TEMA 10: NÚMEROS ÍNDICES 1. INTRODUCCIÓN

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TEMA 10: NÚMEROS ÍNDICES
1. INTRODUCCIÓN
En temas anteriores hemos caracterizado a las distribuciones de una variable por una
serie de medidas que intentaban sintetizar el conjunto de toda la información
disponible (medidas de posición), hemos estudiado la variabilidad (medidas de
dispersión) y las medidas de forma (asimetría y curtosis). En este tema queremos
comparar una serie de observaciones respecto a una situación inicial, fijada
arbitrariamente.
Para observaciones de carácter cuantitativo tenemos dos sistemas de comparación:
por diferencia y por cociente.
Si tenemos dos observaciones x0 y xt, la comparación por diferencia sería:
D = xt-x0 (el origen de referencia es el 0, D = 0 implica que las dos observaciones
son iguales, D>0 implica que xt es mayor que x0 y D<0 implica x0 mayor que xt) y la
x
comparación por cociente sería: C= t (el origen de referencia es 1, C=1 implica la
x0
igualdad de los dos valores, C>1 implica que xt es mayor que x0 y C<1 implica x0
mayor que xt).
En el caso de la comparación por cociente se proporcionan comparaciones
adimensionales, que nos permitirá su utilización para magnitudes dadas en
diferentes unidades de medida, cosa que con la comparación por diferencia no se
puede lograr.
Ejemplo 1:
El precio, en euros, de un coche en 1995 fue de 8775 y en 1996 de 9000. Compara
los dos predios tomando como referencia el año 1995
Además para las comparaciones tenemos que tener en cuenta la fijación arbitraria de
la situación inicial a la que se referirán las comparaciones, la elección de esta
situación condiciona el resultado de la comparación y por lo tanto debe ser lo más
adecuada posible a los objetivos que se persigan; y la comparación de magnitudes
simples o complejas que nos lleva al problema de la agregación de magnitudes y de
la construcción de sistemas de comparación adecuados.
2. NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES Y COMPLEJOS.
Definición: un número índice es una medida estadística que nos permite estudiar los
cambios que se producen en una magnitud simple o compleja respecto al tiempo o al
espacio.
Al período inicial se le llama período base o de referencia y a la situación que
queremos comparar se le llama período actual o corriente.
2.1. NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES.
Sea Xi una magnitud simple, y sean xi0 y xit los valores de dicha magnitud en el
período base y actual, respectivamente. El número índice simple para la magnitud
1
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TEMA 10: NÚMEROS ÍNDICES
xit
que nos mide la variación, en tanto por uno, que
xi 0
ha sufrido la magnitud Xi entre los dos períodos cosideramos. (Si queremos la
variación en tanto por ciento, multiplicaremos la expresión anterior por 100).
citada se define como Ii= I 0t (i) =
Los índices simples más usuales son:



Precio relativo: cociente entre el precio de un bien en el período actual y el
precio del mismo en el período base.
p
p0t  it
pi 0
Cantidad relativa: cociente entre la cantidad producida o vendida de un bien en
el período actual y en el período base:
q
q0t  it
qi 0
Valor relativo:
El valor de un bien en un período cualquiera se define como el producto del
precio de ese bien y la cantidad producida (o vendida) de ese bien. Por lo tanto
el valor relativo de un bien será el cociente entre los valores de ese bien en el
período actual y en el período base:
 p  q 
pq
V0t  it it   it  it  .
pi 0 qi 0  pio  qi 0 
Además, podemos observar que V0t  p0t q0t
 Salario relativo: cociente entre el salario en el período actual y en el período
base:
s
s0t  it
si 0
2.2. NÚMEROS ÍNDICES COMPLEJOS.
Generalmente no estamos interesados en comparar precios, cantidades, valores de
bienes individuales, sino que queremos comparar dichas magnitudes para grandes
grupos de bienes. Por lo tanto la información suministrada por los índices de cada
uno de los diferentes bienes debe ser resumida en un único índice al que vamos a
denominar complejo. Se desea llegar a un número índice sencillo, pero que a la vez
reúna la mayor cantidad posible de información. Estas dos condiciones nos llevan a
dos tipos de índices complejos. Si se prefiere sencillez tendremos los índices
complejos no ponderados y si deseamos que contengan la mayor información
posible utilizaremos los índices complejos ponderados.
2.2.1. Números índices complejos no ponderados.
Sea X una magnitud compleja formada por las simples X1, X2, …Xn que han
tomado los siguientes valores:
2
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

