Momento angular y su conservación Archivo

MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACION
BERNARDO ARENAS GAVIRIA
Universidad de Antioquia
Instituto de Física
2016
Índice general
3. Momento angular y su conservación
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Movimiento curvilíneo, leyes de Newton y energía . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Vector posición en el movimiento curvilíneo . . . . . . . . . . .
3.2.2. Vector velocidad en el movimiento curvilíneo . . . . . . . . . .
3.2.3. Vector aceleración en el movimiento curvilíneo . . . . . . . . . .
3.3. Dinámica del movimiento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Vector posición (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Vector aceleración (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5. Movimiento circular uniformemente acelerado . . . . . . . . . .
3.4.6. Vector velocidad angular y vector aceleración angular . . . . .
3.4.7. Dinámica del movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Vector momento angular de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Variación del vector momento angular con el tiempo . . . . . .
3.5.2. Conservación del momento angular y fuerzas centrales . . . . .
3.5.3. Concepto de cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Vector momento angular de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Momento de inercia de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Ejes principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2. Ejes principales de inercia en un cuerpo esférico . . . . . . . . .
3.7.3. Ejes principales de inercia en un cuerpo cilíndrico . . . . . . . .
3.7.4. Ejes principales de inercia en un cuerpo rectangular . . . . . . .
3.8. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Radio de giro de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2. Conservación del vector momento angular en un cuerpo rígido
3.9. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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7
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9
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13
16
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29
33
3
Capı́tulo
3
Momento angular y su conservación
Competencias
En esta unidad se busca que el estudiante
Defina los vectores unitarios radial y transversal y exprese el vector velocidad en sus
componentes radial y transversal.
Defina e interprete correctamente los conceptos de velocidad radial y velocidad
transversal.
Defina los vectores unitarios tangencial y
normal y exprese el vector aceleración en
sus componentes tangencial y normal.
Defina e interprete correctamente las componentes tangencial y normal del vector
aceleración.
Exprese el vector fuerza en sus componentes tangencial y normal.
Defina e interprete correctamente las componentes tangencial y normal del vector
fuerza.
Describa las características de un movimiento circular.
Defina el concepto de vector momento angular y analice su variación con el tiempo.
Analice situaciones en las que se conserva
el vector momento angular.
Defina el concepto de fuerza central.
Defina el concepto de cuerpo rígido.
Infiera la diferencia entre el modelo de partícula y el modelo de cuerpo rígido.
Obtenga el momento angular de un cuerpo
rígido.
Defina el concepto de momento de inercia.
Infiera la relación entre masa y momento
de inercia.
Defina un eje principal de inercia.
Enuncie y aplique adecuadamente el Teorema de Steiner.
Aplique la conservación del momento angular en el caso un cuerpo rígido.
Defina los conceptos de vector velocidad
angular y de vector aceleración angular.
CONCEPTOS BASICOS
Se definirán los conceptos de velocidad radial
Defina y analice el movimientos circular
(vr ), velocidad transversal (vθ ), aceleración tanuniforme y el movimiento circular uniforgencial (aT ), aceleración normal (aN ), fuerza tanmemente acelerado.
gencial (FT ), fuerza normal (FN ), vector velociAplique las leyes de Newton en el mo- dad angular (ω), vector aceleración angular (α),
vimiento curvilíneo, particularmente en el vector momento angular ( L) y momento de
inercia (I).
movimiento circular.
2
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
3.1. Introducción
En la primera parte de la unidad se hace un análisis de partículas que se mueven a lo largo de
trayectorias curvilíneas, aplicando los concepto
analizados en las unidades anteriores. En esta
unidad se redefinen los conceptos de vector posición (r), vector velocidad (v) y vector aceleración (a), empleando coordenadas polares, para
llegar a las causas que generan los cambios en el
estado de reposo o de movimiento de los cuerpos. Posteriormente, se define el vector momento angular o cantidad de movimiento angular,
ya que esta es una cantidad física de mucho interés, puesto que en la naturaleza se presentan
muchas situaciones físicas en las que el vector
momento angular se conserva, cuando un cuerpo describe una trayectoria curvilínea. Esto da
lugar al principio de conservación del momento angular, que se aplica en diferentes áreas de
la física. Es de mucha utilidad en el análisis de
fuerzas centrales, como se verá posteriormente
en el caso del movimiento de la tierra alrededor
del sol. Finalmente, se define el concepto del escalar, momento de inercia, que desempeña en
rotación el mismo papel que la masa en traslación.
3.2. Movimiento curvilíneo, leyes
de Newton y energía
En esta sección se analizan los efectos que se
presentan cuando ocurren cambios en la magnitud y en la dirección, tanto del vector posición
como del vector velocidad de una partícula que
se mueve en una trayectoria curvilínea. Para llevar a cabo esta tarea se utilizan coordenadas polares.
Igual que en el caso de coordenadas rectangulares, se definen dos vectores unitarios perpendiculares entre sí ur y uθ , que cumplen las
siguientes condiciones:
vector posición r y se le denomina vector
unitario transversal.
Ahora, de acuerdo con la definición de estos
vectores unitarios, mientras una partícula describe una trayectoria curvilínea, la dirección del
vector posición cambia con el tiempo, es decir,
que la dirección, mas no su magnitud, de los
vectores unitarios ur y uθ cambia con el tiempo.
y
r
q
uq
A
v
j ur
q
i
x
Figura 3.1: Vectores unitarios radial y transversal.
Con el fin de hacer más simple el trabajo matemático, se expresan los vectores ur y uθ en
función de los vectores unitarios i y j cuyas
direcciones permanecen constantes, cuando el
sistema de coordenadas rectangulares no rota
mientras la partícula está en movimiento. De la
figura 3.1, se tiene que los vectores unitarios ur
y uθ en componentes rectangulares están dados
por
ur = cosθi + senθj,
(3.1)
uθ = −senθi + cosθj,
(3.2)
donde θ se expresa en radianes.
3.2.1.
Vector posición en el movimiento
curvilíneo
De acuerdo con la definición del vector unitario ur y de la figura 3.1, se tiene que el vector
posición, cuando la partícula pasa por el punto
A, se puede expresar en la forma
r = rur ,
(3.3)
ur , en todo instante, es paralelo al vector
posición r y se le denomina vector unitario
donde, en general, cambian tanto su magnitud
radial.
como su dirección mientras la partícula describe
uθ , en todo instante, es perpendicular al la trayectoria curvilínea.
3
3.2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO, LEYES DE NEWTON Y ENERGÍA
3.2.2.
Vector velocidad en el movimiento con el tiempo la dirección del vector posición y
se le denomina velocidad transversal, o sea
curvilíneo
En esta sección se muestra que un cambio en la
magnitud del vector posición ó un cambio en su
dirección, genera una componente en la velocidad.
De acuerdo con la figura 3.1, la velocidad de
la partícula en el punto A, está dada por la definición usual v = dr/dt, donde al reemplazar la
ecuación (3.3), adquiere la forma
dr
d
v=
= (rur ).
dt
dt
(3.4)
vθ ≡ r
dθ
.
dt
(3.9)
y
vquq
v
vrur
j
r (t)
x
i
Derivando la ecuación (3.3) respecto al tiempo,
teniendo en cuenta que ur varía en dirección por Figura 3.2: Componentes radial y transversal del
tratarse de una trayectoria curvilínea, se tiene
vector velocidad.
dur
dr
Mediante las definiciones dadas por las ecuaur + r
.
(3.5)
v=
dt
dt
ciones (3.8) y (3.9), la ecuación (3.7) se puede esDerivando la ecuación (3.1) respecto al tiempo y cribir en la forma
comparando el resultado con la ecuación (3.2),
v = v r ur + v θ u θ .
(3.10)
se encuentra que
Ahora, como las componentes radial y transverdur
dθ
=
uθ ,
(3.6) sal de la velocidad son perpendiculares, como
dt
dt
se muestra en la figura 3.2, se cumple
√
donde se observa que la derivada respecto al
v
=
v2r + v2θ .
tiempo del vector unitario en la dirección radial,
es un vector paralelo al vector unitario en la diEjemplo 3.1 Una partícula se mueve en el plano
rección transversal, es decir, es un vector per- xy de tal forma que su posición está dada por la expendicular al vector posición.
presión r = 2ti + 4t2 j donde r está dado en p (pies)
Luego de reemplazar la ecuación (3.6) en la y t en s. Determine a) La ecuación de la trayectoria
seguida por la partícula. b) Las coordenadas polaecuación (3.5), se obtiene
res correspondientes, en función del tiempo. c) Las
componentes radial y transversal de la velocidad, en
(3.7) función del tiempo
Solución
Como resultado del procedimiento llevado a ca- a) De acuerdo con la expresión dada para el vector
bo, en la ecuación (3.7) aparecen dos componen- posición de la partícula, se tiene que sus coordena2
tes de la velocidad, una en la dirección radial y das rectangulares están dadas por x = 2t y y = 4t .
Mediante estas ecuaciones paramétricas se encuenotra en la dirección transversal.
tra que la trayectoria seguida por la partícula está
La componente de la velocidad en dirección dada por
radial, solo aparece cuando cambia con el tiemy = x2 .
dr
dθ
v=
ur + r u θ .
dt
dt
po la magnitud del vector posición y se le deno- En la figura 3.3 se muestra la trayectoria parabólica
mina velocidad radial, es decir
seguida por la partícula.
dr
.
vr ≡
dt
(3.8)
En cambio, la componente de velocidad en la dirección transversal, solo aparece cuando cambia
b) Las coordenadas polares están dadas por la
magnitud del vector posición y por la dirección del
vector posición con respecto al eje x, como se indica
en la figura 3.3. Matemáticamente, se tiene
r = 2t(1 + 4t2 )1/2 ,
(1)
4
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
y
y
DS
vA
v
A
SA
OO
Dr
SB
B
vB
j
r
j
q
x
i
O
Figura 3.3: Coordenadas polares y rectangulares.
θ = tan−1 2t.
x
i
Figura 3.4: Movimiento curvilíneo de una partícula.
(2) origen, sobre la trayectoria. De este modo, la po-
sición de la partícula cuando pasa por el punto A está dada por SA = Oo A (longitud de la
trayectoria entre Oo y A) y cuando pasa por el
punto B está dada por SB = Oo B (longitud de la
trayectoria entre Oo y B).
El desplazamiento de la partícula a lo largo
de la trayectoria, entre las posiciones A y B, es
∆S (longitud de la trayectoria entre A y B). AhoLa componente transversal de la velocidad, que se ra, la definición del vector velocidad se puede
debe al cambio en la dirección del vector posición
con el tiempo, está dada por la expresión vθ = escribir en la forma
c) La componente radial de la velocidad, que se debe al cambio en la magnitud del vector posición/con
el tiempo, está dada por la expresión vr = dr dt .
Mediante la ecuación (1), se encuentra que está dada por
2(1 + 8t2 )
.
vr =
(1 + 4t2 )1/2
rdθ/dt. Utilizando las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que está dada por
vθ =
4t
(1 + 4t2 )1/2
.
∆r ∆S
∆r
= lim
,
∆t→0 ∆t ∆S
∆t→0 ∆t
)(
)
(
∆S
∆r
lim
.
v = lim
∆t→0 ∆t
∆S→0 ∆S
v = lim
(3.11)
Ejercicio 3.1 Teniendo en cuenta el ejemplo 3.1: Si se hace que el punto B se aproxime al puna) Halle la velocidad de la partícula en componen- to A, se tiene que cuando están muy próximos
tes rectangulares. b) Compruebe que (v2x + v2y )1/2 = |∆r | ≈ ∆S, así, el primer paréntesis de la ecua(v2 + v2 )1/2 . c) Calcule el valor de las componentes ción (3.11) adquiere la forma
r
θ
radial y transversal de la velocidad de la partícula
en el instante t = 2s.
