Diapositiva 1 - Universidad de Huelva

Presentación
Tema 4: Osciladores Senoidales..
En el tema 4 se analizan distintos circuitos que producen en su salida una onda
senoidal, y para cada uno de ellos se obtienen:
a) La ecuación correspondiente a la frecuencia de oscilación.
b) La ecuación que establece la condición que ha de cumplirse para que se
produzcan y mantengan dichas oscilaciones.
Todo este análisis está basado en el criterio de Barkhausen.
CUESTIONES DEL TEMA - IV
1. Introducción. …………………………………………………………..T1
2. Principios básicos para la oscilación……………………………..T2
3. Clasificación de los osciladores senoidales……………………..T10
4. El Oscilador en puente de Wien…………………………………….T12
5. El Oscilador de desplazamiento de fase………………………….T17
6. Generalidades de los osciladores LC……………………………..T23
7. El oscilador Colpitts…………………………………..……………..T26
8. El oscilador Hartley…………………………………………………..T31
9. Osciladores de cristal………………………………………………..T36
Gerardo Maestre
Universidad de Huelva
0
1. Introducción.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
¾ Un oscilador es un amplificador inestable que genera en su salida una forma de
onda periódica, con amplitud y frecuencia fija, sin ninguna señal externa de entrada.
¾ Un amplificador con realimentación negativa es inestable si posee un margen de
fase igual o menor que cero. Con esta condición la realimentación negativa se
convierte en positiva y la salida del amplificador será oscilatoria.
Existen dos tipos de osciladores:
OSCILADORES SENOIDALES:
Producen en su salida una forma de onda senoidal.
OSCILADORES DE RELAJACIÓN.
Producen formas de ondas cuadradas, rectangulares, triangulares, pulsos, etc.
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1
2. Principios básicos para la oscilación.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Amplificador Básico
Vi = 0
+
+
Ve ( ω0 )
Vf ( ω0 )
V0 ( ω0 )
A vf
β ( ω0 )
Red selectiva de la
frecuencia de osclación ω0
Características del oscilador senoidal:
¾Realimentación positiva sin señal de entrada.
¾ω0 es la frecuencia de la salida del oscilador.
¾Un amplificador básico (inversor o no inversor ) con ganancia Avf y alta resistencia de
estrada
¾Una red de realimentación que selecciona la frecuencia de oscilación ( Normalmente
es una red “RC”, una red”LC” o un “cristal piezoeléctrico”).
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2. Principios básicos para la oscilación.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
La salida del oscilador es:
Vo( jω0 ) = Avf × Ve( jω0 )
La salida de la red selectiva de frecuencia es:
Vf ( jω0 ) = β( jω0 ) × V0 ( jω0 )
Sustituyendo V0(jω0):
Vf ( jω0 ) = β( jω0 ) × Avf × Ve( jω0 ) ⇒
Vf ( jω0 )
= β( jω0 ) × Avf
Ve( jω0 )
Como Vf(jω0) = Ve(jω0) la ecuación anterior queda de la forma:
β ( jω0 ) × Avf = 1
La función de transferencia de lazo es igual a la unidad.
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3
2. Principios básicos para la oscilación.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
La ecuación subrayada se conoce como el Criterio de Barkhausen el cual establece las
dos condiciones que han de cumplirse para que se produzcan y se mantengan las
oscilaciones senoidales a la frecuencia de oscilación ω0.
Consideramos 1 como un vector 1 + j0, cuyo módulo es 1 y cuyo ángulo de fase es
0º o 360º.
CONDICIÓN DE MÓDULO.
El módulo de la función de transferencia de lazo, a la frecuencia de oscilación ω0,
ha de ser igual a la unidad. (En la práctica ligeramente superior a la unidad).
β( jω0 ) × Avf = 1
CONDICIÓN DE ÁNGULO.
El ángulo de fase de la función de transferencia de lazo ha de ser igual a 0º o 360º.
