3. Ruido

Apuntes SEC. UIB
3. Ruido
3.1 Introducción
Ruido es cualquier aleatoria, no deseada, que aparece superpuesta a las señales de nuestro sistema.
Según su origen el ruido de puede clasificar en externo o interno. El externo es captado del exterior, por
ejemplo por la antena, el interno se produce en el propio sistema, por ejemplo en el LNA (Low Noise
Amplfier). El los receptores el ruido externo predomina en baja frecuencia (< 100 MHz) mientras que el
interno es dominante en alta frecuencia.
El ruido externo se puede clasificar según su naturaleza en natural o artificial. La naturaleza del ruido
interno es variada, entre otros se distinguir los ruidos
– Térmico o Jonson (asociado a resistencias).
– Shot o impulsivo (asociado a uniones PN en polarización directa)
– De avalancha (asociado a uniones PN en ruptura)
– De partición
– Burst (salvas)
en lo que sigue nos ocuparemos únicamente del ruido interno.
La potencia de ruido, n, se mide en vatios [W] o, más habitualmente en dBm, siendo
n[dBm] = 10·log( n [ W] )
1 mW
Aunque más que conocer la potencia del ruido interesa saber la relación entre la potencia de la señal, s, y
la potencia del ruido superpuesto. La relación señal ruido, s/n, se expresa habitualmente en dB
s
s [ W]
[dB] = 10·log(
)
n [ W]
n
Como ambas potencias corresponden al mismo punto del circuito y por consiguiente sobre la misma
resistencia, la relación señal ruido se puede indicar como relación de tensiones eficaces
v o2, eff [V]
vo , eff [ V]
s
[dB] = 10·log ( 2
) = 20·log (
)
vn , eff [V]
n
v n , eff [V]
3.2 Ruido térmico
Fué identificado por Jonson en 1928. Es debido al movimiento aleatorio de los e–, originado por su
energía térmica. Este movimiento da lugar a una corriente aleatoria y debido a ella en bornes de una
resistencia aparece una tensión de ruido vn.
La tensión vn es una variable aleatoria gaussiana. La probabilidad de que tome un valor determinado viene
dada por la expresión
p (v n ) =
1
2πσ 2
exp[−
donde vn es el valor medio y σ la varianza.
2.1
(v n − v n ) 2
]
2σ 2
Apuntes SEC. UIB
∞
1 T
v n dt = ∫ p(v n ) v n dv n
∫
−∞
T 0
∞
1 T
= vn2 = lim T → ∞ ∫ vn2 dt = ∫ p (vn ) vn2 dvn = σ 2
0
−
∞
T
v n = limT →∞
vn2, eff
El valor medio de la tensión de ruido es siempre nulo, pero no su valor eficaz. La formula anterior no es
práctica para calcular el valor eficaz, hay una manera más fácil. La densidad espectral de potencia, es
decir, la potencia por unidad de frecuencia, se puede considerar constante para todas las frecuencias entre
0 e infinito. Este valor sólo depende de la temperatura según la expresión
η = 4kT [W/Hz]
donde k es la constante de Boltzman (1.38·10–23 J/ºk) y T es la temperatura absoluta en ºK. Puesto que la
potencia sobre una resistencia es
n=
v n2, eff
R
= i n2, eff R
la densidad espectral del cuadrado de la tensión o la corriente de ruido eficaces se expresan por
ηv = 4kTR [V2/Hz]
4kT
ηi =
[A2/Hz]
R
Así para un sistema cuyo ancho banda esté limitado entre las frecuencias f1 y f2, es decir con B = f2 – f1, el
cuadrado de la tensión eficaz de ruido (ver figura 3.1) será
vn2, eff = ∫ ηv df = 4kTRB [V2]
f2
f1
ηv
B
f1
f2
f
Fig. 3.1 Densidad espectral del valor cuadrático medio de la tensión de ruido
Para tener un orden de magnitud de este ruido, supongamos una resistencia de 1 kΩ a 300 ºK, en un
sistema cuyo ancho de banda son 200 kHz.
vn2,eff = 4·1.38·10–23·300·103·200·103 = 3.31·10–12 [V2]
vn, eff = 1.82·10–6 [V]
Notar que como vn eff depende tan sólo de T, la única solución para reducirlo es enfriar.