∆r
dr
=
= uT ,
dS
∆S→0 ∆S
lim
(3.12)
3.2.3. Vector aceleración en el movimien- que es un vector unitario tangente a la trayectoria seguida por la partícula, ya que se divide un
to curvilíneo
vector en la dirección tangente a la trayectoria
En esta sección, se muestra que un cambio en por su magnitud.
Por otro lado, el segundo paréntesis se transla magnitud de la velocidad ó un cambio en su
dirección genera una componente en la acelera- forma en
ción.
∆S
dS
lim
=
= |v| = v,
(3.13)
Para ello, primero se expresa el vector velocidt
∆t→0 ∆t
dad en función de su magnitud y dirección.
Se considera una partícula que se mueve a lo que corresponde a la magnitud del vector velolargo de la trayectoria mostrada en la figura 3.4, cidad puesto que se divide la magnitud del vecdonde se toma Oo como punto de referencia, u tor desplazamiento por el intervalo de tiempo
5
3.2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO, LEYES DE NEWTON Y ENERGÍA
correspondiente. Así, dS juega el mismo papel Derivando la ecuación (3.17) respecto al tiempo
que dx ó dy en un movimiento rectilíneo.
y teniendo en cuenta la ecuación (3.16), se enDe este modo, reemplazando las ecuaciones cuentra que la ecuación (3.18) adquiere la forma
(3.12) y (3.13) en la ecuación (3.11), se encuentra
dv
dφ
que
a=
uT + v
uN .
(3.19)
dt
dt
v = vuT ,
(3.14)
donde se expresa el vector velocidad como el Comparando las ecuaciones (3.18) y (3.19), se
tiene que la derivada respecto al tiempo del vecproducto de su magnitud por su dirección.
tor unitario en la dirección tangencial es un vecy
tor perpendicular o normal a la curva en el punto P.
En la ecuación (3.19), la componente en la
v
dirección paralela al vector unitario tangencial
u
j
se le denomina aceleración tangencial y aparece
u
j
siempre que cambia la magnitud del vector veP
r ( t)
locidad con el tiempo, es decir
j
T
N
x
i
aT =
Figura 3.5: Vectores unitarios tangencial y normal.
dv
.
dt
(3.20)
Igualmente, en la ecuación (3.19) la componenUtilizando la figura 3.5, el vector unitario tan- te en la dirección paralela al vector unitario
gencial uT que forma un ángulo φ con la hori- normal se le llama aceleración normal y aparece
zontal, se expresa en componentes rectangula- cuando cambia la dirección del vector velocidad
con el tiempo, esto es
res por
uT = cosφi + senφj.
(3.15)
dφ
.
(3.21)
aN = v
Además, como se indica en la figura 3.5, se dedt
fine un segundo vector unitario uN perpendicular al vector velocidad y dirigido hacia la conca- Con las definiciones dadas por las ecuaciones
vidad de la trayectoria. Este vector se denomina (3.20) y (3.21), la ecuación (3.19) se puede escrivector unitario normal, que expresado en com- bir en la forma
ponentes rectangulares, adquiere la forma
a = aT uT + aN uN .
(3.22)
uN = −senφi + cosφj.
(3.16)
Como las componentes tangencial y normal de
Si en el instante t la partícula se encuentra en el la aceleración son perpendiculares, en este caso
punto P de la figura 3.5, se tiene que mediante se cumple la relación
√
la ecuación (3.14), la definición de aceleración
a = a2T + a2N .
a = dv/dt adquiere la forma
a=
dv
d
= (vuT ).
dt
dt
(3.17)
Derivando la ecuación (3.17) respecto al tiempo,
y teniendo en cuenta que el vector unitario tangencial varía en dirección por tratarse de una
trayectoria curvilínea, se tiene
a=
dv
duT
uT + v
.
dt
dt
(3.18)
En la figura 3.6 se muestran las componentes
tangencial y normal de la aceleración en un movimiento curvilíneo.
Hay otra forma de expresar la ecuación (3.21)
para la componente normal de la aceleración.
En la figura 3.7, se considera un pequeño desplazamiento de la partícula a lo largo de la trayectoria, donde dS = PP′ es el pequeño arco que recorre la partícula al moverse desde el
6
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
y
mal se puede expresar en la forma
aN =
a
(3.26)
a TuT
a NuN
j
v2
.
ρ
De este modo, mediante la ecuación (3.26), la
ecuación (3.19) adquiere la forma
r (t)
x
i
Figura 3.6: Componentes tangencial y normal del
vector aceleración.
a=
dv
v2
uT + uN .
dt
ρ
(3.27)
Ejemplo 3.2 Una partícula se mueve en el plano
xy
de tal forma que su posición está dada por la expunto P al punto P’ en un pequeño intervalo de
presión r = 2ti + 4t2 j donde r está dado en p (pies) y
tiempo dt.
t en s. Determine las componentes tangencial y norLa figura 3.7, las perpendiculares a las rectas mal de la aceleración.
tangentes en los puntos P y P’, se cortan en el Solución
Derivando respecto al tiempo el vector posición de
punto C llamado centro de curvatura.
la partícula, se encuentra que la magnitud y direc/
Escribiendo el término dφ dt en la forma
ción de la velocidad están dadas por
dφ
dφ dS
dφ
=
=v ,
dt
dS dt
dS
(3.23)
v = 2(1 + 16t2 )1/2 ,
(1)
donde se ha utilizado la ecuación (3.13).
φ = tan−1 4t.
(2)
Definiendo el radio de curvatura por ρ = CP,
La componente tangencial de la aceleración, que se
en la figura 3.7, se tiene
dS = ρdφ
1
dφ
=
dS
ρ
o
(3.24)
debe al cambio en la magnitud de la velocidad con
el tiempo, está dada
/ por . Mediante la ecuación (1)
se llega a a T = dv dt
.
aT =
y
j + dj
C
dj
j
dS
r
j
P'
j
P
i
x
32t
(1 + 16t2 )1/2
.
La componente normal de la aceleración, que se debe al cambio con el tiempo en la /dirección de la velocidad, está dada por aN = vdφ dt. Con ayuda de
las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que está dada
por
8
aN =
.
(1 + 16t2 )1/2
Figura 3.7: Radio de curvatura en el momento cur- Ejercicio 3.2 Una partícula se mueve en el plano
de tal forma que su posición está dada por la exprevilíneo.
sión r = 2ti + 4t2 j donde r está dado en p (pies) y
Reemplazando la ecuación (3.24) en la ecua- t en s. a) Determine la aceleración de la partícula
ción (3.23), se obtiene
en componentes rectangulares. b) Compruebe que
( a2x + a2y )1/2 = ( a2T + a2N )1/2 . c) Calcule los valores
v
dϕ
=
(3.25) de las componentes tangencial y normal de la aceledt
ρ
ración en el instante t = 2s. d) Determine el radio
Así, al reemplazar la ecuación (3.25) en la ecua- de curvatura en función del tiempo y su valor en el
ción (3.21) se encuentra que la aceleración nor- instante t = 2s.
7
3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR
3.3. Dinámica del movimiento
curvilíneo
Cuando la fuerza F y la velocidad v forman un
ángulo diferente a 0o ó 180o , es decir, v y a forman un ángulo diferente a 0o ó 180o , la partícula describe una trayectoria curvilínea, donde la
aceleración aN se debe al cambio en la dirección
de la velocidad y aT al cambio en la magnitud
de la velocidad, como se analizó anteriormente.
Para una masa m, constante, la segunda ley
de Newton, en este caso, tiene la forma
F = ma.
(3.28)
De acuerdo con la ecuación (3.28), la fuerza y
la aceleración son paralelas, por ello, la fuerza
también debe tener componentes tangencial y
normal igual que la aceleración, como se indica
en la figura 3.8.
F
F N uN
m
Sabiendo que la aceleración se puede expresar en la forma
dv
v2
uT + uN ,
dt
ρ
la ecuación (3.28) se transforma en
F = m ( a T uT + a N uN ) .
De este modo, se tiene que
FT = maT = m
dv
,
dt
FN =
mv2
,
ρ
corresponde a la componente de la fuerza
en la dirección normal, apuntando siempre
hacia el centro de curvatura de la trayectoria
y es la responsable (causante) del cambio en la
dirección de la velocidad. A esta componente se le
denomina fuerza normal o centrípeta.
Casos particulares de la ecuación (3.29)
1. Si sobre una partícula, FN = 0 y FT ̸= 0, no
hay cambio en la dirección de la velocidad.
Por tanto, el movimiento es rectilíneo acelerado, ya que FT genera un cambio en la
magnitud de la velocidad. Si en este caso,
FT es constante, se tiene movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
2. Si sobre una partícula, FN = 0 y FT = 0,
no cambia la dirección ni la magnitud de la
velocidad, por lo que el cuerpo tiene movimiento rectilíneo uniforme (MRU), o se encuentra en reposo.
F T uT
Figura 3.8: Componentes tangencial y normal de
una fuerza.
a=
Igualmente,
3. Si sobre una partícula, FN ̸= 0 y FT = 0, no
hay cambio en la magnitud de la velocidad,
sólo cambia su dirección como en el movimiento circular uniforme, que se analiza en
lo que sigue.
3.4. Movimiento circular
(3.29) En esta sección se analiza un caso particular de
movimiento curvilíneo en un plano, como es el
movimiento circular. En este caso, la trayectoria
seguida por una partícula es una circunferencia
de radio R, dada por la expresión
x 2 + y2 = R2 ,
corresponde a la componente de la fuerza en la
dirección tangente a la trayectoria y es la responsable (causante) del cambio en la magnitud de donde se ha tomado el origen de coordenadas
la velocidad, por ello, a esta componente se le lla- coincidente con el centro de la trayectoria, como
ma fuerza tangencial.
se indica en la figura 3.9.
8
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
r=
Ru
R
x
O
Figura 3.9: Trayectoria en el movimiento circular.
r
y
y
O
x
Figura 3.11: Vector posición en el movimiento circular.
3.4.1. Vector posición (r)
r
r=
Ru
Velocidad angular (ω)
Este movimiento se caracteriza por tener un
vector posición en el cual su magnitud per- La velocidad angular se define por
dθ
manece constante, es decir, la ecuación (3.3) se
ω≡
,
(3.31)
transforma en
dt
r = Rur ,
que tiene dimensión T−1 , y unidad rad s−1 .
Mediante la definición dada por la ecuación
y
(3.31), la ecuación (3.30), para la velocidad, se
puede escribir como
v = Rωuθ .
(3.32)
En conclusión, en el movimiento circular, sólo
se tiene componente de velocidad en la dirección transversal, mientras que no se tiene componente en la dirección radial. Ahora, como en
este tipo de movimiento, el vector posición es
Figura 3.10: Vector posición en el movimiento cir- perpendicular tanto el vector unitario transversal como al vector unitario tangencial, entonces
cular.
se cumple que
o sea, como se muestra en la figura 3.10, el
uθ = ±uT ,
vector posición únicamente cambia en dirección
como es de esperarse, ya que en todo movimientras la partícula está en movimiento.
miento circular, el vector velocidad siempre es
tangente a la trayectoria seguida por una partí3.4.2. Vector velocidad (v)
cula, como se muestra en la figura 3.12, donde
Como la magnitud del vector posición es igual uθ = −uT .
al radio de la circunferencia descrita por la partícula, se tiene que el primer término de la ecua- 3.4.3. Vector aceleración (a)
ción (3.10) se hace cero, donde al utilizar la
Cuando una partícula describe una trayectoria
ecuación (3.9) adquiere la forma
circular, su vector aceleración se obtiene reemdθ
v = R uθ .
(3.30) plazando, en la ecuación (3.27), el radio de curdt
vatura ρ por el radio R de la circunferencia seO sea, como se muestra en la figura 3.11, el guida por la partícula, es decir,
vector posición únicamente cambia en dirección
dv
v2
a=
uT + uN .
