papiroflexia - IES Cristóbal de Monroy

Papiroflexia y Matemáticas
Nudo Pentagonal 1 y 2
Cualquier persona interesada en la educación matemática en los niveles
obligatorios, reconoce que para aprender Matemáticas hay que hacer Matemáticas. En
estas etapas es muy importante el aspecto manipulativo de esta materia. Por ello no
es raro encontrar multitud de materiales y recursos como tangram, geoplanos,
puzzles, varillas, troqueles, etc. que potencian ese aspecto de hacer Matemáticas.
Queremos mostrar uno de los recursos más usuales a nuestro alrededor, pero no por
ello menos atractivo: el papel.
Se considera la papiroflexia (también llamada origami por su ascendencia
japonesa) como el arte de realizar figuras doblando papel, sin cortar ni pegar. Todos
nos hemos sentido atraídos en algún momento por ese arte. Aunque alguien piense
que no es propio de personas adultas hacer figuritas de papel, seguro que en otras
épocas todos hemos realizado, con verdadero deleite, aviones, pajaritas, barcos o
figuras más elaboradas. El trabajar con papel, y conseguir elementos reconocibles
después de realizar algunos pliegues, es una actividad altamente gratificante.
Por todo ello quien esté preocupado por la didáctica de la matemática no puede
dejar de lado este recurso tan motivante para nuestros alumnos. En clase el plegado
de papel se puede utilizar en muchos aspectos del currículo: desde algunos fáciles,
como demostrar que los tres ángulos de un triángulo suman 180º, hasta otros más
complicados, como conseguir las cónicas a partir de su envolvente o una espiral
logarítmica a partir de un hexágono. Podemos también pasar del plano al espacio,
resultando especialmente atractivo conseguir poliedros y otras figuras de tres
dimensiones, bien directamente por plegado o bien uniendo módulos previamente
doblados.
Además es posible afrontar el trabajo en clase con distintos niveles de
dificultad: desde la mera construcción, por ejemplo, de un triángulo equilátero, hasta
el estudio matemático de por qué lo que obtenemos es, en realidad, equilátero.
El profesor del I.E.S. nº 1 de Requena (Valencia), Antonio Ledesma López, que
es miembro de la Asociación Española de Papiroflexia, lleva más de quince años
trabajando con sus alumnos en talleres utilizando la papiroflexia. En el número
extraordinario de 1996 del Boletín de la A.E.P., dedicado íntegramente a las
Matemáticas, incluía el siguiente decálogo dirigido a los profesores de Matemáticas, en
donde se recogen las ventajas de utilizar este recurso.
"Con las actividades de papiroflexia:
1. Se valora la interrelación entre la actividad manual y la intelectual.
2. Se consigue la apreciación de las componentes estéticas de los
objetos y las formas.
3. Se facilita la comprensión de los conceptos geométricos.
4. Se mejora la percepción espacial.
5. Se fomenta la capacidad para hacer preguntas.
6. Se interpreta una nueva simbología.
7. Se propicia la precisión en el trabajo manual.
8. Se ve la utilidad del trabajo en equipo.
Papiroflexia y Matemáticas
9. Se aprecia la belleza ligada a regularidades y cadencias.
10. Se desarrolla la fantasía, la creatividad y, lo que es muy importante,
no se pierde en ningún momento el carácter lúdico."
La tira de papel como recurso matemático.
No es extraño utilizar en clase una tira de papel para presentar la Cinta de
Möbius, que sorprende por sus propiedades, y por lo inesperado de los resultados que
se obtienen al cortarla convenientemente. Pero también podemos utilizar una tira de
papel para conseguir algunos de los polígonos regulares, algo que la primera vez
resulta tan asombroso e inesperado para los alumnos como la propia Cinta de Möbius.
A este ejemplo sencillo de papiroflexia vamos a dedicar hoy esta sección.
Para esta primera parte hemos tomado información del profesor Miguel de
Guzmán, en concreto de su artículo "La tira de geometría en la tira de papel" que
puede consultarse en Internet (ver Para saber más).
a) Cuadrado.
Lo más fácil es obtener un cuadrado. Partimos de una tira de papel cuyo
extremo sea recto y perpendicular al lado. Si no fuese así, en cualquier lugar de la tira
doblaríamos haciendo coincidir un trozo de un lado
sobre
sí
mismo
y
resultaría
un
doblez
de
las
características pedidas.
