Modelo de Ebers-Moll para transistores de unión bipolar

Modelo de Ebers-Moll para transistores de unión bipolar
El transistor es un dispositivo no lineal que puede ser modelado utilizando
las características no lineales de los diodos. El modelo de Ebers-Moll es un
modelo de señal grande que comúnmente se utiliza para modelar los BJT. Una
versión del modelo se basa en suponer un diodo con polarización directa y un
diodo con polarización inversa. Esta configuración aparece en la figura D.1
para un transistor npn. Este modelo, conocido como versión de inyección del
modelo de Ebers-Moll, es válido para las regiones activa, de saturación y de
corte. Bajo condiciones de funcionamiento normal dentro de la región activa,
una unión del BJT tiene polarización directa, y la otra, inversa.
FIGURA D.1 Versión de inyección del modelo de Ebers-Moll para un transistor npn
αF IF
αR I R
+B+
(a) Versión de inyección del modelo
(b) Versión de inyección aproximada del
modelo
Los diodos emisor-base y colector-base pueden ser descritos utilizando la
característica del diodo Shockley de la ecuación (2.1):

VBE 

− 1
I F = I ES  exp
VT


(D.1)

VBC 
− 1
I R = I CS  exp
VT


(D.2)
Donde
VT = kT/q = 25.8 mV a 25°C
IES = Corriente de saturación inversa base-emisor del diodo
ICS = Corriente de saturación inversa base-colector del diodo
Tanto IES como ICS dependen de la temperatura. Si VBE > 0, el diodo DF tiene
polarización directa y su corriente IF genera una corriente correspondiente αFIF. Si
VBC ‹ 0, el diodo DR tiene polarización inversa.
A fin de designar, respectivamente, las condiciones directa e inversa, se utilizarán
los subíndices F y R. Aplicando en las terminales del colector y el emisor la LKC,
la corriente del emisor IE es
I E = −I F + α R I R



VBC
VBE 



= − I ES  exp
− 1 + α R I CS  exp
− 1
VT
VT




y la corriente de colector Ic es:
es
IC = α F I F − I R
(D.3)


VBC 
VBE 
= α F I ES  exp
− 1 − I CS  exp
− 1
VT
VT




(D.4)
Si VBE = 0, αRICS = Is representa la corriente de fuga de saturación inversa
del diodo DR. De manera similar, si VBC = 0, αFIES = Is representa la corriente
de fuga de saturación inversa del diodo DF. Si se supone que los diodos son
ideales, las corrientes de fuga de saturación directa e inversa estarán
relacionadas mediante
α R I SC = α F I ES = I S
donde Is se conoce como corriente de saturación del transistor. La corriente de
colector a base, con el emisor a circuito abierto se puede obtener suponiendo que
Ic = ICBO Y IE = 0.
Ya que es normal que la unión colector-base esté polarizada a la inversa,
VBC<0 y │VBC│» VT, exp (VBC/VT) «1. Bajo estas condiciones, en las
ecuaciones (D.3) y (D.4) se obtiene

VBE 

0 = − I ES  exp
− 1 −α RI CS
VT


I CBO


VBE

= α F I ES  exp
− 1 + I CS
VT


Al despejar ICBO en estas dos ecuaciones, se tiene
I CBO = −α F α R I CS + I CS = (1 − α F α R )I CS = I CS − α F I S (D.6)
La corriente de emisor a base, con el colector a circuito abierto, puede
obtenerse suponiendo que IE = IEBO y que IC = 0. Puesto que la unión del
emisor está polarizada a la inversa.
La corriente de emisor a base, con el colector a circuito abierto, puede
obtenerse suponiendo que IE = IEBO y que IC = 0. Puesto que la unión del
emisor está polarizada a la inversa, VBE < 0 (esto es, VEB > 0) y │VBE│ » VT,
exp (VBE/VT) « 1. Las ecuaciones (D.3) y (D.4) dan
I EBO = I ES


VBC
+ α R I CS  exp
− 1
VT


0 = −α F I ES


VBC

+ I CS  exp
− 1
VT


Al despejar IEBO de estas dos ecuaciones, se obtiene
I EBO = I ES − α Rα F I ES = (1 − α Rα F )I ES
(D.7)
De acuerdo con las ecuaciones (D.5), (D.6) y (D.7),
α F I EBO = I ES (1 − α Rα F )α F = α R I CS (1 − α Rα F ) = α R I CBO
(D.8)
En vista de que el diodo DF está con polarización directa y DR lo está a la inversa.
VEB < VBC. Por tanto, IEBO es menor que ICBO, y αF es mayor que αR. En la región
activa, el diodo DR está polarizado a la inversa, e IR ≈ 0. Esto es,
IE = -IF e IC = αFIF = -αFIE. Por tanto, la figura D.1 (a) se puede aproximar con la
figura .1(b).
El modelo del circuito de la figura D.1 (a) relaciona las fuentes dependientes
con las corrientes del diodo. En el análisis de circuito resulta conveniente
expresar la fuente de corriente en una forma que resulte controlada por las
corrientes en las terminales. Eliminando exp (VBE/VT) - 1 de las ecuaciones (D.3)
y después utilizando la ecuación (D.6) se obtiene