Período base
Período actual
x10
...
xn0
x1t
…
xnt
Índices simples
x
I1= 1t
x10
…
x
In= nt
xn 0
Índice Media Aritmética de índices simples:
I  ...  I n
I 1
n
Índice Media Geométrica de índices simples:
I G  n I1  ... I n

Índice Media Armónica de índices simples:
n
IH 
1
1
 ... 
I1
In

Índice Media Agregativa:
IA 
x1t  ...  xnt
x10  ...  xn 0
2.2.2. Números índices complejos ponderados.
Para calcular los índices anteriores no se tiene en cuenta la importancia relativa que
pueden tener cada una de las magnitudes simples en el conjunto de todas ellas. En la
mayoría de los casos va a ser necesario considerar para cada magnitud simple, y por
lo tanto para sus índices unas ponderaciones que midan su peso relativo dentro del
conjunto en que se consideren.
Suponiendo que las diferentes ponderaciones o pesos asignados son: w1, …, wn,
tendremos los siguientes números índices complejos ponderados:


Índice Media Aritmética ponderado:
I w  ...  I n wn
I*  1 1
w1  ...  wn
Índice Media Geométrica ponderado:
n
IG * 
 wi
i 1
I1w1  ... I nwn

Índice Media Armónica ponderado:
w1  ...  w1
IH * 
1
1
w1  ...  wn
I1
In

Índice Media Agregativa:
I A* 
x1t w1  ...  xnt wn
x10 w1  ...  xn 0 wn
3
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Ejemplo 2:
La siguiente tabla recoge los precios y la importancia relativa de los bienes A, B y
C en el período 1990-1992
Bienes P1990 P1991 P1992
w
A
25
27
30 10700
B
20
24
25 10600
C
30
37
39 3060
Calcula
a) El índice complejo media geométrica y agregativa con base 1990 y período
actual 1991.
b) El índice complejo media aritmética y armónica con base 1990 y período actual
1992.
2.3. PROPIEDADES
2.3.1. Existencia
Todo número índice debe existir (ser un número real), ha de tener un valor
finito y distinto de cero.
2.3.2. Identidad
Si se hacen coincidir el período base y el período actual el número índice ha
de ser igual a la unidad.
2.3.3. Inversión
Si notamos por I 0t un índice con base 0 y período actual t, al intercambiar
los períodos entre sí ( It0 ) el nuevo índice debe ser tal que
I
I t0  t  I 0t I t0  1
I0
2.3.4. Circular
Es una generalización de la propiedad anterior.
Si consideramos los períodos 0, t, t´y t´´, se debe cumplir I0t  Itt´  It0´  1 y
I 0t  Itt´  Itt´´´  It0´´  1.
Como consecuencia de esta propiedad y de la inversión tenemos la
propiedad cíclica o circular modificada:
1
I 0t  I tt´  0  I 0t  I tt´  I 0t´
I t´
1
 I 0t  I tt´  I tt´´´  I 0t´´
0
I t´´
2.3.5. Proporcionalidad
Si en el período actual todas las magnitudes sufren una variación
proporcional, el número índice debe quedar lógicamente afectado por esta
variación.
Si los valores xit sufren una variación proporcional de orden k, de forma que
los nuevos valores en el período t´ son:
xit´ = xit+k xit=(1+k)xit
los nuevos índices simples serán:
x
(1  k ) xit
I í´  it´ 
 (1  k ) I i
xi 0
xi 0
I 0t  I tt´  I tt´´´ 
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2.3.6. Homogeneidad
Un número índice simple no queda afectado por cambios en las unidades de
medida de las magnitudes que en él intervienen.
Sería deseable que estas propiedades que, en general se cumplen para los índices
simples, se verificasen también para los complejos. Esto no siempre ocurre.
2.4. ÍNDICES EN CADENA
Se obtienen mediante enlaces relativos (índices para los cuales la base es siempre el
período precedente) con lo que cada uno de ellos representa una comparación
porcentual respecto al período anterior.
Ejemplo 3
Los precios de un determinado bien son 12, 14, 24 y 30 unidades monetarias, para
el período 1996-1999 respectivamente. En este caso los enlaces relativos serán:
14
97
p96

