Sistemas de coordenadas y sistemas de referencia

Dpto. Física y Mecánica
Sistemas de coordenadas
y sistemas de referencia
La descripción del movimiento de un cuerpo
requiere la introducción de un sistema de
coordenadas
espaciales
que
identifiquen
unívocamente cada punto del espacio, y una
coordenada temporal,
temporal la cual determina el orden
cronológico de sucesos en cualquier punto del
espacio.
espacio
A este conjunto de coordenadas espacio-temporal
espacio temporal
se denomina sistema de referencia.
OCW‐UPM
1 Sistemas
1.
Si t
de
d referencia
f
i
Un sistema de referencia viene dado por un punto
de referencia denominado origen y un sistema de
coordenadas. El origen de coordenadas es el punto
de referencia de un sistema de coordenadas y en él
el valor de todas las coordenadas del sistema es
nulo.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores
unitarios, denominados versores, que indican la
dirección del eje.
OCW‐UPM
2 Sistemas
2.
Si t
de
d coordenadas
d
d
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores
y puntos que permiten definir unívocamente la posición
de cualquier punto de un espacio euclídeo.
El p
primero q
que expresó
p
la p
posición de un p
punto en el
plano o en el espacio fue Descartes, por lo que se suele
referir a ellas como coordenadas cartesianas.
Para representar un punto en un plano, utilizó dos rectas
perpendiculares
di l
entre
t sí,
í de
d forma
f
que la
l posición
i ió del
d l
punto se determinaba midiendo sobre los ejes las
distancias al punto.
punto
OCW‐UPM
Sobre dichas rectas se definen vectores unitarios o
versores perpendiculares entre sí que son vectores de
módulo unidad, q
que determinan una base ortonormal.
y
x
y
x
OCW‐UPM
2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por
dos ejes
j ortogonales
g
en un sistema bidimensional y tres
ejes ortogonales en un sistema tridimensional, que se
cortan en el origen O.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán
d d por las
dadas
l proyecciones
i
d l vector
del
t de
d posición
i ió del
d l
punto sobre cada uno de los ejes.
OCW‐UPM
2.1. Sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z)
Z
Y
‐X
-Y
-X
Y
X
X
-Y
Y
2D
-Z
3D
OCW‐UPM
G
Dado un vector r del espacio tridimensional y tres
G
planos que se cortan en el punto de origen de r , se
definen las coordenadas cartesianas (x,y,z)
(x y z) como las
tres proyecciones ortogonales del vector sobre las tres
aristas de intersección de los planos perpendiculares;
los tres planos se identifican por yz, zx, xy
respectivamente.
p
En un sistema GdeGcoordenadas
cartesianas se definen
G
los versores ( i , j , k ) en la dirección de los ejes x, y, z
respectivamente.
OCW‐UPM
Variación infinitesimal de las coordenadas
Si las coordenadas del punto
varían infinitesimalmente en el
espacio, siendo tales variaciones
dx, dy, dz, la variación que ha
experimentado
p
el vector de
posición es
G
G
G
G
dr = dxi + dyj + dzk
X
Z P(x,y,z)
P( d
P(x+dx,y+dy,z+dz)
d
d )
Y
y el punto habrá recorrido un
elemento
l
t diferencial
dif
i l de
d arco
ds = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
OCW‐UPM
El
Elemento
t dif
diferencial
i ld
de superficie
fi i
Dada la superficie A, seleccionamos un elemento
diferencial de superficie.
El vector característico de la superficie (dA), tiene tres
componentes, cada una de ellas dirigida sobre cada uno
de los ejes.
G
G
G
G
dA = dAx i + dAy j + dAz k
Z
A
Y
X
OCW‐UPM
El
Elemento
t dif
diferencial
i ld
de superficie
fi i
Los valores de las componentes se obtienen proyectando
el elemento diferencial de superficie sobre los tres planos
coordenados
Z
dy
dz
dz
dx
Y
dy
X
dx
G
G
G
G
dA = dy
d ·ddzii + dx
d ·dzj
d j + dx
d ·dyk
d k
OCW‐UPM
El
Elemento
t dif
diferencial
i l de
d volumen
l
Dada un volumen V,
V se
selecciona un elemento
diferencial de volumen
formado
por
un
paralelepípedo
cuyas
aristas (dx, dy, dz) son
paralelas a los ejes
p
j
coordenados, de forma
que
Z
dz
dy
dx
Y
X
dV=dx·dy·dz
OCW‐UPM
2 2 Sistema
2.2.
Si t
de
d coordenadas
d
d polares
l
(r,
( θ)
Para representar puntos en el plano se utiliza en
muchas ocasiones el sistema de coordenadas polares
p
En este sistema se necesitan un ángulo (θ) y una
distancia (r).