V
I C = −α F I E − (1 − α F α R )I CS  exp BC − 1
VT




VBC

= −α F I E − I CBO  exp
− 1
VT


(D.9)
De manera similar, eliminando exp (VBC/VT) -1 de las ecuaciones (D.3) y
(D.4) y luego utilizando la ecuación (D.7),

VBE 
I E = −α R I C − (1 − α Rα F )I ES  exp
− 1
VT




VBE
= −α R I C − I EBO  exp
− 1
VT


(D.10)
El modelo del circuito que corresponde a las ecuaciones (D.9) y (D. 10)
aparece en la figura D.2(a). Las fuentes de corriente están controladas por la
corriente del colector IC y por la corriente del emisor IE. Este modelo, conocido
como la versión de transporte del modelo de Ebers-Moll, normalmente se
utiliza en simulaciones por computadora con PSpice/SPICE. De hecho, los
modelos lineales de la figura 5.6 son las versiones aproximadas del modelo de
Ebers-Moll de la figura D.2(a).

 VBE

I F = I EBO  exp
 VT

 
 − 1

 

V
I R = I CBO  exp BC
 VT

αF IE
αR IC
 
 − 1

 
αF IE
αR IC

V
I F = I EBO  exp BE
 VT

+B+
 
 − 1

 
+B+
Suponiendo que VBC ‹ 0 e IR ≈ 0, IC = -αFIE, y la figura D.2(a) se puede
aproximar utilizando la figura D.2(b). Si se sustituye IC = -αFIE, la ecuación
(D.10) se transforma en:

VBE 
− 1
I E = −α Rα F I E − I EBO  exp
VT


que relaciona a IE con αR, αF y VBE mediante
V
− I EBO (exp BE
VT

IE =
1 + α Rα F

 − 1)

(D.11)
IES e ICS también se conocen como corrientes de saturación en cortocircuito, en
tanto que ICBO e IEBO se conocen como corrientes de saturación a circuito abierto.
Obsérvese que las versiones de transporte y de inyección del modelo de EbersMoll son intercambiables. Una vez que se conocen los parámetros de una versión
es posible determinar los parámetros de la otra.
EJEMPLO D.1
Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un transistor
npn. Un transistor npn está polarizado de forma que VBE = 0.3V y VCE = 6V. Si
αF = 0.99, αR = 0.90 e ICBO = 5nA, calcular todas las corrientes para la versión
de inyección del modelo de Ebers-Moll de la figura D. 1 (a). Suponer un voltaje
térmico VT = 25.8 mV.
VT = 25.8 mV = 0.0258 V. Puesto que VBE es positivo, la unión base-emisor
está polarizada directamente. El voltaje en la unión colector-base es
VCB = VCE + VEB = VCE - VBE = 6 - 0.3 = 5.7 V
o VBC = -5.7V
Como VCB es positivo, la unión colector-base está polarizada
inversamente, y el transistor funciona en la región activa. De acuerdo con
la ecuación (D.8),
IEBO = αRICEO/ αF = 0.9 x 5 nA/0.99 = 4.545 nA
De la ecuación (D.6),
ICS = ICBO/(1 – αR αF) = 5 nA/(1 - 0.9 x 0.99) = 45.87 nA
Con la ecuación (D.7),
IES = IEBO/(1 – αR αF) = 4.545 nA/(1 - 0.9 X 0.99) = 41.697 nA
De acuerdo con la ecuación (D.1), la corriente de polarización directa del diodo
es
0 .3


I F = 41.697 x10 −9 x exp
− 1 ≈ 4.678mA
0.0258 

De la ecuación (D.2), la corriente de polarización inversa del diodo es
− 5.7


I R = 45.87 x10 −9 x exp
− 1 ≈ −45.87 nA
0.0258 

Y αRIR≈ - 0.9 x 45.87 nA = -41.28 nA
αFIF ≈ - 0.99 x 4.678 mA = 4.63 mA
IE = -IF + αRIR = -4.678 X 10-3 - 41.28 x 10-6 ≈ -4.719 mA
IC = αFIF - IR = 4.63 x 10-3 + 45.87 x 10-9 ≈ 4.63 mA
IB = -(IE + IC) = -(-4.719 x 10-3 + 4.63 x 10-3) = 89 µA
EJEMPLO D.2
Cálculo de las corrientes para el modelo de Ebers-Moll de un
transistor pnp. Los parámetros del modelo de transistor pnp de la figura 5.2(b)
son: αR= 0.9, αF = 0.99,
IES≈ ICS = 45 nA, VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V. Calcular (a) las corrientes para la
versión de inyección modelo de Ebers--Moll de la figura D.1(a) y (b)
βF = βForzada. Suponer un voltaje térmico VT = 25.8 mV.
SOLUCION
Para VEB = 0.4 V y VCB = 0.3 V, las uniones colector-base y emisor-base están
con polarización directa. Por tanto, el transistor está operando en la región de
saturación.
(a) Para un transistor pnp, todas las polaridades de los voltajes y las direcciones
de las corrientes estarán invertidas; por tanto, las ecuaciones (D.3) y (D.4) se
transforman en