Para obtener un cuadrado basta doblar la cinta
por un extremo, de forma que partiendo desde un
vértice se lleva el otro vértice sobre el lado opuesto. En
el lugar donde descansa el vértice que se desplaza, se
realiza un pliegue perpendicular al lado y ya tenemos un
cuadrado.
A los alumnos debe llamársele la atención de que lo único que hemos hecho ha
sido aplicar las propiedades del cuadrado, que es un polígono con los ángulos de 90º y
los cuatro lados iguales.
b) Triángulo equilátero.
Para conseguir un triángulo equilátero torcemos un extremo de la tira por
encima del lado, como si hiciéramos un cucurucho de
papel, y aplanamos ese cono de modo que uno de los
lados del triángulo coincida con el filo de la tira de
papel.
Dado
superior
que
está
los
lados
dividiendo
coinciden,
el
ángulo
el
de
vértice
180º
(correspondiente al lado que se ha girado) en tres
partes iguales, por lo que obtenemos un ángulo de
60º. Se puede comprobar fácilmente que los restantes ángulos también lo son, luego
el triángulo es equilátero.
Papiroflexia y Matemáticas
c) Hexágono.
El hexágono se obtiene fácilmente del triángulo
anterior. Para ello es suficiente dividir la tira de papel
en dos partes mediante un pliegue longitudinal. En la
tira se apreciarán los dobleces correspondientes al
triángulo (unos estarán por un lado y el resto por el
otro). Si remarcamos todos esos pliegues, al desdoblar
la tira podremos observar fácilmente las líneas que
definen el hexágono.
d) Pentágono.
Suponemos que lo más conocido para nuestros lectores (pues es posible
encontrarlo en muy diversa bibliografía) será cómo conseguir un pentágono regular;
sin embargo, es el más difícil de imaginar por los alumnos, y por eso el más
sorprendente.
Lo que debemos hacer es un nudo con el papel, de forma que si tiramos con
cuidado de las puntas del lazo haciendo que coincidan
los pliegues podemos observar el pentágono regular.
La primera vez que se hace cuesta conseguir que los
pliegues formen exactamente los lados del polígono,
pues es fácil que la tira no coincida con alguna de las
vueltas. Lo mismo ocurre al principio con el triángulo,
pero con un poco de práctica sale perfecto.
A diferencia de los casos anteriores, en el
pentágono en necesario tener en cuenta la longitud de la cinta, pues si es corta no
puede realizarse bien el nudo. Nuestro consejo es que la longitud sea unas ocho veces
(como mínimo unas siete) la anchura de la cinta, para
que así se pueda manipular bien.
Este pentágono tiene una doble utilidad, ya que
si los extremos de la tira que sobran de la figura
tienen aproximadamente la misma longitud que un
lado (en su parte mayor), con doce piezas iguales, se
puede construir un dodecaedro como vemos en la
imagen.
Para
conseguirlo
hay
que
tener
mucha
paciencia y cuidado.
El principal problema es que una vez terminado, no queda rígido, por lo que se
deshace al primer golpe que se le dé, es un típico "mírame y no me toques". Pero es
interesante, como dijimos, pasar del plano al espacio.
e) Otros dobleces con una tira de papel.
En su taller de "Polígonos con Papel", el profesor mejicano Víctor Larios Osorio
nos muestra cómo conseguir polígonos regulares de distinta cantidad de lados y de
distinta presentación.
Papiroflexia y Matemáticas
Su forma de trabajo consiste en realizar una
serie de dobleces en una larga tira de papel, y
posteriormente doblar la cinta sobre esos pliegues,
obteniendo los lados de los polígonos, y dejando un
hueco dentro de ellos.
Para no alargar este artículo vamos a presentar
el pliegue más simple para obtener un hexágono, a
partir de triángulos equiláteros. Comenzamos por un
extremo
de
la
tira
doblando
hacia
arriba
y
conseguimos un pliegue. Se desdobla ese pliegue, y ahora se dobla ese mismo
extremo
hacia
abajo,
siguiendo la línea definida
por el doblez anterior.
Se
alternando
doblar
hacia arriba y hacia abajo, y
vamos obteniendo en la
tira una serie de triángulos
como puede apreciarse
en la foto.
el
Si
tira
desechamos
que
no
podemos
sean
construir
un
doblar como se ve en la
continúa
este
proceso
los primeros triángulos de la
equiláteros, con los restantes
hexágono,
sin
más
que
foto anterior.