∠β( jω0 ) × Avf = (0º o 360º )
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Tema 4: Osciladores Senoidales..
2. Principios básicos para la oscilación.
Un ángulo de fase de 0º o 360º equivale a decir que la parte imaginaria de la
función de transferencia de lazo vale cero
a) Si el amplificador básico es un amplificador inversor de tensión, la
red selectiva de frecuencia debe producir un ángulo de fase de 180º.
b) Si el amplificador básico es un amplificador no inversor de tensión, la
red selectiva de frecuencia debe producir un ángulo de fase de 0º o de
360º.
Ejercicio 1.
En el oscilador senoidal de la figura siguiente determinar la ecuación de la
frecuencia de oscilación y los valores de R y R1 necesarios para producir y
mantener las oscilaciones.
En este ejercicio seguiremos, de forma detallada, los pasos para analizar los
circuitos osciladores senoidales.
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Tema 4: Osciladores Senoidales..
+
_
49k
1k
0
R1
1
+
L
C
Vf
_
+
R
Vo
2
0
_
Z
► Obtener la función de transferencia del amplificador básico:
⎛ 49 ⎞
Avf = ⎜ 1 + ⎟ = 50
1 ⎠
⎝
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Tema 4: Osciladores Senoidales..
► Obtener la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia.
β (s ) =
Vf ( s )
Z(s)
=
Vo ( s ) R1 + Z(s)
Calculamos Z(s):
1
sLR
×
sLR
1
1
sLR
Z(s) = ( R // sL ) //
=
//
= sC R + sL =
sC R + sL sC 1 + sLR
R + sL + s 2 RLC
sC R + sL
Sustituyendo Z(s):
sLR
2
sRL
R
sL
s
RLC =
+
+
β(s ) =
2
sLR
R
R
+
sR
L
+
s
R1RLC + sRL
1
1
R1 +
2
R + sL + s RLC
sRL
β(s ) = 2
s R1RLC + sL ( R1 + R ) + R1R
►Obtener la función de transferencia compleja de la ganancia de lazo:
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β ( s ) × A vf =
s50RL
s 2 R1RLC + sL ( R1 + R ) + R1R
► Obtener la función de transferencia en alta frecuencia de la ganancia de lazo.
β ( jω) × Avf =
jω50RL
R1R + jωL ( R1 + R ) − ω2 R1RLC
Multiplicamos numerador y denominador por “-j”. (Para conseguir que el numerador
de la función contenga solo parte real)
β ( jω) × Avf =
ω50RL
ω50RL
=
− jR1R + ωL ( R1 + R ) + jω2 R1RLC ωL(R1 + R) + jR1R ( ω2 LC − 1)
► Aplicamos la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria
igual a cero para obtener la frecuencia de oscilación ω = ω0).
(ω
0
2
LC − 1) = 0
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Tema 4: Osciladores Senoidales..
ω0 =
ω2 0 =
1
LC
1
rad / sg
LC
⇒
fo =
1
Hz
2π LC
►Aplicamos la condición de módulo del criterio de Barkhausen para hallar la condición
de oscilación a la frecuencia ω = ω0:
β ( jω0 ) × Avf =
ω0 50RL
50R
=
=1
ω0 L(R1 + R) (R1 + R)
50R = R1 + R
R1 =49R
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3. Clasificación de los osciladores senoidales.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
†
De acuerdo con la composición de la red selectiva de frecuencia
distinguimos tres tipos de osciladores senoidales:
(a) Osciladores RC.
¾La red selectiva está formada por resistencias y condensadores.
¾Generan ondas de salida senoidales con frecuencia desde varios Hz. hasta varios K Hz.
¾Los osciladores RC típicos son:
• El Oscilador en puente de Wien.
• El oscilador de cambio de fase.
(b) Osciladores LC.
¾La red selectiva está formada por bobinas y condensadores.
¾Generan ondas senoidales con frecuencia desde varios KHz. hasta varios cientos MHz.
¾Los osciladores LC típicos son:
• El Oscilador Colpitts.