(3.33)
mientras la partícula está en movimiento.
dt
R
O
x
9
3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR
y
aT
r
r=
Ru
a
uT
R
v
uq
x
O
aN
O
Figura 3.12: Vector velocidad en el movimiento cir- Figura 3.13: Vector aceleración en el movimiento
cular.
circular.
Además, al reemplazar la magnitud de la velo- 3.4.4. Movimiento circular uniforme
cidad, de acuerdo con la ecuación (3.32), el vecUn tipo de movimiento circular se presenta,
tor aceleración dado por la ecuación (3.33), se
cuando tanto la magnitud de la velocidad cotransforma en
mo la magnitud de la aceleración permanecen
constantes, es decir, cuando solo cambia la didω
a=R
uT + ω 2 RuN .
(3.34) rección del vector velocidad y por ende la direcdt
ción del vector aceleración. Cuando esta situación se presenta, se tiene un movimiento circular
Aceleración angular(α)
uniforme (MCU).
En otras palabras, una partícula tiene moviLa aceleración angular se define por
miento circular uniforme, cuando su aceleración angular es cero. Así, la aceleración únicadω
,
(3.35) mente tiene componente en la dirección normal,
α≡
dt
debido al cambio en la dirección del vector ve−
2
−
2
que tiene dimensión T , y unidad rad s . Me- locidad.
De acuerdo con lo anterior, la ecuación (3.36)
diante la ecuación (3.35), la ecuación (3.34) se
se convierte en
puede escribir como
a = RαuT + ω RuN ,
2
(3.36)
expresión que solo es válida en un movimiento
circular.
En síntesis, en un movimiento circular generalmente se tiene una componente de aceleración tangencial y una componente de aceleración normal o centrípeta dadas, respectivamente, por
dv
aT =
= Rα,
(3.37)
dt
aN =
v2
= ω 2 R.
R
(3.38)
a=
v2
uN = ω 2 RuN .
R
(3.39)
v
a
O
Figura 3.14: Vectores velocidad y aceleración en el
MCU.
Igualmente, este tipo de movimiento se caracEn la figura 3.13, se muestran las componentes
teriza porque los vectores aceleración y velocitangencial y normal de la aceleración.
10
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
dad son perpendiculares entre sí, como se ilustra en la figura 3.14.
Una partícula sometida a un movimiento circular uniforme, posee un movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo, o sea, que el
movimiento es periódico.
Si la partícula, con movimiento circular uniforme, realiza n vueltas en un tiempo t, se define el período P, o tiempo que tarda en dar una
vuelta completa, por
P=
t
.
n
donde ω es una constante del movimiento y θ se
expresa en radianes. Esta ecuación corresponde
a la ecuación cinemática de posición angular en
un movimiento circular uniforme.
Si en el tiempo to = 0, una partícula con movimiento circular uniforme tiene la posición angular θo = 0, cuando da una vuelta se tiene que
el tiempo y la posición angular, respectivamente, son t = P y 2π. Reemplazando estos términos en la ecuación (3.44), se obtiene
ω=
(3.40)
Además, la partícula tiene una frecuencia ν, o
número de vueltas por unidad de tiempo, definida por
n
ν= .
(3.41)
t
Comparando las ecuaciones (3.40) y (3.41), se
encuentra que la frecuencia es el inverso del período, o sea
1
(3.42)
ν= .
P
Por la ecuación (3.42), se tiene que la dimensión
de frecuencia es T−1 , es decir, su unidad es s−1
que se acostumbra definir como
1s−1 ≡ 1Hz,
ω = 2πν.
(3.46)
No sobra aclarar que las ecuaciones (3.45) y
(3.46), únicamente son válidas para el caso de
partículas con movimiento circular uniforme.
Ejemplo 3.3 Como se muestra en la figura 3.15,
una piedra, sujeta al extremo de una cuerda, se hace
girar de tal manera que describe una circunferencia
de radio 30 cm y en un plano horizontal. La posición
angular de la piedra está dada por θ (t) = 3t, donde
θ está dado en rad y t en s. Calcular: a) La velocidad
angular de la piedra. b) La velocidad de la piedra. c)
El tiempo que demora la piedra en dar una vuelta. d)
El número de vueltas que da la piedra en la unidad
de tiempo. e) La aceleración de la piedra.
v
a
R
q
1
1rpm ≡
Hz.
60
O
Si en el tiempo to , una partícula con MCU tiene una posición angular θ, mediante la ecuación
(3.31), se encuentra que su posición angular en
el instante de tiempo t, está dada por
θ = θo +
(3.45)
o teniendo en cuenta la ecuación (3.42)
símbolo que proviene de la palabra Hertz.
La frecuencia también se expresa en revoluciones por minuto o rpm, donde
∫t
2π
,
P
Figura 3.15: MCU sobre un plano horizontal.
Solución
ω (t)dt,
to
(3.43) De acuerdo con el enunciado, R = 30 cm ≡ 0.3 m y
θ (t) = 3t son cantidades dadas.
a) Utilizando la definición de velocidad angular,
ecuación (3.44), se encuentra que su valor es
pero como en este caso la velocidad angular
ω = 3 rads−1
es una constante del movimiento, la ecuación
(3.43) se transforma en
Este resultado indica que la velocidad angular es inθ = θo + ω ( t − to ),
dependiente del tiempo, de este modo, la piedra tie-
(3.44) ne un movimiento circular uniforme.
11
3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR
b) Como es un movimiento circular, la velocidad
es un vector tangente a la trayectoria seguida por la
piedra. Por consiguiente, de acuerdo con la definición de velocidad transversal (que en este caso coincide con la velocidad tangencial) dada por la ecuación (3.32), se encuentra que su valor es
ν = 0.90 ms−1 .
donde se ha utilizado la ecuación (3.35). Esta
ecuación corresponde a la ecuación cinemática
de velocidad angular en un movimiento circular uniformemente acelerado.
Por otro lado, al reemplazar la ecuación (3.47)
en la ecuación (3.43), luego de integrar y evaluar
se llega a
c) El tiempo que demora la piedra en dar una vuelta,
θ = θo + ωo (t − to ) + 21 α(t − to )2 ,
(3.48)
que corresponde al período, se obtiene reemplazando θ = 2π rad y t = P, en la expresión dada en el
que corresponde a la ecuación cinemática de
enunciado. Con ello, se encuentra que
posición angular para una partícula con movimiento circular uniformemente acelerado.
P = 2.09 s.
0.2
5
m
d) El número de vueltas por unidad de tiempo, que Ejemplo 3.4 La partícula de la figura 3.16, descricorresponde a la frecuencia, se encuentra teniendo be una trayectoria circular de radio 0.25 m y con una
en cuenta que es igual al inverso del período, así
aceleración total de 9.0 ms−2 . En el instante mostrado, calcular: a) La aceleración tangencial de la partíν = 0.48 Hz.
cula. b) La aceleración centrípeta de la partícula.
e) Como la piedra posee un movimiento circular
uniforme, su aceleración coincide con la aceleración
centrípeta dada por la ecuación (3.39), obteniéndose
el valor
a = aN = 2.70 ms−2 .
v
o
30
a
Ejercicio 3.3 Una piedra, sujeta al extremo de una
cuerda, se hace girar de tal manera que describe una
circunferencia de radio 30 cm y en un plano horizontal. La posición angular de la piedra está dada por
θ (t) = 3t, donde θ está dado en rad y t en s. a) ¿Cuál
Figura 3.16: Aceleración tangencial y normal.
es el valor de la aceleración angular de la piedra?
¿Por qué? b) ¿Por qué razón la piedra está someti- Solución
a) Para conocer la aceleración tangencial de la parda a una aceleración, si la magnitud de la velocidad tícula, se halla la componente de la aceleración total
permanece constante? c) En la situación considera- que es paralela a la velocidad, es decir
da, ¿el vector aceleración es paralelo a la cuerda?
aT = 9.0 ms−2 sen30 = 4.5 ms−2 .
3.4.5.
Movimiento circular
mente acelerado
uniforme- b) De igual manera, la aceleración centrípeta de la
partícula corresponde a la componente de la aceleración en la dirección radial, o sea
Cuando la aceleración angular de una partícula permanece constante, se dice que tiene un
movimiento circular uniformemente acelerado
(MCUA), es decir, que tanto la magnitud como
la dirección del vector velocidad cambian con el
tiempo. Como consecuencia, la velocidad angular también varía con el tiempo.
Ahora, si una partícula en el instante to tiene
una velocidad angular ωo y se mueve con una
aceleración angular α, la velocidad angular ω en
el instante de tiempo t, está dada por
ω = ωo + α ( t − t o ) ,
aN = 9.0ms−2 cos30 = 7.79ms−2 .
Ejercicio 3.4 Calcule la velocidad de la partícula,
para el instante mostrado en la figura del ejemplo
3.4.
3.4.6. Vector velocidad angular y vector
aceleración angular
En esta sección, se define la velocidad angular
y la aceleración angular como cantidades vectoriales, es decir, cantidades que tienen magnitud
(3.47) y dirección.
12
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
z
Derivando la ecuación (3.52) respecto al tiempo,
y teniendo en cuenta la ecuación (3.53), se encuentra que el vector aceleración está dado por
w
R
v
a = α × r + ω × v = α × r + ω × (ω × r). (3.54)
r
g
y
O
x
Figura 3.17: Velocidad angular como vector.
En el caso de una partícula con movimiento circular uniforme, donde la aceleración sólo tiene
componente en la dirección centrípeta, la ecuación (3.54) se transforma en
a = ω × v = ω × ( ω × r).
Se define el vector velocidad angular, como
un vector perpendicular al plano en el cual se
mueve la partícula, cuyo sentido está dado por
la regla de la mano derecha, y que gira sobre sí
mismo en el sentido que se mueve la partícula,
como se ilustra en la figura 3.17.
Por la ecuación (3.32), se tiene que la magnitud del vector velocidad está dada por
v = ωR,
Como se muestra en la figura 3.18, el producto vectorial ω × v apunta hacia el centro de la
circunferencia y su magnitud está dada por
a = ω 2 R,
ya que los vectores velocidad angular y velocidad son perpendiculares.
(3.49)
z
w
pero de la figura 3.14, se tiene que
R = rsenγ,
a
v
(3.50)
r
g
por lo que al reemplazar la ecuación (3.50) en la
ecuación (3.49), se obtiene
v = ωrsenγ,
(3.51)
O
y
x
donde γ es el ángulo entre el vector velocidad Figura 3.18: Vectores velocidad y aceleración en el
MCU.
angular ω y el vector posición r.
Ahora, por definición de producto cruz o vectorial, es posible escribir la ecuación (3.51) en la Ejemplo 3.5 Las coordenadas de una partícula en
forma vectorial
movimiento, en función del tiempo, están dadas por
x = Asen(ωt) y y = Acos(ωt). Determine a) La trav = ω × r,
(3.52) yectoria seguida por la partícula. b) La magnitud de
expresión válida solo para movimiento circular.
Como resultado se tiene que el vector velocidad
es perpendicular tanto al vector velocidad angular como al vector posición, siendo esta condición de validez general.
De acuerdo con la ecuación (3.35), si la velocidad angular es un vector, también los es la aceleración angular, es decir
α≡
dω
.
dt
(3.53)
la velocidad de la partícula en cualquier instante. c)
Las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula, en cualquier instante. d) El sentido de movimiento de la partícula.
Solución
a) De acuerdo con el enunciado, el vector posición
de la partícula en función del tiempo, está dado por
r = A[sen(ωt)i + cos(ωt)j].
Por lo que al aplicar el teorema de Pitágoras, se encuentra que su magnitud es
r = A.
13
3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR
O sea, que la magnitud del vector posición de la par- A, con movimiento circular uniforme y en sentido
tícula es constante mientras la partícula se mueve. horario.