Si nos fijamos en la tira, cada dos triángulos forman un rombo. Si en cada
rombo realizamos un doblez que corresponda a la diagonal mayor, y doblamos sobre
ese pliegue, se unen dos lados de uno de los triángulos, y si después doblamos por el
pliegue donde coincidían los lados anteriores (del lado donde se cierra el doblez
anterior podemos obtener el hexágono de la izquierda de la siguiente fotografía. Si ese
doblez extra lo alternamos haciéndolo en un rombo sí y en otro no, obtenemos el
hexágono de la derecha.
Para terminar, si el procedimiento de doblar arriba y abajo se realiza con dos
dobleces
sobre
pliegues
anteriores hacia arriba y
luego dos dobleces hacia
abajo,
una
cortos
serie
de
doblamos
dobleces
por
esos
podemos
y
pliegues
obtener
largos.
(bien
por
Si
los
cortos o por alguno de los
largos) pueden obtenerse
los
aparecen en la siguiente
pentágonos
que
foto.
En
la
página
de
donde
está
sacado
este
procedimiento puede encontrarse cómo conseguir heptágonos, decágonos y eneágonos
así como un estudio sobre qué polígonos regulares pueden obtenerse con este proceso.
Para acabar
Hemos querido presentar en este artículo una serie de actividades con papel
que despierten la curiosidad y el deseo de profundizar en este apasionante mundo de
la papiroflexia. Existen otras muchas actividades para potenciar los aspectos
manipulativos y favorecer los aspectos visuales y de percepción espacial, que además
están relacionados con las Matemáticas de nuestro currículo: trabajar distintos tipos de
Papiroflexia y Matemáticas
ángulos mediante dobleces, trazar paralelas y perpendiculares, estudiar los puntos y
rectas notables de un triángulo… hasta la construcción de poliedros regulares y
semirregulares, estudiando previamente los polígonos que limitan su volumen o la
división de un poliedro en trozos iguales.
Pero todo eso será en otra ocasión.
Para saber más
Existen dos páginas web de las que están tomadas casi todas las ideas
anteriores que son:
http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/latira.htm
http://www.uaq.mx/matemáticas/origami/taller2.html
Además en Internet hay una inmensidad de páginas relacionadas con
papiroflexia en general, pero muchas de ellas tienen contenidos matemáticos. Existen
un par de páginas con muchos enlaces a este tipo de páginas donde cualquier
interesado puede perderse durante muchas horas.
http://members.fortunecity.es/jtbm/otras_paginas.html
http://www.sectormatematica.cl/origami/enlaori.htm
Aparte de lo anterior se pueden consultar las siguientes referencias, que
disponen de amplia bibliografía sobre el tema:
LEDESMA LÓPEZ, Antonio (1996): "Matemáticas con papel en la Enseñanza
Secundaria Obligatoria". En Actas de VIII Jornadas Andaluzas de Educación Matemática
THALES. Córdoba, 347-358.
LEDESMA LÓPEZ, Antonio (1996): Papiroflexia y Matemáticas. Boletín de la
Asociación Española de Papiroflexia. Boletín extraordinario. Zamora.
EL NUDO PENTAGONAL
Una bonita tradición de los albergues japoneses consiste en preparar los
pijamas de algodón para los huéspedes y dejar encima de estos una banda atada en
forma
de
pentagonal.
nudo
Para
hacer
este nudo se necesita algo
de práctica y maestría.
Sin embargo, para
hacer
dicho
nudo
con
papel no hace falta ningún
tipo
de
extraordinaria,
cualidad
basta
tomar una tira de papel
(de longitud al menos 6
veces el ancho) y hacer
un nudo con ella como si
fuera
una
cuerda.
Después, tirando de los
extremos poco a poco, sin dejar holguras en los vértices ni aplastar el papel, va
formándose un pentágono regular, como probaremos más adelante.
Papiroflexia y Matemáticas
Como es conocido, el pentágono y el famoso número áureo Φ están muy
relacionados. Recordemos que Φ = (√5+1)/2 ≈
1'61803398. En el nudo pentagonal se puede ver
esta relación en varios puntos.