• El oscilador Hartley.
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3. Clasificación de los osciladores senoidales.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
(c) Osciladores de cristal piezoeléctrico.
¾La red selectiva de frecuencia contiene un cristal piezoeléctrico.
¾Generan ondas senoidales con frecuencia desde varios KHz. hasta varios MHz.
¾Los osciladores de cristal piezoeléctrico se utilizan cuando se requieren ondas
senoidales con frecuencias muy estables:
Oscilador LC
Oscilador RC
Varios Hz
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Oscilador de Cristal
Varios KHz
Varios MHz
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Varios
cientos MHz
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4. El Oscilador en puente de Wien.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
La arquitectura de un oscilador senoidal en puente de Wien se muestra a continuación.
+
Vo
_
R2
R1
Z1
0
C
R
+
+
C
Vf
R
_
0
0
Z2
Vo
_
La función de transferencia del amplificador básico es:
⎛ R2 ⎞
Avf = ⎜1 +
⎟
R1 ⎠
⎝
La función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:
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4. El Oscilador en puente de Wien.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Z2 (s)
Vf (s)
=
Vo(s) Z2 (s) + Z1 (s)
β(s ) =
Siendo:
1
sC = R
Z2 (s) =
1 1 + sRC
R+
sC
R×
y
Sustituyendo Z1(s) y Z2(s):
Z1 (s) = R +
1 1 + sRC
=
sC
sC
Multiplicando por sC(1+sRC)
R
1 + sRC
β(s) =
R
1 + sRC
+
1 + sRC
sC
β(s) =
sRC
sRC + (1 + sRC )
2
=
sRC
sRC
=
2
sRC + 1 + 2sRC + s 2 R 2 C2 s 2 R 2 C2 + 3sRC + 1
La función de transferencia compleja de lazo es:
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4. El Oscilador en puente de Wien.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
⎛ R2 ⎞
sRC ⎜1 +
⎟
R1 ⎠
⎝
Avf × β(s) = 2 2 2
s R C + 3sRC + 1
Sustituyendo s = jω, obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de
la ganancia de lazo:
⎛ R2 ⎞
jωRC ⎜1 +
⎟
R1 ⎠
⎝
β ( jω) × Avf =
−ω2 R 2 C2 + j3ωRC + 1
Multiplicando por “-j”
⎛ R2 ⎞
⎛ R2 ⎞
ωRC ⎜1 +
ω
RC
⎟
⎜1 +
⎟
R1
R1 ⎠
⎝
⎠
⎝
β ( jω) × Avf = 2 2 2
=
jω R C + 3ωRC − j 3ωRC + j( ω2 R 2 C2 − 1)
Aplicamos la condición de ángulo, igualando la parte imaginaria a cero y haciendo
ω = ω0, para obtener la frecuencia de oscilación
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4. El Oscilador en puente de Wien.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
(ω
0
2
R C − 1) = 0
2
2
ω2 0 =
ω0 =
1
rad / seg
RC
f0 =
1
Hz
2πRC
1
R 2C2
Aplicando la condición de módulo para ω = ω0:
1
⎛ R2 ⎞
⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞
ω0 RC ⎜ 1 +
RC
⎟
⎜1 +
⎟ ⎜1 +
⎟
R1
RC
R1
R1 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
β ( jω0 ) × Avf =
=
=
=1
1
3ω0 RC
3
3
RC
RC
Operando obtenemos la condición para que se produzcan y mantengan las oscilaciones:
⎛ R2 ⎞
⎜1 +
⎟=3
R1 ⎠
⎝
Gerardo Maestre
R 2 = 2R1
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4. El Oscilador en puente de Wien.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
En la práctica se toma R2 ligeramente superior a 2R1. (Sobre un 5%). Esto hace
que la amplitud de la oscilaciones pueda aumentar hasta la saturación del AO.
