PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN PROBLEMA Nº3 Seleccionar en acero S355 una sección adecuada para la viga en ménsula que se muestra en la figura, siguiendo las indicaciones del EC3. La pieza deberá ser capaz de soportar una carga uniformemente repartida Qk=25kN/m y se encuentra eficazmente arriostrada transversalmente, de modo que puede descartarse su agotamiento por pandeo lateral. - - - SOLUCIÓN: 1º) E.L.U. de agotamiento por flexión Comenzamos obteniendo la carga mayorada Fd que deberá soportar la pieza utilizando los coeficientes parciales de ponderación correspondientes al estado límite último para acciones constantes y variables respectivamente. Supondremos un peso propio de la viga Gk=0,6kN/m. Fd = Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q = 0,6kN /m ⋅ 1,35 + 25kN /m ⋅ 1,5 = 38,3kN /m Gk: Acciones permanentes características 0,6kN/m Qk: Acciones variables características 25kN/m γG: Coeficiente parcial para acciones constantes 1,35 γQ: Coeficiente parcial para acciones variables 1,5 fy: Límite elástico del acero γM: Coeficiente parcial de seguridad del acero S355 = 355N/mm2 -1- 1,1 PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN Suponiendo un perfil con espesor de ala tf <40mm, la resistencia de cálculo fyd a tomar será: f yd = fy γM = 355 N /mm 2 = 323 N / mm 2 1,1 Sabemos que el máximo momento flector de cálculo está presente en el empotramiento y vale: F ⋅ L2 38,3kN /m ⋅ (4m ) = d = = 306,4kNm 2 2 2 M sd se precisa entonces una sección que sea capaz de aportar un momento resistente Mc.Rd tal que M c.Rd > M sd = 306,4kNm Si estimamos que la sección será de Clase 1 (lo cual comprobaremos más tarde) el momento resistente de cálculo vendrá dado por el momento plástico de la sección Mpl,Rd M c.Rd = M pl . Rd = W pl . y ⋅ f yd > M sd = 306,4kNm W pl . y > M sd 306,4 ⋅ 106 N⋅mm = = 948607 mm3 ≅ 949cm3 2 323 N /mm f yd Mc.Rd: Momento resistente Mpl.Rd: Momento plástico de la sección Wpl.y: Módulo resistente plástico respecto del eje fuerte y Elegimos un IPE360 que presenta un módulo plástico Wpl=1020cm3 y unas características: h: Canto total = 360mm b: Anchura del ala = 170mm c: Anchura del semiala = 85mm r: Radio de la raiz = d: Altura entre cordones = 298mm tf : Espesor del ala = 12,7mm tw : Espesor del alma = 8,0mm 18mm -2- PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN A: Área de la sección = 72,7cm2 Iy: Momento de inercia respecto del eje fuerte y = 16270cm4 Iz: Momento de inercia respecto del eje débil z = 1040cm4 Gk: Peso del perfil = 0,57kN/m. Valor inferior al supuesto inicialmente de 0,6kN/m. 1-a) Clasificación de la sección IPE360 a flexión simple. El alma del perfil será de clase 1 si cumple: CLASE 1 ⇒ d ≤ 72 ⋅ ε tw ( S 355 → ε = 0,81) ; 298 = 37,25 < 72 ⋅ ε = 58 ⇒ CLASE 1 9,0 El ala comprimida por flexión será de clase 1 si se verifica: CLASE 1 ⇒ c 85 ≤ 10 ⋅ ε ; = 6,7 < 10 ⋅ ε = 8,1 ⇒ CLASE 1 tf 12,7 2º) E.L.U. de agotamiento por cortante Vamos a evaluar la magnitud del esfuerzo cortante