MONOGRAFIA_DE_HABILIDADES_LOGICA

ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA
CICLO ACADÉMICO
:
I
ASIGNATURA
: HABILIDADES LÓGICO-MATEMÁTICAS
DOCENTE
: AMADOR GONZÁLES PISCOYA
INTEGRANTES DEL GRUPO:
 ACOSTA FLORES, LINDA
 CABANILLAS VALDERRAMA, JHON
 CALLE AGUILAR, ILDA RUTH
 GALÁN GALÁN, LUZ
 MARRUFO GAVIDIA, ROXANA
 RUIZ YDROGO, ANGÉLICA
 VILCHEZ CAICAY, YOSELIN
SUMARIO
PRESENTACIÓN
I.-ECUACIONES É INECUACIONES COMO FUNCIONES PROPOSICIONALES
1.1.- Nociones Básicas
1.2.- Funciones proposicionales
1.3.- Técnicas para la solución de ecuaciones lineales
1.3.1.- Definición
1.3.2.- Sustitución
1.3.3.- Igualación
1.4.- La ecuación de 2º grado: análisis del discriminante.
1.5.- Métodos de solución
1.5.1.- Método de Factorización
1.5.2.- Método de Completación de Cuadrados
1.5.3.- Método de la Fórmula Cuadrática.
1.6.- Ecuaciones é inecuaciones con valor absoluto.
1.6.1.-Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
1.6.2.- Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
II.- LA FUNCIÓN LINEAL f(x) = mx +b
III.- MODELOS FUNCIONALES
IV.- LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS.
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
PRESENTACIÓN
En muchas de las situaciones de la vida diaria se plantean problemas que se
pueden resolver a partir de
ecuaciones e
inecuaciones, las cuales
son
expresiones matemáticas que representan problemas reales.
Más aún, muchos de nosotros quizás nos hemos expresado alguna vez “¡Qué
carero es el tío del quiosco!, he salido de casa con 20 soles, me he comprado
dos paquetes de galletas y ya sólo me quedan diez soles!”.
En tal sentido, aprender a resolver problemas reales a partir de las ecuaciones
e inecuaciones son vitales para nuestras vidas.
He ahí la importancia de esta asignatura cuya temática de la I Unidad sientan
las bases para el desarrollo de nuestras habilidades lógico - matemática.
Por tanto, el grupo de trabajo ha creído conveniente elaborar una monografía
con el fin de afianzar y reforzar nuestros conocimientos básicos en la materia,
en tal sentido se
partirá de las ECUACIONES É INECUACIONES COMO
FUNCIONES PROPOSICIONALES.
Luego, LA FUNCIÓN LINEAL f(x) = mx +b, posteriormente señalaremos los
MODELOS FUNCIONALES.
También, mencionaremos LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
E INVERSAS, finalmente daremos nuestras conclusiones y haremos mención
de la bibliografía consultada para cristalizar nuestro trabajo de indagación.
I.-ECUACIONES É INECUACIONES COMO FUNCIONES PROPOSICIONALES
1.1.-Nociones Básicas

Ecuación es una igualdad de la que se desconocen uno o más valores.
En la ecuación 2x + 6 = 8 la igualdad es verdadera para un determinado
valor de la incógnita: x = 1

Inecuación es
valores.
una desigualdad de la que se desconoce un conjunto de
Ejemplo: 2x - 14 > 4

Variable a la letra x en el enunciado y función proposicional (o
sentencia abierta) a la proposición completa.

Cada uno de los valores que puede tomar la variable x para hacer
verdadera la proposición, es una solución de dicha sentencia abierta.

Conjunto de sustitución de la función proposicional es el conjunto de todos
los posibles valores que puede tomar la variable en ella.

Conjunto de validez (o conjunto solución) de una función proposicional son
aquellos valores del conjunto de sustitución para los que es verdadera.