Para estabilizar la amplitud de las oscilaciones se suele agregar al oscilador
elementos no lineales. (En el ejemplo siguiente, una rama en paralelo con R2 que
contiene dos diodos zener en oposición)
+
_
R2=2R1+5%(2R1)
R1
0
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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
La arquitectura de un oscilador senoidal de desplazamiento de fase se muestra a
continuación.
R2
_
Vo
R1
+
0
C
C
C
+
+
R
R
R
Vf
Vo
_
0
0
0
_
La red selectiva contiene tres células RC que deben producir cada una un ángulo de
fase de 60º.
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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Para hallar la función de transferencia compleja de la red selectiva aplicaremos la ley
de las corrientes de Kirchhoff al circuito siguiente:
C
VF
I6
I1 = I 2 + I3
R
C
VY
I4
I5
0
R
I2
0
VX
R
sRCV0 − sRCVX = sRCVX − sRCVY + VX
sCV0 − sCVX = sCVX − sCVY +
sRCV0 = (1 + s2RC)VX − sRCVY
C
VX
I3
R
Vo
I1
0
⎛ 1 + s2RC ⎞
⇒ V0 = ⎜
⎟ VX − VY
sRC
⎝
⎠
I 2 = I 4 + I5
VY
R
sRCVX − sRCVY = sRCVY − sRCVF + VY
sCVX − sCVY = sCVY − sCVF +
⎛ 1 + s2RC ⎞
⇒ VX = ⎜
⎟ VY − VF
⎝ sRC ⎠
sRCVX = (1 + s2RC)VY − sRCVF
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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Sustituyendo:
V0 =
(1 + s2RC )
s 2 R 2C2
2
VY
1 + s2RC )
(
V
−
sRC
F
− VY
1 + s2RC )
⎛ 1 + s4RC + s 2 4R 2 C2 ⎞
(
V0 = ⎜
− 1⎟ VY −
VF
2 2 2
sR C
sRC
⎝
⎠
⎛ 1 + s4RC + s 2 4R 2 C 2 − s 2 R 2 C2 ⎞
(1 + s2RC ) V
V0 = ⎜
V
−
F
⎟ Y
s 2 R 2C2
sRC
⎝
⎠
⎛ 1 + s4RC + s 2 3R 2 C2 ⎞
(1 + s2RC ) V
V0 = ⎜
V
−
⎟ Y
F
2 2 2
s
R
C
s
R
C
⎝
⎠
I 4 = I6
sCVY − sCVF =
VF
R
sCRVY − sCRVF = VF
⎛ 1 + sRC ⎞
⇒ VY = ⎜
⎟ VF
⎝ sRC ⎠
sCRVY = (I + sCR)VF
Gerardo Maestre
Sustituyendo:
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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
1 + s4RC + s 3R C ) (1 + sRC )
(
(1 + s2RC ) V
=
V −
sRC
( s R C ) sRC
2
V0
2
2
2
2
F
2
V0
1 + s4RC + s 3R C
(
=
V0
1 + s4RC + s 3R C
(
=
2
2
2
2
2
F
+ sRC + s 2 4R 2 C2 + s3 3R 3C3 )
s 3 R 3 C3
2
VF −
(1 + s2RC ) V
sRC
F
+ sRC + s 2 4R 2 C2 + s3 3R 3C3 − s 2 R 2 C2 − s3 2R 3C3 )
3
3
sRC
3
VF
s3 R 3C3 + s 2 6R 2 C2 + s5RC + 1
V0 =
VF
s 3 R 3C3
VF ( s )
s 3 R 3C3
β(s) =
= 3 3 3 2 2 2
V0 ( s ) s R C + s 6R C + s5RC + 1
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20
Tema 4: Osciladores Senoidales..