presente en la viga y si es necesaria una reducción en el momento resistente tomado para la sección. El máximo esfuerzo cortante se presenta, como nos indica el diagrama, en la sección de empotramiento. Su valor de cálculo es Vsd = Vk max ⋅ γ f = (Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q ) ⋅ L = Fd ⋅ L = 38,3kN /m ⋅ 4m = 153,2kN Para que no se produzca un agotamiento por cortante se requiere que la sección transversal presente una resistencia plástica de cálculo a cortante Vpl.Rd tal que se cumpla: V pl .Rd > Vsd = 153,2kN siendo V pl .Rd = Av ⋅ (f / 3 γM y ) -3- > Vsd = 153,2kN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN donde Av representa el área resistente a cortante de la sección que para perfiles I y H vale: Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f = 72,7cm 2 − 2 ⋅ 17cm ⋅ 1,27cm + (0,8cm + 2 ⋅ 1,8cm ) ⋅ 1,27cm = 35,1cm 2 En el caso de secciones transversales en I y cuando el plano de carga es el de simetría del alma el EC3 permite calcular el área resistente a cortante mediante una expresión aproximada que conduce a unos resultados similares siempre del lado de la seguridad: Av.apox. = 1,04 ⋅ h ⋅ t w = 1,04 ⋅ 36cm ⋅ 0,8cm ≅ 30cm 2 < Av.real = 35,1cm 2 De modo que la resistencia plástica de cálculo a cortante Vpl.Rd valdrá en nuestro caso: V pl .Rd 355 N /mm 2 fy / 3 3 2 2 = 654kN = Av ⋅ = 35,1 ⋅ 10 mm ⋅ γM 1,1 ( ) >> Vsd = 153,2kN valor superior al cortante de cálculo que además, al no alcanzar el 50% de la resistencia plástica a cortante, no implica reducción alguna en el momento resistente ya calculado. Vsd = 153,2kN < 50% (V pl . Rd ) = 327 kN ⇒ M c. Rd = M pl .Rd (*) ¿Qué sucedería si el cortante de cálculo Vsd alcanzara un 65% ó un 75% de Vpl.Rd? En este caso el momento resitente de la sección Mv.Rd se calcula empleando un límite elástico reducido para el área de cortante que depende de la relación entre el cortante solicitante y el correspondiente valor de agotamiento. p ⋅ Av2 f y M v. Rd = W pl − ⋅ 4 ⋅ tw γ M 2 ⋅ Vsd − 1 p= V pl . Rd 2 2 2 ⋅ 0,65 ⋅ V pl . Rd Si Vsd = 0,65 ⋅ V pl .Rd → p = − 1 = 0,09 V pl .Rd 2 2 ⋅ 0,75 ⋅ V pl . Rd − 1 = 0,25 Si Vsd = 0,75 ⋅ V pl .Rd → p = V pl .Rd -4- PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN Así tendríamos unos momentos resistentes Mv.Rd: (V sd (V sd ( = 65% ⋅ V pl . Rd ) 0,09 ⋅ 35,1⋅102 mm 2 ⇒ M v.Rd = 1020⋅103 mm3 − 4 ⋅ 8mm = 75% ⋅ V pl . Rd ) 0,25 ⋅ 35,1⋅102 mm 2 ⇒ M v.Rd = 1020⋅103 mm3 − 4 ⋅ 8mm ( ) ⋅355N /mm 2 1,1 ) ⋅355N /mm 2 2 1,1 2 = 318kNm = 298kNm Si recordamos que el momento de cálculo valía Msd=306,4kNm, los resultados indican que el perfil seleccionado IPE360 seguiría siendo válido en el caso de Vsd =65%·Vpl.Rd, (Mv.Rd > Msd) pero no sería seguro para la situación de un cortante Vsd =75%·Vpl.Rd en donde Mv.Rd < Msd. 3º) E.L.S. de flecha máxima Para analizar este estado límite de servicio calcularemos la flecha en el extremo de la ménsula teniendo en cuenta que los coeficientes de ponderación serán unitarios: γf =1,0. La flecha total para una