PropExTipoSegParMate2007-1

Maestría en el Padrón Nacional de Posgrado de CONACyT
EXAMEN TIPO PARA SEGUNDO PARCIAL
MATEMÁTICAS
Semestre 2007-1
INSTRUCCIONES
Se deberán contestar 5 preguntas asignadas aleatoriamente que se harán llegar junto
con el examen por el examinador externo. En el caso de preguntas con incisos se
indicará los que tiene que resolver. Lo anterior provoca que cada estudiante elabore
un examen individual.
El examen es a libro abierto y se permite utilizar calculadora sencilla. La duración del
examen es de 3 horas.
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
a) Sea f(t) el capital invertido por una empresa en el tiempo t. Y sea f´(t) la
tasa de cambio, del capital invertido, también llamada inversión neta. Suponga
que la empresa decide que la inversión óptima es de C, unidades monetarias
en el momento t. La tasa de inversión neta deberá ser proporcional a la
diferencia entre C y el capital invertido total (k). Construya la ecuación
diferencial que describe esta situación (k, c son constantes no negativas).
Resolver esta ecuación cuando C=4 y K=3.
b) Obtenga la ecuación diferencial que corresponda a las funciones f 1 , f2 y f3
f1 ( x)  x,
f 2 ( x)  e x ,
f 3 (c)  xe x
c) Encuentre la solución general y definida de la siguiente ecuación diferencial
y demuestre si origina una trayectoria temporal con Fluctuaciones
amortiguadas, fluctuación uniforme o fluctuación explosiva.


y  4 y  y  4t  1 y ( )  0, y( )  0 ,
2
2
1
1
d) Demuestre que sen  y cos  son soluciones de la ecuación diferencial
 x
 x
d  2 dy  y
x

0
dx  dx  x 2
2. En las siguientes ecuaciones diferenciales, encuentre la solución del problema
dado de valores iniciales. Indicar el intervalo en el cual la solución es válida.
3. Halle una solución continua para cada problema de valores iniciales dado
a)
donde
b)
,
donde
c)
donde
4. Una cantidad de dinero A, invertida a una tasa anual de interés k y compuesta
continuamente satisface la ecuación diferencial dA/dt = k A . Cuanto tiempo
necesita una inversión para duplicarse si la tasa anual de interés es 4%, 5% y 6%?
5. Considere el siguiente modelo de mercado.
Qdt    Pt
(Demanda)
Qst    Pt
*
Qdt  Qst
(Oferta)
0 0  0
En el cual pt* denota el precio esperado para el periodo t. Si los
vendedores tienen una expectativa de precio “de adaptación” tal que
Pt*  Pt*1  (Pt 1  Pt*1 )
0  1
a) Demuestre que el mercado puede representarse mediante la
ecuación en diferencias de primer orden.

 (   )
) Pt 


Sugerencia: Resuelva la ecuación de la oferta para determinar
Pt* y observe que Qdt  Qst    Pt
Pt 1  (1   
b) Encontrar la trayectoria temporal del precio y determine su
naturaleza, oscilante, divergente, etc.
6.- Considere el sistema no homogéneo siguiente:
y1'  3 y1  2 y2  t 3
y2'  3 y1  y2  3t 3
a) Encuentre una solución particular de la forma y(t )  B0  tB1  t 2 B2  t 3B3
b) Encuentre una solución del sistema con y1 (0)  y2 (0)  1
7) Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias.
a) 2 yt  2  8 yt 1  8 yt  3 ( y0  1, y1  6)
b) 2 yt  2  3 yt 1  yt  6 ( y0  0, y1  3)
c) Obtener la ecuación en diferencias lineal de segundo orden que
corresponda a la solución
yt  c1 2t  c2 3t
yt  c1 cost  c2 sent
9) Encuentre la solución general, particular y homogénea de las siguientes
ecuaciones en diferencias y explicar el tipo de solución
a) yt  a  .8 yt 1  .1yt 2  3xt
b) yt  2.3  1.1yt 1  0.2 yt 2  1.2zt
c) yt  1.1  1.3 yt 1  0.8xt 2  2.3zt
8) Dada las siguientes funciones de Demanda y de Oferta.
Qdt  10  4 pt  1.5 yt
Qst  3 pt 1
( Demanda)
(Oferta)
Donde Q es la cantidad, p el precio e y el ingreso
a)
b)
c)
d)
Obtener el modelo de telaraña para el precio.
Resolver la ecuación y determinar si el equilibrio es estable.
Cual es la condición de existencia del equilibrio?
Graficar la telaraña para las funciones de oferta y demanda para
t=,1,2,3,4,5
9) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en diferencia.
 1.5 yt 1  7.5 yt  9 xt  12
3 yt  3xt 1  3
yt 1  1.5 yt  0.5 xt
xt 1  0.11yt  0.85xt
10) Dado el siguiente programa matemático y el punto
Maxim izar  ( x1  1) 2  ( x2  2) 2
s.a.
2  x1  0
1  x2  0
x1  o, x2  0
a) Demostrar que la función objetivo es cóncava.
b) Compruebe que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en el punto x(1,0)
11) Resolver el siguiente programa:
Max.
  x1  2 x2
s. a .
x 121  x22  4
x1 , x2  0