira 2 En el eje de la espira: B 0 2 I R i 3 (boletín de problemas) 4 ( x 2 R 2 ) 2 Para x>>R: 0 2 I R 2 0 2 Bx 4 x 3 4 x 3 Para un dipolo eléctrico: (boletín de problemas) Ex 1 2p 4 0 x 3 El campo magnético lejos de la espira es análogo al campo eléctrico de un dipolo eléctrico Una espira muy pequeña es un dipolo magnético 29/56 Analogía entre dipolos magnéticos y eléctricos Los campos “lejos” son iguales (P: ¿Qué significa “lejos”?) Para puntos muy cercanos hay una diferencia: Entre las cargas el campo eléctrico es opuesto al momento dip. eléc. En el centro de la espira el campo magnético es paralelo al momento dipolar magnético p m Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo Un dipolo magnético tiende a alinearse con un campo magnético externo 30/56 Campo de un solenoide (I) Cable enrollado (N vueltas) con espiras muy próximas entre sí por el que se hace pasar una corriente Se usa para producir un campo magnético intenso y uniforme en su interior Análogo al condensador en electricidad Su campo magnético puede obtenerse por superposición del campo de N espiras 31/56 Campo de un solenoide (II) Campo en el eje de solenoide de longitud L : • El campo dentro es uniforme • Es proporcional a n=N/L y a I Las líneas de campo magnético son idénticas a las de una barra imantada 32/56 Campo debido a una corriente en un hilo recto (I) Idx 0 Idl rˆ 0 Idx 0 sen k cos k dB 2 2 2 4 r 4 r 4 r x R tan r2 dx Rd / cos d R 2 cos R / r dB 0 I cos d 4 R Donde todo es constante salvo 33/56 Campo debido a una corriente en un hilo recto (II) 0 I 2 0 I B cos d (sen 2 sen 1 ) 1 4 R 4 R Para un hilo muy largo: 1 90º 2 90º B sen 1 1 sen 2 1 0 I 2 R Campo magnético a una distancia R de un conductor recto muy largo 34/56 Campo de un hilo recto muy largo Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo El sentido del campo se determina siguiendo la regla de la mano derecha tal como se indica en la figura Líneas de campo de un conductor recto y muy largo visualizadas mediante limaduras de hierro 35/56 Fuerza entre dos corrientes paralelas Suponemos dos hilos largos paralelos que transportan corrientes I1 e I2 y están separados una distancia R dF2 I 2 dl2 B1 dF2 I 2 dl2 con: 0 I1 2R dF2 0 I 2 I1 dl2 2R B1 0 I1 2 R Fuerza atractiva Fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados una distancia R Para corrientes paralelas la fuerza es atractiva Para corrientes antiparalelas la fuerza es repulsiva 36/56 Aplicación: fuerza entre espiras Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con corrientes paralelas ¿se atraen o se repelen? Igual que dos dipolos eléctricos: F F 2 1 q p q q p q + + 1 2 Igual que dos barras imanadas: F F F12 F21 Espiras paralelas S N S N Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos imanes: polos opuestos se atraen 37/56 Aplicación: fuerza entre espiras Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con corrientes opuestas ¿se atraen o se repelen? 1 Igual que dos dipolos eléctricos: 2 F F q p q q p q + + 1 2 Igual que dos barras imanadas: F F F12 F21 Espiras antiparalelas S N N S Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos imanes: polos iguales se repelen 38/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 39/56 Ley de Gauss para el magnetismo Para el campo eléctrico, vimos: e S E dA En dA 4kQint S Las líneas de ܧcomienzan y terminan sobre las cargas eléctricas. Para el campo magnético, se cumple: m S B dA Bn dA 0 S Las líneas de ܤson curvas cerradas, entran por un extremo (polo sur) y salen por el otro (polo norte), pero no hay puntos del espacio a partir de los que divergen, ni puntos a los que convergen: no hay monopolos magnéticos 40/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 41/56 Ley de Ampère Para distribuciones de carga muy simétricas puede calcularse el campo eléctrico mediante la Ley de Gauss La Ley de Ampère facilita el cálculo del campo magnético de distribuciones de corriente con alta simetría Enunciado de la Ley de Ampère: C B dl 0 I C La circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es igual a 0 por la corriente total que atraviesa una superficie que se apoya en la curva C Se cumple siempre para cualquier curva en situación de corriente estacionaria 42/56 Corriente estacionaria La situación de corriente estacionaria exige que los parámetros físicos del problema no varíen con el tiempo. Esto significa que: La intensidad ha de ser constante (corriente continua) En caso contrario se llama corriente variable La carga almacenada en los distintos puntos del conductor también ha de ser constante. Es decir, no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor. Ejemplo: paralelismo con corriente de un fluido Corriente de un río: flujo estacionario Llenado de un depósito de agua: proceso no estacionario, aunque la corriente sea constante 43/56 Ley de Ampère: campo de un hilo infinito C I R C B dl 0 I C Curva C: circunferencia centrada en el hilo Sentido integración: regla de la mano derecha El campo es tangente al diferencial de longitud y de módulo constante en toda la trayectoria B dl Bdl B dl B 2R 0 I B C B dl 0 I 2 R c B constante Que coincide con lo que se obtiene mediante Ley de Biot-Savart (integración) 44/56 Índice Introducción Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias Par sobre espiras Ley de Biot-Savart Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère Magnetismo en la materia 45/56 Magnetismo en la materia Los electrones tienen una propiedad eléctrica inherente: su carga De la misma forma poseen una propiedad magnética inherente: un momento magnético Se comportan como diminutas espiras de corriente: dipolos magnéticos Los átomos y moléculas de los materiales poseen además un momento magnético asociado al movimiento de los electrones en sus órbitas: momento magnético orbital Un campo magnético externo interaccionará con estos dipolos magnéticos 46/56 Tipos de materiales Paramagnéticos: alineación parcial de los dipolos magnéticos con el campo magnético externo Incremento débil del campo magnético en el material Diamagnéticos: momentos magnéticos orbitales inducidos se alinean en sentido opuesto al campo externo aplicado El campo magnético en el material disminuye débilmente Ferromagnéticos: alineación masiva de los dipolos magnéticos electrónicos con el campo externo Fuerte incremento del campo en el interior del material El efecto permanece una vez eliminado el campo externo aplicado: imanes permanentes 47/56 Imanación: corrientes amperianas Cuando los dipolos se alinean: material imantado Cada dipolo magnético se puede modelar como una diminuta corriente circular Para un cilindro con imanación uniforme: La corriente neta dentro es nula Existe una corriente neta sobre la superficie: corriente amperiana o corriente de imanación Este modelo explica por qué el campo magnético que crea la barra imantada es igual que el del solenoide 48/56 Imanación Vector imanación: momento dipolar magnético neto por unidad de volumen: d M dV Sea un disco imanado según su eje M de grosor dl y área A: di Analogía con espira: d Adi M dl dV Adl El módulo de M es la corriente amperiana por unidad de longitud (unidades: A/m) Analogía con solenoide de corriente: Campo dentro del solenoide y lejos de los extremos B 0 nI B 0 M Campo dentro del material debido a su imanación 49/56 Imanación de un medio lineal El campo magnético dentro del material es la suma del campo aplicado y el campo debido a la imanación: B Bap 0 M Medios paramagnéticos y diamagnéticos: La imanación es proporcional al campo aplicado M m Bap 0 B (1 m ) Bap K m Bap m : Susceptiblidad magnética (adimensional) K m : Permeabilidad relativa (adimensional) 50/56 Materiales ferromagnéticos Supongamos una barra de material ferromagnético en el interior de un solenoide (Bap=μ0nI). Campo dentro: B Bap 0 M 0 nI 0 M En la práctica: 0 M 0 nI (amplificación del campo aplicado) Saturación: Ms Curva de histéresis Campo remanente • En principio M depende de la historia del material y no solo de Bap • Aun así, lejos de la zona de saturación se suele definir: M m Bap 0 B K m Bap K m 0 nI nI • Kmμ0= μ : permeabilidad 51/56 Materiales ferromagnéticos Son ferromagnéticos el hierro el cobalto y el níquel También algunas tierras raras: gadolinio, disprosio A veces se usan en aleaciones: Material Km Níquel (99% puro) 600 Hierro (99,8% puro) 5600 Hierro-silicio (95% Fe, 4% Si) 7000 Permalloy (55%Fe, 45%Ni) 25600 Metalmu (77%Ni,16%Fe,5%Cu,2%Cr) 100 000 En un solenoide con un núcleo ferromagnético la permeabilidad relativa (Km) es el factor por el que se multiplica el campo magnético aplicado debido a la presencia del núcleo ferromagnético 52/56 Materiales ferromagnéticos Materiales ferromagnéticos blandos: ciclo de histéresis estrecho Materiales ferromagnéticos duros: ciclo de histéresis ancho B B Bap Bap Útiles en núcleos de transformadores Ejemplo: hierro dulce Útiles como imanes permanentes Ejemplo: acero al carbono 53/56 Algunas preguntas interesantes ¿Por qué se pegan los imanes a la puerta del frigorífico? ¿Por qué un imán atrae objetos como clips, alfileres y clavos? ¿Por qué un imán atrae a las monedas de 1, 2 y 5 céntimos pero no a las de 10, 20 y 50 céntimos? 54/56 Resumen (I) Un campo magnético ejerce una fuerza sobre cargas en movimiento y, por tanto, actúa sobre las corrientes Un campo magnético uniforme ejerce una fuerza neta nula sobre una espira cerrada de corriente El momento dipolar magnético de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo Igual que una barra de imán (brújula) Igual que un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo La fuente del campo magnético son las cargas en movimiento (corrientes): la Ley de Biot-Savart nos proporciona una ecuación integral para calcular el campo magnético debido a un hilo de corriente El campo magnético creado por una espira de corriente en puntos “alejados de la espira” es de tipo dipolar El campo magnético creado por un solenoide de corriente es igual que el de una barra imantada. Corrientes paralelas se atraen y corrientes opuestas se repelen La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es análoga a la que acurre entre barras imantadas: polos opuestos se atraen y polos iguales se repelen La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es similar a la 55/56 que aparece entre dipolos eléctricos Resumen (y II) 56/56