Resolver dicha función proposicional es encontrar su conjunto solución.
1.2.- Funciones proposicionales
Partimos de los siguientes ejemplos:
a)
2 + x = 7,
b)
x<5
Ahora, para obtener proposiciones a partir de la función proposicional se
procede de la misma forma, por ejemplo:
a) Para x = 10 se obtiene la proposición 2 + 10 = 7 que es falsa
b) Para x = 5 se obtiene la proposición 2 + 5 = 7 que es verdadera
Las funciones proposicionales como b) 2 + x = 7, se llaman ecuaciones y los
valores que sustituidos en el lugar de la variable transforman a la función
proposicional en una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la
ecuación.
Para obtener proposiciones a partir de b) sustituimos la variable x por un
número; Por ejemplo:
a) Para x = 1 se obtiene la proposición 1 < 5 que es falsa
b) Para x = 30 se obtiene la proposición 30 < 5 que es falsa
Las funciones proposicionales del tipo de b) x < 5, es decir en las que aparece
una desigualdad (< ó >), se llaman inecuaciones.
Los valores que sustituimos en el lugar de la variable transforman a la función
Proposicional en una proposición verdadera, se llaman soluciones de la
Inecuación.
1.3.- Técnicas para la solución de ecuaciones lineales
1.3.1.- Definición
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento
de
igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia,
que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación
que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera
potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma
común de ecuaciones lineales es:
Donde
representa la pendiente y el valor de determina la ordenada
al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Las ecuaciones en las que aparece el término
y son consideradas lineales.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
(llamado rectangular
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.
1.3.2.- Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las
ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para,
a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
Ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto
En la que la hemos despejado.
En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y
una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando
este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos
resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la
despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
Y= 22 – 3x
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
, y si ahora sustituimos
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales
obtendremos
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones
Ejemplo:
1.3.2.- Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del
método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos
ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas
ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de
sustitución, si despejamos la incógnita
en ambas ecuaciones nos queda de la
siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son
iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.] Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo
pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste
en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca
con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas
ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita,
obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de
resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por
para poder cancelar la
incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva
ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos da
directamente el valor de la incógnita :
X=-6
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
que el valor de es igual a:
Y = 17/3
1.4.-La ecuación de 2º grado: análisis del discriminante.
Una ecuación de segundo grado es una ecuación de tipo ax + bx + c = 0 e la cual
a, b, c, son constante y a = 0, en otras palabras es toda ecuación en la cual el
mayor
exponente
es
2.
Ecuación en segundo grado completas son ecuaciones de la forma ax + b +c = 0
Ecuación en segundo grado simple son ecuaciones de la forma ax +c = 0
Fórmula general
Se denomina discriminante al radicando de la fórmula general. Es decir, la
expresión contenida dentro de la raíz cuadrada que forma parte de la fórmula: b2
– 4 · a · c.
El valor del radicando de la raíz cuadrada va a condicionar el posible resultado de
la misma. Un rápido análisis del valor de esta expresión, del discriminante, nos
puede dar mucha información acerca de cómo van a ser las soluciones de la
ecuación que tengamos delante. Veamos:
—Si el valor numérico del discriminante es mayor que cero, entonces la raíz
cuadrada se podrá calcular. La raíz cuadrada tendrá dos soluciones y, por lo
tanto, la ecuación también tendrá dos soluciones.
—Si el discriminante es cero, la ecuación tendrá una sola solución. Ya que solo
dependerá del valor de
.
—Si el valor del discriminante es negativo, ya hemos visto que la raíz cuadrada
no tendría solución y en consecuencia la ecuación tampoco.
Ejemplo 1: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación x2 – x – 6 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–1)2 –4 · 1 · (–6) = 1 + 24 = 25.
Se trata de un número mayor que cero, por lo que la ecuación tendrá dos
soluciones diferentes.
Ejemplo 2: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación 3x2 – 6x + 3 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–6)2 – 4 · 3 · 3 = 36 – 36 = 0. La
raíz cuadrada de cero es cero, luego la solución quedaría:
Es decir, esta ecuación tiene una sola solución, el 1.
Ejemplo 3: analiza cuántas soluciones tiene la ecuación 5x2 - 2x + 1 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–2)2 – 4 · 5 · 1 = 4 – 20 = – 16.
La
raíz cuadrada de –16 no tiene solución, luego esta ecuación no tiene solución en el
conjunto de los números reales.
1.5.-Métodos de solución
1.5.1.- Método de Factorización
Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de
factorización se deben seguir los siguientes pasos:
trinomio.
Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la
multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término
del trinomio.
Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo
término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos
números se pueden encontrar sacando el mínimo común
múltiplo de 187.
Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están
multiplicando, dándonos
como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya
que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se
procede a igualar dos factores a 0.
x2 − 28x + 187 = 0
(X) (X) = 0
(X −) (X) = 0
(X −) (X −) = 0
187
11
17
17
1
(X − 17) (X − 11) = 0
X − 17 = 0 X − 11 = 0
X1 = 17 X 2 = 11
1.5.2.- Método por Completación de Cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones
de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación:
, con a
0 ,es equivalente a la
ecuación cuadrática:
(1).
Sumando
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual
tiene sentido solo si
), se obtiene:
,de donde
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la
ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación :
.
1.5.3.- Método solución por la Fórmula General
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de
la ecuación cuadrática :
, con a
0 viene dada por :
(1).
Solución:
La ecuación:
Sumando
, con a
0 ,es equivalente a la ecuación :
,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente,
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b2-4ac
>= 0), se obtiene:
De donde:
(2)
La fórmula (2) se conoce como: fórmula general para resolver la ecuación
cuadrática :
; con a
0.
1.6.-Ecuaciones é inecuaciones con valor absoluto.
1.6.1.-Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y
el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.
Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la
solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3.
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0
y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b
= c ó ax + b = -c.
1.6.2..-Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
¿Qué significa │x│< 2? Significa que x es un número menor que 2
unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a
visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están
entre
- 2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2,
esto es, -2 < x < 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x
< a.
II.- LA FUNCIÓN LINEAL f(x) = mx +b
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o
más
conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos
conjuntos la función se define como una regla de asociación entre un
conjunto llamado dominio con uno llamado condominio, también dominio e
imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no
permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del
condominio.
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números
reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya
expresión analítica es un polinomio de primer grado.
 Funciones racional
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que
anulan el denominador
 Funciones exponencial
Función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x
le hace corresponder la potencia ase llama f a función logarítmica en
base a es la función inversa de la exponencial en base a.
 Funciones logarítmica
Unción exponencial de base a y exponente x.
 Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio(x) = a0 +
a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
 Funciones trigonométrica
Función Seno
F(x) = sen x
Función coseno
F(x) = cos x
Función tangente
F(x) = tg x
Función cosecante
F(x) = cosec x
Función secante
F(x) = sec x
Función cotangente
F(x) = cotg x
 Funciones irracional
La función es irracionalcuando algún exponente del polinomio no es
entero.
Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se
llamanfunciones algebraicas
III.- MODELOS FUNCIONALES
 Oferta:Es la cantidad de bienes y servicios o factores que un vendedor
puede ofrecer y desea hacerlo , en un periodo dado de tiempo y a diferentes
precios , suponiendo que otras cosas , tales como la tecnología , la
disponibilidad de recursos , los precios de las materias primas y la
regulación del estado, permanecer constantes
 Demanda :Es la cantidad de bienes y servicios(o factores) que un
comprador puede adquirir y desea hacerlo en un periodo de tiempo dado y
a diferentes precios , suponiendo que otras cosas , tales como el ingreso
del comprador, la publicidad y los precios de otros bienes , la permanecen
constantes.
 Costo total: es el costo de los recursos productivos que utiliza. Incluye el
costo de: la tierra, del capital y del trabajo, así como de las habilidades
empresariales; y se divide en fijo y variable.
 Ingreso: Puede hacer referencia a las cantidades que recibe una empresa
por la venta de sus productos o servicios y por otra puede hacer referencia
al conjunto de rentas recibidas por los ciudadanos
 Utilidad: Estado el conjunto de bienes y servicios que se venden en los
mercados, además de conocer el precio exacto que tienen y que no pueden