5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
La función de transferencia del amplificador básico es:
Avf = −
R2
R1
La función de transferencia compleja de lazo es:
⎛ R2 ⎞
−s R C ⎜
R1 ⎟⎠
⎝
β ( s ) Avf = 3 3 3 2 2 2
s R C + s 6R C + s5RC + 1
3
3
3
Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia de lazo en alta frecuencia :
⎛R ⎞
jω3 R 3C3 ⎜ 2 ⎟
⎝ R1 ⎠
β ( jω) Avf =
− jω3 R 3C3 − 6ω2 R 2 C 2 + jω5RC + 1
Multiplicando por –j:
⎛ R2 ⎞
3 3 3 ⎛ R2 ⎞
ωRC ⎜
ωRC ⎜
⎟
⎟
R
R1 ⎠
1 ⎠
⎝
⎝
β ( jω) A vf =
=
−ω3 R 3C3 + j6ω2 R 2 C2 + 5ωRC − j ωRC ( 5 − ω2 R 2 C2 ) + j( 6ω2 R 2 C2 − 1)
3
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3
3
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21
5. El Oscilador de desplazamiento de fase.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Aplicamos la condición de ángulo, igualando la parte imaginaria a cero y
haciendoω = ω0, para determinar la frecuencia de oscilación.
6ω0 2 R 2 C2 − 1 = 0 ⇒ ω0 2 =
1
6R 2 C2
1
⎧
ω
=
⎪⎪ 0 RC 6 rad/seg
⎨
1
⎪f =
rad/seg
⎪⎩ 0 2πRC 6
Aplicamos la condición de módulo con ω = ω0 para hallar la condición de oscilación.
⎛ R2 ⎞
1
2 2 2 ⎛ R2 ⎞
2 2 ⎛ R2 ⎞
ω0 R C ⎜
ω0 R C ⎜
R C ⎜
⎟
⎟
⎟
2 2
R
R
6R
C
⎝ 1⎠ =
⎝ 1⎠=
⎝ R1 ⎠ = 1
1
5 − ω0 2 R 2 C2
2 2
ω0 RC ( 5 − ω0 2 R 2 C2 )
5−
R
C
2 2
6R C
3
3
3
β ( jω) A vf
Gerardo Maestre
1 R2 1 R2 R2
6 R1 6 R1 R1
=
=
=
=1
1
29
29
5−
6
6
⇒
R2
= 29
R1
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R 2 = 29R1
22
6. Generalidades de los osciladores LC.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Los osciladores senoidales LC tienen una red selectiva de frecuencia en forma de π
(pi).
Amplificado
Básico
o V0
Z
Z1
Z2
Red selectiva
de frecuencia
Para el análisis de los osciladores LC utilizaremos como Amplificador Básico un transistor
MOSFET, puesto que este presenta una impedancia de entrada infinito
A continuación se muestra el circuito equivalente de un MOSFETcon una resistencia RD
conectada en el drenador.
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23
6. Generalidades de los osciladores LC.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
D
G
Vo
o
+
Vi
_
gmVi
r0
RD
S
0
Siendo:
g m = 2KI D
r0 =
VA
ID
= Transconductancia.
= Resistencia de salida del transistor.
ID = Corriente de polarización del drenador.
VA = Tensión Early.
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24
6. Generalidades de los osciladores LC.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Por razones de simplicidad utilizaremos el siguiente circuito para un oscilador LC:
Vo
o
+
Vi
R0
gmVi
_
IG = 0
0
+
+
Z
Vi
Z1
V0
Z2
_
_
0
0
Donde:
R 0 = R D // r0
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25
7.El oscilador Colpitts.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Arquitectura del oscilador Colpitts. (Z1 y Z2 son capacidades y Z es una autoinducción).