– Representación circuital del ruido.
Una resistencia real, con ruido, se puede modelar mediante una resistencia ideal, sin ruido, más un
generador de ruido ideal. El generador puede ser de tensión ó de corriente, según que se emplee un
circuito equivalente tipo Thevenin ó Norton, como muestra la figura 3.2. Notar que en cualquier caso, en
el generador de ruido se indica el cuadrado del valor eficaz ó valor cuadrático medio.
El motivo de esta representación es que al asociar dos resistencias en serie el valor cuadrático medio de la
tensión ruido resultante es la suma del valor cuadrático medio de la tensión de ruido generada por cada
una. Y cuando se asocian dos resistencias en paralelo el inverso del valor cuadrático medio de la tensión
2.2
Apuntes SEC. UIB
ruido resultante es la suma del inverso del valor cuadrático medio de la tensión de ruido generada por
cada una. El cálculo del ruido generado por la asociación de resistencias se muestra en la figura 3.3
R
sin ruido
R
con ruido
R
sin ruido
in2, eff
vn2,eff
Fig. 3.2 Modelos circuitales del ruido generado por una resistencia
R1
R1
Con
ruido
R
R = R1 + R2
v n21
v n2 = 4kT ( R1 + R 2) B = v n21 + v n22
vn2
R2
R2
v n22
(a)
Con
ruido
R1
R2
R1
R2
R
v n21
v n22
vn2
1
1
1
=
+
R R1 R2
1
v
2
n
=
1
1
1
1
1
( +
)=
+
2
4kTB R1 R2
v n1 v n22
(b)
Fig. 3.3 Cálculo del ruido generado por la asociación de resistencias (a) en serie y (b) en paralelo
– Ruido en impedancias.
Sólo la parte real de una impedancia genera ruido. El valor cuadrático medio de la tensión de ruido
asociada a una impedancia es
vn2, eff = vn2 = ∫ 4kT Re[Z ] df
f2
f1
Notar que ahora la integral no es inmediata porque Re[Z] depende de f. Los modelos circuitales del ruido
generado por una impedancia son los que se muestran en la figura 3.4, los mismos que para la resistencia.
Z
con ruido
Z
sin ruido
Z
sin ruido
v n2, eff
Fig. 3.4 Modelos circuitales del ruido generado por una impedancia
2.3
in2,eff
Apuntes SEC. UIB
La demostración de la afirmación anterior requiere dos pasos intermedios, cada uno de los cuales lleva a
una importante conclusión
(a) El generador vn2,eff no disipa potencia sobre su propia resistencia.
Para probar esta afirmación, consideremos una resistencia, R, cortocircuitada en una caja aislada
térmicamente del exterior. Esta situación se representa en la figura 3.5. El generador vn2,eff asociado a la
resistencia produce una corriente in que atraviesa la resistencia y normalmente disiparía una potencia
sobre ella.
Pero si fuera así esta potencia generaría un aumento de la temperatura de la caja y por lo tanto de R, lo
que implicaría un aumento de la tensión de ruido vn que a su vez llevaría a un aumento de in y así
sucesivamente. De forma que la temperatura de la caja crecería indefinidamente. Como esa situación no
se produce debemos concluir que la afirmación del enunciado es cierta.
v n2, eff
T
R
aislante
térmico
Fig. 3.5 Montaje para probar que el generador vn2,eff no disipa potencia sobre su propia resistencia
(b) Sólo la parte real de la impedancia genera potencia
Sea una impedancia Z = R +jX, o en forma polar Z = Z
ϕz
. Su parte real Re[Z] = R = | Z | cos(ϕZ)
Cuando una corriente i = A cos(ωt) atraviesa la impedancia produce en ella una caída de tensión
v = Zi = | Z | A cos(ωt + ϕZ)
La potencia disipada en la impedancia es
P=
2
donde ieff
=
A
A2 Z
1 T
2
i
⋅
v
dt
=
cos(ϕ Z ) = ieff
Re[ Z ]
T ∫0
2
es el valor eficaz de la corriente.
