Problemas

M¶etodos Matem¶aticos V - Facultad de F¶³sica
Problemas de Ecuaciones en Derivadas Parciales
1. Una cuerda est¶
a tensada entre los puntos ¯jos (0; 0) y (1; 0) y se la deja libre a partir de la
posici¶
on y = A sen(¼x). Hallar la f¶
ormula de los desplazamientos que ocurren y(x; t).
2. Una cuerda tensa entre los puntos (0; 0) y (¼; 0) se encuentra inicialmente recta con velocidad
yt (x; 0) = b sin x. Escribir el problema matem¶
atico, resolverlo y comprobar la soluci¶
on.
3. Resolver el siguiente problema.
8
>
<
utt (x; t) = a2 uxx (x; t)
(0 < x < c; t > 0)
(t > 0)
ux (0; t) = 0; ux (c; t) = 0
>
: u(x; 0) = bx; u (x; 0) = 0
(0
< x < c)
t
4. Resolver el siguiente problema.
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
1
utt (x; t) = uxx (x; t)
c2
(0 < x < L; t > 0)
u(0; t) = u(L; t) = 0
(t > 0)
>
>
>
>
>
>
>
¼x
2¼x
>
: u(x; 0) = sen(
) + sen(
); ut (x; 0) = 0
L
L
(0 < x < L)
5. Una cuerda est¶
a tensada entre los puntos ¯jos (0; 0) y (1; 0) y se le deja libre a partir de la
posici¶
on y = A sin(¼x). Hallar la f¶ormula de los desplazamientos que ocurren y(x; t), y efectuar
la comprobaci¶
on completa de la soluci¶
on encontrada.
6. Resolver el siguiente problema de Dirichlet en un rect¶
angulo.
8
>
<
uxx (x; t) + utt (x; t) = 0
u(0; t) = 0; u(a; t) = 0
(0 · t · b)
>
: u(x; 0) = h(x); u(x; b) = 0 (0 · x · a)
7. Usar el m¶etodo de separaci¶
on de variables para determinar la funci¶
on u(x; y) que satisface la
ecuaci¶on de Laplace
uxx + uyy = 0
1
en el rect¶
angulo R = f(x; y)= 0 · x · ¼ ; 0 · y · ¼g, veri¯cando las condiciones
u(x; 0) = sen x
(0 · x · ¼), u(¼; y) = 0
(0 · y · ¼), u(x; ¼) = 0
(0 · x · ¼) y
u(0; y) = 0 (0 · y · ¼).
8. Determinar la soluci¶
on u(x; t) de la ecuaci¶
on de Laplace en el rect¶
angulo 0 < x < a, 0 < t < b,
que satisfaga tambi¶en las siguientes condiciones de frontera:
u(0; t) = 0;
u(a; t) = f (t)
u(x; 0) = h(x); u(x; b) = 0
sugerencia: Considerar la posibilidad de sumar las soluciones de dos problemas, uno con condiciones en la frontera homog¶eneas excepto para u(a; t) = f (t) y el otro con condiciones en la
frontera homog¶eneas excepto u(x; 0) = h(x).
9. Idem al anterior pero con la condiciones de frontera
u(0; t) = k(t); u(a; t) = f (t)
u(x; 0) = h(x); u(x; b) = g(x)
10. Determinar la funci¶
on u(r; µ) que satisfaga la ecuaci¶
on de Laplace
1
1
urr + ur + 2 uµµ = 0
r
r
fuera del c¶³rculo r = a, y las condiciones en la frontera u(a; µ) = f (µ), 0 · µ < 2¼, en el
per¶³metro del c¶³rculo. Suponer, adem¶
as, que u(r; µ) es monovaluada y que permanece ¯nita para
r > a.
11. Determinar la soluci¶
on de la ecuaci¶
on de Laplace en la regi¶
on semicircular r < a , 0 < µ < ¼,
que satisfaga tambi¶en las siguientes condiciones de frontera:
u(r; 0) = 0; u(r; ¼) = 0 (0 · r < a)
u(a; µ) = f (µ);
0·µ·¼
donde f (µ) es una funci¶
on conocida. Suponer que u es una funci¶
on uniforme y ¯nita en la regi¶on
dada.
12. Consid¶erese el problema de determinar una soluci¶
on u(x; t) de la ecuaci¶
on de Laplace en el
rect¶
angulo 0 < x < a, 0 < t < b, que satisfaga tambin las condiciones en la frontera
ux (0; t) = 0; ux (a; t) = f (t)
ut (x; b) = 0
ut (x; 0) = 0;
Donde f (t) es una funci¶
on dada en el intervalo 0 < t < b. Este es un ejemplo de un problema
de Neumann.
2
13. Resolver el siguiente problema de conducci¶
on de calor
8
>
>
<
uxx (x; t) = 4ut (x; t)
(0 < x < 2; t > 0)
u(0; t) = 0; u(2; t) = 0
(t > 0)
¼x
>
>
: u(x; 0) = 2 sin(
) ¡ sin(¼x) + 4 sin(2¼x)
(0 < x < 2)
2
14. Idem para
8
>
<
®2 uxx (x; t) = ut (x; t)
(0 < x < L; t > 0)
(t > 0)
ux (0; t) = 0; ux (L; t) = 0
>
:
u(x; 0) = f (x)
(0 < x < L)
15. Idem para
8
>
<
®2 uxx (x; t) = ut (x; t)
(0 < x < 1; t > 0)
(t > 0)
ux (0; t) = 0; ux (1; t) = 0
>
:
u(x; 0) = x
(0 < x < 1)
16. Idem para
8
>
>
>
>
>
>
<
1
uxx (x; t) = ut (x; t)
2
>
ux (0; t) = 0; ux (1; t) = 0
>
>
>
3
>
>
: u(x; 0) = sen(¼x) ¡ sen(2¼x)
2
(0 < x < 1; t > 0)
(t > 0)
(0 < x < 1)
17. Sea una varilla met¶
alica de 20 cm de longitud que se calienta a una temperatura uniforma de
100 C. Sup¶
ongase que en t = 0 los extremos de la varilla se sumergen en un ba~
no hielo a
0 C y que a partir de ese momento, se mantienen a esta temperatura, pero que no se permite
fuga de calor a trav¶es de la super¯cie lateral. Encu¶entrese una expresi¶
on para la temperatura en
cualquier punto de la varilla, en cualquier instante. Use dos t¶erminos del desarrollo en serie, para
determinar aproximadamente la temperatura en el centro de la varilla en el instante t = 30 seg:,
si la varilla es de a)plata(®2 = 1:71); b)aluminio (®2 = 0:86); c)hierro fundido (®2 = 0:12).
18. Para la situaci¶
on del problema anterior, encuentre el tiempo que transcurrir¶
a antes de que el
centro de la varilla se enfrie hasta 25 C, en los casos a), b) y c). Use s¶
olo un t¶ermino en el
desarrollo en serie de u(x; t).
19. Dado el problema
8
>
<
®2 uxx (x; t) = ut (x; t)
(0 < x < L; t > 0)
(t > 0)
ux (0; t) = 0; ux (L; t) = 0
>
:
)
(0
< x < L)
u(x; 0) = sin( ¼x
L
Hallar u(x; t) y lim u(x; t).
t!1
3