Vo
o
R0
+
Vi
gmVi
_
I0
0
L
+
+
C2
VF
_
C1
I2
0
I1
V0
_
0
Para determinar la función de transferencia compleja del Amplificador Básico
aplicamos la ley de las corrientes de Kirchhoff al nudo subrayado con línea gruesa.
gmVi + I0 + I1 + I2 = 0
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26
7.El oscilador Colpitts.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
g m Vi (s) +
Vo(s) Vo(s)
Vo(s)
+
+
=0
1
1
Ro
sL +
sC1
sC 2
−g m Vi (s) =
Vo(s)
sC Vo(s)
+ sC1Vo(s) + 2 2
=0
Ro
1 + s LC2
⎛ 1
sC2 ⎞
−g m Vi (s) = ⎜
+ sC1 +
⎟ Vo(s)
2
1 + s LC 2 ⎠
⎝ Ro
⎛ 1 + s 2 LC + sR C + s3 R LC C + sR C ⎞
2
0 1
0
1 2
0 2
⎟ Vo(s)
−g m Vi (s) = ⎜
2
⎜
⎟
R 0 (1 + s LC2 )
⎝
⎠
−g m R 0 (1 + s 2 LC2 )
V0 (s)
Avf (s) =
=
Vi (s) 1 + s 2 LC2 + sR 0 C1 + s3 R 0 LC1C2 + sR 0 C 2
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27
7.El oscilador Colpitts.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Avf (s) =
−g m R 0 (1 + s 2 LC2 )
s3LR 0 C1C2 + s 2 LC2 + sR 0 ( C1 + C2 ) + 1
Por otro lado, la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:
β(s) =
VF ( s )
V0 (s)
1
sC2
=
sL +
1
sC 2
=
1
1 + s 2 LC2
La función de transferencia compleja de la ganancia de lazo es:
−g m R 0 (1 + s 2 LC 2 )
1
β(s)Avf (s) =
× 3
2
(1 + s LC2 ) s LR 0C1C2 + s2 LC2 + sR 0 ( C1 + C2 ) + 1
Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de
la ganancia de lazo:
β( jω)Avf ( jω) =
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−g m R 0
− jω3LR 0 C1C2 − ω2 LC2 + jωR 0 ( C1 + C2 ) + 1
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28
7.El oscilador Colpitts.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Agrupando términos:
β( jω)Avf ( jω) =
−g m R 0
(1 − ω2 LC2 ) + jωR 0 ⎡⎣( C1 + C2 ) − ω2 LC1C2 ⎤⎦
Aplicando la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria cero):
( C1 + C2 ) − ω0 2 LC1C2 = 0
ω0 2 =
C1 + C2
1
1
=
=
LC1C2 L C1C2
LCeq
C1 + C2
Siendo
Ceq =
C1C2
C1 + C2
Obtenemos la ecuación de la frecuencia de oscilación.
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29
7.El oscilador Colpitts.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
1
ω0 =
rad / seg
LCeq
1
f0 =
Hz
2π LCeq
Aplicando la condición de módulo para ω = ω0.
−g m R 0
−g m R 0
−g m Ro
−g m Ro
β( jω0 )Avf ( jω0 ) =
=
=
=
=1
2
+
+
C
C
C
C
C
(1 − ω0 LC2 ) 1 − 1 2 × LC2 1 − 1 2 − 2
LC1C2
C1
C1
Obtenemos la condición para que el oscilador Colpitts oscile y mantenga las
oscilaciones.
gmR o =
C2
C1
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30
8. El oscilador Hartley.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Arquitectura del oscilador Hartley. (Z1 y Z2 son autoinducciones y Z es una capacidad).