Para medir θ, en radianes, necesitamos una semirrecta
dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo
ll
llamado
d polo.
l
OCW‐UPM
2 2 Sistema
2.2.
Si t
de
d coordenadas
d
d polares
l
(r,
( θ)
Para expresar la
P
l posición
i ió de
d
un punto P en coordenadas
polares (r,θ),
(r θ) Gse define un
vector unitario ur que indique
la dirección de la línea radial
que une el origen
G O y P, y un
vector
G unitario u θ perpendicular
a ur orientado hacia valores
crecientes de θ.
Y
P
r
θ
G G
G
OP = r = rur
X
OCW‐UPM
G
uz
2 3 Si
2.3.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d cilíndricas
ilí d i
((r, ϕ,z))
La primera coordenada es la distancia (r) existente
entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo (ϕ)
que forman el eje y la recta que pasa por ambos
puntos, y la tercera es la coordenada (z) que determina
la altura del cilindro.
Se definen tres vectores unitarios,
perpendiculares entre sí que forman
ortonormal.
t
l
G uG
ur ϕ
una
G
, uz
y
base
OCW‐UPM
2 3 Si
2.3.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d cilíndricas
ilí d i
((r, ϕ,z))
G
uz
Z
Z
G
uϕ
r
ϕ
r
ϕ
z
z
Y
Y
X
G
ur
X
OCW‐UPM
2 3 Si
2.3.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d cilíndricas
ilí d i
((r, ϕ,z))
Las coordenadas
L
d
d
cilíndricas
ilí d i
r y ϕ son las
l
coordenadas
d
d
polares de P medidas en el plano paralelo XY que pasan
por él,
él y las definiciones de los vectores unitarios y no
cambian. La posición de P perpendicular al plano XY se
mide por la coordenada z.
z
Consideramos un cilindro de radio R y altura H, la
posición del punto P viene dada por
x = r cos ϕ
y = rsenϕ
z=z
OCW‐UPM
2 3 Si
2.3.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d cilíndricas
ilí d i
((r, ϕ,z))
G
G
G
G
G
G
r = r cos ϕ i + rsenϕ j + zk = rur + zk
G
G
G
ur = r cos ϕ i + rsenϕ j
OCW‐UPM
2 3 Si
2.3.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d cilíndricas
ilí d i
((r, ϕ,z))
dϕ
dϕ
r
dr
dz
dz
r
rdϕ
dz
rdϕ
rdϕ
G
G
dA = (rdϕ ·dz )ur
dV = (rdϕ ·dz )dr
OCW‐UPM
2 4 Si
2.4.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d esféricas
fé i
((r, θ,ϕ)
Un sistema de coordenadas esféricas se usa en
espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de
coordenadas esféricas está formado por tres ejes
mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen.
La primera coordenada (r) es la distancia entre el origen
y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es
necesario girar para alcanzar la posición del punto. Se
definen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí
que forman
f
una base
b
ortonormal
t
l,
OCW‐UPM
2 4 Si
2.4.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d esféricas
fé i
((r, θ,ϕ)
θ )
θ
ϕ
r
El radio r (0≤r≤R ) es la
distancia desde el origen
d coordenadas
de
d
d all punto,
t
es el ángulo que forma r
con la vertical (0≤θ≤π
(0≤θ≤ ) y
ϕ es el ángulo que forma
la proyección de r sobre
el plano XY con el eje X
(0≤ϕ≤2π ).
)
OCW‐UPM
r cosθ
2 4 Si
2.4.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d esféricas
fé i
((r, θ,ϕ)
θ )
θ r
r senθ senϕ
ϕ
OCW‐UPM
La relación de las coordenadas cartesianas y curvilíneas
esféricas es
x = rsenθ cos ϕ
y = rsenθ senϕ
z = r cos θ
El vector de posición del punto P se puede expresar por
G
G
G
G
r = rsenθ cos ϕ i + rsenθ senϕ j + z cos θ k
G
G
G
ur = r cos ϕ i + rsenϕ j
OCW‐UPM
2 4 Si
2.4.
Sistema
t
d
de coordenadas
d
d esféricas
fé i
((r, θ,ϕ)
θ )
G
ur
G
uϕ
θ
r
G
uθ
ϕ
OCW‐UPM
Un elemento diferencial de superficie
p
sobre la
superficie del cilindro se obtiene modificando
infinitesimalmente los dos ángulos (dϕ y dθ); el vector
característico de la superficie es perpendicular a ella y
en consecuencia tiene la dirección del radio
G
G
dA = (rsenθ dϕ )·(
) (rddθ )ur
rdθ
θ
dθ
r
ϕ
dϕ
OCW‐UPM
Un elemento diferencial de volumen se obtiene
considerando el elemento anterior y variando
infinitesimalmente la profundidad en una cantidad dr
dV = (rsendϕ))·((rdθ))·dr
rdθ
rsenθdϕ
OCW‐UPM