viga genérica (EC3) se obtiene como: δ max = δ1 + δ 2 − δ 0 δ max : flecha máxima en el estado final δ1 : flecha debida a cargas permanentes δ 2 : flecha debida a cargas variables δ 0 : contraflecha en estado de descarga En nuestro caso tenemos δ 0 = 0 La expresión que nos da la flecha para una ménsula de longitud L flectada respecto de su eje fuerte y-y sometida a una carga uniformemente repartida de intensidad genérica p es: 4 0,57 N /mm ⋅ (4000mm ) Gk ⋅ L4 δ = 0.53mm = = 1 8 ⋅ E ⋅ I y 8 ⋅ 210000 N /mm 2 ⋅ 16270 ⋅ 104 mm 4 p ⋅ L4 δ= 4 8⋅ E ⋅ Iy 25 N /mm ⋅ (4000mm ) Qk ⋅ L4 δ 2 = 8 ⋅ E ⋅ I = 8 ⋅ 210000 N /mm 2 ⋅ 16270 ⋅ 104 mm 4 = 23,4mm y -5- PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN Por lo tanto la flecha máxima, presente en el extremo libre de la viga valdrá: δ max = δ1 + δ 2 − δ 0 = 0,53mm + 23,4mm ≅ 24mm En la tabla 4.1 del EC3 se nos recomiendan unos valores límites para la flecha máxima y para la flecha δ 2 debida a la carga variable. Se indica expresamente que para vigas en ménsula, la longitud a considerar será dos veces la longitud del proyecto del voladizo. Tomando un caso general, deberíamos cumplir los límites: δ max ≤ δ2 ≤ 2 ⋅ 4000mm L ; δ max = 24mm < = 32mm → Válido 250 250 2 ⋅ 4000mm L ; δ 2 = 23,4mm < = 26,6mm → Válido 300 300 Podemos concluir finalmente que el perfil seleccionado, un IPE360 resulta idóneo. -6- PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN ¿Cuál será la magnitud de la carga horizontal uniformemente repartida que junto con la ya aplicada en sentido gravitatorio haría agotarse el perfil seleccionado? Como sabemos las vigas sometidas a flexión esviada presentan un eje neutro oblicuo cuya inclinación depende de la relación de momentos aplicados y de la forma de la sección. La expresión de agotamiento para la acción conjunta de flexión en dos planos viene dada por: α β M y.Sd M z .Sd + ≤1 M M cy .Rd cz . Rd Expresión en la que ya conocemos el momento flector de cálculo para las cargas verticales: Fd ⋅ L2 38,3kN /m ⋅ (4m ) = = 306,4kNm 2 2 2 M y .sd = el momento resistente para la flexión respecto del eje fuerte: M cy. Rd = M ply .Rd = W pl . y ⋅ f yd = 1020000mm3 ⋅ 0,323kN / mm 2 = 329,4kNm y los coeficientes α y β que para secciones I ó H se pueden tomar como α=2 y β=1. Α continuación vamos a obtener Mcz.Rd, que representa el momento resistente para la flexión respecto del eje débil (plano horizontal) y de la expresión deduciremos el momento de cálculo de agotamiento para la flexión en dicho plano Mz.Sd obteniendo finalmente la carga asociada. Teniendo que cuenta que el módulo plástico respecto del eje débil es Wpl.z=191,1cm3, se tiene: M cz. Rd = M plz . Rd = W pl . z ⋅ f yd = 191100mm3 ⋅ 0,323kN / mm 2 = 61,7kNm α β 2 1 M y .Sd M z .Sd 306,4kNm M z .Sd + ≤ 1; 329,4kNm + 61,7 kNm ≤ 1 M cy .Rd M cz .Rd [0,93]2 + M z.Sd ≤ 1 ⇒ M z.Sd ≤ 8,31kNm 61,7 M z .Sd = Fzd ⋅ L2 8,31kN m ⋅ 2 ≤ 8,31kNm ⇒ Fzd ≤ = 1,04kN /m 2 (4m)2 En términos de carga de servicio con γQ=1,5 tendríamos finalmente Fzkmax=0,69kN/m -7-