sistemas fotónicos multicapa - Grupo de Electromagnetismo Aplicado

IX ESCUELA DE INVIERNO J. J. GIAMBIAGI
Parte B:
De la nano a la macro escala:
respuesta electromagnética de estructuras complejas
SISTEMAS
FOTÓNICOS
MULTICAPA
Amparo Pons Martí
Juan Antonio Monsoriu Serra
Departamento de Óptica
Departamento de Física Aplicada
Universidad de Valencia, España
Universidad Politécnica de Valencia, España
amparo.pons-martí@uv.es
jmonsori@fis.upv.es
DEPARTAMENTO DE FÍSICA,
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
6 al 10 de Agosto de 2007
1
SISTEMAS FOTÓNICOS MULTICAPA
1.
Introducción.
2.
Estudio de una interfase dieléctrico-dieléctrico.
2.1. Condiciones en la frontera.
2.2. Leyes de la reflexión y de la refracción.
2.3. Relaciones entre amplitudes: Fórmulas de Fresnel.
• Onda incidente con el vector E perpendicular al plano de incidencia.
• Onda incidente con el vector E paralelo al plano de incidencia
• Coeficientes de reflexión y de transmisión.
2.4. Interpretación de las fórmulas de Fresnel. Análisis de las amplitudes y cambios
de fase para:
• Reflexión externa. Angulo de Brewster.
• Reflexión interna. Angulo crítico.
2.5. Relaciones entre intensidades: Factores de reflexión ( reflectancia ) y de transmisión
(transmitancia).
2.6. Ley de Brewster. Aplicaciones para la obtención de luz polarizada por reflexión y
transmisión (pila de láminas, láseres ).
2.7. Reflexión total interna (TIR). Reflexión total interna frustrada. Aplicaciones (guías,
divisores de haz).
2.8. Impedancia. Equivalencia con líneas de transmisión.
3.
Óptica de multicapas.
3.1. Lámina delgada homogénea e isótropa (capa o película).
• Estudio a partir de las fórmulas de Fresnel.
• Transmitancia, reflectancia y absorbancia.
• Aplicación: capa antireflectante.
3.2. Formulación matricial.
• Matriz de una interfase dieléctrico-dieléctrico.
• Matriz de una lámina dieléctrica.
• Matriz de una multicapa dieléctrica.
• Sistemas multicapa periódicos.
2
3.3. Aplicaciones.
• Sistemas multicapa antirreflectantes.
• Sistemas multicapa de alta reflectancia.
• Filtros selectores de frecuencia.
• Sistemas multicapa aperiódicos.
4.
Bibliografía.
3
1. Introducción.
Cuando una onda plana llega a la superficie de separación (interfase o frontera)
de dos medios homogéneos lineales e isótropos con diferentes propiedades ópticas
(diferente índice de refracción) da lugar a:
•
Una onda que se propaga en el segundo medio (onda transmitida).
•
Una onda que se propaga, de vuelta, en el primer medio (onda reflejada).
Si se considera una frontera plana, la simetría del problema impone que estas
dos ondas, transmitida y reflejada, sean también planas.
El estudio completo del problema de la reflexión/refracción implica la obtención
de las expresiones que determinan:
•
las direcciones de propagación (propiedades cinemáticas)
•
las amplitudes, cambios de fase y polarización (propiedades dinámicas)
de las ondas reflejada y transmitida.
Para realizar este estudio se utilizarán las condiciones de continuidad de los
campos en la frontera entre los dos medios materiales. Estas relaciones, que se derivan
de las ecuaciones de Maxwell, establecen que las componentes tangenciales de E y H
toman el mismo valor a ambos lados de la frontera. Aplicando estas condiciones de
continuidad deduciremos, en primer lugar, las direcciones de propagación de las ondas
reflejada y transmitida que se expresan mediante las leyes de la reflexión y de la
refracción. A continuación se estudiarán las relaciones entre las amplitudes
(coeficientes de reflexión y transmisión) e intensidades (reflectancia y transmitancia) de
las ondas obteniendo las expresiones conocidas como fórmulas de Fresnel. El análisis
de estas fórmulas pone de manifiesto la existencia del ángulo de Brewster (o de
polarización) y del ángulo límite del que se deriva el fenómeno de reflexión total
interna (TIR). Para concluir esta parte del tema se verán algunas aplicaciones.
En la segunda parte del tema se utilizarán las fórmulas de Fresnel para abordar el
estudio de las películas delgadas que se utilizan, ya sea como una sola capa o como
elementos multicapa, en muchas aplicaciones de óptica y optoelectrónica.
4
Comenzaremos por estudiar el caso más sencillo de una sola lámina delgada, o
capa, de un cierto índice de refracción rodeada de un sustrato y un recubrimiento de
índices distintos. Para ello aplicaremos las fórmulas de Fresnel en cada una de las dos
fronteras de la lámina obteniendo las expresiones de los coeficientes de reflexión y
transmisión de la película. El procedimiento anterior no es viable en el caso de una
película multicapa, sobre todo si el número de capas es elevado, por el gran número de
ecuaciones que es necesario manejar. Por esta razón se introducirá un método matricial
que aborda de modo más sencillo y sistemático el estudio de las películas multicapa.
Este método permite describir el comportamiento de una lámina mediante su matriz
característica. Para concluir se verán algunos ejemplos de aplicación de las películas
delgadas tanto sencillas como multicapas periódicas y aperiódicas (fractales, fibonacci,