De este modo, la partícula describe una trayectoria
circular de radio R = A.
b) Empleando la definición de velocidad, se en- Ejercicio 3.5 Las coordenadas de una partícula en
cuentra que está dada por
movimiento, en función del tiempo, están dadas por
x = Asen(ωt) y y = Acos(ωt). a) ¿Cuál es la posiv = ωA[cos(ωt)i − sen(ωt)j],
ción inicial de la partícula si to = 0 ? ¿Cuál es la popor lo que su magnitud es
sición correspondiente de la partícula en la gráfica
anterior? b) Determine la relación matemática entre
v = ωA.
es decir, que la partícula se mueve de tal forma que el vector posición y el vector aceleración, en cualla magnitud de su velocidad permanece constante, quier instante. ¿Qué ángulo forman estos dos vectoen otras palabras, tiene un movimiento circular uni- res? ¿Por qué? c) Compruebe que se satisface la ex/
forme.
2
c) Como la magnitud de la velocidad es indepen- presión aN = v R. d) ¿Cuál es la aceleración angudiente del tiempo, la componente
tangencial de la lar de la partícula? ¿Por qué?
/
aceleración es cero ( aT = dv dt), pues es una consecuencia del cambio en la magnitud de la velocidad.
La componente normal o centrípeta de la acele- 3.4.7. Dinámica del movimiento circular
ración, que proviene del cambio en la dirección del
vector velocidad, en este caso coincide con la acele- Cuando una partícula de masa m, describe una
ración total de la partícula, es decir
trayectoria circular donde ρ = R y v = ωR, las
a = −ω 2 A[sen(ωt)i + cos(ωt)j] = −ω 2 r,
componentes tangencial y normal de la fuerza
adquieren la forma
por lo que su magnitud está dada por
FT = (mαR)uT
aN = a = ω 2 A.
FN = (mω 2 R)uN ,
y
Como se esperaba, la magnitud de la aceleración de que no son fuerzas aplicadas sino que corresla partícula permanece constante.
ponden, respectivamente, a las componentes
d) Para determinar el sentido de movimiento de tangencial y normal de la fuerza resultante.
la partícula en la trayectoria circular, se considera el
En el caso de movimiento circular uniforme,
punto P de la figura 3.19. Cuando la partícula pasa
sólo se tiene cambio en la dirección de la velocidad, es decir, F = FN uN .
y
z
R
=
A
?
a
P
O
w
x
v
F
m
?
r
Figura 3.19: Sentido de movimiento en la circunferencia.
por el punto P sus coordenadas son x = A y y = 0,
o sea que
sen(ωt) = 1
cos(ωt) = 0.
O
y
x
Figura 3.20: Vectores v, ω y F en un MCU.
En forma vectorial, para movimiento circular
Como en ambos casos se cumple que ωt = π /2, al
reemplazar este valor en la expresión para la veloci- uniforme, y de acuerdo con la figura 3.20 se tiedad, se obtiene v = −ωAj , lo cual indica que la par- ne
tícula se mueve en una trayectoria circular de radio
a = ω × v,
14
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
o sea, que la segunda ley de Newton adquiere vuelo, gira de tal forma que la fuerza de sustenla forma
tación adquiere una componente en la dirección
normal, para de este modo, suministrar la fuerF = ma = mω × v = ω × (mv) = ω × p.
za centrípeta necesaria que le permita cambiar
Una aplicación importante del movimiento cur- la dirección del vector velocidad.
vilíneo, particularmente del movimiento circular, se presenta en las curvas peraltadas, es decir, cuando la superficie de la curva forma un
ángulo no nulo con la horizontal.
Si una curva circular no peraltada es rugosa,
la única fuerza que le permitiría a un auto describirla, es la fuerza de fricción estática entre las
superficies en contacto, la cual actuaría en dirección radial y suministraría la fuerza centrípeta
necesaria para poder cambiar la dirección del
vector velocidad; pero si la fricción es despreciable en la curva, húmeda por ejemplo, el auto
difícilmente podría pasar por ella y en su lugar
tendería a continuar el linea recta. En este caso,
el peso y la normal no tienen componente en la
dirección radial o centrípeta, ya que están orientadas verticalmente. Por lo anterior, una carretera o una pista de autos con curvas mojadas y sin
peralte son bastante peligrosas.
Ahora, si la curva tiene peralte y la fricción es
despreciable, el auto podría moverse sobre ella
con cierta rapidez en un día lluvioso, ya que en
este caso la normal tendría una componente en
la dirección radial, la cual suministra la fuerza
centrípeta adecuada para poder cambiar la dirección del vector velocidad. Cuando se supera
la rapidez permitida, el auto podría seguir por
la tangente a la curva.
Adicionalmente, si la curva está peraltada y
es rugosa, se tienen límites de rapidez máxima
y mínima, que permiten a los autos describirlas,
o sea, no es posible moverse sobre ellas si la velocidad está por fuera del intervalo permitido, y
en su lugar el auto tiende a salirse de la curva en
la dirección tangente a la trayectoria curvilínea.
Otra aplicación adicional, se presenta en el
vuelo de aeronaves, cuando giran al describir
una curva en el aire. Una aeronave puede volar
debido a la fuerza de sustentación generada por
el aire sobre sus alas, las cuales tienen una forma
aerodinámica tal que durante el vuelo se genera
una fuerza neta perpendicular a ellas. Cuando
la aeronave va a describir una curva durante el
Ejemplo 3.6 El péndulo simple consiste en una
partícula de masa m, suspendida de una cuerda de
longitud S, como se ilustra en la figura 3.21. Suponga
que la partícula se suelta desde una posición tal que
la cuerda forma un ángulo θo con la vertical, como se
muestra en la figura siguiente. a) Dibuje las fuerzas
que actúan sobre la partícula. b) Plantee las ecuaciones de movimiento. c) Determine para la partícula,
en función de θ, la aceleración angular, la velocidad
angular y la tensión en la cuerda. d) Determine como es la magnitud de las cantidades anteriores en
los extremos de la trayectoria y en su centro.
O
qo
S
m
Figura 3.21: Péndulo simple.
Solución
a) Diagrama de cuerpo libre para la partícula.
q
S
T
mg
Movimiento
Figura 3.22: D.C.L. en péndulo simple.
Sobre la partícula, en la posición general θ, las
fuerzas que actúan son el peso y la tensión que ejerce
la cuerda sobre ella, como lo muestra la figura 3.22.
b) La ecuación de movimiento en la dirección radial
o centrípeta, tomando el sentido de la tensión como
positivo, es
T − mg cosθ = mω 2 S,
(1)
15
3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR
y en la dirección tangencial, tomando como positivo
el sentido del movimiento de la figura 3.22, es
mg senθ = mαS.
c) De la ecuación (2), la aceleración angular de la partícula está dada por
g
α = senθ.
S
qo qo
(2)
A
S
B
(3)
C
teniendo en cuenta la definición de aceleración anFigura 3.23: Puntos extremos en un péndulo simple.
gular, la ecuación (3) se transforma en
g
dω
= senθ,
dt
S
(4)
aumenta desde cero hasta un valor máximo y la tendonde se tienen las variables ω, t y θ. Con el fin de sión aumenta entre estos dos puntos. Entre las posiresolver la ecuación (4) se hace necesario eliminar la ciones C y A se presentan cambios opuestos en esvariable tiempo, ya que interesa obtener ω (θ ). Mul- tas cantidades. En conclusión, donde la aceleración
tiplicando a ambos lados de la ecuación (4) por dθ, es máxima (extremos de la trayectoria), la velocidad
se llega a la expresión
angular es mínima (cero) y viceversa. Igualmente, se
g
observa que la tensión adquiere su máximo valor en
−ωdω = senθ dθ, (5)
S
el centro de la trayectoria y el mínimo en los extreel signo menos en la ecuación aparece ya que en la mos.
situación de la figura 3.22, a medida que transcurre
el tiempo el ángulo θ disminuye.
Integrando la ecuación (5) entre los límites ω = Ejercicio 3.6 a) Analizar los resultados del proble0 cuando θ = θo y ω en la posición angular θ, se ma anterior suponiendo que θo = π/2 b) ¿Por qué
obtiene
√
razón en el punto C de la figura 3.23, la tensión en la
2g
ω=
(cos θ − cosθo ),
(6) cuerda no es igual al peso de la partícula?
S
mediante las ecuaciones (1) y (6), se llega a
Ejemplo 3.7 Un pequeño cuerpo de masa m, que
(7) parte del punto A de la figura 3.24, desliza sobre la
trayectoria circular de radio R. Suponer que la magd) De las ecuaciones (3), (6), (7) y teniendo en cuenta nitud de la fuerza de fricción F es constante, con
k
la figura 3.23, se obtiene para los extremos A y B, valor un décimo del peso del cuerpo.
a) Determidonde θ = θo
ne el trabajo neto realizado sobre el pequeño cuerg
α = senθo ,
po, cuando pasa por el punto B. b) Si m = 500 g,
S
R = 20 cm, para β = 45o , 90o , 135o , 180o , hallar el
ω = 0,
valor de la cantidad obtenida en el numeral anterior.
T = mg cosθo .
m
R
Ahora, en el centro de la trayectoria C con θ = 0
A
D
T = mg [3 cosθ − 2 cosθo ] .
√
ω=
α=0
b
2g
(1 − cosθo ),
S
T = mg(3 − 2 cosθo ).
B
C
De estos resultados, entre las posiciones B y C se
Figura 3.24: Superficie circular lisa.
tiene que al soltar la partícula desde el punto B, la
aceleración angular disminuye desde un valor máSolución
ximo hasta cero, mientras que la velocidad angular Como consecuencia de la ecuación (2.48), el trabajo
16
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
realizado por una fuerza está dada por
Tabla 3.1: Trabajo realizado en función de β.
β(o )
45
90
135
180
∫B
W
FcosθdS
=
A
∫B
FT dS,
=
A
pero en una trayectoria circular y para un desplazamiento angular infinitesimal dS = Rdθ, se tiene
∫B
W=R
∫B
Fcosθdθ = R
FT dθ.
3.5.
W(J)
0.62
0.83
0.46
-0.31
Vector momento angular de
una partícula
(1)
Para una partícula con masa m y momento lineal p, el vector momento angular L respecto al
a) De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre del
punto O de la figura 3.26, se define en la forma
A
A
pequeño cuerpo, mostrado en la figura 3.25, de las
tres fuerzas que actúan, sólo realizan trabajo el peso
y la fuerza de fricción dinámica.
q
Fk
Lo ≡ r × p = mr × v
(3.55)
LO
N
r
p
m
O
q
mg
Figura 3.26: Momento angular de una partícula
respecto al punto O.
Figura 3.25: Diagrama de cuerpo libre.
De acuerdo con la definición de momento anPara la posición genérica de la figura anterior, lue- gular dada por la ecuación (3.55), se tiene que el
momento angular Lo es un vector perpendicugo de integrar y evaluar, se encuentra que
lar al plano formado por el vector posición r y
Wmg = mgRsenβ,
(2) el vector velocidad v.
Teniendo en cuenta la definición de producto
1
WFk = − mgRβ.
(3) vectorial o producto cruz, el momento angular
10
de la partícula se puede obtener mediante el dePor consiguiente, el trabajo total es
terminante
i
j
k β
W = mgR(senβ − ).
y
z Lo = r × p = x
(3.56)
10
p x py pz b) Reemplazando valores, con m = 500 g ≡ 0.5 kg y
R = 20 cm ≡ 0.2 m se obtiene la tabla 3.1.
Luego de resolver el determinante dado por la
Donde, de acuerdo con los resultados obtenidos, ecuación (3.56), se encuentra que las componencuando β = 45o , el trabajo es positivo lo que indi- tes rectangulares del momento angular de la
ca que es mayor el trabajo realizado por el peso, que partícula, están dadas por
el realizado por la fuerza de fricción dinámica, igual
que para 90o y 135o . En cambio, para β = 180o , el
trabajo neto realizado por el peso es nulo a diferencia del trabajo realizado por la fuerza de fricción que
es diferente de cero y negativo.