Vo
o
+
gmVi
Vi
_
R0
I0
0
C
+
VF
+
L2
_
L1
I2
V0
_
I1
0
0
Para determinar la función de transferencia compleja del Amplificador Básico
aplicamos la ley de las corrientes de Kirchhoff:
gmVi(s) + I0 + I1 + I2 = 0
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31
8. El oscilador Hartley.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
g m Vi (s) +
V0 (s) V0 (s)
V0 (s)
+
+
=0
1
R0
sL1
sL 2 +
sC
Operando:
⎛ 1
⎞
V0 (s) V0 (s)
sCV0 (s)
1
sC
⎟ V0 (s)
−g m Vi (s) =
+
+
=⎜
+
+
2
2
⎜
R0
sL1
(1 + s L2C ) ⎝ R 0 sL1 (1 + s L2C ) ⎟⎠
s3 L1L 2 C + sL1 + s 2 R 0 L 2 C + R 0 + s 2 R 0 L1C
−g m Vi (s) =
V0 (s)
2
sR 0 L1 (1 + s L 2 C )
−g msR 0 L1 (1 + s 2 L 2 C )
V0 (s)
Avf (s) =
= 3
Vi (s) s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0
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32
8. El oscilador Hartley.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Por otro lado, la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:
VF ( s )
s 2 CL 2
β(s) =
=
=
V0 ( s ) sL + 1 (1 + s 2 CL 2 )
2
sC
sL 2
La función de transferencia compleja de la ganancia de lazo es:
−g m sR 0 L1(1 + s 2 CL 2 )
s 2 CL 2
β ( s ) Avf (s) = 3
×
s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0 (1 + s 2 CL 2 )
−g ms3 R 0 CL1L 2
β ( s ) Avf (s) = 3
s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0
Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de
la ganancia de lazo:
jg m ω3 R 0 CL1L 2
β ( jω) Avf ( jω) =
− jω3CL1L 2 − ω2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + jωL1 + R 0
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33
Tema 4: Osciladores Senoidales..
8. El oscilador Hartley.
Multiplicando por -j:
g m ω3 R 0 CL1L 2
β ( jω) Avf ( jω) =
−ω3CL1L 2 + jω2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + ωL1 − jR 0
Agrupando términos:
g m ω3R 0 CL1L 2
β ( jω) Avf ( jω) =
ωL1 (1 − ω2 CL 2 ) + jR 0 ⎡⎣ω2 C ( L1 + L 2 ) − 1⎤⎦
Aplicando la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria cero):
( ω C[L
2
0
ω0 2 =
1
+ L 2 ]) − 1 = 0
1
C ( L1 + L 2 )
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1
⎧
ω
=
rad/seg
⎪ 0
C ( L1 + L 2 )
⎪
⎨
1
⎪ f =
Hz
⎪ 0 2π C ( L1 + L 2 )
⎩
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34
8. El oscilador Hartley.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Aplicando la condición de módulo para ω = ω0.
g m ω03 R 0 CL1L 2
g m ω0 2 R 0 CL 2
β ( jω0 ) Avf ( jω0 ) =
=
=1
ω0 L1 (1 − ω0 2 CL 2 ) 1 − ω0 2 CL 2 )
Aplicando la condición de módulo para ω = ω0:
1
g m R 0 L2
R 0 CL 2
C ( L1 + L 2 )
g m R 0 L2
g R L
L1 + L 2
=
=
= m 0 2 =1
1
L2
L1 + L 2 − L 2
L1
1−
CL 2 ) 1 −
C ( L1 + L 2 )
L1 + L 2
gm
Obtenemos la condición para que el oscilador Hartley oscile y mantenga las
oscilaciones.
gmR 0 =
L1
L2
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35
9. Osciladores de cristal.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
La estabilidad de la frecuencia de oscilación de un oscilador es un parámetro
muy importante en muchos diseños.
Para un oscilador Colpitts la frecuencia de oscilación depende del valor de
la L de la C1 y de la C2 de la red selectiva de frecuencia. Estos
componentes varían con el envejecimiento, temperatura, tolerancia, etc.
De la ecuación del oscilador Colpitts:
1
ω =
LCeq
2
o
⇒
1
ωo L =
ωo Ceq
A la frecuencia de oscilación ωo las reactancias inductiva y capacitiva son
iguales. Se observa en la figura siguiente.
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36
Tema 4: Osciladores Senoidales..
9. Osciladores de cristal.
Reac tan cia
1
ωCeq
ωL
ωL'
ω
ωo ω'o
Cuando el valor de la inductancia varía desde L hasta L’ el valor de la
frecuencia de oscilación variá desde ω0 hasta ω0’.
