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“Algo” sobre Comunicaciones Digitales Definiciones básicas •  Símbolo: un grupo de k bits, donde k = log
2 M
y M
es el numero de símbolos. φ2
k
010
€
€
€ Ejemplo de €
constelación M =8
k = log 2 M = 3
Espacio [φ1, φ 2 ]
(cada punto => un símbolo) €
€
€
φ1
•  Con φ 1 (t)
y φ 2 (t)
indicamos dos funciones (“pulsos”) €
ortonormales. €
€
Definiciones básicas •  A cada símbolo está asociado una señal analógica s m (t)
. •  Cada una de ellas se puede expresar como combinación lineal €
de los N pulsos ortonormales: N
€
sm (t) = ∑ c m,iφ i (t)
i=1
•  Los coeficientes son las coordenadas de los puntos de la € constelación. Modulador digital Flujo de bits k
k
010 010
Se trasmite una señal s m (t)
cada periodo T b . €
Modulador digital Un €
€símbolo € €
€
y(t) = ∑ sm (t − qTb )
q
•  La señal y(t)
lleva un régimen binario: €
log 2 M k
Rb =
=
Tb
Tb
Energía por bit: €
E bit
E simbolo E simbolo
=
=
k
log 2 M
Energía media por símbolo •  Caso genérico: M
E Simbolo = ∑ pm E m
m =1
•  símbolos equiprobables: €
€
E Simbolo
k
1 M
= ∑ Em
M m =1 €
€

E m = sm
2
M
€
= ∑c
2
m,i
i=1
φ2
c m,2

sm

sj
€ c m,1
φ1
€
€
€
Potencia media •  La potencia media de la señal modulada es: E simbolo E simbolo /k
Py =
=
= E bit Rb
Tb
Tb /k
€
Caso M=2 símbolos •  En este caso tenemos k = log
2 M
= 1 bits. •  El régimen binario queda: €
Rb =
€
log 2 M k
1
=
=
Tb
Tb Tb
Unipolar NRZ (M=2) •  Vamos a ver diferentes Vpos de pulsos y señales en el caso M=2 (k=1). s1 (t) = A Tb φ (t)
A Tb
φ (t)
Tb
1
Tb
€
€
€
t
Tb
€
€
⎛ 1 ⎞ 2
⎟⎟ Tb = 1
Pφ = ⎜⎜
⎝ Tb ⎠
Tb
2Tb
Nota: el pulso está normalizado, € su potencia es €
Correspondiente al primer símbolo, t Bit=1. =A
€
s2 (t) €
= 0⋅ φ (t)
€
t
€
Tb
€
€
2Tb
€
€
2Tb
Correspondiente al segundo símbolo, Bit=0. Unipolar NRZ (M=2) •  La constelación correspondiente es 0
A Tb
φ
•  la energía m€edia por símbolo es: €
€
1 2 1
E simbolo = (0) + A Tb
2
2
(
€
)
2
A 2Tb
=
2
Media de las distancias al cuadrado de los símbolos hasta la origen. Se puede obtener también promediando la potencia de la señal en caso de bit 1 o de bit 0 (nota: la 2
potencia en este caso es ( amplitud
) ⋅ T b ): 1 2
1
A 2Tb
2
(0) Tb + ( A) Tb =
2
2€
2
Polar NRZ (M=2) •  Caso Unipolar NRZ (M=2, k=1). s1 (t) = A Tb φ (t)
A Tb
φ (t)
Tb
1
Tb
€
€
€
t
Tb
€
2Tb
Tb
€
t
Tb
€
−
2Tb
A Tb
= −A
Tb
€
€
€
2Tb
€
s2 (t) = −A Tb φ (t)
€
€
Nota: el pulso está normalizado, € su potencia es €
⎛ 1 ⎞ 2
⎟⎟ Tb = 1
Pφ = ⎜⎜
⎝ Tb ⎠
Correspondiente al primer símbolo, t Bit=1. =A
€
Correspondiente al segundo símbolo, Bit=0. Polar NRZ (M=2) •  La constelación correspondiente es −A Tb
0
φ
A Tb
•  la energía m€edia por símbolo es: €
E simbolo
€
€
1
1
= (−A Tb ) 2 + A Tb
2
2
(
)
2
2A 2Tb
=
= A 2Tb
2
Se puede obtener también promediando la potencia de la señal en caso de bit 1 o de bit 0 (nota: la 2
potencia en este caso es ( amplitud
) ⋅ T b ): 1
1
2A 2Tb
2
2
(−A) Tb + ( A) Tb =
= A 2Tb
2
2€
2
Media de las distancias al cuadrado de los símbolos hasta la origen. Unipolar RZ (M=2) •  Caso Unipolar RZ ( M=2 , k=1). A
φ (t)
2
Tb
€
€
€
Tb
2
Tb
€
⎛ 2 ⎞ 2 T
Pφ = ⎜
⎟ b = 1
⎝ Tb ⎠ 2
2
=A
Tb
€
Tb
2
2Tb
Nota: el pulso está normalizado, € su potencia es €
€
t
Tb
2
s1 (t) = A
€ €
Tb
φ (t)
Correspondiente al primer símbolo, t Bit=1. 2Tb
s2 (t) €
= 0⋅ φ (t)
€
t
€
Tb
€
€
Tb
2
€
€
2Tb
Correspondiente al segundo símbolo, Bit=0. Unipolar RZ (M=2) •  La constelación correspondiente es 0
A
φ
Tb
2
•  la energía media por símbolo es: €
E simbolo
€
€
€
1 2 1
= (0) + A
2
2
(
Tb
2
)
2
A 2Tb
=
4
Media de las distancias al cuadrado de los símbolos hasta la origen. Se puede obtener también promediando la potencia de la señal en el Vempo: 1 2
1
A 2Tb
2 Tb
(0) Tb + ( A)
=
2
2
2
4
Polar RZ (M=2) •  Caso Polar (llamado también bipolar) RZ (M=2, k=1). A
φ (t)
2
Tb
€
€
€
Tb
2
Tb
2Tb
Tb
2
Tb
2
Tb
2
2
= −A
Tb
€
€
Correspondiente al primer símbolo, t Bit=1. 2Tb
Tb
2
φ (t) Correspondiente al t
2Tb
€ €
€
φ (t)
Tb
€
−A
Tb
2
Tb
€
s2 (t) = −A
€
€ €
€
⎛ 2 ⎞ 2 T
Pφ = ⎜
⎟ b = 1
⎝ Tb ⎠ 2
2
=A
Tb
€
t
Nota: el pulso está normalizado, € su potencia es €
€
Tb
2
s1 (t) = A
segundo símbolo, Bit=0. Polar RZ (M=2) •  La constelación correspondiente es −A
0
Tb
2
A
φ
Tb
2
• € la energía media por símbolo es: E simbolo
1€
= −A
2
(
€
Tb
2
2
1€
+ A
2
) (
Tb
2
)
2
2A 2Tb A 2Tb
=
=
4
2
Se puede obtener también promediando la potencia de la señal en el Vempo: 1
−A
2
(
Tb
2
)
2
Tb 1
+ A
2 2
(
Tb
2
)
2
Tb 2A 2Tb A 2Tb
=
=
2
4
2
Media de las distancias al cuadrado de los símbolos hasta la origen.