L x = ypz − zpy ,
Ly = zp x − xpz ,
Lz = xpy − yp x .
17
3.5. VECTOR MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
Si la partícula se mueve en plano xy, se tiene
z = 0 y pz = 0, por lo que las componentes del
momento angular L x = Ly = 0 y sólo hay componente de momento angular en la dirección z,
es decir
Lo = Lz k
= ( xpy −yp x )k,
o en forma escalar
Lo = L z
= xpy −yp x .
el vector posición r y el vector velocidad v, cambia su orientación mientras la partícula describe
la trayectoria circular.
2. Si el punto de referencia O como se muestra en la figura 3.28, se encuentra sobre el eje
z y en el plano de movimiento de la partícula,
la dirección del vector momento angular Lo es
invariante, ya que en este caso es un vector perpendicular al plano de movimiento, pues el vector posición r y el vector velocidad v están en el
mismo plano.
En este caso de movimiento circular con O en
el centro del círculo, el vector posición r es perpendicular al vector velocidad v y sus magnitudes están relacionadas mediante la expresión
v = ωr, donde r es el radio de la trayectoria
circular. Así, la magnitud del momento angular
respecto a O es
Dimensiones y unidades de momento angular
De acuerdo con la definición dada por la ecuación (3.55), el momento angular tiene dimensiones de ML2 T−1 . De este modo, la unidad en el
sistema SI está dada por kg · m2 · s−1 y en el sisLo = mrv = mr2 ω.
tema gaussiano por g · cm2 · s−1 .
En general, el vector momento angular es una
z
cantidad física que cambia en magnitud y dirección mientras la partícula se encuentra en moLO
vimiento curvilíneo. En el caso particular de un
movimiento circular, se pueden presentar las siw
guientes situaciones, en lo que respecta a la div
rección:
O
r
1. Que el punto de referencia O, se encuentre
m
sobre el eje z pero fuera del plano en el cual se
mueve la partícula, como se ilustra en la figura Figura 3.28: Dirección invariante del momento an3.27.
gular Lo .
z
Como el vector momento angular Lo y el vector velocidad angular ω, son vectores paralelos,
en forma vectorial se tiene que
w
v
Lo = (mr2 )ω.
m
LO
r
O
Figura 3.27: Dirección variable del momento angular Lo .
En el caso más general de un movimiento curvilíneo cualquiera y recordando que el vector velocidad, en coordenadas polares, está dado por
v = vθ uθ + vr ur , se tiene que el momento angular también se puede expresar en la forma
Lo = mr × (vθ uθ + vr ur ) = mvθ r × uθ ,
donde el segundo producto, a la derecha de la
En este caso, el vector momento angular Lo primera igualdad, se hace cero ya que el vector
varía en dirección ya que el plano formado por posición r es paralelo al vector unitario radial
18
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
ur . Por consiguiente, su magnitud en este caso
es
dθ
Lo = mrvθ = mr2 .
dt
3.5.1. Variación del vector momento angular con el tiempo
m
T ra y
ria
v
q
e c to
r
d
O
Ahora se considera la variación del vector momento angular con el tiempo. Derivando la Figura 3.29: Momento angular en el movimiento
rectilíneo.
ecuación (3.55) con respecto al tiempo se tiene
dLo
dt
dp dr
+
×p
dt
dt
= r × F,
= r×
y con el origen de coordenadas ubicado en O.
(3.57) Por lo tanto
Lo = m r × v,
donde el segundo producto a la derecha de la
primera igualdad es cero, ya que el vector ve- ó en magnitud
locidad v es paralelo al vector momento lineal
Lo = mrv senθ.
p, mientras que el segundo producto corresponde a la forma matemática de la segunda ley de Como muestra la figura 3.29, d = r senθ, por lo
Newton. De este modo, la variación del mo- que
mento angular con el tiempo está relacionada
Lo = mvd
con la fuerza neta que actúa sobre la partícula,
con m, v y d son constantes, el vector momento
mediante la ecuación (3.57).
La ecuación (3.57) es fundamental cuando se angular es constante en magnitud y dirección ya
analiza el movimiento de rotación, con la condi- que es un vector que entra perpendicularmente
ción que los vectores Lo y r × F sean evaluados al plano de la hoja mientras la partícula se enrespecto al mismo punto. Esta expresión desem- cuentre en movimiento sobre la trayectoria recpeña en el movimiento rotación, el mismo papel tilínea.
2. Igualmente, el producto vectorial entre el
que la segunda ley de Newton en el movimienvector
posición r y la fuerza F se hace cero, si
to de traslación.
son vectores paralelos con la misma línea de ac3.5.2. Conservación del momento angu- ción, es decir, si la línea de acción de la fuerza pasa por un punto fijo, como se ilustra en la
lar y fuerzas centrales
figura 3.30 donde una partícula de masa m se
Si en la ecuación (3.57), el producto vectorial en- mueve sobre una trayectoria curvilínea, siendo
tre el vector posición r y la fuerza resultante F es O un punto de referencia fijo. Por consiguiente,
cero, se tiene que el vector momento angular es el momento angular de esta partícula se conseruna constante del movimiento. Por lo tanto, se va.
Cuando una fuerza actúa sobre una partícutiene que el momento angular de una partícula es constante si el producto vectorial r × F es la en movimiento y cumple la condición de pacero. Esta situación se presenta en los dos casos sar su línea de acción por un punto fijo, llamado centro de fuerzas, se dice que la fuerza es una
siguientes.
1. Si la fuerza neta sobre la partícula es cero, fuerza central.
En conclusión, cuando un cuerpo se mueve
se tiene una partícula libre o en equilibrio, es decir, r × F = 0 y la condición Lo = Constante se bajo la acción de una fuerza central, su momento angular no varía, es decir, el momento angusatisface.
En la figura 3.29, se considera una partícula lar del cuerpo respecto al centro de fuerza es
de masa m con movimiento rectilíneo uniforme una constante de movimiento.
19
3.5. VECTOR MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
Tray ectoria
v
v
m
F
me
+
F
r
O
Figura 3.32: Movimiento electrónico en el átomo de
Bohr.
Figura 3.30: Fuerza central.
En la naturaleza se presentan situaciones en
las que se cumple la condición anterior, como
ocurre en los siguientes casos:
1. En el movimiento de la tierra alrededor del
sol, el momento angular de la tierra respecto al
sol es una constante del movimiento. En este caso, el punto fijo se encuentra en el centro del sol
como se muestra en la figura 3.31, pues se observa que la línea de acción de la fuerza gravitacional que el sol ejerce sobre la tierra pasa por
el centro del sol independientemente de la posición de la tierra sobre la trayectoria elíptica. De
este modo, la fuerza que el sol ejerce sobre la
tierra es una fuerza central.
Sol
Ejemplo 3.8 Considere un péndulo simple de
masa m, donde la longitud de la cuerda es S. Suponga que la partícula se suelta desde una posición
tal que la cuerda forma un ángulo θ con la vertical,
como se muestra en la figura 3.33. a) Determine el
momento angular de la partícula respecto al punto
de suspensión O. b) Halle la variación del momento
angular de la partícula, respecto al tiempo. c) Determine el producto vectorial r × F, donde r es el vector
posición de la partícula respecto a O y F es la fuerza
neta que actúa sobre la partícula. d) Compare los resultados obtenidos en los numerales b) y c). ¿Qué se
puede concluir?
O
qo
S
F
m
Figura 3.33: Momento angular en péndulo simple.
Figura 3.31: Movimiento de la tierra alrededor del Solución
a) Por la ecuación (3.55) y teniendo en cuenta que el
Sol.
vector posición r = Sur es perpendicular a la veloci2. En el modelo atómico de Bohr el movimiento del electrón, de masa m, en el átomo de
hidrógeno, es tal que su momento angular es
una constante del movimiento, ya que la fuerza
eléctrica que el núcleo de carga positiva ejerce
sobre el electrón de carga negativa, siempre pasa por el núcleo independientemente de la posición del electrón en la trayectoria circular. Esta
situación se ilustra en la figura 3.32.
En síntesis, la fuerza que el núcleo ejerce sobre el electrón en el átomo de hidrógeno, es una
fuerza central.
dad se tiene que el momento angular, respecto a O,
es un vector de magnitud
Lo = mSv,
(1)
que incide perpendicularmente al plano de la hoja,
para la situación mostrada en la figura 3.34.
Tomando la ecuación
√
2g
(cosθ − cosθo ),
ω=
S
obtenida anteriormente, con v = ωS, se tiene para la
velocidad de la partícula
√
v = 2gS(cosθ − cosθo ).
(2)
20
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
en el caso de cuerpos que se tratan bajo el modelo de cuerpo rígido. Por ello, en lo que sigue
se considera el concepto de cuerpo rígido, relacionándolo directamente con el movimiento de
rotación.
q
S
T
mg
3.5.3.
Movimiento
Figura 3.34: D.C.L. en el péndulo simple.
Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), la
magnitud del momento angular de la partícula respecto al punto de suspensión O, es
√
Lo = mS 2gS(cosθ − cosθo ).
(3)
Si se toma el eje z entrando perpendicularmente al
plano de la hoja, en forma vectorial la ecuación (3)
se transforma en
√
Lo = mS 2gS(cosθ − cosθo ) k.
(4)
b) Derivando la ecuación (4) respecto al tiempo donde la única variable es el ángulo θ, y empleando la
definición de velocidad angular se llega a
dLo
= −(mgS senθ )k,
dt
(5)
o sea, es un vector que entra perpendicularmente del
plano de la hoja.
c) Como r = Sur y F = mg + TuN , al descomponer el peso en las componentes radial y transversal
con uθ = −uT y uN = −ur , se tiene para el producto
vectorial
r × F = −(mgS senθ )k.
(6)
Concepto de cuerpo rígido
En las unidades anteriores se ha analizado la
mecánica de los cuerpos que se pueden tratar
bajo el modelo de partícula; esto ha sido posible ya que solo interesaba considerar el efecto
de las fuerzas en lo que se refiere al movimiento
de traslación.
En adición, se debe considerar otro tipo de
movimiento que tienden a imprimir las fuerzas
sobre los cuerpos, como es el movimiento de rotación, lo que hace que el modelo de partícula
no sea válido, pues en su lugar el modelo útil
es el de cuerpo rígido que se definirá en lo que
sigue.
Un cuerpo rígido, es un caso particular de
un sistema de muchas partículas (del orden de
1023 partículas por cm3 ). Estas partículas deben
cumplir la condición de que la separación entre cualquier pareja de ellas siempre permanece constante mientras el cuerpo se mueve, sin
importar el tipo de fuerzas que actúen sobre él.
Esta definición permite afirmar que un cuerpo
rígido no se deforma bajo ninguna interacción
con otros cuerpos.
Al comparar las ecuaciones (5) y (6), se tiene que se
cumple la relación
rij
dLo
= r × F,
dt
resultado coincidente con la ecuación (3.3) y que tiene validez general.
Pregunta 3.1 De acuerdo con el resultado obteni-
i
j
n
rmn
m
Figura 3.35: Cuerpo rígido.
do en el numeral d) del ejemplo 3.8, ¿se conserva el
De acuerdo con la definición de cuerpo rígimomento angular de la partícula? Justifique su resdo,
en la figura 3.35 se hace necesario que las
puesta.
magnitudes rij y rmn no cambien, condición que
Es de particular importancia tanto el concep- se debe cumplir para cualquier par de partícuto de momento angular como su conservación, las que lo conformen.
21
3.6. VECTOR MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO
3.6. Vector momento angular de
un cuerpo rígido
Ahora, como ri es perpendicular a vi , de acuerdo con la ecuación (3.58) la magnitud del momento angular, está dada por
De acuerdo con la ecuación (3.55), el momento
Li,o = mi ri vi .