 116 %
12
24
98
p97

 171 .43%
14
30
99
p98

 125 %
24
Como consecuencia de la propiedad circular modificada, el precio, la cantidad o el
valor relativo, para un período dado, respecto a un período base, puede siempre
expresarse en términos de sus enlaces relativos respectivos. Por ejemplo,
p25  p23 p34 p45
Aplicando este resultado del ejemplo tendríamos
96
p96
 100%
97
p96
 116.6%
14 24
98
97 98
p96
 p96
p97 
 200 %
12 14
14 24 30
99
97 98 99
p96
 p96
p97 p98 
 250 %
12 14 24
Sabemos que
p0t 
pit
,
pi 0
Con lo que
p99 30

 250%
p96 12
que es el mismo resultado que el obtenido mediante enlaces relativos.
99
p96

Como hemos visto con este procedimiento podemos conseguir una serie de índices
referidos a una base común. La nueva serie obtenida nos permitirá efectuar
comparaciones a medio y largo plazo.
3. ÍNDICES DE PRECIOS
5
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En este apartado vamos a estudiar las magnitudes económicas mediante los índices
de precios, que miden la evolución de la magnitud precio de un conjunto de bienes
y servicios.
3.1. Índices complejos de precios no ponderados

Índice de Sauerbeck
n
Sp 
Pit
P
i 1
i0
n
que es simplemente la media no ponderada de los precios relativos de los bienes
considerados.
 Índice de Bradstreet-Dûtot
Es la media agregativa sin ponderar de los precios.
n
B  Dp 
P
i 1
n
it
P
i 1
i0
Estos dos índices tienen la ventaja de ser fáciles de aplicar, pero presentan el
inconveniente de que no tienen en cuenta la importancia relativa de cada uno de los
diferentes bienes en el conjunto total, ya que no son ponderados.
Ejemplo 4
Supongamos una “cesta de la compra” compuesta por los siguientes artículos: pan,
leche, huevos y carne, de los que la información disponible aparece en la tabla
siguiente:
Bienes
Precios
2005 2006 2007
Pan
30
32
35
Leche
80
84
89
Huevos
200
220
235
Carne
900 1100 1250
1210 1436 1609
Tomando como año base 2005, calcula los índices de Sauerbeck y de B-D para
cada uno de los otros dos períodos.
3.2. Índices complejos de precios ponderados
Los sistemas de ponderación utilizados tradicionalmente son:
-
wi=pi0qi0, que es el valor de la cantidad consumida del bien i-ésimo en el período
base a precio de dicho período.
Wi=pi0qit, que es el valor de la cantidad consumida del bien i-ésimo en el
período actual a precios del período base.
La primera corresponde a una situación real y la segunda a una situación ficticia.
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
Índice de Laspeyres
n
Lp 
n
pit
pi 0 qi 0
pi 0

i 1

n
p
q
i0 i0
i 1
p q
it i 0
i 1
n
p
i 1
q
i0 i0
Los criterios para elegir el período base son diversos, pero normalmente se requiere
que sea un año no irregular.

Índice de Paasche
n
Pp 

i 1
pit
pi 0 qit
pi 0
n
p
q
i 0 it
i 1
n

p q
i 1
n
it it
p
i 1
q
i 0 it
Este índice exige calcular las ponderaciones pitqit para cada período corriente. Por lo
tanto su cálculo es muy laborioso. Además presenta el inconveniente de que el
índice de precios de cada año sólo se puede comparar con el del año base .

