CONEXI ´ON Definición 1. Un espacio métrico X se dice no conexo

CONEXIÓN
Definición 1. Un espacio métrico X se dice no conexo si puede escribirse como unión
disjunta de dos conjuntos abiertos y no vacı́os. Si no es ası́, el espacio se llama conexo.
U
Cada descomposición X = A B en dos abiertos no vacı́os y disjuntos, la llamaremos
una desconexión de X.
•Nótese que si A, B es una desconexión de X, los conjuntos A, B son también cerrados.
•Como consecuencia de la definición. X es conexo si y sólo si los únicos subconjuntos
abiertos y cerrados a la vez de X son X y ∅.
Un subconjunto Y ⊂ X es conexo si, con la topologı́a inducida, el espacio métrico Y
es conexo.
Proposición 1. Sean X, Y espacios métricos y f : X → Y una aplicación continua. Si
X es conexo, también lo es f (X).
U
Demostración. Por la definición, podemos suponer que Y = f (X). Si Y = C D
U
es una desconexión de Y , entonces X = f −1 (C) f −1 (D) serı́a una desconexión de X,
contra lo supuesto.
Como consecuencia de los anterior, resulta que si dos espacios métricos son homeomorfos y uno es conexo, el otro también lo es.
Proposición 2. Sean (Xi )i∈I una familia no vacı́a de subconjuntos conexos de un espacio
T
S
métrico X. Si Xi 6= ∅, entonces Y := Xi es conexo.
U
Demostración. Sea A, B una desconexión de Y . Para cada i ∈ I, Xi = (A ∩ Xi ) (B ∩
Xi ), luego uno de los miembros de la descomposición tiene que ser vacı́o y el otro coincidir
con Xi . Pero si A ∩ Xi = Xi , entonces para cualquier otro j ∈ I, A ∩ Xj ⊃ A ∩ Xj ∩
Xi = Xj ∩ Xi 6= ∅, luego también A ∩ Xj = Xj y B ∩ Xj = ∅, ∀j ∈ I. Por tanto
S
B = ( Xi ) ∩ B = ∅ y, por tanto, A = Y . Ası́ pues, no puede existir una desconexión de
Y.
Queda al cuidado del lector la demostración del siguiente resultado:
Teorema 1. Los subconjuntos conexos no vacı́os de la recta real, son los intervalos (finitos
o infinitos).
•Como consecuencia del resultado anterior y de la Proposición 1, resulta que una
curva continua (e.d., la imagen continua Γ = γ(I) de un intervalo de R) es siempre un
subconjunto conexo en cualquier espacio métrico.
•Del mismo modo, si Γ1 , . . . Γn son curvas continuas en el espacio métrico X, de modo
que el final de Γi coincida con el inicio de Γi+1 (con el significado obvio), de lo anterior y
S
de la Proposición 2, resulta que ni=1 Γi es conexo. En particular, una lı́nea poligonal en
Rn es siempre un conjunto conexo.
1
Conexión. Fernando Bombal
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•Si cada par de puntos de X se pueden unir por una curva continua, se dice que X
es conexo por caminos. La Proposición 2 muestra que todo conjunto conexo por caminos,
es conexo (pues puede ponerse como unión de todos los caminos que unen un punto dado
con cualquier otro punto del conjunto.) El recı́proco no es cierto, en general.
S
•Si x ∈ X, el conjunto C(x) := {A ⊂ X : A es conexo y contiene a x} es conexo
por la Proposición 2, y el mayor conjunto conexo de X que contiene a x por definición.
Se llama la componente conexa que contiene a x. Dos componentes conexas, C(x), C(y) o
bien son disjuntas o coinciden (si C(x) ∩ C(y) 6= ∅, por la proposición 2 C(x) ∪ C(y) es
conexo y contiene a x y a y.) Por tanto, la familia de componentes conexas de X forman
una partición de X.
Ejercicios.
a) Pruébese que un espacio métrico X es conexo si y sólo si toda aplicación continua
de X en el espacio discreto {0, 1}, es constante.
b) Pruébese que si C es un subconjunto conexo de X, entonces C es también conexo.