(3.61)
angular Li,o de una partícula i que describe una
trayectoria curvilínea con velocidad vi , está da- Reemplazando la ecuación (3.60) en la ecuación
do por
(3.61), se encuentra
Li,o = mi ri × vi ,
(3.58)
Li,o = mi ri2 ω,
(3.62)
donde mi es la masa de la partícula y ri es su
vector posición respecto al origen de coordena- que corresponde a una relación entre las magdas.
nitudes de los vectores Li y ω; lo cual permite
En el caso de un cuerpo rígido, cuando ro- escribir la ecuación (3.62) en la forma vectorial,
ta alrededor de un eje determinado, esta definiLi,o = (mi ri2 )ω.
(3.63)
ción sigue siendo válida para cualquier partícula del cuerpo. Además, si los momentos angulares de todas las partículas del cuerpo se evalúan El término entre paréntesis que aparece en la
respecto al mismo punto, el momento angular ecuación (3.63), se conoce como el momento de
inercia de la partícula i, respecto al eje de rotatotal del cuerpo rígido está dado por
ción z que pasa por el punto O. Este concepto se
Lo = ∑ mi ri × vi
analiza con más detalle en la siguiente sección.
Reemplazando la ecuación (3.63) en la ecua(3.59)
= ∑ Li .
ción (3.59), se encuentra que el momento anguPrimero se considera el caso de la figura 3.36, en
lar del cuerpo rígido, respecto al punto O, está
el cual se tienen n partículas que forman una ládado por
mina rígida muy delgada, de espesor desprecia(
)
ble, con forma irregular y cuya distribución de
(3.64)
Lo = ∑ mi ri2 ω,
masa también es irregular. La lámina gira con
velocidad angular ω, en su propio plano, alre- donde se ha tenido en cuenta que la velocidad
dedor de un eje fijo perpendicular a ella y cuyo angular es la misma para todas las partículas
origen O también se encuentra en ese plano.
que forman la lámina.
La ecuación (3.64) se puede escribir en la forz
ma
Li,O
Lo = Iω,
w
O
ri
vi
mi
(3.65)
donde se define
I≡
∑ mi ri2 ,
(3.66)
Figura 3.36: Momento angular de una lámina res- como el momento de inercia de la lámina respecto al punto O.
pecto al eje z, que pasa por el punto O.
En síntesis, cuando la lámina está en rotación y el
De las partículas que conforman la lámina, se
punto de referencia O coincide con el punto de interconsidera la partícula genérica i, que describe
sección entre el eje de rotación y la lámina, el momenuna trayectoria circular de radio ri = Ri con veto angular total es paralelo a la velocidad angular.
locidad vi = ω × ri . Como la velocidad angular
Ahora, se considera la misma lámina, pero el
es paralela al eje de rotación, esto es perpendiorigen O ya no coincide con la intersección entre
cular a ri , la magnitud de la velocidad es
el eje z y el plano de rotación, como se ilustra en
vi = ωri .
(3.60) la figura 3.37.
22
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
z
w
Ri mi
vi
Igual que en el caso del vector momento angular total, la componente z del momento angular total de la lámina está dada por Lz = ∑ Liz,O ,
así que al reemplazar Liz,O mediante la ecuación
(3.62), se tiene la expresión escalar
ri
gi
Li,O
LzO = Iω,
(3.69)
O
Figura 3.37: Momento angular de una lámina con con I dado por la ecuación (3.66).
De acuerdo con los resultados anteriores, en
O fuera de ella.
una placa que gira sobre su propio plano, siempre es posible tomar el origen O en ese plano y
En esta situación, la ecuación (3.59) sigue
en consecuencia lograr una simplificación consiendo válida para la partícula i, pero la magnisiderable, ya que el momento angular total es
tud del vector posición ri ya no coincide con el
paralelo a la velocidad angular. En cambio,
radio de la trayectoria descrita por la partícula.
cuando se trata el caso más general de un cuerComo se ilustra en la figura 3.37, se presenta
po rígido tridimensional que está rotando, couna diferencia respecto a la dirección del vecmo el mostrado en la figura 3.38, ya no es positor momento angular Li,O , ya que de acuerdo
ble hacer tal elección.
con su definición es un vector perpendicular al
plano formado por ri y vi , esto es, el vector moz
mento angular de la partícula i forma un ángulo
de 90 − γi con el eje de rotación z, y gira contiw
nuamente con la partícula alrededor del eje.
R
Por lo anterior, si Li,o no es paralelo a ω, el
v
m
momento angular total de la lámina aun es dar
q
do por la ecuación (3.62), pero en general no es
L
paralelo al vector velocidad angular.
O
En conclusión, cuando la lámina está rotando y
el punto de referencia O no coincide con el punto de
intersección entre el eje de rotación y la lámina, el Figura 3.38: Momento angular de un cuerpo rígido
momento angular total no es, en general, paralelo a tridimensional.
la velocidad angular.
Cuando el momento angular no es paralelo
Igual que en el caso de la lámina, el cuerpo
a la velocidad angular, se considera la compo- rígido rota alrededor del eje z con velocidad annente del momento angular paralela al eje z, es gular ω, y todas las partículas describen trayecdecir Liz,O . En la figura 3.38, se tiene que esta torias circulares. Mediante un procedimiento sicomponente está dada por
milar al llevado a cabo cuando el punto de referencia O se toma por fuera de la lámina, se enLiz,O = Li,o cos(90−γi ).
(3.67) cuentran resultados semejantes, así que en general, el momento angular total no es paralelo al vecReemplazando la ecuación (3.61) en la ecuación
tor velocidad angular, pues en general los Li no son
(3.67), teniendo en cuenta que vi = ri ωsenγi y
paralelos al eje de rotación.
Ri = ri senγi , se encuentra
Por esta razón, es necesario considerar la
2
componente
del momento angular paralela al
Liz,O = (mi Ri )ω,
(3.68)
eje z, lo que lleva a relaciones idénticas a las dadas por las ecuaciones (3.69) y (3.59).
donde de nuevo aparece el término mi R2i .
i
i
i
i,O
i
i
23
3.7. MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO
3.7. Momento de inercia de un
cuerpo rígido
Se ha encontrado que para una lámina plana
cuya distribución de masa es arbitraria, el momento angular total dado por la ecuación (3.59),
es proporcional a la velocidad angular si la placa gira alrededor de un eje perpendicular al
plano que contiene la placa y cuando el origen
O se elige en la intersección del eje y el plano
de rotación. La constante de proporcionalidad
I, en la ecuación (3.69), se definió como el momento de inercia de la placa respecto al eje de
rotación y está dado por la ecuación (3.66). Independientemente que el cuerpo esté en reposo
o en rotación, el momento de inercia del cuerpo
rígido respecto a dicho eje es el mismo.
gada, este es aplicable a cualquier cuerpo rígido, ya que su valor depende de la distancia perpendicular de cada partícula al eje, sin importar
la elección del punto O tomado como referencia.
En la ecuación (3.66), la suma se extiende a todas las partículas del cuerpo rígido tomadas como partículas discretas, esto es, como si se tratara de un gas de partículas. Ahora, puesto que un
cuerpo rígido no se considera como un conjunto
discreto de partículas sino como un medio continuo, la suma se convierte en una integral que
se extiende sobre todo el volumen del cuerpo
rígido.
Para obtener la expresión correspondiente del
momento de inercia de un cuerpo rígido, tomado como un medio continuo, se considera la figura 3.40.
z
z
z`
R
O
ri '
ri
O`
dm = r dV
r
z
mi
R
y
x
y
x
Figura 3.39: Momento de inercia respecto a dos ejes Figura 3.40: Momento de inercia de un cuerpo rígido.
diferentes.
El momento de inercia de la placa no es único,
ya que su valor depende del punto de la lámina
por donde pase el eje de rotación que es perpendicular a ella. En general, como se indica en la
figura 3.39, el valor de los términos ri2 varían al
cambiar el eje de rotación y en consecuencia el
valor del momento de inercia I será diferente.
La ecuación (3.66) muestra que el momento
de inercia total de un cuerpo rígido, respecto al
eje z, es igual a la suma de los momentos de
inercia de las partículas que lo conforman, del
mismo modo que su masa total es igual a la
suma de las masas de todas las partículas del
cuerpo. Esto permite afirmar que el momento de
inercia desempeña en rotación, el mismo papel que la
masa en traslación.
Aunque se ha restringido el concepto de momento de inercia para el caso de una placa del-
Se toma un elemento del cuerpo rígido con
masa dm, volumen dV, y se supone que el cuerpo tiene una densidad de masa ρ. Teniendo en
cuenta que la densidad se define como la masa
por unidad de volumen, estas cantidades están
relacionadas por
dm = ρdV.
Ahora, si en la ecuación (3.66) se reemplaza la
masa m por dm, la distancia ri por R y la suma
por una integral, esta se transforma en
∫
I=
ρR2 dV.
(3.70)
Por otro lado, si la masa del cuerpo está distribuida uniformemente, la densidad ρ puede salir
de la integral y la ecuación (3.70) se convierte en
I=ρ
∫
R2 dV,
(3.71)
24
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
lo que permite una simplificación, ya que el problema se reduce a resolver una integral que contiene sólo un factor geométrico, que es el mismo
para todos los cuerpos de igual forma y tamaño.
Dimensiones y unidades de momento de inercia
De acuerdo con la ecuación (3.66) ó (3.70), las dimensiones de momento de inercia son ML2 , por
lo tanto, la unidad en el sistema internacional
de unidades está dada por kg m2 y en el sistema
gaussiano de unidades por g cm2 .
Llevando la ecuación (3) a la ecuación (2), y luego
de simplificar, se obtiene para el momento de inercia
del cilindro hueco, la expresión
Ejemplo 3.9 En la figura 3.41 se tiene un cilindro
homogéneo y hueco, de masa M, con radios interior
y exterior dados respectivamente por R1 y R2 . Halle
el momento de inercia del cilindro, respecto a su eje
de simetría.
Solución
Como se muestra en la figura 3.41, el cascarón ci-
Para todo cuerpo, sin importar su forma, hay
por lo menos tres direcciones perpendiculares
entre sí, respecto a las cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación y es válida la
ecuación (3.65). Estos ejes se llaman ejes principales de inercia, y cuando el cuerpo rígido presenta
simetrías, estos ejes coinciden con algún eje de
simetría.
dr
R1
r
R2
Ic = M 12 ( R21 + R22 ),
de este modo, el radio de giro del cilindro hueco está
dado por la expresión
Kc2 = 21 ( R21 + R22 )
3.7.1.
3.7.2.
h
Ejes principales de inercia
Ejes principales de inercia en un
cuerpo esférico
zo
c
Figura 3.41: Cilindro hueco.
líndrico de radio r y espesor dr tiene un volumen
infinitesimal dado por
dV = 2πrhdr.
yo
xo
(1)
Figura 3.42: Ejes principales de inercia en un cuerpo
Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (3.71),
esférico.
con R = r, se tiene
∫R2
En un cuerpo esférico o con simetría esférica,
cualquier eje que pase por su centro es un eje
R1
principal de inercia. En la figura 3.42, los ejes
xo ,yo ,zo son tres ejes principales de inercia.
donde ρ es la densidad del material con el cual se ha
Así, en una esfera existen infinitos ejes princiconstruido el cilindro. Así luego de integrar y evaluar, se encuentra
pales de inercia.
Ic = 2πρh
r3 dr,
Ic = 12 πρh( R42 − R41 ).
(2)
Además, como M es la masa del cilindro se cumple
la relación
ρ=
M
M
.
=
2
V
π ( R2 − R21 )h
(3)
3.7.3.
Ejes principales de inercia en un
cuerpo cilíndrico
Para un cuerpo cilíndrico o con simetría cilíndrica, el eje del cilindro y cualquier eje que sea
3.7. MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO
zo
xo
yo
Figura 3.43: Ejes principales de inercia en un cuerpo
cilíndrico.
perpendicular a él, es un eje principal de inercia. En la figura 3.43, los ejes xo ,yo ,zo son tres
ejes principales de inercia.
