Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro θ. Calcular la función de distribución, la de densidad y la función cuantı́lica de la v.a. Y = θX 1/3 . Solución: La función de densidad de X es fθ (x) = θe−θx , si x > 0. Por tanto, la función de distribución de X es Z x f (t)dt = 1 − e−θx . F (x) = P{X ≤ x} = 0 Función de distribución de Y : y 3 Gθ (y) = P{Y ≤ y} = P θX 1/3 ≤ y = P{X ≤ }=F θ y 3 3 2 = 1 − e−y /θ θ Función de densidad de Y : 3 2 −y3 /θ2 y e θ2 Función cuantı́lica de Y : Por definición de función cuantı́lica, G−1 θ (p) = ı́nf{y : Gθ (y) ≥ p}. Como la distribución de Y es absolutamente continua y la función de distribución Gθ es estrictamente −1 creciente, en realidad G−1 θ es simplemente la inversa de la función de distribución, es decir, Gθ (p) es el punto y tal que Gθ (y) = p. Por tanto, gθ (y) = G0θ (y) = −y G−1 θ (p) = y ⇔ p = Gθ (y) = 1 − e 3 /θ 2 Despejando y, obtenemos 2 1/3 y = G−1 . θ (p) = (−θ log(1 − p)) .