Física para Ciencias: Movimiento en 2 dimensiones

Física para Ciencias:
Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
1er semestre 2014
FIS109C – 2: Física para Ciencias
1 er semestre 2014
Definición de posición y velocidad en 2D
La posición de un objeto en 2-D.
y
∆𝑟
𝑟𝑖
𝑟𝑓
El vector
desplazamiento es
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = ∆𝑥 + ∆𝑦
El vector
velocidad es
∆𝑟
𝑣=
∆𝑡
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∆𝑥
𝑣𝑥 =
∆𝑡
Posición
𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖
𝑟𝑓 = 𝑥𝑓 + 𝑦𝑓
x
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
∆𝑦
𝑣𝑦 =
∆𝑡
1 er semestre 2014
Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de
30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?
N
30°
𝑟1
𝑟2
Si ese desplazamiento fue
realizado en 4 horas ¿Cuál fue la
velocidad promedio?
∆𝑟
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Definición de velocidad instantánea en 2D
∆𝑟
𝑣 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
En la figura la velocidad instantánea
sería representada por la diferencia
entre a) un vector muy cercano al
vector P y b) el vector P, dividido por
el tiempo requerido para hacer ese
desplazamiento.
Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad
instantánea.
𝑣= 𝑣
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𝑣=
(𝑣𝑥,𝑓 − 𝑣𝑥,𝑖 )2 + (𝑣𝑦,𝑓 − 𝑣𝑦,𝑖 )2
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Definición de aceleración en 2D
∆𝑣 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎=
=
∆𝑡
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
∆𝑣
𝑎 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:
1.
La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡.
2.
La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su
magnitud (𝑣) permanece constante.
3.
La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.
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Velocidad en 2D con aceleración
constante
La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con velocidad inicial 𝑣𝑖 y una
aceleración constante 𝑎 será:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 + 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡 𝑗
Eje x
𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
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Eje y
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
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Posición en 2D con aceleración
constante
La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con posición inicial 𝑟𝑖 , velocidad
inicial 𝑣𝑖 y una aceleración constante 𝑎 será:
1
𝑟𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
1
𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡 2
2
1
𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2 𝑗
2
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 × 𝑡 +
1
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
Eje x
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
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Eje y
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2
2
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Ecuaciones de Movimiento en 2D
Eje x
Eje y
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑣𝑥,𝑓 × 𝑡
2
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑣𝑦,𝑓 × 𝑡
2
𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
1
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2
2
𝑣𝑥,𝑓 2 = 𝑣𝑥,𝑖 2 + 2𝑎𝑥 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑣𝑦,𝑓 2 = 𝑣𝑦,𝑖 2 + 2𝑎𝑦 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
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Ejemplo: Mov. 2D con 𝑎 constante
Una partícula parte del origen en 𝑡 = 0 con una velocidad inicial que
tiene una componente 𝑥 de 20 m/s y una componente 𝑦 de -15 m/s.
La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de
aceleración 𝑥, dada por 𝑎𝑥 = 4,0 m/s2.
a)
Determine las componentes del vector velocidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡.
b)
Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s.
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Proyectiles
 Movimiento 2-D
 Aceleración vertical
𝑎𝑦 = −𝑔
 Aceleración horizontal
𝑎𝑥 = 0
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Componentes de 𝑣 en proyectiles
En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra
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𝒂 = −𝒈 𝒋
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Independencia de las componentes
Fotografía de múltiple exposicion que muestra
la posición de dos esferas a intervalos iguales
de tiempo. Una se dejó caer desde una
posición de reposo y la otra se lanzó
horizontalmente.
Se ve que la altura (y por lo tanto el
desplazamiento vertical) de las esferas es la
misma.
El movimiento en la dirección vertical no se
entera de lo que pasa en la dirección
horizontal.
Los movimientos vertical y horizontal son
independientes.
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Componente horizontal no cambia
𝒗𝒙 y 𝑣𝑦 son independientes:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥 = 0).
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡
𝒗 = 𝒗𝒙 𝒊 + 𝒗𝒚 𝒋
Entonces, la magnitud de 𝑣
aumenta y su dirección cambia.
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Proyectiles: Ejemplo 1
2,0 m/s
1,5 m
∆x
Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde
da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo?
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Proyectiles: Ejemplo 2
Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una
distancia horizontal de 30m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?
y
a
∆x=30 m
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x
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Proyectiles: Ejemplo 3
100 m/s
37°
Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de
140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo
de 37° con la horizontal.
140 m
a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.
R = 1,14 km
b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado
R = 12,3 s
c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final. R: 113 m/s, -45° al horizontal
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Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se
supone ∆y =0)
  45
o
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Resumen
Se definieron los vectores posición 𝑟, desplazamiento ∆𝑟, velocidad 𝑣 y
aceleración 𝑎 en 2 dimensiones.
El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un
vector. La posición está definida como:
1
𝑟𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑥 × 𝑡 2
2
1
𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 + 𝑎𝑦 × 𝑡 2 𝑗
2
En el movimiento de proyectiles:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥 = 0).
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𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡
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