A/B= Φ
YZ/XY= Φ
YW/WZ= Φ
De hecho, si queremos hacer un nudo en el que no sobre papel, podemos
hacerlo partiendo del siguiente rectángulo:
Ahora nos quedamos con el rectángulo de al lado,
que cumple la siguiente propiedad: a/b = Φ ≈ 1'62.
Este rectángulo es el que usaremos para hacer el
pentágono que veremos más adelante.
Pero si no queremos hacer tantos pliegues, o
simplemente no queremos tener cicatrices en el papel, podemos usar una buena
aproximación
rectángulo
al
anterior.
Basta tomar un folio y
partirlo por la mitad:
Papiroflexia y Matemáticas
En este caso, a'/b' = 2/3·√6 ≈ 1'63. Y ahora, a plegar.
Pero... ¿por qué un pentágono regular? Veámoslo:
Para entender por qué el pentágono es regular debemos pensar primero en qué
pasa al doblar una tira de papel. Sucede lo mismo que cuando una bola de billar
golpea el borde de la mesa. En ambos casos el ángulo de incidencia y de reflexión es el
mismo. Por tanto, para el siguiente dibujo, podemos decir que α = β
Observamos también que, por ser los lados de la tira paralelos, γ = δ. Restando
ambas igualdades tenemos α – γ = β - δ, o lo que es lo mismo: el triangulo ABC es
isósceles. Y, por tanto, AC=BC.
Pensemos ahora en nuestro nudo pentagonal.Teniendo en cuenta lo que
acabamos de ver tenemos que: (1) ∠EAB = ∠ABC = ∠BCD ∠CDE = ∠DEA
(2) BD = BE BE = CE
Si nos fijamos en los cuadriláteros ABZE, ABCY y BCDX, se observa que los tres
son paralelogramos al estar determinados por la superposición de dos tramos de tira
Papiroflexia y Matemáticas
de papel. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales y, en este caso, al ser
ambas tiras de papel de la misma anchura h, los lados contiguos también son iguales,
ya que si S es el área de ABZE se tiene que:
S = h . EZ y S = h . AE
Es decir EZ = AE. Análogamente para los otros paralelogramos obtenemos que
todos ellos son rombos. Como además comparten entre ellos alguno de sus lados,
observamos que EA = AB = BC = CD (3)
Si consideramos los trapecios ABDE y ABCE podemos ver que son iguales:
1. AB = BC por (3)
2. EA = AB por (3)
3. BD = CE por (2)
4. ∠EAB = ∠ABC por (1)
Y por tanto ambos trapecios son iguales, luego:
AE = ED y ∠DEA = ∠EAB.
Sumando este resultado a los resultados (1) y (3) llegamos a que el pentágono
tiene los cinco lados y los cinco ángulos iguales. Es decir, el pentágono es regular.
Ahora que ya sabemos hacer el pentágono, vamos a jugar.
Podemos seguir entrelazando las tiras que salen del pentágono con el propio
pentágono, de forma que cada vez salgan por uno de los lados. No es difícil conseguir
las cinco posibilidades:
De hecho, un solo nudo se puede hacer de dos formas distintas. El resultado
son dos nudos simétricos (figuras a y b). Esto es importante a la hora de combinarlos,
ya que si juntamos dos nudos de distinto tipo estos se unirán perfectamente lado con
lado (figura c). Pero si juntamos nudos del mismo tipo (figura d), entre pentágono y
pentágono habrá un hueco con forma de triángulo isósceles, y cuyo ángulo desigual es
de 36º (este triángulo que separa los dos pentágonos es el llamado triángulo sublime).
Usando las diferentes técnicas de hacer nudos pentagonales y combinándolas
podemos hacer figuras geométricas muy diversas. Desde estrellas, pentágonos y
bandas hasta figuras en tres dimensiones e incluso flores.
La figura j) es además el logotipo de la web www.cut-the-knot.com (web muy
recomendable sobre matemáticas). Pero no sólo eso, sino que además, si se pegan los
extremos sobrantes, la cinta se convierte en una banda con una sola cara (lo mismo
que pasa con las bandas de Möbius).
Seguiremos hablando de los nudos y de lo que se puede hacer en papiroflexia
con ellos en un próximo artículo. Pero hasta entonces podéis pensar en qué hay más
allá
de
los
nudos
pentagonales.
¿Habrá
nudos
hexagonales?