Índice de Edgeworth
Es una media agregativa ponderada de precios cuyo coeficiente de ponderación es
wi = qi0+qit.
n
Ep 
 p q
i 1
n
i0
 p q
i 1

it
i0
i0
 qit 
 qit 
Índice ideal de Fisher
Es la media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y Paasche.
Fp  L p Pp
A continuación vamos a estudiar las propiedades que cumplen estos índices para
intentar encontrar el índice más idóneo para utilizarlo para medir las variaciones de
los precios.
Los seis índices cumplen la propiedad de existencia y de identidad.
La propiedad de inversión solo la verifican los índices B-Dp, Ep y Fp.
Algebraicamente los seis índices cumplen la propiedad de proporcionalidad, pero en
el caso de Paasche, Edgeworth y Fisher se puede plantear una objeción de tipo
económico: al variar los precios en cualquier proporción es difícil mantener el
supuesto de que las cantidades qit permanezcan constantes; la variación de éstas
dependerá de las elasticidades cantidad-precio de cada bien. Sólo sería aceptada la
suposición de constancia de las qit cuando la cantidad es rígida respecto al precio
(variaciones de precio no implican variaciones en la cantidad).
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Por lo tanto B-Dp es el que cumple más propiedades pero como es no ponderado no
suele utilizarse con frecuencia. Todos los índices ponderados cumplen el mismo
número de propiedades, pero se suele seleccionar el índice de Laspeyres porque es
el único que realmente cumple la propiedad de proporcionalidad (fundamental para
cualquier expresión que intente medir la variación de los precios).
Ejemplo 5
Además de la tabla del ejemplo 4 contamos con la tabla siguiente. Utilizando los
datos de ambas calcula los índices de precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y
Fisher para 2007 con respecto al año base 2005
Bienes
Pan
Leche
Huevos
Carne
Cantidad vendida
2005
2007
200
275
500
530
800
925
400
375
4. PROBLEMAS EN LA CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES.
Los problemas de mayor relevancia que se presentan al construir números índice se
centran en:
 Selección de datos:
El propósito para el que se va a utilizar el índice es el que sirve de orientador para la
selección y cálculo de los datos.
Un índice bien construido es instrumento útil, en tanto que uno mal construido es
engañoso y carente de significado.
Es natural que los números índices se construyan a partir de muestras, no
necesariamente aleatorias, pero si escogidas de acuerdo con el criterio del
compilador del índice.
Un índice compuesto puede comprender cientos y aun miles de variables, la
selección de una muestra entre las variables puede ser una tarea difícil. Las muestras
han de ser representativas de la población de donde se toman. La forma más
apropiada de conseguirlo es mediante estratificación de todos los datos en grupos y
subgrupos, de cada uno de los cuáles se toma una submuestra representativa. De esta
forma podemos estar seguros de que todo grupo o subgrupo se verá representado en
el índice que se va a construir.
Otro aspecto importante en la construcción de un índice es la comparabilidad de los
datos.
8
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
Elección del período base:
Se debe elegir cuidadosamente ya que se utiliza como punto de referencia al
comparar los distintos números índice y describir sus comportamientos individuales.
Reglas para la elección: debe ser un periodo normal, es decir que tenga una
estabilidad relativa; debe ser relativamente reciente.
Hay que renovar periódicamente la información relativa al período base, es decir,
cambiar el año base, para que el índice no se quede obsoleto y pierda
significatividad.

