2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Analítico

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1. Solución de un Sistema de Ecuación Lineal por método Grafico y
Analítico
2.2. Solución de un Sistema de Ecuación Lineal por método de GaussJordan
2.3. Sistema de Ecuación Lineal homogénea y con infinitas soluciones
2.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
Esto es, m ecuaciones con n incógnitas
La expresión anterior la podemos escribir como una multiplicación de matrices, así:
En forma abreviada escribimos
Donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector columna de las incógnitas y b
el vector columna de los términos libres.
Toda n-tupla ordenada
que satisface cada una de las ecuaciones del
sistema se llama una solución del sistema. Si miramos el sistema en forma de
matrices, escribiremos una solución como el vector columna.
Ejemplo:
El sistema
Se puede escribir en forma de matrices, como
Una solución del sistema es
matrices, pues si
anteriores.
,
o
,
, si consideramos el sistema en forma de
y
. Se satisfacen las tres ecuaciones
SANCHEZ, Rubén y VELASCO, Antonio. CURSO BÁSICO DE ALGEBRA LINEAL. Edit.
Trillas.
2.1. METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACION
LINEAL:
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar
un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del
sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos
en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales
simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber
tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no
nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto
(dos ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones
lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres
incógnitas).
En
forma
escrita
matemáticamente, las variables se representan como
, y de igual manera cada una de ellas en un sistema de
ecuaciones.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
1.
SUSTITUCIÓN
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida
por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos
despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita
menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación,
para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
, y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales
Obtendremos
2.
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
IGUALACIÓN
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,
Si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por
lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor
de la incógnita x,
El resultado es
Y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales,
Obtendremos
3.
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
REDUCCIÓN
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos
los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento,
diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una
de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos
dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y
distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la
reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 3 para poder cancelar la
incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original:
Obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este
caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el
valor de y
Es igual a
.