etc…)
2. Estudio de una interfase dieléctrico-dieléctrico.
2.1. Condiciones en la frontera.
Figura 1.
•
Elección del sistema de coordenadas:
∗
origen O en la superficie de separación (frontera) de los dos medios;
∗
eje Z en la dirección de la normal N a esta superficie y dirigido desde el medio 1
al medio 2;
5
∗
plano de incidencia coincidente con el plano XZ.
Onda INCIDENTE:
E i (r, t ) = E oi e i(k i ·r −ω i t )
Onda REFLEJADA:
E r (r, t ) = E or ei(k r ·r −ω r t )
Onda TRANSMITIDA:
(1)
E t (r, t ) = E ot e i(k t ·r −ωt t )
NOTACIÓN: a partir de ahora, el superíndice indica la componente —tangencial
(tg) o normal (n)— y el subíndice el medio —1 ó 2— en el que nos encontramos.
•
Continuidad del campo eléctrico:
[E1 (r, t )]tg = [E 2 (r, t )]tg ⇒ [E i (r, t ) + E r (r, t )]tg = [E t (r, t )]tg
(2)
Esta relación se ha de cumplir:
a) ∀t → ω i = ω r = ω t
(3)
b) ∀r → k i ·r = k r ·r = k t ·r
(4)
Además, de (2), (3) y (4) se deduce
[E oi + E or ]tg = [E ot ]tg
•
(5)
Continuidad del campo magnético:
[H 1 (r, t )]tg = [H 2 (r, t )]tg ⇒ [H i (r, t ) + H r (r, t )]tg = [H t (r, t )]tg
(6)
De esta ecuación se deducen también las relaciones (3) y (4), y adicionalmente la
condición
[H oi + H or ]tg = [H ot ]tg
(7)
A partir de (4), se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. De (5) y (7), se
obtienen las relaciones entre las amplitudes y las fases de las ondas (fórmulas de
Fresnel).
6
2.2. Leyes de la reflexión y de la refracción.
1ª ley. k i , k r , k t y N son coplanarios ⇒ k i , k r , k t ∈ Π ( XZ ) (plano de
incidencia).
2ª ley.
Reflexión:
θr =θi
(8a)
Refracción:
n1 sin θ i = n 2 sin θ t
(8b)
2.3. Relaciones entre amplitudes: fórmulas de Fresnel
Onda incidente con el vector E perpendicular al plano de incidencia
(polarización ⊥, transversal eléctrica TE o polarización s):
Figura 2.
Condiciones de continuidad:
E oi + E or = E ot
a) Campo eléctrico —ecuación (5)—:
(9)
b) Campo magnético —ecuación (7)—:
− H oi cos θ i + H or cos θ r = − H ot cos θ t
↓
n1
µ1
7
(− E oi
H =
+ E or ) cos θ i = −
n
E
µc
n2
µ2
E ot cos θ t
(10)
Se definen los coeficientes de reflexión r =
Eor
E
y de transmisión t = ot , que
Eoi
Eoi
dependen de la polarización de la onda incidente. En este caso E oi⊥ = E oi , E or⊥ = E or y
Eot⊥ = Eot , y a partir de (9) y (10) se obtiene (para el caso µ 1 = µ 2 = µ 0 )
r⊥ =
n1 cos θ i − n 2 cos θ t k iz − k tz
=
n1 cos θ i + n 2 cos θ t k iz + k tz
2n1 cos θ i
2k iz
t⊥ =
=
n1 cos θ i + n 2 cos θ t k iz + k tz
↓
r⊥ =
En incidencia normal ( θ i = 0 )
n1 − n 2
n1 + n 2
(12)
2n1
t⊥ =
n1 + n 2
•
(11)
Onda incidente con el vector E paralelo al plano de incidencia (polarización ||,
transversal magnética TM o polarización p):
Figura 3.
8
Condiciones de continuidad:
a) Campo eléctrico —ecuación (5)—:
E oi cos θ i − E or cos θ r = E ot cos θ t
(13)
b) Campo magnético —ecuación (7)—: H oi + H or = H ot
↓
n1
µ1
(E oi
H =
+ E or ) =
n
E
µc
n2
µ2
E ot
(14)
||
En este caso E oi|| = E oi , E or
= E or y Eot|| = Eot , y a partir de (13) y (14) se obtiene (para
el caso µ 1 = µ 2 = µ 0 )
2
n cosθ i − n1 cosθ t kiz k t − k tz k i
r|| = 2
=
n2 cosθ i + n1 cosθ t k iz k t 2 + k tz k i
2
2
(15)
2
2k iz k t
2n1 cosθ i
t|| =
=
n2 cosθ i + n1 cosθ t k iz k t 2 + k tz k i
↓
r|| =
2
En incidencia normal ( θ i = 0 )
n 2 − n1
= −r⊥
n1 + n 2
(16)
2n1
t || =
= t⊥
n1 + n 2
2.4. Interpretación de las fórmulas de Fresnel.
La representación gráfica de los coeficientes de reflexión y transmisión en
función del ángulo de incidencia permite analizar, para cada tipo de polarización, las
variaciones de las amplitudes reflejada y transmitida respecto de la amplitud incidente.
Se analizarán los dos casos posibles, es decir, n1 < n 2 —reflexión externa— y n1 > n 2
—reflexión interna—, constatando la existencia, en ambos casos, del ángulo de
Brewster o ángulo de polarización. En el segundo de los casos se pondrá de manifiesto
la aparición del fenómeno de reflexión total interna (TIR) para el ángulo límite (o
ángulo crítico).
9
•
Reflexión externa. Ángulo de Brewster.
Figura 4a.
n1 < n2
aire ~ vidrio
n1 = 1 n2 = 1'5
θ B ≈ 56º
•
Reflexión interna. Ángulo crítico.
Figura 4b.
n1 > n2
vidrio ~ aire
n1 = 1'5 n2 = 1
θ c ≈ 41'8º
θ B ≈ 33'7º
10
2.5. Relaciones entre intensidades: factores de reflexión (reflectancia )
y de transmisión (transmitancia).
Figura 5
Se definen la reflectancia, R, (y la transmitancia, T) como el cociente de flujos,
a través del elemento de área A, de la onda reflejada (y la transmitida) y de la onda
incidente. Se puede probar que
Eor2
R= 2 ,
Eoi
n2 cosθ t Eot2
T=
n1 cosθ i Eoi2
(17)
Ambas dependen de la polarización de la luz incidente. Para las polarizaciones
consideradas en apartados anteriores ( ⊥ y ||), a partir de los coeficientes de reflexión y
transmisión (11) y (15), se obtiene
R⊥ = r⊥2 ,
R|| =
r||2 ,
T⊥ =
n2 cosθ t 2
t⊥
n1 cosθ i
(18)
n cosθ t 2
T|| = 2
t||
n1 cosθ i
Es directo comprobar el principio de conservación de la energía ( R + T = 1 )
para cada una de las componentes del campo:
R⊥ + T⊥ = 1,
R|| + T|| = 1
(19)
11
Para incidencia normal ( θ i = 0 ) se obtiene
n −n 
R⊥ = R|| = Ro =  2 1 
 n1 + n2 
2
n  2n1 