Selección de pesos:
Cada variable en un índice compuesto debe tener influencia razonable en el índice;
al construir un índice debe darse la consideración debida a la importancia relativa de
cada variable que se relacione con el fin para el cual se va a utilizar el índice.
5. DEFLACTACIÓN DE SERIES ESTADÍSTICAS
En economía se produce un gran número de bienes y consumo que son muy
heterogéneos y para poder agregarlos los sometemos a un proceso de
homogenización aplicando un sistema de precios. Al multiplicar cantidades de
bienes por sus respectivos precios transformamos cantidades físicas heterogéneas
(leche, pescado, fruta, ordenadores…) en valores económicos que son homogéneos
y por tanto sumables o agregables.
Los índices de valor nos permiten estudiar la evolución a lo largo del tiempo de la
cuantificación monetaria de un conjunto de bienes. Este valor se llama nominal o en
precios corrientes o de cada año cuando los precios son los del período de
n
comparación Vt=  pit qit
i 1
En economía interesa analizar la evolución del valor del conjunto de mercancías
bajo la óptica de lo que se denomina a precios constantes, o sea, sin que se
produzcan variaciones en los precios de los distintos componentes. Para conseguirlo
se realiza la operación conocida como deflactación de series de valores expresados
en precios corrientes de cada año.
Para poder comparar el valor de un conjunto de bienes en dos períodos distintos
interesa aislarlo de la subida (inflación), o de la bajada (deflación) de sus respectivos
precios, y para ello hay que pasar de precios corrientes a precios constantes. Esto es
lo que se denomina deflactar la serie dividiéndola por el índice de precios que se
considere más adecuado (deflactor). El mejor deflactor es el índice de Paasche,
aunque según sea la serie que se quiera deflactar habrá que utilizar el índice de
precios más adecuados.
Ejemplo 6
Las cantidades pagadas por una empresa de seguros como indemnización por
incendios en el período 1989-1993, así como los correspondientes Índices de
Precios al Consumo para dicho período vienen dadas en la tabla siguiente:
9
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Año
IPC Indemnización
1989 204.3
5.430.000
1990 275.7
9.680.000
1991 384.3
1.394.000
1992 424.5
15.100.000
1993 479.8
17.590.000
Calcula el valor de las indemnizaciones en euros constantes de 1993.
6. ENLACES Y CAMBIOS DE BASE
Otro problema que se plantea es la pérdida de representatividad de los índices al
irnos alejando del período base, sobre todo cuando, para ponderar magnitudes
actuales, se utilizan pesos relativos referidos al período base; este problema se
resuelve haciendo un cambio de base a un período más cercano al actual. Para poder
relacionar series de índices referidos a distintos períodos base se utilizan los enlaces
técnicos entre ambas series.
Para efectuar el cambio de base nos basaremos en la propiedad de inversión.
Si tenemos una serie de índices referidos al período de base 0: I00 , I01 , I0i ,...,I0h ,...,I0t
y queremos efectuar un cambio de período base desde el período 0 al h obtendremos
una nueva serie referida a dicho período h: I h0 , I h1 , I hi ,...,I hh ,...,I ht . La nueva serie de
índices se obtiene teniendo en cuenta que I hi 
I 0i
, siendo I0h el enlace técnico entre
I 0h
ambas series.
Ejemplo 7
Supongamos que poseemos para un conjunto de bienes los siguientes datos:
Años Base=1990
Base=1993
1990
 pi0qi0 =5
1991
1992
1993
1994
1995
1996
p q
p q
p q
i1 i 0
=5.5
i2 i0
=6
i3 i0
=6.5
 p´
 p´
 p´
 p´
i0
q´i 0 =8
i1
q´i 0 =9
i2
q´i 0 =10
q´i 0 =10.5
Donde los períodos base de ponderación son 1990 y 1993. Con dichos datos se han
elaborado los correspondientes índices de Laspeyres
5
8
L90
 100 %
L93
 100 %
90 
93 
5
8
5 .5
9
L91
 110 %
L94
 112 .5%
90 
93 
5
8
6
10
L92
 120 %
L95
 125 %
90 
93 
5
8
i3
10
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6 .5
10.5
 130 %
L96
 131 .25%
93 
5
8
Calcula los índices de precios de los períodos 90, 91 y 92 con base 1993.
L93
90 
7. PARTICIPACIÓN Y REPERCUSIÓN
Supongamos que todas las magnitudes simples sufren una variación que podemos
expresar por p1t ,...,pnt .
Llamaremos repercusión de la variación de la componente i en el índice general a la
p q
expresión Ri= n it i 0
 pi 0qi 0
i 1
La suma de todas las repercusiones individuales de cada componente es igual a la
variación total del índice general.
Llamaremos participación en porcentaje de la componente i en la variación del
índice general a la relación por cociente entre la repercusión en porcentaje y la suma
de las repercusiones en porcentaje de todas las componentes, expresada en tanto por
p q
ciento, Pi= n it i 0 100
 pit qi 0
i 1
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