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LABORATORIO DE FISICA 200
TRABAJO CON PÉNDULOS
I. OBJETIVOS
A. Medir la aceleración de la gravedad en UNITEC
B. Analizar la relación período-longitud en un péndulo
II. MATERIALES Y EQUIPO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bolas de plomo
Reglas (dos)
Cinta métrica
Cordel
Balanza de un plato (o balanza de doble plato y pesas)
Cronómetro digital
III. TEORÍA RESUMIDA
A. Un péndulo típico (bola colgada de una cuerda) se aproxima tanto más a un péndulo
simple cuanto más la bola es homogénea, perfectamente esférica y la cuerda muy ligera
y lo menos extensible posible (mantener la bola colgada unos dos días asegura bastante
bien la inextensibilidad de la cuerda, pues se le da un tiempo prudencial para que se
estire por acción del peso de la bola). Además, cuanto mayor (más de dos metros si es
posible) es la longitud de la cuerda de la que cuelga la bola nos acercamos más a esas
condiciones.
B. La oscilación de un péndulo se adapta a un movimiento cuasi-armónico, bajo ciertas
condiciones: ángulo de salida con la vertical cercano a 10ª y tiempo total para toma de
datos no superior a unos cuatro a cinco minutos.
i. La primera condición permite aproximar: sin θ ≈ θ
ii. La segunda ubica la experiencia en una situación de cuasi-no amortiguamiento
debido a que para que éste se dé apreciablemente –por efecto de la resistencia
del aire- se necesita cierto tiempo de mantenerse oscilando.
C. La ecuación fundamental de la Dinámica para un péndulo en estas condiciones adopta
la forma siguiente:
d 2θ
g
≈− θ
2
L
dt
que es la ecuación diferencial típica para un oscilador armónico con frecuencia angular
g
, donde se llama L a la longitud del péndulo. El período no es más que:
ω=
L
T=
2π
L
= 2π
(1)
ω
g
qM
D. Intentos de elevar la precisión en la medición del período
1) Mejoramiento de la aproximación de seno.
Añada al valor inicial del período, el pequeño incremento dado con la fórmula
que sigue, la cual
utiliza dos términos de la serie aproximante:
∆ θT =
θ
π L
sin 2 M (2), donde θ M es el ángulo máximo que el péndulo
2 g
2
se separa de la posición de equilibrio.
2) Mejoramiento por inclusión de las masas de la cuerda y de la bola.
La siguiente fórmula:
∆m T =
M
π L m
(3), donde m es la masa de la cuerda
3 g M
y M, la de la bola, añade una corrección adicional debida a esas masas.
3) Con las correcciones el período se calcula: Tcorr = Tinic + ∆ θ T + ∆ m T . Este
nuevo valor le proporcionará un resultado corregido para la aceleración de la
gravedad, g.
E. Para encontrar el valor esperable teórico para g, se ha de valer de la fórmula que sigue y
ha de consultar los datos de la gravedad superficial a nivel del mar para Tegucigalpa, en
base a su latitud terrestre, y de la altura del Laboratorio de la Escuela de Física de la
UNAH:

2h
 (4)
g(h, θ) = g sup (θ)  1 −
R
T


IV. PROCEDIMIE(TO EXPERIME(TAL
A. Obtención precisa de la gravedad
1. Junto a usted tendrá un péndulo colgado del techo. Mida la longitud, L, del péndulo
que va a utilizar: desde el gancho al centro de la bola (un trozo de cordel o mejor la
propia cinta métrica le permitirá establecer el largo de un círculo máximo en la bola
y con esto, calcular el radio de la misma). Recuerde que la palabra 'mida' incluye el
cálculo de los errores instrumental y estadístico; para disponer de varias mediciones
de longitud, mida ésta inmediatamente después de cada medición del período.
2. Para tomar referencia de ángulos de oscilación, coloque una regla en el piso. Mida
el ángulo de comienzo de la oscilación. de modo que no supere los 10 grados.
Ponga a oscilar el péndulo.
3. Mida a continuación el tiempo de 50 oscilaciones y calcule el período, T,
(correspondiente a una oscilación).
4. Obtenga una primera información respecto al valor de la gravedad que esta
experiencia le proporciona (recuerde que T ≈ 2π L ).
g
5. Mediciones adicionales para elevar la precisión en la medición del período.
a. Mejoramiento de la aproximación de seno.
Mida θ M , el ángulo máximo que el péndulo se separa de la posición de equilibrio,
cuyo dato necesitará para calcular esta corrección.
b. Mejoramiento por inclusión de las masas de la cuerda y de la bola.
Pese la cuerda que usó, separándola de la bola y colocándola en la balanza. Pese
asimismo la bola.
B. Análisis de la relación longitud-período
1. Monte otro péndulo similar al que acaba de usar, pero en lugar de amarrar el
extremo superior de la cuerda al gancho en el techo, déle vuelta sobre éste hasta
llegar a amarrar ese extremo a un soporte colocado en la mesa de trabajo. Habrá de
usar una cuerda de casi el doble de longitud que la anterior.
2. Tras haber medido una cierta longitud para la cuerda, ponga a oscilar el péndulo,
con las precauciones ya señaladas antes y proceda a medir el correspondiente
período de modo similar al dicho.
3. Desamarre la cuerda del soporte en la mesa y jálela hasta reducir la longitud para el
nuevo péndulo. Vuelva a medir el nuevo período.
4. Realice el mismo proceso para cinco longitudes distintas.
5. Recuerde que la teoría sobre error estadístico le obliga a hacer un conjunto de cierto
número de mediciones para cada cantidad.
V. DATOS, CÁLCULOS Y RESULTADOS
Respecto del procedimiento IV. A:
A. Su informe habrá de contener los siguientes datos:
1. Tablas de:
a. Mediciones de tiempo de 50 oscilaciones, períodos correspondientes, promedios
y desviaciones;
b. mediciones de longitud, promedios y desviaciones;
c. mediciones de masas (de la bola y el cordel), promedios y desviaciones.
2. Precisión de cada aparato de medida utilizado.
3. Estimación del límite de error estadístico a usar para cada cantidad, así como
número de mediciones a realizar estadísticamente aceptable, en base al error
estadístico que se desea.
4. Tablas con mediciones adicionales si el número dicho en n.3 así lo requiriera.
5. Errores totales finales para cada cantidad.
B. Consignará en el reporte los siguientes cálculos:
1. De la gravedad ‘teórica’ y experimental (con y sin las correcciones de seno y masa).
2. Del error propagado en la gravedad
C. Los resultados que su reporte habrá de arrojar con claridad han de ser:
1. Valor ‘teórico’ de la gravedad, con su rango de validez o error (tras la consignación
inmediatamente previa de los datos consultados, cfr.: III.6)
2. Valores experimentales obtenidos para la gravedad, con los correspondientes
errores: Cuando usó el péndulo que se encontraba colgado:
i. Sin las correcciones de seno y masa
ii. Con las correcciones de seno y masa
3. Discusión sobre la validez de los valores experimentales de gravedad, por
comparación entre los resultados anteriores (nn. V.C.1 y V.C.2) y sus respectivos
márgenes de error.
Respecto del procedimiento IV. B:
A. Datos: las distintas longitudes y períodos para cada péndulo que monte mediante la
variación de longitud vía el soporte de la mesa. Toda esta ‘data’ ha de incluir, como es
preceptivo, toda la información adecuada de mediciones, errores, etc.
B. Resultados:
a. Curva del período como función de la longitud ( T = 2πg −1 / 2 L )
2
T 
b. Regresión lineal T vs. L (esto es, sobre:   = g L ),
 2π 
c. Obtención de la gravedad mediante la pendiente de la recta solicitada en b.
2
VI. CUESTIO(ARIO
1. ¿Realmente es irrelevante o no, desde el punto de vista de validez de datos
experimentales, incluir las correcciones debidas a seno y masa? Explique con claridad y
brevedad en qué apoya sus argumentos.
2. Con base en sus resultados experimentales y las fórmulas que se dan a continuación:
a. Calcule el valor del coeficiente a que se debería asignar en la fórmula de
momento de inercia de la bola esférica alrededor del C.M. usada en la
experiencia;
b. compárelo con el correspondiente teórico para una esfera, y
c. explique con brevedad posibles causas de las diferencias encontradas entre una
expresión y otra, y aceptabilidad o no del resultado dado por usted.
P


I esf
CM
2
T

=
2
π
;
I
=
α
MR
;
dónde
:
esfera
 pénd . fís .

Mgd


 d : distancia de punto de oscilación a centro de masas del péndulo; 
I

: momento de inercia de una esfera (la bola de plomo)
 esfera

 R : radio de la esfera



d. Considere ahora la fórmula exacta ICM= 2MR2/5 y obtenga la expresión
aproximada que se presenta en el problema 13.54 de su libro. En base a ella,
calcule el porcentaje de error al usar en nuestra experiencia la fórmula del
péndulo simple en lugar de la del mencionado problema.
e. Considere finalmente no despreciable el momento de inercia del hilo (supuesto
rígido y con masa m), asuma el radio R despreciable respecto de la longitud L y,
mediante aproximación binomial, obtenga el sumando adicional de III. D. 2,
fórmula (3))
3. Teniendo en cuenta que, como se sabe, la amplitud del péndulo no es constante sino que
realmente va decreciendo con el tiempo, ¿por qué es preferible una bola pesada y no una
ligera para el péndulo de la primera parte de esta experiencia? (Se recomienda aquí
analizar la forma funcional de las soluciones de movimiento armónico amortiguado)
4. Quizá le han comentado que antes de que se comenzase a usar el péndulo en esta
experiencia, estuvo colgado dos días. ¿Puede explicar qué motivos hubo para esta
precaución?
5. Explique por qué la aceleración de la gravedad depende de la altura y de la latitud.
Obtenga a partir de la expresión general para ‘g’, mediante aproximación binomial, la
fórmula (4) que da la variación de ésta con la altura. (Se sugiere leer sobre el tema
Gravitación).
6. (EXTRA) Si un péndulo con las características del usado inicialmente (y mejor si aun
fuera más largo y la bola colgante aún más pesada) se deja oscilar, conforme pasa el
tiempo a la vez que oscila va rotando su plano de oscilación. Unas dos horas después de
comenzado el movimiento, este fenómeno se vuelve muy notorio. Explique su causa (Se
sugiere investigar sobre el péndulo de Foucault)