2
Recordar que cuando se trabaja con fasores, es decir, cuando la corriente es del tipo i = A e jωt el
2
2
=
cuadrado del valor eficaz se calcula como ieff
i
i ⋅i *
=
.
2
2
(c) Ahora estamos en condiciones de demostrar que sólo la parte real de una impedancia genera ruido
Consideremos una resistencia Ro y una impedancia Z conectadas en paralelo dentro de una caja aislada
térmicamente del exterior, como se muestra en la figura 3.6. La potencia de ruido generada por Ro se
disipa en Z y viceversa. Estas dos potencias deben ser iguales, de lo contrario una de las dos se enfriaría y
la otra se calentaría indefinidamente.
Como Re[Z] depende de f, para que sea constante vamos a considerar un df. De esta forma podemos
2
en lugar de trabajar con la densidad espectral.
trabajar directamente con vnZ
2.4
Apuntes SEC. UIB
2
v nR
T
Ro
o
aislante
térmico
2
v nZ
Ri
Fig. 3.6 Montaje para probar que sólo la parte real de una impedancia genera ruido
2
, produce en el circuito una corriente i =
El generador de ruido asociado a Ro, v nR
o
2
v nR
Re[ Z ]
o
2
corriente disipa sobre Z una potencia n Z = ieff
Re[ Z ] =
( Ro + R + jX )( Ro + R − jX )
o
o
Ro + R + jX
y esta
.
2
, produce en el circuito una corriente i =
El generador de ruido asociado a Z, vnZ
2
Ro =
corriente disipa sobre Ro una potencia n R = ieff
v nR
v nZ
y esta
Ro + R + jX
2
v nZ
Ro
.
( Ro + R + jX )( Ro + R − jX )
Igualando las dos potencias resulta
2
2
v nZ
⋅ Ro = v nR
⋅ Re[ Z ] .
o
2
obtenemos
y sustituyendo la expresión de v nR
o
2
v nZ
= 4kT Re[Z ] df
Es decir, que la densidad espectral del cuadrado de la tensión de ruido en una impedancia es
η v = 4kT Re[ Z ]
2
= inZ Z
Puesto que v nZ
2
2
*
2
= inZ inZ
⋅ ZZ * = inZ
⋅ Z , la densidad espectral asociada a la corriente de ruido es
ηi =
4kT Re[ Z ]
Z
2
– Ejemplo. Ruido en un circuito RC paralelo.
La figura 3.7a muestra un circuito RC y su circuito equivalente considerando el ruido. En el circuito
equivalente
Z=
R
,
1 + jωRC
vn2, eff = vn2 = ∫ 4kT Re[Z ] df
f2
f1
La tensión cuadrática media de ruido total, considerando todas las frecuencias será
∞
∞
0
0
vn2 = ∫ 4kT Re[Z ] df = ∫ 4kT Re[
∞
R(1 − jωRC )
df
kT
] df = 4kTR ∫
=
2
0 1 + (ωRC ) 2
C
1 + (ωRC )
2.5
Apuntes SEC. UIB
Notar que el ruido no depende de R, que es quien lo genera, sino de C. En la gráfica de la figura 3.7b se
muestra la explicación, la forma de la curva (densidad espectral del ruido) si depende de R pero no el área
bajo la curva (la tensión cuadrática media de ruido total).
ηv
Z
R
R1
R2
C
v n2
f
(a)
(b)
Fig. 3.7 (a) Circuito equivalente de un RC paralelo incluyendo ruido. (b) Densidad espectral del valor
cuadrático medio de la tensión de ruido asociada para dos valores distintos de R.
– Máxima potencia de ruido disponible.
Al poner dos impedancias en paralelo el ruido generado por cada una de ellas se disipa en la otra. Vamos
a calcular que relación debe existir entre ambas impedancias para que esa potencia de ruido sea máxima.