T⊥ = T|| = To = 2 
n1  n1 + n2 
(20)
2
Si se representa gráficamente el valor de la reflectancia y la transmitancia en
función del ángulo de incidencia, tanto para reflexión externa como interna, se obtiene:
Figura 6a.
n1 < n2
aire ~ vidrio
n1 = 1 n2 = 1'5
θ B ≈ 56º
Figura 6b.
n1 > n2
vidrio ~ aire
n1 = 1'5 n2 = 1
θ c ≈ 41'8º
θ B ≈ 33'7 º
Para θ i > θ c :
R⊥ = R|| = 1
T⊥ = T|| = 0
12
2.6. Ley de Brewster. Aplicaciones para la obtención de luz polarizada.
De acuerdo con las fórmulas de Fresnel, para θ i = θ B (ángulo de Brewster) se
cumple que r|| = 0 . En esas condiciones:
a) La onda reflejada está totalmente polarizada (sólo tiene componente ⊥ ).
b) La onda transmitida está parcialmente polarizada.
c) Ley de Brewster: tan θ B =
n2
n1
Figura 7.
Aplicaciones:
* Polarizador de pila de placas de vidrio:
Figura 8.
13
* Ventanas de Brewster en láseres:
Figura 9.
2.7. Reflexión total interna (TIR). Reflexión total interna frustrada
(FTIR). Aplicaciones.
Para el caso de reflexión interna ( n1 > n2 ), el ángulo de incidencia máximo
para el que existe onda transmitida es el ángulo crítico θ c , para el que θ t = 90º . A
partir de la ley de la refracción (2.8b), se obtiene que
sin θ c = n2 / n1 .
Experimentalmente se observa que para ángulos de incidencia mayores que θ c toda la
luz es reflejada hacia el primer medio, produciéndose el fenómeno de reflexión total
interna (TIR).
Figura 10.
En este caso, si sólo se generase una onda reflejada por interacción con la
frontera
entre
ambos
medios,
las
condiciones
de
continuidad
del
campo
electromagnético no podrían cumplirse. De hecho, en el segundo medio aparece una
onda que se propaga únicamente en la dirección paralela a dicha frontera y que se
14
atenúa muy rápidamente en la dirección Z, extinguiéndose prácticamente a una pequeña
distancia z p de la interfase.
La penetración de esta onda evanescente en el segundo medio puede
aprovecharse para producir el fenómeno de reflexión total interna frustada (FTIR) —o
efecto túnel óptico. Para ello, se sitúa un nuevo material dieléctrico a una distancia de la
interfase menor que z p , de manera que la luz alcanza esta sustancia tras “propagarse” a
través de un medio “prohibido”.
Figura 11.
Aplicaciones:
* Prismas de reflexión total:
Figura 12.
* Guiado de la luz en una fibra óptica:
Figura 13.
15
* Prisma acoplador en una guía óptica:
Figura 14.
* Cubo divisor de haz:
Figura 15.
2.8. Impedancia. Equivalencia con líneas de transmisión.
La propagación en un medio homogéneo es equivalente a la propagación de
una onda TEM en una línea de transmisión. La magnitud análoga al índice de refracción
es ahora la impedancia Z que caracteriza a la línea de transmisión. Así, el caso de dos
líneas de transmisión de longitud semiinfinita e impedancias Z1 y Z 2 es análogo al de
una interfase entre dos medios de índices n1 y n2 , obteniéndose en ambos casos
expresiones formalmente idénticas.
16
3. Óptica de multicapas
3.1. Lámina delgada homogénea e isótropa (capa o película).
Analizamos ahora el comportamiento de una lámina delgada de caras
planoparalelas de índice n 2 película y espesor h, depositada sobre un material de
índice n3 sustrato y rodeada por otro medio de índice n1 recubrimiento.
Figura 16.
Elección del sistema de coordenadas:
∗
origen O en la superficie de separación (frontera) de los dos medios;
∗
eje Z en la dirección de la normal N a ésta superficie y dirigido desde el medio 1
al medio 2;
∗
plano de incidencia coincidente con el plano XZ.
E j (r,t ) = Eoj e
n1