variar como resultado de sus acciones como consumidor, adicionalmente
también conocen la magnitud de sus ingresos.
Generalmente un año, expresado como porcentaje de la población al
comenzar el período.
 Crecimiento de poblaciones:Es el aumento de la población de un país en
un período determinado.
 Interés compuesto:representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de
un capital Inicial (PV) o principal a una tasa de interés (i) durante un período
(t),en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de
inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es
decir, se capitalizan.
Fórmula para hallar el interés compuesto: cf.=ci (1+i) n
 El numero ¨e¨: El número e, al igual que el número π, es un número
trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la
resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su
valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras
decimales o con decimales periódicos.
Su valor aproximado (truncado) es
E ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
 Curvas de aprendizaje: Una curva de aprendizaje describe el grado de
éxito obtenido durante el aprendizaje en el transcurso del tiempo. Es un
diagrama en que el eje horizontal representa el tiempo transcurrido y el eje
vertical el número de éxitos alcanzados en ese tiempo.
A menudo se cometen muchos errores al comenzar una nueva tarea. En las
posteriores disminuyen los errores, pero también las materias nuevas
aprendidas, hasta llegar a una llanura.
La curva de aprendizaje A es la de un país que cuenta con cierta
experiencia acumulada en la producción de un bien, mientras que la A*
corresponde a otro país que todavía no ha empezado a producir, pero
que puede hacerlo con menores costes (lo que se refleja en que su
curva de aprendizaje está por debajo que la del otro país). Siempre que
el país pionero cuente con una ventaja lo suficientemente grande, la
experiencia acumulada (el Haber bajado por su curva de aprendizaje)
significa una barrera de entrada para el otro país, incluso aunque sus
costes Sean menores. Tal y Como se aprecia en la gráfica, el país
pionero ha acumulado una producción QA, por lo que su coste unitario.
Es C1 (punto1), mientras que el segundo no tiene ninguna experiencia
acumulada (por lo que su coste unitario sería C*, correspondiente al
punto 2). El país que se plantea empezar a producir deberá analizar
cuidadosamente si le conviene o no sabiendo que su coste unitario será
mayor que el de su competidor. Si el mercado del bien en cuestión no es
perfectamente competitivo y no hay indicios de que las curvas de
aprendizaje (A y A*) vayan a cortarse en un futuro próximo.
Economías de escala dinámicas. Plantea entrar no tendrá incentivos
para hacerlo.
Modelo logístico:
En el modelo de crecimiento logístico explica que a mayor población,
menor tasa de crecimiento. Inicialmente, la población crece rápido, por lo
que es una fuente de presión constante y pierde su capacidad crecer al
volverse muy numerosa, debido a interacciones entre los miembros de la
población lo que da Como resultado UN estado de equilibrio
Ley del enfriamiento de newton: Cuando la diferencia de temperaturas
entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor
transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por
conducción, convección y radiaciones aproximadamente proporcional a
la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.
Dq/dt=αS(T-Tα)
Donde
a
es
el
coeficiente
de
intercambio de calor y S es el área del cuerpo.
Si la temperatura T Del cuerpo es mayor que la temperatura Del medio
ambiente Ta, el cuerpo pierde una cantidad de calor dQ en el intervalo de
tiempo comprendido entre t y t+DT, disminuyendo su temperatura T en
dT.
IV.- LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS.
Funciones inversas: sabemos que una función es un conjunto de pares, se
nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una
nueva función:
F= {(1,2), (2.4). (3.-1), (4,-2)} y observemos que pasa llamando g al conjunto
resultante:
G= {(2,1),(2,4),(-1,3),(-2,4)}
Hemos obtenido una nueva función, sin embargo, esto no funciona
siempre.
 Ecuaciones trigonométricas
En
las
e cu a cion e s
t rigo n o mé t rica s
intervienen
funciones
trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden
presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las
vueltas.
Para
resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones
necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello
utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplos
Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
CONCLUSIONES
 Las ecuaciones surgen del quehacer cotidiano de la actividad
diaria y científica en uno de sus principales cometidos: la
resolución de problemas.
 Los procedimientos de resolución de ecuaciones e inecuaciones
requieren fundamentalmente de la aplicación de técnicas y
métodos.
 En
esta
primera
unidad
se
describen
las
ecuaciones
e
inecuaciones, las funciones reales, así como sus métodos de
resolución. Estas últimas aparecen en el contexto de la vida
cotidiana para comparar ofertas, presupuestos, etc.
BIBLIOGRAFÍA

es.wikip www.slideshare.net/aurigame/resolver-ecuacin-lineal - Estados
UnidosEn caché - Similares

.edia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

www.mailxmail.com › ... › Educación › Matemáticas para profesores

www.tareasfacil.info/.../ecuaciones-de-segundo-grado/resolve... - México

html.rincondelvago.com/factorizacion_2.html

huitoto.udea.edu.co/Matemáticas/3.4.html

bc.inter.edu/facultad/ntoro/gemavalor.htm - Puerto RicoEn caché - Similares