Para obtener una elevadísima estabilidad en la frecuencia de oscilación se
utiliza como red selectiva de frecuencia un cristal (como el cuarzo) que
presentan el efecto piezoeléctrico.
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37
9. Osciladores de cristal.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
► Una deformación física entre sus caras produce en estas una tensión
eléctrica.
► Una tensión eléctrica aplicada entre sus caras produce una
deformación en el cristal
Se muestra el símbolo y el circuito eléctrico equivalente de un cristal
piezoeléctrico (R se desprecia).
L
C'
R
⇒
⎛
1 ⎞ 1
j
L
ω
+
⎜
jωC ⎠⎟ jωC'
⎝
X ( jω ) =
1
1
j ωL +
+
jωC jωC'
C
En la figura siguiente se muestra una representación de la reactancia del
cristal en función de la frecuencia.
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38
9. Osciladores de cristal.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
jX ( ω)
Inductiva
ωs
Capacitiva
Frecuencia de
resonancia en
serie
1
ωs =
LC
ω
ωp
ωp =
1
CC'
L
C + C'
Frecuencia de
resonancia en
paralelo
Presenta dos frecuencias de resonancia, ωS y ωP, muy próximas entre si.
Entre ambas frecuencias el cristal se comporta como una inductancia.
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39
9. Osciladores de cristal.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Oscilador Pierce. Oscilador Colpitts en el cual se ha sustituido la inductancia
por el cristal.
Vo
Vi
Ro
gmVi
0
XTAL
C2
0
C1
0
En resonancia la reactancia inductiva del cristal X(ω) ha de ser igual a la
reactancia equivalente de los condensadores C1 y C2:
X ( ω) =
Gerardo Maestre
1
ωo Ceq
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40
9. Osciladores de cristal.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
X ( ω)
1
ωCeq
ω
'
s
ω
La frecuencia de oscilación del Oscilador Pierce es virtualmente independiente
de las capacitancias de la red selectiva de frecuencia.
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41
Ejercicio
Tema 4: Osciladores Senoidales..
En el oscilador de la figura el MOSFET tiene el drenador polarizado a 1 mA a través
de una bobina de choque de radiofrecuencia ( RFC ).
Los parámetros del transistor son K=4 mA/V2. y VA=70 V. Obtener la condición para
la oscilación.
+12V
RFC
57.6M
Vo
C1
C2
12.1M
8k
Cp
0
0
0
Cp
Gerardo Maestre
0
L
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42
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Ejercicio
Los condensadores de paso CP son cortocircuitos (para pequeña señal) a la
frecuencia ω0 de oscilación.
La bobina de choque RFC es un circuito abierto (para pequeña señal) a la
frecuencia ω0 de oscilación.
Para pequeña señal la resistencia que existe entre puerta y masa del
transistor es:
57.6 ∗ 12.1
= 10 M
57.6 + 12.1
Esta resistencia es muy elevada y la despreciamos.
Con lo dicho, el circuito de pequeña señal quedará como se muestra en
la figura siguiente.
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43
Ejercicio
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Vo
En este caso R0 = r0
C1
C2
0
0
0
L
Vo
+
Vi
_
Ro
gmVi
I=0
0
L
+
+
C2
Vf
_
Vo
_
0
Gerardo Maestre
C1
0
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44
Ejercicio.
Tema 4: Osciladores Senoidales..
Como se observa se trata de un oscilador Colpitts en el cual la condición de
oscilación es
C2
g m ro =
C1
Calculamos la transconductancia.
g m = 2 K ∗ I D = 2 ∗ 4 ∗ 10 −310 −3 = 2.83 ∗ 10 −3
A
V
Calculamos la resistencia de salida.
ro =
VA
70
= −3 = 70 ∗ 10 3 Ω
I D 10
Calculamos:
g m ro = 2.83 ∗ 10 −3 ∗ 70 ∗ 10 3 = 198
Por tanto la condición para la oscilación es:
Gerardo Maestre
198 =
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C2
C1
⇒
C2 = 198C1
45