n ( z ) = n 2
n
 3
i( k j ·r −ωt )
= Eoj e
i k jz z
e
i( k jx x−ωt )
= E j ( z) e
i( k jx x−ωt )
, j =1,2,3
(21)
z <0
0< z < h
(22)
z>h
17
•
Estudio a partir de las fórmulas de Fresnel.
Cuando una onda plana incide sobre la lámina da lugar a una serie de ondas
planas reflejadas y transmitidas. Estas ondas resultan de las interferencias múltiples de
las ondas reflejadas y transmitidas en cada frontera.
Aplicando las condiciones de continuidad a los campos E y H en cada frontera
y teniendo en cuenta las fórmulas de Fresnel, pueden obtenerse los coeficientes de
reflexión, r, y transmisión, t, de la película. Para ambas polarizaciones ( ⊥ y ||) se
obtienen expresiones formalmente idénticas, dadas por las ecuaciones siguientes:
E1+ (0) r12 + r23 e iφ
=
r=
E1− (0) 1+ r12 r23 e iφ
(23)
E (h) t12 t 23 e iφ / 2
=
t = 3+
E1− (0) 1+ r12 r23 e iφ
donde φ = 2k 2 z h =
4πn 2
λ
h cosθ 2 es la fase acumulada por la onda al recorrer (ida y
vuelta) la película, y donde rij y t ij son los coeficientes de reflexión y de transmisión en
la interfase i–j. (Nótese que estos coeficientes serán diferentes para cada polarización ⊥
o || de la onda incidente).
•
Transmitancia y reflectancia.
De manera análoga a como se hizo en el caso de una única interfase, la
transmitancia y la reflectancia en este caso vienen dadas por
(E
R=
(E
)
( 0) )
1− (0)
1+
•
2
2
(
(
)
)
2
n cosθ 3 E3+ (0)
n cosθ 3 2
t
=r , T = 3
= 3
2
n1 cosθ 1 E (0)
n1 cosθ 1
1+
2
(24)
Aplicación: capa antireflectante.
Considerando
incidencia
normal
φ = π → n2 h = λ / 4