25
26
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
Tabla 3.2: Radios de giro al cuadrado.
K2
K2
Eje
Eje
Cilindro macizo
Cilindro macizo
R
R
1 2
2R
1
2
4 (R
+ 31 l 2 )
Varilla delgada
l/2
l/2
Cilindro hueco
o anillo
R2
L
R1
1 2
12 L
1
2
2 ( R1
+ R22 )
Disco
1 2
2R
R2
Esfera maciza
Esfera hueca
R
R
2 2
5R
2 2
3R
Placa rectangular
Placa rectangular
b
1
2
12 ( a
+ b2 )
a
1 2
12 b
a
b
27
3.8. TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS
3.7.4.
Ejes principales de inercia en un
Si en la figura 3.45 se conoce el momento de
inercia I, respecto al eje zc que pasa por el centro
cuerpo rectangular
de masa del cuerpo rígido, el momento de inerUn bloque rectangular tiene tres ejes principales cia I respecto al eje z paralelo a z , el teorema de
c
de inercia que son perpendiculares a las caras y Steiner establece la relación
pasan a través del centro del bloque. En la figura
3.44, los ejes xo ,yo ,zo corresponden a los tres ejes
I = Ic + Ma2 ,
principales de inercia de un cuerpo rígido con
esta simetría.
donde M es la masa del cuerpo rígido y a es la
separación entre los dos ejes paralelos.
z
o
z
zc
a
yo
M
C.M.
xo
Figura 3.44: Ejes principales de inercia en un cuerpo
rectangular.
Figura 3.45: Teorema de Steiner o de los ejes paralelos.
En síntesis, se define un eje principal de inercia como aquel para el cual el momento angular
es paralelo a la velocidad angular, que siempre 3.8.1. Radio de giro de un cuerpo rígido
se encuentra a lo largo del eje de rotación.
Es una cantidad física, definida de tal modo que
Así, para un eje principal de inercia se cumse cumpla la relación
ple la ecuación (3.65), donde I es el momento
de inercia respecto al eje principal de inercia coI = MK2 ,
√
rrespondiente.
I
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de
,
(3.72)
K =
M
un eje que no es principal, es válida la ecuación
(3.69), donde I es de nuevo el momento de iner- donde I es el momento de inercia del cuerpo rícia respecto al eje que no es principal.
gido respecto a determinado eje y M su masa.
3.8.
Teorema de Steiner o de los
ejes paralelos
Generalmente se conoce el momento de inercia
de un cuerpo rígido respecto a un eje que pasa
por su centro de masa; pero en muchos casos,
para analizar el movimiento de rotación de un
cuerpo rígido, es necesario conocer el momento
de inercia respecto a un eje paralelo que no pasa
por el centro de masa. El teorema de Steiner o de
los ejes paralelos, es una herramienta que permite
llevar a cabo esta transformación.
Físicamente, el radio de giro representa la distancia medida desde el eje, a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su
momento de inercia. El radio de giro se puede
determinar completamente por geometría para
cuerpos homogéneos. Es una cantidad que se
puede evaluar fácilmente con ayuda de la ecuación (3.71). Conocido el radio de giro, mediante
la ecuación (3.72), es posible determinar el momento de inercia respectivo. En la práctica, es
posible conocer la forma del radio de giro mediante la tabla 3.2, donde se da K2 , evaluado
respecto a un eje específico en cuerpos con diferentes simetrías.
28
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
Ejemplo 3.10 Como se muestra en la figura 3.46, 3.8.2. Conservación del vector momento
una varilla delgada de masa M y longitud 4R, se coangular en un cuerpo rígido
loca sobre un cilindro de masa 2M y radio R. Además, en los extremos de la varilla se colocan dos ma- Aunque la expresión
sas muy pequeñas cada una de masa M/2. Halle el
momento de inercia del sistema, respecto a un eje
dLo
paralelo al eje del cilindro y que pasa por el punto
= r × F,
(3.73)
de contacto entre el cilindro y la varilla.
dt
2R
2R
M/2
M/2
P
1
2
c R
2M
Figura 3.46: Momento de inercia de un sistema.
Solución
El momento de inercia del sistema, IsP , está dado por
la suma de los momentos de inercia de cada cuerpo,
todos evaluados respecto al eje que pasa por el punto P. Esto es
Isp = Icp + Ivp + I1p + I2p .
(1)
se obtuvo para el caso de una partícula con movimiento curvilíneo, también es válida en el caso de un sistema de partículas, si se interpreta a
Lo como el momento angular total del sistema
de partículas y r × F como el producto vectorial
entre el vector posición r y la fuerza neta que actúa sobre el sistema de partículas. Es decir, si se
cumplen simultáneamente las expresiones
Lo =
∑ Li,o ,
i
r×F =
∑ ri × Fi ,
i
donde ambas cantidades físicas se deben eva-
Por el teorema de Steiner, el momento de inercia del
cilindro, respecto a un eje que pasa por el punto de luar respecto al mismo punto.
contacto P es
Como el cuerpo rígido es un caso especial de
Icp = Icc + 2MR2 = 3MR2 ,
(2)
donde Icc = 12 2MR2 , es el momento de inercia del
cilindro respecto a un eje que pasa por el centro de
masa, de acuerdo con la tabla 3.2.
Como el punto de contacto P coincide con el centro de la varilla, de acuerdo con la información de la
tabla 3.2, el momento de inercia de la varilla respecto
al eje que pasa por P es
Ivp = 43 MR2 .
(3)
Además, como las pequeñas masas se encuentran en
posiciones simétricas, respecto al punto P, sus momentos de inercia respecto al eje que pasa por P, son
iguales, esto es
I1p = I2p = 2MR2
Reemplazando las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1) se
encuentra que el momento de inercia del sistema,
respecto a un eje paralelo al eje del cilindro y que
pasa por el punto P, está dado por
Isp =
2
25
3 MR .
un sistema de partículas, la ecuación (3.73) es
aplicable en este caso y es la ecuación básica
para analizar el movimiento de rotación de un
cuerpo rígido, esto es, la ecuación (3.73) desempeña en rotación el mismo papel que la segunda ley de Newton en traslación. Por esta razón,
se le conoce como la ecuación de movimiento para la rotación de un cuerpo rígido. Se supone
que el cuerpo rígido de la figura 3.47, tiene un
movimiento de rotación alrededor del eje z considerado como eje principal de inercia; además,
se toma el origen como un punto fijo en el eje
que corresponde a un sistema de referencia no
rotante o inercial.
Como el eje de rotación z es un eje principal de inercia, se cumple la ecuación (3.66), y
la ecuación (3.73) se transforma en
d( Iω)
= r × F,
dt
(3.74)
donde el producto cruz r × F se debe a las fuerEjercicio 3.7 Para el sistema considerado en el zas externas que actúan sobre el cuerpo rígido y
ejemplo (3.10), encuentre el momento de inercia res- el cual se evalúa respecto al punto fijo O, sobre
pecto a un eje coincidente con el eje del cilindro.
el eje principal.
29
3.9. ENUNCIADOS
z (Eje principal de inercia)
gido aumenta (disminuye) la velocidad angular disminuye (aumenta) para garantizar que la
ecuación (3.76) se satisfaga.
Por otro lado, si adicionalmente el momenLo
to de inercia del cuerpo rígido permanece constante, la ecuación (3.76) indica que la velocidad
w
angular también permanece constante. Así, un
O
cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal, fijo en el cuerpo, lo hace con velocidad angular
Figura 3.47: Rotación alrededor de un eje principal constante cuando el producto cruz r × F es cero. Este enunciado, en rotación, equivale a la primera
de inercia.
ley de Newton en traslación.
Como se verá en la próxima unidad, el conAhora, si el eje está fijo en el cuerpo rígido, se
cepto de momento angular es de vital importantiene que el momento de inercia es constante y
cia en el estudio del movimiento de rotación de
la ecuación (3.74) adquiere la forma
los cuerpos.
Iα = r × F,
(3.75)
donde se ha empleado la definición de aceleración angular. La ecuación (3.75), válida en rotación, es equivalente, en traslación a la segunda
ley de Newton para masa constante.
Si el producto vectorial r × F debido a todas
las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo
rígido, es nulo, por la ecuación (3.75) se cumple
la condición
3.9. ENUNCIADOS
3.1 En el punto A de la figura 3.48, se encuentra ubicado un camarógrafo, que le sigue el movimiento a un auto cuando este describe una
trayectoria circular de radio R y con una rapidez v, en sentido antihorario. (a) Halle la rapidez angular con la cual debe girar la cámara, a
fin de que esta se mantenga en la dirección del
(3.76) auto. (b) Halle el valor de la cantidad obtenida
Iω = Constante,
en el numeral anterior, cuando v = 25 m · s−1 y
que corresponde a la conservación del vector R = 30 m.
momento angular.
Un ejemplo de esta situación, se presenta
cuando un patinador rota alrededor del eje de
su cuerpo, donde las fuerzas que actúan sobre él
C
R
son el peso y la normal que ejerce el piso, cuyas
A q
líneas de acción coinciden con el eje de rotación.
R
r
En este caso, el producto cruz r × F del peso y
v
la normal respecto a un punto ubicado sobre el
B
eje es nulo y el momento angular del patinador
es constante respecto a dicho punto. Esto lleva
Figura 3.48: Rapidez angular de una cámara.
a que aumente la velocidad angular del patinador cuando cierra los brazos, pues el momento
de inercia disminuye.
3.2 Un auto se mueve en línea recta como se
ilustra en la figura 3.49. (a) Obtenga una exprePregunta 3.2 Por qué disminuye el momento de
sión para la velocidad en sus componentes rainercia del patinador al cerrar los brazos? Explique.
dial y transversal. (b) Halle la magnitud de la
.
velocidad de la partícula. Analice el resultado
En síntesis, cuando el producto vectorial r × F obtenido. (c) Resuelva para ω = 12 rad · s−1 ,
es nulo, si el momento de inercia del cuerpo rí- b = 10 m y θ = 38o .
30
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
B v
b q
r
A
Figura 3.49: Componentes radial y transversal de la
velocidad.
3.3 El vector posición de una partícula está
dado por la expresión r(t) = − A sen(ωt)i +
A cos(ωt)j, donde A y ω son constantes. (a) Encuentre la trayectoria seguida por la partícula.
¿Qué puede concluir de su resultado? Explique.
(b) Halle la rapidez de la partícula en función
del tiempo. ¿Qué tipo de movimiento tiene la
partícula? Explique. (c) Obtenga una expresión
que relacione el vector aceleración con el vector
posición. ¿Qué concluye de su resultado? ¿Por
qué? (d) Determine el sentido de movimiento
de la partícula sobre su trayectoria. (e) Resuelva
los numerales anteriores, sabiendo que el vector posición está dado por r(t) = A cos(ωt)i −
B sen(ωt)j, donde A, B y ω son constantes.
3.4 Un auto se mueve sobre una pista circular de radio 5 m, de tal forma que su rapidez se incrementa uniformemente a razón de
4.8 m · s−2 . Suponga que el origen de coordenadas está centrado en la trayectoria. (a) En un
diagrama muestre, para una posición dada del
auto, los vectores velocidad y aceleración. Justifique su construcción. (b)Halle la rapidez angular del auto, cuando ha sufrido un desplazamiento angular equivalente a un un noveno de
vuelta. (c) Para la posición anterior, halle la aceleración del auto.
ción angular de los autos cuando se encuentran.
(d) Encuentre la rapidez de los autos en el instante del encuentro.
3.6 Un auto de masa m describe una curva circular de radio R y con peralte θ. (a) Determine la
rapidez máxima con la cual el auto puede describir la curva, si los efectos debidos a la fricción
se desprecian. En lo que sigue, suponga que el
coeficiente de fricción entre las superficies en
contacto es µ (b) Encuentre la rapidez máxima
que impide al auto deslizar sobre la superficie.