¿Habrá
heptagonales?... ¿Habrá nudos con forma de cualquier polígono de N lados?
Coged una tira de papel y a doblar.
Fuentes consultadas:
• Origami Omnibus (Kunihiko Kasahara)
• Origami, Science & Art (Heinz Strobl)
• Matemáticas y papiroflexia (Jesús de la Peña Hernández)
• http://home.tiscali.nl/gerard.paula/origami/knotologiesphere94.html
nudos
Papiroflexia y Matemáticas
• http://perso.wanadoo.es/candidodgc/
• http://www.cut-the-knot.com/proof
• http://www.akpeters.com/projectorigami/Worksheets-ProjectOrigami.pdf
EL NUDO PENTAGONAL II
“Además de embarcaciones hay una
papiroflexia
más complicada, casi
geométrica, matemática. La de hacer pajaritas como aquellas en que entretenía sus
ocios el maestro Miguel de Unamuno…”
Empiezo este segundo artículo sobre el nudo pentagonal con unas palabras del
premio Nóbel de literatura guatemalteco Miguel Ángel Asturias sobre Miguel de
Unamuno. Es sabida la relación de Unamuno y la papiroflexia, y como muestra de ello
son las figuras que inventó o cuadros como el de la fotografía, donde Unamuno
aparece retratado por Zuloaga junto con una de sus figuras, el “avechucho”. Además
también escribió sobre papiroflexia, sobre todo en su novela “Amor y pedagogía”(en el
apéndice “Apuntes para un tratado de cocotología”). Pero Unamuno aparece en este
artículo por el siguiente poema acerca del nudo pentagonal:
El poema aparece junto con el dibujo del nudo pentagonal que hay sobre él y se
describe tanto el nudo pentagonal como la estrella que se forma al hacerlo. Esta
estrella es la que aparece al trazar todas las diagonales de un pentágono:
Si tomamos una tira de papel no demasiado gruesa y hacemos un nudo, como
explicamos en el artículo anterior, obtenemos un pentágono. Pero si miramos el nudo
al trasluz se puede apreciar el contorno de la estrella casi al completo, sólo falta una
de las diagonales del pentágono. Basta entrelazar una de las tiras salientes una vez
más en el nudo para poder ver la estrella completa:
Esta estrella de cinco puntas, conocida también como pentagrama o pentáculo,
tiene mucha leyenda detrás y, como todo lo relacionado con el pentágono, la estrella
también tiene una estrecha relación con el número áureo (se puede encontrar
información
sobre
la
estrella
de
cinco
puntas
en
http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometría)).
En papiroflexia hay una figura sencilla conocida como “Lucky Star” (estrella de
la suerte) que parte del nudo pentagonal para hacer una estrella de cinco puntas en
3D. Veamos cómo se hace:
1º_Cogemos una tira larga de papel y hacemos un nudo en uno de los extremos
(pasos 1, 2 y 3). El trozo de tira más pequeño que salga del nudo se dobla como en el
paso 4 y se introduce en el bolsillo interior que queda en el nudo.
2º_Doblamos una y otra vez el extremo más largo envolviendo al pentágono, de
forma que la tira dobla en el borde del pentágono (como en los pasos 5, 6 y 7). Esto
debe hacerse siempre en el mismo sentido hasta acabar la tira de papel y sin aplastar
excesivamente los dobleces.
3º_El trozo de tira sobrante (paso 8) se dobla sobre el borde del pentágono y se
introduce en el interior del bolsillo que hay en el mismo. Por último (paso 9),
empujamos con cuidado sobre cada lado del pentágono para que la estrella tome
forma tridimensional.
4º_Estrella terminada:
Papiroflexia y Matemáticas
Podéis ver un vídeo de cómo se hace (¡incluso un blog entero sobre ella!) en
www.foldastar.com (en inglés). También una bonita galería de fotos con cientos de
estrellas de este tipo en:
www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760
Vamos ahora con los deberes del artículo anterior. Sabemos cómo se hace un
nudo para formar un pentágono, pero ¿es posible hacer un hexágono haciendo un
nudo a partir de una tira de papel siguiendo el mismo método?¿y un heptágono?, y en
general ¿se podrá hace un polígono de n lados haciendo un nudo con una tira de papel?