Tal como muestra la figura 3.8, denominamos Z la impedancia que genera el ruido y ZL la que lo disipa
Z = R + jX ,
ZL = RL + jXL
y sea no la potencia entregada en un df (para evitar las integral).
no
Z
ZL
vn2
Fig. 3.8 Transferencia de potencia de ruido entre dos impedancias.
La corriente que circula por ZL es i =
2
no = ieff
Re[ Z L ] =
vn
y el ruido generado en ella es
Z + ZL
v n2 R L
4kT R R L df
=
( R + RL ) 2 + ( X + X L ) 2 ( R + RL ) 2 + ( X + X L ) 2
En primer lugar, para conseguir la máxima potencia debemos hacer que X = –XL, con lo que
no =
4kT R R L df
( R + RL ) 2
En segundo lugar para hallar el valor de RL que maximiza no debemos igualar a cero su derivada, ya que
dno
dR L
=0
máx no
así obtenemos R = RL. Es decir que no máximo de se obtiene si Z = R – jX = Z*. Entonces
no
máx
= kT df
2.6
Apuntes SEC. UIB
O sea, que la máxima densidad espectral de potencia que se puede extraer de Z es η = kT, y que esta se
obtiene cuando las dos impedancias están adaptadas. Como no, máx es independiente de la frecuencia, en un
sistema de ancho de banda B, cuando hay adaptación de impedancias, no = no, máx = kTB.
La adaptación de impedancias entre etapas es una situación común en sistemas de comunicación. Esta
condición maximiza la transferencia de ruido de una etapa a la siguiente, pero también de señal y en
definitiva hace que la relación s/n en la segunda etapa sea máxima.
– Ancho de banda de ruido.
Hemos visto que la expresión vn2, eff = ηv B , donde B es el ancho de banda de nuestro sistema, sólo se
puede aplicar cuando la densidad espectral de ruido es constante y que en el caso general es necesario
emplear la expresión vn2, eff = ∫ ηv df .
B
No obstante, como no es práctico tener que calcular la integral a menudo, se sustituye el ancho de banda
del sistema por le denominado ancho de banda de ruido, Bn, definido para que se cumpla
vn2, eff = ηvo B n ,
donde ηvo es el valor de la densidad espectral de ruido en el centro de la banda. Es decir que
Bn =
∫
B
ηv df
ηvo
Naturalmente Bn ≠ B, pero en sistemas de comunicación en que el ancho de banda es mucho menor que la
frecuencia portadora ambas son muy parecidas y se puede aproximar vn2, eff ≈ ηvo B .
3.3 Ruido en dipolos
El ruido en uniones PN polarizadas en directo tiene varias componentes: ruido Shot, Flicker, Burst, …
pero en alta frecuencia sólo el ruido Shot es importante.
El ruido Shot se debe a que la corriente no fluye de forma continua sino electrón a electrón. Esto origina
una corriente de ruido, in, superpuesta a la corriente de polarización que se puede tratar como una variable
aleatoria gaussiana
in = 0 ,
in2 = σ
Por consiguiente la densidad espectral del valor cuadrático medio de esta corriente es constante
ηi = 2qI Q ,
donde q es la carga del electrón e IQ es la corriente continua que fluye por la unión.
La representación circuital del ruido en un diodo (unión PN) polarizado en directo se muestra en la figura
3.9. En un sistema de ancho de banda B la corriente eficaz de ruido es
in2 = 2qI Q B
Notar que la resistencia equivalente del diodo en pequeña señal, rd, no genera ruido puesto que todo el
ruido se ha incluido en el generador in2 .
2.7
Apuntes SEC. UIB
sin
ruido
con
ruido
c.a y
pequeña señal
in2
in2
rd
Fig. 3.9 Modelos circuitales del ruido generado por un diodo
– Temperatura de ruido.