(c) Halle la rapidez mínima que impide al auto
deslizar sobre la superficie. (d) ¿Para qué intervalo de valores en la rapidez, el auto no desliza
sobre la superficie?
3.7 Como se ilustra en la figura 3.50, el bloque
de masa m está sujeto a una cuerda fija en O
y rota alrededor del eje OC sobre la superficie
del cono, que forma un ángulo θ con la vertical.
El segmento AB = d. (a) ¿Bajo qué modelo de
cuerpo se debe tratar el bloque? Explique. ¿Qué
movimiento tiene el bloque? ¿Por qué? ¿Qué se
puede afirmar sobre el tiempo que el bloque demora en realizar cada vuelta? Explique.(b) Encuentre, en función de la rapidez angular, la tensión en la cuerda y la fuerza que la superficie del
cono ejerce sobre el bloque. ¿Qué condición matemática se debe satisfacer para que los resultados obtenidos tengan significado físico? Explique. (c) Resuelva para m = 375 g, θ = 83o ,
d = 28 cm y ω = 16 rad · s−1 .
O
A
q
B
m
3.5 Los autos A y B, que parten de la misma
C
posición y se mueven en sentidos opuestos sobre una pista circular de radio R = 15 m. El auFigura 3.50: Superficie cónica.
to A se mueve con una rapidez de 60 km · h−1 ,
mientras que el auto B se mueve con una rapidez que aumenta uniformemente a razón de 3.8 Como se muestra en la figura 3.51, un blo5.2 m · s−2 . (a) ¿Qué movimiento tiene cada au- que de masa m, inicialmente en la parte superior
to? Explique. (b) Determine el tiempo que tar- de una esfera fija al piso y de radio R, parte del
dan los autos en encontrarse. (c) Halle la posi- reposo. (a) Halle el valor del ángulo θ cuando el
31
3.9. ENUNCIADOS
bloque se desprende de la esfera. (b) Encuentre
la rapidez del bloque y su altura respecto al piso, en el instante que el bloque pierde contacto
con la esfera. (c) Obtenga la rapidez del bloque
en el instante que llega al piso. (d) Determine,
respecto al punto B, la distancia horizontal a la
que el bloque llega al piso.
la rapidez de rotación del cilindro, se llega a un
valor por debajo del cual la persona se mueve
sobre la pared. El coeficiente de fricción entre la
persona y la pared es µ y el radio del cilindro es
R. (a) Halle la rapidez angular mínima que impide el movimiento de la persona sobre la pared. (b) Resuelva para µ = 0.27 y R = 90 cm.
A
m
q
w
C
R
R
B
Figura 3.51: Pérdida de contacto con la superficie.
Figura 3.53: Juego mecánico.
3.9 Mediante el bloque de masa m, se comprime un resorte de constante k. Cuando el bloque
se deja en libertad, desliza sobre una superficie horizontal hasta chocar elásticamente con un
cuerpo de masa M, que se encuentra suspendido del techo mediante una cuerda de longitud
d, como se muestra en la figura 3.52. (a) Halle
la deformación mínima del resorte, que permite al cuerpo de masa M describir una circunferencia completa. (b)Resolver para m = 700 g,
k = 5 × 102 N · m−1 , M = 900 g, d = 25 cm.
3.11 El péndulo simple mostrado en la figura 3.54, tiene masa m. (a) Haga el diagrama de
cuerpo libre para una posición arbitraria de la
esferita. (b) ¿Cómo es la magnitud de la tensión
en la cuerda, comparada con la magnitud del
peso, cuando la partícula pasa por el punto más
bajo de la trayectoria? Explique. (c) Utilizando
el diagrama de cuerpo libre, obtenga gráficamente la fuerza neta que actúa sobre la partícula. ¿La fuerza neta es una fuerza central? Explique. (d) ¿El momento angular de la esferita
se conserva respecto a algún punto? Justifique
su respuesta de dos maneras diferentes.
d
O
k
m
A
O
M
B
m
Figura 3.52: Choque con péndulo simple.
Figura 3.54: Fuerza normal.
3.10 Como se ilustra en la figura 3.53, una persona que está de pie sobre la base de un cilindro
y pegada a la pared, gira adherida al cilindro
con una rapidez angular, tal que cuando se qui- 3.12 El péndulo cónico de la figura 3.55, tieta el piso del cilindro, la persona no desliza so- ne masa m. (a) Para una posición arbitraria, habre la pared. Una vez que empieza a disminuir ga el diagrama de cuerpo libre para la esferita.
32
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
(b) ¿Qué movimiento tiene la partícula? Explique. (c) Apoyado en el diagrama de cuerpo libre, obtenga gráficamente la fuerza total que actúa sobre la esferita. ¿La fuerza total es una fuerza central? Explique. (d) ¿El momento angular
de la esferita se conserva respecto algún punto?
Justifique su respuesta de dos maneras diferentes.
R
Figura 3.56: Partículas y cuerpo rígido.
O
C
m
Figura 3.55: Fuerza centrípeta.
3.13 Un auto, de masa m, se mueve sobre una
pista circular de radio R. Determine si el momento angular del auto se conserva respecto a
algún punto de la trayectoria, cuando: (a) se supone que la curva no tiene peralte, y (b) la curva
tiene un peralte θ. Analice cada una de sus respuestas.
drada de igual masa m y de arista a, que inicialmente se encontraba en reposo. Los dos cuerpos se encuentran sobre el mismo eje y sus centros coinciden. Debido a la fricción entre las superficies, los cuerpos se mueven como si estuvieran pegados. (a) Halle la velocidad angular
del sistema, luego que la placa rectangular cae
sobre el disco. (b) Resuelva para R = 98 cm,
ωo = 12.3 rad · s−1 , a = 49 cm y a = 49 cm.
wo
w
R
R
3.14 En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de lado d, se tienen las partícuFigura 3.57: Placa que cae sobre disco.
las de masa m, 2m y 3m. Halle el momento de
inercia del sistema y el radio de giro, respecto
a un eje perpendicular al triángulo y que pasa
3.17 El sistema disco-bloque, mostrado en la
por (a) cada uno de sus vértices y (b) el punto
figura 3.58, rota con velocidad angular ωo , debimedio de cada uno de sus lados.
do a la fricción entre sus superficies. El pequeño
3.15 Como se ilustra en la figura 3.56, sobre un bloque tiene masa m y se encuentra inicialmenaro de masa M y radio R, se adhieren simétrica- te a una distancia r1 del eje de rotación, mienmente tres partículas cada una de masa m. Ha- tras que el disco tiene masa M y radio R. (a) Enlle el momento de inercia del sistema, respecto cuentre la velocidad angular del sistema discoa un eje perpendicular al aro y que pasa por (a) bloque, si la distancia del bloque al eje se reduce
el centro del aro y (b) una de las partículas. En a r2 , mediante una cuerda atada al bloque y que
cada caso, ¿el momento de inercia del sistema pasa por el centro del disco. (b) Encuentre la reangulares, cuando
depende de la posición de las partículas sobre lación1 entre las1 velocidades
2
r
=
R,
r
=
R
y
m
=
M.
(c) Resuelva para
2
1
2
4
3
el aro? Explique.
−
1
ωo = 9.7 rad · s .
3.16 Como se muestra en la figura 3.57, el disco, de radio R y masa m, gira con velocidad an- 3.18 Un pequeño bloque de masa m se suelgular ωo , hasta que cae sobre él una placa cua- ta desde el punto A de la figura 3.59 y luego
33
3.9. ENUNCIADOS
w
R
r1
Figura 3.58: Tirando con la cuerda.
de recorrer un cuarto de circunferencia de radio R1 , choca elásticamente con otro bloque de
igual masa m que se encuentra en reposo. Luego
del choque, el bloque 2 se mueve en el tramo BC
sobre una superficie horizontal de longitud d y
que presenta un coeficiente de fricción µ. A partir de C el bloque 2 describe la trayectoria circular de radio R2 y cuando sale de ella se mueve
sobre una superficie horizontal lisa hasta deformar un resorte de constante k, que se encuentra
al final de la trayectoria. (a) Halle, por tres métodos diferentes, la velocidad del bloque 1, inmediatamente antes de chocar con el bloque 2.
Analice el resultado obtenido. (b) Encuentre la
velocidad de los bloques inmediatamente después del choque. Analice sus resultados. (c) Obtenga, por tres métodos diferentes, la velocidad
del bloque 2 al final del tramo BC. Analice su
resultado. (d) Halle el radio R1 mínimo que le
permita al bloque 2 dar la vuelta completa en el
rizo de radio R2 . (e) Teniendo en cuenta el numeral anterior, encuentre la máxima deformación que sufre el resorte. (f) ¿Se conserva el vector momento angular del bloque en alguno de
los cuatro tramos? Explique. (g) Sabiendo que
R2 = 75 cm, µ = 0.27 y d = 57 cm, halle los
valores de: R1 mínimo y de las cantidades obtenidas en los numerales (a), (b), (c) y (e).
A1
R1
D
R2
k
2
B
d
C
Figura 3.59: Movimiento en un rizo o bucle.
34
CAPÍTULO 3. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN
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35
Índice alfabético
A,
aceleración
angular, 9
centrípeta, 9
normal, 5, 6, 9
tangencial, 5, 9
C,
centro
de curvatura, 6
de fuerzas, 18
choque
elástico, 31, 33
componentes
del momento angular, 16
concepto
de cuerpo rígido, 20
de radio de giro, 27
conservación
del momento angular, 18, 19, 29
coordenadas
polares, 2, 17
rectangulares, 2
cuerpo
rígido, 20
D,
definición
de aceleración angular, 9
de eje principal de inercia, 27
de momento angular, 16
de velocidad angular, 8
dimensión
de frecuencia, 10
dimensiones
de aceleración angular, 9
de momento angular, 17
de velocidad angular, 8
del momento de inercia, 24
E,
ecuación
de movimiento rotacional, 28
ecuación cinemática
de posición angular, 10
de velocidad angular, 11
eje
de rotación, 27
principal de inercia, 24, 27
estado
de reposo, 7
F,
frecuencia, 10
fuerza
centrípeta, 7
central, 18
normal, 7, 13
resultante, 13
tangencial, 7, 13
L,
longitud
de la trayectoria, 4
M,
modelo
de cuerpo rígido, 20
de partícula, 20
momento
angular total, 21, 22
de inercia, 21, 23, 27
movimiento
circular, 7
circular uniforme, 9
36
37
ÍNDICE ALFABÉTICO
de rotación, 18, 20, 29
de traslación, 20
periódico, 10
rectilíneo, 7
rectilíneo uniforme, 18
movimiento circular
uniforme, 10
uniformemente acelerado, 11
P,
péndulo
cónico, 31
simple, 31
período, 10
peralte, 14, 32
posición
angular, 10
producto
cruz, 12
vectorial, 12
R,
radio
de curvatura, 6, 8
de giro, 27
de la circunferencia, 8
rapidez
angular mínima, 31
rapidez angular, 29
S,
segunda
ley de Newton, 7, 14
sistema
de partículas, 20
de referencia inercial, 28
T,
teorema
de Steiner, 27
trayectoria
centrada, 7
circular, 7, 8, 13
curvilínea, 7
curvilinea, 2
U,
unidadaes
de velocidad angular, 8
unidades
de aceleración angular, 9
de frecuencia, 10
de momento angular, 17
del momento de inercia, 24
V,
variación
del momento angular, 17
vector
aceleración, 5, 6, 8, 12
aceleración angular, 11, 12
fuerza, 13
momento angular, 16, 21, 29
posición, 2, 8
unitario normal, 5
unitario radial, 2, 18
unitario tangencial, 4, 5, 8
unitario transversal, 2, 8
velocidad, 3–5, 8, 12, 29
velocidad angular, 11, 12
vector fuerza, 7
velocidad
angular, 8, 10
radial, 3, 8
transversal, 3, 8