n2 = n1n3
18
se
obtiene
R =0
eligiendo:
Ejemplo: n1 = 1 (aire) y n3 = 1'52 (vidrio) → n2 = 1'23 .
Aproximación: capa de MgF2 → n2 =1'38 y h = λ / 4n2 para λ = 600 nm .
Figura 17.
Estos resultados pueden mejorarse usando multicapas.
3.2. Formulación matricial.
El análisis de dos o más capas aplicando directamente las fórmulas de Fresnel
es complicado, ya que la aplicación de las condiciones de contorno en todas las
interfases conduce a un número elevado de ecuaciones. En estos casos es más útil
emplear un método matricial que permite un tratamiento sistemático de cada capa, que
resulta fácil de extender al caso de una multicapa. Para ello, vamos a caracterizar por su
correspondiente matriz:
∗
cada interfase (matriz de transmisión)
∗
tránsito de la luz a través de cada capa (matriz de propagación).
De este modo, se obtendrá la matriz característica de cada lámina (o capa) y, para
concluir, en el caso de múltiples capas consecutivas, la matriz característica de una
multicapa.
19
•
Matriz de una interfase dieléctrico-dieléctrico.
Figura 18. (Se representa sólo el caso de polarización ⊥ )
El campo eléctrico a cada lado de la interfase será el resultado de la
superposición
E ( z) = E j+ ( z) + E j− ( z)
j =1,2
(25)
Aplicando las condiciones de continuidad en la frontera, se obtiene un sistema
de dos ecuaciones que se puede expresar en forma matricial como
E 
E' 
D1  1+  = D 2  2+ 
 E1− 
 E ' 2− 
(26)
donde E ' 2± = E 2± (0) . Las matrices D j (j=1,2) toman una expresión diferente para cada
polarización
1

D ⊥j = 
− n j cos θ j
cosθ j
D||j = 
 nj

n j cos θ j 
1
(27a)
− cosθ j 
n j 
(2.27b)
20
La ec. (26) puede reescribirse como
 E1+ 
 E ' 2+ 
 E ' 2+ 
−1
 E  = D1 D 2  E '  = D12  E ' 
 1− 
 2− 
 2− 
(28)
donde D12 es la denominada matriz de transmisión de la interfase. Teniendo en cuenta
las fórmulas de Fresnel esta matriz puede expresarse como
D12 =
1 1
t12 r12
r12 
1 
(29)
expresión válida para ambas polarizaciones sin más que sustituir r12 y t12 por los
coeficientes correspondientes a cada tipo de polarización.
•
Matriz de una lámina.
Figura 19.
Para obtener la matriz característica de una lámina, se debe tener en cuenta
que la luz encuentra dos interfases en su propagación ( n1 ~ n2 y n2 ~ n3 ) y que sufre un
retardo al atravesar la lámina. Estos efectos pueden tenerse en cuenta de manera
secuencial, de acuerdo con el siguiente esquema:
∗
E 
E ' 
Interacción con la 1ª interfase:  1+  = D1−1D2  2+ 
 E1− 
 E '2 − 
21
∗
Tránsito a través de la lámina: cambio de fase ±φ 2 = ± k 2 z h en cada campo E ' 2± ,
que puede tenerse en cuenta a través de una matriz de propagación, P2 , de modo
E' 
 E  e −iφ2
que  2+  = P2  2+  = 
 E ' 2− 
 E 2−   0
∗
0   E 2+ 