En un dipolo, en general, el ruido no es únicamente térmico y por lo tanto
η v ≠ 4kT Re[ Z ]
No obstante, como esa es una fórmula muy conocida y fácil de usar, para generalizarla a cualquier tipo
dipolo (uniones PN, antenas, generadores de señal, etc.) definimos un temperatura de ruido, Tn, tal que
η v = 4kTn Re[ Z ]
Tn no es la temperatura del dipolo, en una antena pueden ser 1000 ºK. Con el cambio de T por Tn el ruido
en cualquier tipo de dipolo puede tratarse como ruido térmico y todas las deducciones previas son válidas.
3.4 Ruido en cuadripolos
– Ruido equivalente a la entrada.
Todo el ruido generado por un cuadripolo puede asimilarse a un ruido equivalente a la entrada. Este ruido
esta generado simultáneamente por un generador de tensión de ruido y otro de corriente de ruido. La
representación circuital del ruido en un cuadripolo se muestra en la figura 3.10
vni2
cuadripolo
con ruido
cuadripolo
sin ruido
ini2
Fig. 3.10 Modelo circuital del ruido generado por un cuadripolo
Con la entrada del cuadripolo en circuito abierto sólo el generador de corriente ini2 contribuye al ruido en
la salida, no. Con la entrada en cortocircuito sólo el generador de tensión v ni2 contribuye a no. Con un
generador de señal a la entrada los dos generadores de ruido contribuyen a no. En la figura 3.11 puede
verse esta última situación, el cuadripolo se ha sustituido por su circuito equivalente en pequeña señal y el
generador de señal por su circuito equivalente Thevenin.
Rs
vs
vns2
vni2
ni
i
2
ni
Ro
+
vi
–
Ri
+
−
Avi
no
+
vo
–
RL
Fig. 3.11 Circuito equivalente de un cuadripolo con generador de señal a la entrada, incluyendo el ruido
2.8
Apuntes SEC. UIB
En el ancho de banda del sistema, B, podemos considerar que las densidades espectrales de los tres
generadores de ruido (los dos propios del cuadripolo y el asociado a la resistencia interna del generador
de señal) son constantes, por consiguiente
vni2 = ηvi B , ini2 = ηii B , vns2 = 4kTs Rs B
notar que Ts es la temperatura de ruido del generador de señal.
Para el calculo del ruido a la entrada del cuadripolo, anulamos el generador de señal (vs = 0) y aplicamos
superposición a cada uno de los tres generadores de ruido (la superposición se aplica al valor cuadrático
medio). Obtenemos
ni =
(vns2 + vni2 )
Ri
i 2 ( R || R ) 2
(
) 2 + ni s i
Ri
Rs + Ri
Ri
Luego
no =
A 2 ni Ri
RL
(
)2
RL
Ro + RL
Este método vale para cualquier cuadripolo con diodos, BJT o MOST, por ejemplo un A.O., un LNA, un
mezclador, etc. Con al única limitación que en el ancho de banda los elementos del amplificador se
suponen independientes de la frecuencia y que la distribución espectral del ruido en esa banda es plana.
Pero para aplicar este método primero hay que determinar v ni2 e ini2 . Para ello se ponen en el circuito
todas las fuentes de ruido térmico o Shot presentes y se calcula el ruido a la salida, no, con la entrada en
cortocircuito y en circuito abierto. Los dos valores de ruido así obtenidos se dividen por la ganancia y los
resultados se identifican con v ni2 e ini2 Ri2 , respectivamente. Para esta determinación el programa SPICE
dispone de instrucciones específicas.
– Factor de ruido y temperatura equivalente de ruido.
El método anterior para calcular el ruido es útil únicamente para circuitos relativamente pequeños, a nivel
de sistema no es práctico, es necesario trabajar con un mayor grado de abstracción. Vamos a ver una
nueva forma de calcular el ruido en cuadripolos que no requiere bajar a nivel de circuito.
El cuadripolo de la figura 3.12 está caracterizado por una ganancia en potencia AP =
ruido no = AP ni. Pero en realidad
no = AP ni + no′
donde no′ es el ruido propio del amplificador.
2.9
so
. Si no produjera
si