A partir de ahora, consideraremos el caso especial en que X es un subconjunto de C
(aunque la mayor parte de los resultados con ciertos en Rn , con la misma demostración):
Teorema 2. Un subconjunto abierto no vacı́o Ω ⊂ C es conexo si y sólo si dos puntos
cualesquiera de Ω se pueden unir por una poligonal de lados paralelos a los ejes, contenida
totalmente en Ω.
Demostración. Si se cumple la condición, Ω es conexo por caminos y, por tanto, conexo.
Recı́procamente, supongamos que Ω(6= ∅) es abierto y conexo. Sea a ∈ Ω y Ω1 := {z ∈
Ω : existe una poligonal en Ω con lados paralelos a los ejes, que une z con a}.
a) Ω1 es abierto. En efecto, si z0 ∈ Ω1 y γ es una poligonal con lados paralelos a los
ejes que une a con z0 , sea D(z0 ; r) ⊂ Ω (que existe, por ser Ω abierto). Cualquier
z ∈ D(z0 ; r) puede unirse con z0 por medio de una poligonal δ con (dos) lados
paralelos a los ejes, luego γ ∪ δ es una poligonal con lados paralelos a los ejes que
une a con z. Ası́ pues, D(z0 ; r) ⊂ Ω1 y, por tanto, Ω1 es entorno de todos sus puntos.
b) Ω2 := Ω\Ω1 es abierto. Si w0 ∈ Ω2 y, como antes, consideramos un disco D(w0 ; s) ⊂
Ω, ningún w ∈ Ω2 puede unirse por una poligonal de lados paralelos a los ejes, con
a (pues, razonando como antes, resultarı́a que w0 ∈ Ω1 ). Por tanto, D(w0 , s) ⊂ Ω2
y Ω2 es abierto
U
Como Ω = Ω1 Ω2 y a ∈ Ω1 ha de ser Ω2 = ∅ y Ω = Ω1 .
•Nótese que el teorema anterior es también cierto (con la misma demostración) si se
suprime la condición de que la lı́nea poligonal que une dos puntos cualesquiera sea de
lados paralelos a los ejes.
Conexión. Fernando Bombal
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•El teorema también es cierto (de nuevo con la misma demostración) para abiertos
conexos no vacı́os de Rn .
•Como se hace notar en la demostración, el teorema muestra que los abiertos conexos
no vacı́os de C (que llamaremos regiones o dominios), son conexos por caminos.
Proposición 3. Las componentes conexas de un abierto G ⊂ C son abiertas y a lo más
en cantidad numerable.
Demostración. Sea a ∈ G y x ∈ C(a). Como G es abierto, existe r > 0 tal que D(x; r) ⊂
G. Ya hemos visto que todo disco es conexo (por caminos!). Por tanto, D(x; r) ∪ C(a) es
conexo (Proposición 2). Por definición de C(a), ha de ser D(x; r) ⊂ C(a).
Por otro lada, si {C(ai )}i∈I es la partición de G formada por sus componentes conexas,
por lo visto antes, cada C(ai ) es un abierto no vacı́o de G, y por tanto de C. En consecuencia debe contener algun qi ∈ Q + iQ (es decir, de coordenadas racionales), ya que este
conjunto es denso en C. Obviamente, si i 6= j, los puntos qi 6= qj . Por tanto, la aplicación
I 3 i 7→ qi ∈ Q + iQ es inyectiva, lo que muestra que el cardinal de I es el del subconjunto
(qi ) del conjunto numerable Q + iQ y, por tanto, es a lo más numerable.
• Obviamente, el resultado anterior vale para cualquier abierto de Rn : Sólo se usarı́a
en la demostración que las bolas abiertas en Rn son conexas, y que existe un subconjunto
numerable denso en Rn .
•Como consecuencia de la Proposición 3, resulta quetodo abierto de R es unión de una
familia, a lo más numerable, de intervalos abiertos disjuntos.