Si tomamos una tira e intentamos hacer un hexágono parece imposible, así que
desistimos y tratamos de hacer un heptágono. Es mucho más fácil, veamos cómo se
hace:
¡Ya tenemos el nudo heptagonal! Pero no nos olvidemos que nos hemos saltado
uno, el hexágono. Vamos a demostrar que no se puede hacer, para ello veamos unas
nociones sobre aritmética modular (también llamada aritmética de reloj).
Si tenemos un reloj analógico, de los de saetas, resulta que nos bastan solo 12
números para representar las 24 horas que tiene el día. Las 16:00 están representadas
por el número 4, y las 21:00 por el 9. Si ahora por ejemplo la saeta de las horas
apunta al 5 podemos saber dónde apuntará pasadas 100 horas. Cada 12 horas que
pasan la saeta da una vuelta completa y por tanto apunta de nuevo al mismo lugar.
Tenemos que 100 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 12x8 + 4.
Por tanto, si ahora la saeta apunta al 5, pasadas 100 horas la saeta apuntara al
5+4=9.
De esta manera, cualquier número lo podemos representar con uno de estos
relojes, basta dividir el número por 12 y quedarse con el resto.
Supongamos ahora que nuestro reloj tiene solo los números desde el 0 hasta el
7, es decir 8 horas.
Funcionará de manera similar. Si son las 5 y pasan 6 horas la saeta pasara a
apuntar al 3. y el número 35 = 8 + 8 + 8 + 8 + 3 = 8x4 + 3 estará representado por
el 3. En general, para saber a qué hora corresponde un número cualquiera en este
reloj basta hallar el resto de la división del número entre 8.
A este conjunto de 8 elementos lo llamaremos Z 8
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Y por ejemplo, como el 35 equivale al 3 lo expresaremos como 35 ≡ 3 (mod 8),
o si sobreentendemos que estamos trabajando sobre el reloj de 8 horas Z 8 podemos
escribir simplemente 35 ≡ 3. Podríamos decir que, usando los números de Z8, el 35 y
el 3 son el mismo número. Además, si multiplicamos un número por otro, nuestra
aritmética de reloj también funciona. Por ejemplo: 10 ≡ 2 (mod 8), si multiplicamos por
3 ambos lados de la igualdad tenemos que 30 ≡ 6 (mod 8), y así es, 30 = 8x4 + 6.
En general, llamaremos Zn = {0, 1,..., n-2, n-1}, que equivaldría a un reloj de n
horas.
Pasemos ahora al problema de cómo hacer nudos con una tira de papel para
obtener un polígono cualquiera.
Supongamos que queremos hacer un nudo octagonal con una tira de papel.
Papiroflexia y Matemáticas
Supondremos que la tira entra a formar el octógono por el lado 0 (Ver imagen
inferior).
Luego la tira cruza el octógono hasta llegar a algún otro lado, por ejemplo el 3,
y en ese lado se pliega. Para que el octógono sea regular este último pliegue ha de ser
simétrico, esto es, el nuevo pliegue debe hacer que la tira cruce de nuevo el octógono
de la misma manera pero yendo ahora hacia el nodo 3 + 3 = 6. Después de doblar la
tira en el lado 6 debemos ir hacia el siguiente sumando de nuevo 3. Pero 6+3=9 y sólo
tenemos números de 0 hasta 7. Aquí entra en juego la aritmética modular, ya que 9 ≡
1 (mod 8).
Continuando así tenemos 1 + 3 ≡ 4, 4 + 3 ≡ 7, 7 + 3 ≡ 2, 2 + 3 ≡ 5, 5 + 3 ≡ 0 y
ya hemos recorrido los 8 lados del octógono. Por tanto tenemos el nudo octogonal
terminado.
La forma de hacer el octógono ha sido la siguiente:
• Empezamos a hacerlos desde el lado 0.
• Buscamos un número entre 2 y 6 (notad que no se pueden usar los lados 1 y
7 por ser los contiguos al lado 0) tal que al sumarlo una y otra vez nos genere todos
los números de Z8. Esto querrá decir que al ir doblado la tira se formaran todos los
lados del octógono.
Si intentamos hacer un nudo hexagonal de forma análoga, trabajando sobre Z 6
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, hemos de elegir un número ( 2, 3 ó 4 ) de forma que al sumarlo
una y otra vez generemos todos los elementos de Z6. Pero:
Si elegimos el 2
2+2 ≡4
4+2 ≡0
0+2 ≡2
2+2 ≡4
...