e iφ2   E 2− 
E ' 
E 
Interacción con la 2ª interfase:  2+  = D2−1D3  3+ 
 E2− 
 E '3− 
De este modo, pueden relacionarse los campos a un lado y al otro de la lámina
mediante la ecuación
 E '3+ 
 E1+ 
E  = M E' 
 1− 
 3− 
(30)
donde M es la matriz característica de la lámina, que viene dada por
M = D1−1D2 P2 D−21D3 =
e − iφ2
t12t23
1 + r12 r23 ei 2φ2

i 2φ2
 r12 + r23 e
r12 ei 2φ2 + r23 

r12 r23 + ei 2φ2 
expresión válida, de nuevo, para ambas polarizaciones sin más que sustituir los
coeficientes correspondientes a cada tipo de polarización.
•
Matriz de una multicapa.
Figura 20.
22
(31)
Aplicando las relaciones matriciales anteriores a cada interfase y a la
propagación en el interior de cada capa, se obtiene
 E 0+ 
E's+ 
E  = M m E' 
 0− 
 s− 
(32)
donde M m es la matriz característica de la multicapa, que viene dada por
 N

M 12 
−1 
−1 
=
D
D
P
D
j j
j D s
0 ∏
M 22 
j
=
1


M
M m =  11
 M 21
(33)
A partir de la ecuación matricial (32) pueden obtenerse los coeficientes de
reflexión y de transmisión de la multicapa (así como la reflectancia , tanto si la luz
incide desde el medio de índice n0 como si lo hace desde el medio de índice n s :
∗
Luz incidente desde el medio de índice n0 → E ' s − = 0 :
r=
∗
E 0− M 21
E'
1
, t = s+ =
=
E 0+ M 11
E 0+ M 11
(34)
Luz incidente desde el medio de índice n s → E 0+ = 0 :
r' =
E ' s+
M
= − 12 ,
E ' s−
M 11
t' =
Mm
E 0−
=
= Mm t
E's−
M 11
(35)
La matriz M, en general, exhibe ciertas propiedades de simetría que resultan de
interés práctico. Así, puede deducirse que
*
a) M 12 = M 21
,
b) M m =
*
M 11 = M 22
(36)
n s cos θ s
. Si n s = n0 → M m = 1
n0 cos θ 0
(37)
c) De forma similar a lo deducido en (24), se definen las reflectancias y
transmitancias de la multicapa como
R = r2,
2
R' = r ' ,
T=
n s cosθ s
n0 cosθ 0
t2
(38)
n cosθ 0
T'= 0
n s cosθ s
t'
2
Teniendo en cuenta (35) y (37), se deduce que T ' = T .
23
•
Sistemas multicapa periódicos.
El sistema está formado por N multicapas idénticas o celdas unidad (de dos
capas en este caso), que se repiten con periodo h = h1 + h2 entre el medio incial, de
índice n0 , y del sustrato, de índice n s . El índice de refracción del sistema vendrá dado
por la función
n ,
n( z ) =  1
n 2 ,
jh < z < jh + h1 
 = n( z + h)
jh + h1 < z < ( j + 1)h 
(39)
Figura 21.
Cuando la luz atraviesa todo el sistema desde el medio inicial hasta el sustrato,
se cumplirá
N

