Fisica II: Conductor en equilibrio electrostático

CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO
Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:
• El campo eléctrico es cero en puntos situados dentro del conductor.
• Cualquier carga en exceso que se coloque en un conductor aislado se distribuye
totalmente en su superficie exterior.
• El campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado, tiene una magnitud
σ / ε o , donde σ es la carga por unidad de área en ese punto, y es perpendicular
a la superficie del conductor.
• La superficie de un conductor cargado en equilibrio es una superficie
equipotencial, y como el campo eléctrico es cero dentro del conductor,
concluimos que el potencial es constante en todos los puntos situados en el
interior del conductor e igual al valor en la superficie.
• En un conductor, la carga tiende a acumularse en puntos donde el radio de
curvatura de la superficie es más pequeño, es decir, en las puntas.
En la figura 19 se ilustra un
conductor aislado al cual se le ha
colocado un exceso de carga q.
Cuando esto ocurre esta carga se
redistribuye de tal manera que los
campos en el interior del
conductor se anulan ( E = 0) y se
establecen
condiciones
de
equilibrio electrostático. Al trazar
una superficie gaussiana, (ver
figura 19), y aplicar la ley de
Gauss con E = 0 , se obtiene
εo ∫ E ⋅ ds = q ,
y
Fig. 19
La carga neta dentro de la superficie es cero. Como se ha colocado un exceso de carga y
la superficie gaussiana se puede trazar próxima a la del conductor resulta que este
exceso de carga solo se debe encontrar en la superficie.
Calculemos ahora el campo justo afuera de la superficie de un conductor cargado en
equilibrio, usando una superficie gaussiana muy pequeña en forma de cilindro, con una
base dentro del conductor, y la otra justo afuera (Fig. 20)
Fig.20
De la ley de Gauss,
εo ∫ E ⋅ds = q
Al considerar las tapas a y b del cilindro y el área lateral, c, el flujo total puede entonces
calcularse así:
εo ∫ E ⋅ds = εo ∫ E ⋅ds + εo ∫ E ⋅ ds + εo ∫ E ⋅ ds = q
a
b
c
= 0 + 0 + ε o EA = q ,
ya que para la tapa de adentro E = 0 y el flujo a través del área lateral del cilindro
también es cero porque las líneas de E o son cero (dentro del conductor) o son
r
perpendiculares (fuera del conductor) a ds . Como la carga q encerrada por la superficie
gaussiana es σA , al sustituirse, obtenemos,
ε o EA = σA ,
o sea,
E=
σ
εo
El campo justo afuera de la superficie es perpendicular a la superficie, , pues si el
campo tuviera una componente paralela,
, a la superficie, esto ocasionaría un
movimiento de las cargas superficiales, creando una corriente y una situación de No
equilibrio (Ver figura 21).
Fig. 21
Mostremos que cada punto sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio
está al mismo potencial
Fig. 22
Considere dos puntos P1 y P2 sobre la superficie de la figura 22 (recuerde que E es
perpendicular a la superficie). La diferencia de potencial entre P1 y P2 será,
P2
P2
r r
V P2 − VP1 = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ E dl cos(π / 2) = 0
P1
P1
Por tanto,
VP2 = VP1 ,
resultado que se aplica a dos puntos cualquiera de la superficie, y por lo tanto, la
superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie equipotencial.
Si los dos puntos P1 y P2 , son interiores, y dado que E = 0 en el interior de un
conductor, aplicando de nuevo la ecuación se sigue:
P2
∫
V P2 − VP1 = − E ⋅ d l ,
P1
la integral es cero, con lo que
VP2 = VP1 ,
es decir, que todos los puntos del interior de un conductor tienen el mismo potencial.
Como todos los puntos de un conductor están al mismo potencial, se asigna un único
valor de potencial al conductor. Para un dieléctrico no se puede asignar un único valor
de potencial, ya que este puede ser distinto en puntos diferentes de su interior y de su
superficie.
Cuando una carga neta se coloca en la superficie de un conductor esférico, la densidad
de carga que se establece es uniforme. Sin embargo, si el conductor no es esférico, la
densidad de carga superficial es más alta donde el radio de curvatura es más pequeño.
Como E =
σ
, el campo E es más grande cerca de puntos que tienen pequeños radios,
εo
y puede alcanzar valores muy elevados. Para ilustrar esto, consideremos dos
conductores esféricos (figura 23) unidos mediante un alambre conductor para que se
equilibren sus potenciales. Supóngase que todo el conjunto se eleva a un potencial V y
que las esferas están separadas una gran distancia, de tal manera que las cargas no se
afectan entre sí. El potencial, V , será igual al potencial de las dos esferas,
Fig. 23
V = V1 = V2
V =
q1
1 q2
=
4πε o R1 4πε o R2
1
De donde
q1 = (4πε o R1 )V ,
q 2 = (4πε o R2 )V ,
Y como R2 > R1 , la esfera más grande tiene la carga más grande, y
q1 R1
=
,
q 2 R2
Como, σ 1 =
(1)
q1
q
, y, σ 2 = 2 2 ,
2
4πR1
4πR2
se sigue,
σ 1 q1 R22
=
,
σ 2 q2 R12
(2)
y utilizando la ecuación (1),
σ 1 R2
=
σ 2 R1
Como, R1 < R2 , resulta que para que se cumpla la ecuación anterior, debe ocurrir que
σ1 >σ 2 .
Se puede notar así, que el campo eléctrico cerca de la esfera más pequeña es mayor que
cerca de la esfera más grande, y que la esfera más grande tiene la carga total más
grande, pero la densidad de carga más pequeña. Es decir, la densidad de carga tiende a
ser mayor en superficies conductoras aisladas, cuyos radios de curvatura son pequeños.