Si elegimos el 3
3+3 ≡0
0+3 ≡3
3+3 ≡0
...
Si elegimos el 4
4+4 ≡2
2+4 ≡0
0+4 ≡4
4+4 ≡2
...
En los tres casos se repiten una y otra vez los números sin rellenar conseguir
todos los de Z6. No existe el número buscado y por tanto es imposible hacer un nudo
hexagonal de esta manera.
Hemos visto que se puede hacer un pentágono, un heptágono y un octógono, y
que no que no se puede hacer un hexágono. En general, ¿se podrá hacer de esta
Papiroflexia y Matemáticas
manera un polígono de n lados? Para ellos nos situamos en Zn = {0, 1,..., n-2, n-1} y
lo que buscamos es un número k entre los números 2, 3, …, n-3, n-2 de manera que
cumpla que {k, k+k, k+k+k,..., k+..(n)..+k} = Zn
Es decir {k, 2k, 3k,..., nk} = Zn.
Por tanto los números k, 2k, 3k,..., nk deben ser distintos entre sí en Zn.
Veamos que si k es unidad se cumple que k, 2k, 3k,..., nk son todos distintos en Zn.
Diremos que k es una unidad si existe un número h de manera que kh ≡ 1 (mod n).
Por ejemplo en Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} el 3 es unidad porque si lo
multiplicamos por 5 tenemos que 3x5 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7).
Si probamos que los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos, entonces tendremos
n números distintos en Zn y por tanto {k, 2k, 3k,..., nk} = Zn.
Si k es unidad en Zn, los números k, 2k, 3k,..., nk son distintos en Zn.
Demostración:
Supongamos que no es cierto. Entonces habría dos números m1 y m2 distintos
en Zn tales que m1k ≡ m2k. Por ser k unidad existe un número h tal que kh ≡ 1.
Entonces, multiplicando m1k ≡ m2k por h se tiene que m1kh ≡ m2kh, y como kh ≡ 1, m1≡
m2, lo que contradice que sean distintos. Por tanto, se cumple la tesis del enunciado.
Con esto, para formar el nudo, sólo es necesario buscar un número k entre los
números 2, 3,…, n-3, n-2 que sea unidad.
Existe una función que nos ayudara a buscar estas unidades. Es la función φ de
Euler. La función φ(n) proporciona para cada valor de n el número de unidades que hay
en Zn.
Los números 1 y n-1 siempre son unidades en Z n, pues 1x1 ≡ 1 y (n-1)(n-1) ≡ (1)(-1) ≡ 1. Por tanto, para n>6 (es decir, si queremos construir un nudo poligonal de
más de 6 lados, como es nuestro caso) tenemos que φ(n)≥2, ya que al menos hay dos
unidades en Zn. Además se comprueba fácilmente que el 0 nunca es unidad.
Bastará que la función φ(n) valga 3 o más para que existan 3 unidades al
menos, de las cuales, una de ellas la podremos encontrar entre 2, 3,…, n-3, n-2.
En http://es.wikipedia.org/wiki/Función_φ_de_Euler está la definición de la
función de Euler. No es difícil comprobar que si n>6, la función φ(n)≥3.
Por tanto, queda probado que se puede construir cualquier polígono de n lados
haciendo un nudo de la misma manera que se hace el nudo pentagonal.
Hay que decir que en la práctica no es sencillo hacer un nudo con un tira de
papel que tenga más de 7 lados (incluso el hacer el nudo heptagonal no es sencillo).
Pero es posible.
Fuentes consultadas:
- Obras completas de Miguel de Unamuno, Volumen 5 (se puede consultar
desde la Web de de la Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes, aquí)
- Web de la Asociación Española de Papiroflexia, sección de Unamuno
- www.foldastar.com
- www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760
- www.geocities.com/mmukhopadhyay/creation/star.html
- ‘Folding Knots from Strips’ Origami Tanteidan, n. 89. Tom Hull.
Papiroflexia y Matemáticas
- “Matematical Games”, Scientific American, Julio de 1959. Martin Gardner.
- “A note on knots”, American Mathematical Monthly, Vol.31, Mayo de 1924.
F.V.Morley
Gracias a David Lister por toda la información y ayuda que me ha
proporcionado para escribir este artículo.