 2
 E 0+ 
E's+ 
E' 
−1 
−1 
=
= M mp  s + 
D
D
P
D
0 ∏
j j
j  Ds 
E 

 0− 
 E's− 
 E ' s− 

 j =1
donde M mp es la matriz característica de la multicapa periódica.
24
(40)
3.2. Aplicaciones.
•
Sistemas multicapa antirreflectantes.
Figura 22.
Matriz característica del sistema:
M mp = D 01P1D12 P2 D 2 s
(41)
Coeficiente de reflexión:
M 21 r01 + r12 s e i 2φ1
=
r=
M 11 1 + r01r12 s e i 2φ1
donde r12 s =
r12 + r2 s e i 2φ2
1 + r12 r2 s e i 2φ2
(42)
es el factor de reflexión del sistema formado por la película
de índice n2 y el sustrato.
Un ejemplo sencillo es el caso en el que se trabaja en incidencia normal y
ambas capas son cuarto de onda , es decir, n1h1 = n2 h2 = λ / 4 → φ1 = φ 2 = π / 2 .
2
En este caso: r = 0 → r01 = r12 s
n
n 
→  2  = s
n0
 n1 
25
Figura 23.
Aumentando el número de capas se puede conseguir diseños con una baja
reflectancia en un rango amplio de longitudes de onda:
Figura 24.
26
•
Sistemas multicapa de alta reflectancia: Cristales fotónicos.
Un ejemplo sencillo es el de N multicapas, formadas cada una de ellas por dos
capas ( n1 , h1 ) y ( n2 , h2 ), trabajando en incidencia normal y ambas cuarto de onda. En
este caso la matriz característica de la multicapa viene dada por
(
M mp ,λ / 4 = D 0−1 D1P1D1−1D 2 P2 D −21
)
N
Ds
 − i 0
−1
−1
donde ahora P j = 
 j=1,2, y D1P1D1 D 2 P2 D 2
0
i


(43)
 n2
− n
= 1
 0


0 
.
n1 
−
n2 
La reflectancia del sistema es
M
R = r = 21
M 12
2
2

 1 − ns

no
=

ns
1+
no

 n1 
 
 n2 
2N
 n1 
 
 n2 
2N







2
Puede probarse que a medida que crece el número de capas N el valor de esta función
tiende a la unidad, por lo que la transmitancia tiende hacia cero.
Figura 25. n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5.
27
La aparición de regiones o bandas prohibidas en el espectro de la luz que se
propaga a través de un sistema multicapa periódico ha llevado a la introducción del
término de cristales fotónicos 1D para estos medios estratificados por su analogía con el
movimiento de electrones en los sólidos cristalinos. Así, muchos conceptos usados en la
física del estado sólido tales como ondas de Bloch, zonas de Brillouin y bandas
prohibidas también pueden usarse aquí.
•
Filtros selectores de frecuencia.
Si en un sistema multicapa periódico generamos un defecto en la red, por
ejemplo, aumentando o disminuyendo el espesor de unas de las capas, aparecen estados
resonantes dentro de la banda prohibida que pueden utilizarse en el diseño de filtros
selectores de frecuencia.
Figura 26. n0=nS=1, (AB)5AB2A(BA)5, nA=2.5, nB=1.5.
•
Sistemas multicapa aperiódicos
La existencia de bandas prohibidas se ha demostrado en sistemas multicapa
cuyos materiales están distribuidos de forma aperiódica. Un primer ejemplo lo
encontramos en los sistemas fractales como es el conjunto de Cantor triádico.
28
Figura 27. n0=nS=1, S=2: ABAB3ABA, S=3: ABAB3ABAB9ABAB3ABA,
nA=2.5, nB=1.5.
El conjunto fractal de Cantor representado en la figura anterior se obtiene
mediante una construcción iterativa. En el primer paso (S=0) consiste únicamente en
una barra de longitud L. En el siguiente paso (S=1) se divide el segmento en tres partes
iguales de longitud L/3 y eliminamos el segmento central. El proceso se va repitiendo
iterativamente sobre cada segmento resultante. Reemplazando los segmentos por un
material A y los gaps por un material B se obtiene una multicapa fractal cuyo espectro
de transmisión presenta bandas prohibidas autosimilares.
En la siguiente tabla se muestra el proceso de generación de otras secuencias
aperiódicas que permiten el diseño de diferentes sistemas de multicapas.
29
4. Bibliografía.
J. M. Cabrera, F. Agulló y F. J. López, Óptica electromagnética. I: Fundamentos,
Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 2ª ed. (1998). Caps. 9 y 10.
J. M. Cabrera, F. Agulló y F. J. López, Óptica electromagnética. II: Materiales y
aplicaciones, Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1ª ed. (2000).
Cap. 17.
E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 3ª ed. (1998). Caps. 3, 4 y 8.
H. A. Macleod, Thin-film optical filters, Adam Hilger, 2ª ed. (1986). Caps. 3, 4 y 5.
R. Guenther, Modern Optics, John Wiley and sons (1990). Cap. 3.
S .O. Kasap, Optoelectronics and photonics. Principles and practices, Prentice Hall,
1ª ed. (2000). Cap. 1.
30