VCB 
VEB 



− 1
− 1 − α R I CS  exp
I E = I ES  exp
VT
VT




0 .3
0. 4




I E = 45 x10 −9  exp
− 1
− 1 − 0.9 x 45 X 10 −9  exp
25.8m 
25.8m 


= 243.48 mA – 4.54 mA = 238.94mA




VCB
VEB
− 1 + I CS  exp
− 1
I C = α F I ES  exp
VT
VT




0 .4
0 .3



−9 
− 1 + 45 X 10  exp
− 1
I C = −0.99 x 45 x10  exp
25.8m 
25.8m 


−9
= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA
= -241.04 mA + 5.05 mA = -235.99 mA
Por consiguiente, IB = -(IE + IC) = -(238.94 - 235.99) = -2.95 mA.
(b) Dado que el transistor está funcionando en la región de saturación, el valor
de la ganancia en corriente directa se hace menor que la correspondiente a la
región activa. La ganancia en corriente directa se conoce como ganancia en
corriente forzada βforzada:
βforzada = IC/IB = 235.99 mA/2.95 mA = 80
EJEMPLO D.3
Cálculo del voltaje de saturación colector-emisor de un BJT Un transistor
npn está funcionando en la región de saturación, y sus parámetros son:
0.9,
αF
αR =
= 0.989 y VT = 25.8 mV. Calcular el voltaje de saturación colector-
emisor VCE(sat).
SOLUCIÓN
De la ecuación (5.3)
βF = αF /(1 - αF) = 0.989/(1 - 0.989) = 89.91
Se sabe que
VBC =VBE + VEC = VBE - VCE
En la región de saturación, VBE > 0 Y VBC > 0. Esto es,
exp (VBE/VT) » 1 y
exp (VBC/VT) » 1
Utilizando las ecuaciones (D.3) y (D.5), se obtiene
I E = − I ES eVBE VT + α F I ES eVBC VT
≈ − I ES eVBE VT + α F I ES e(VBE −VCE ) VT
≈ − I ES e
VBE VT
[1 − α
F
e
−VCE VT
]
Pero IE + IC + IB = 0, así que -IE = (IC+ IB). Esto es,
I C + I B = I ES e
VBE VT
[1 − α
F
e
−VCE VT
]
(D.14)
De manera similar. utilizando las ecuaciones (D.4) y (D.5), se obtiene




V
V
I C = α F I ES  exp EB − 1 − I CS  exp CB − 1
VT
VT




= α F I ES e
VBE VT

1 −VCE
e
1 −
 αR
VT



(D.15)
Al dividir la ecuación (D.14) entre (D.15), se tiene
IC + I B
IB
= 1+
=
IC
IC
1 − α F eVCE VT

1 −VCE

e
α F 1 −
 αR
VT



que, después de la simplificación, se transforma en
VCE

 IC
 
 α F 1 + (1 − α R ) 
IB


 
= VT ln 



I
α α + C (α − 1) 

 R  F I B F


(D.16)
En la región activa, la corriente de la base IB está relacionada con la comente del
colector le mediante IB = IC/βF. Se considera que la región de saturación empieza
en el punto en que la ganancia en corriente en condiciones de polarización directa
βF es de 90% del valor correspondiente a la región activa. Esto es, βSAT =βForzada =
0.9βF e IC = 0.9IBβF. La ecuación (D.15) da el voltaje de saturación colector-emisor
como
VCE ( sat )
 α F [1 + 0.9 β F (1 − α R )] 
= VT ln 

α R [α F + 0.9 β F (α F − 1)]
Sustituyendo βF = αF/(1 - αF) en el denominador, da
VCE ( sat )
1 + 0.9 β F (1 − α R ) 
= VT ln 

(
)
−
1
0
.
9
α
R


(D.17)
Para VT = 0.0258 V, αR = 0.9 y βF = 89.91, se tiene
VCE ( sat )
1 + 0.9 × 89.91× (1 − 0.9 ) 
= 0.0258 x ln 
 = 0.119V
0.9 × (1 − 0.9 )


+v +
Vi
RL
+v +
Vi
_
RL
Rs
Ic
Rc
+
Vi
_
Vcc