Resuelve la ecuación diferencial ordinaria de quinto orden, mediante un cambio de variable que reduzca su orden, 1 d4 y d5 y =0 dx5 x dx4 Solución: Haciendo el cambio de variable d4 y = p (x) dx4 la ecuación queda dp 1 p=0 dx x que es una ecuación de primer orden de variables separables. Reordenando los términos, para separar las variables, la escribimos como dp dx = p x y ahora integramos ambos miembros de la ecuación R dp R dx = p x que se integra como ln p = ln x + ln c donde c es una constante arbitraria. Tenemos por tanto p = cx Ahora nos regresamos a y, d4 y = p (x) = cx dx4 Integramos respecto a x; R d4 y R dx = cxdx 4 dx queda 3 d y 1 = cx2 + c1 3 dx 2 donde c1 es una nueva constante arbitraria. Integramos de nuevo respecto a x, R 1 2 R R d3 y dx = cx dx + c1 dx 3 dx 2 donde c2 es otra constante arbitraria. y tenemos d2 y 1 = cx3 + c1 x + c2 dx2 6 Y otra vez 2 R d y R 1 3 R R dx = cx dx + c1 xdx + c2 dx 2 dx 6 y se obtiene dy 1 4 1 = cx + c1 x2 + c2 x + c3 dx 24 2 donde c3 es otra constante arbitraria. Por último R dy R 1 4 R 1 R R dx = cx dx + c1 x2 dx + c2 xdx + c3 dx dx 24 2 y queda 1 1 1 1 y (x) = cx5 + c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4 120 6 2 donde c3 es otra constante arbitraria. Finalmente tenemos y (x) = a1 x5 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5 donde a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 son constantes arbitrarias. Notese que la ecuación es de quinto grado y tenemos cinco constantes de integración arbitrarias. 2