Ejercicio nº 1.- Sabiendo que: P[A ∪ B] = 0,6 P[A`] = 0,6 P[A ∩ B

Ejercicio nº 1.Sabiendo que:
P[A ∪ B] = 0,6
P[A'] = 0,6
Calcula P[A ∩ B] y P[B].
P[A ∩ B'] = 0,2
Solución:
P[A'] = 1 − P[A] = 0,6 → P[A] = 0,4
P[A ∩ B'] = P[A] − P[A ∩ B] → 0,2 = 0,4 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,2
Por otra parte:
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,6 = 0,4 + P[B] − 0,2 → P[B] = 0,4
Ejercicio nº 2.En una bolsa, A, hay 2 bolas negras y 3 rojas. En otra bolsa, B, hay 3 bolas negras, 4 rojas
y 3 verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente,
sacamos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas?
Solución:
Hacemos un diagrama de árbol:
a) P [2ª R ] =
8
2 23
+
=
55 11 55
b) P [R y R ] =
3
11
Ejercicio nº 3.En una academia hay 60 alumnos matriculados. La tercera parte de ellos van a clase de
inglés y las otras dos terceras partes van a clase de informática. De los que van a inglés, un
40% también va a francés. De lo que van a informática, un 25% también va a francés.
Si elegimos un alumno al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a francés?
b) Sabiendo que va a francés, ¿cuál es la probabilidad de que vaya también a informática?
Solución:
Hacemos un diagrama de árbol:
a) P[Francés] = 0,13 + 0,17 = 0,3
P [INFORMÁTICA y FRANCÉS ] 0,17
b) P [INFORMÁTICA / FRANCÉS ] =
=
= 0,57
P [FRANCÉS ]
0, 3
Ejercicio nº 4.Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que:
P[A ∩ B] = 0,2
Halla P[B] y P[B' ∩ A].
P[A' ∩ B'] = 0,3
P[A] = 0,5
Solución:
P[A' ∩ B'] = P[A ∪ B]' = 1 − P[A ∪ B] = 0,3 → P[A ∪ B] = 0,7
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,7 = 0,5 + P[B] − 0,2 → P[B] = 0,4
P[B' ∩ A] = P[A] − P[A ∩ B] = 0,5 − 0,2 = 0,3
Ejercicio nº 5.Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones:
Urna I: Cinco bolas numeradas del 1 al 5.
Urna II: 5 bolas blancas y 10 negras.
Urna III: 6 bolas blancas y 8 negras.
Extraemos una bola de la urna I. Si el número obtenido es par, sacamos otra bola de la urna
II y si es impar, la sacamos de la urna III.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?
b) Sabiendo que ha salido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna II?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
P [II y B ]
2 15
14
2
9
41
a) P [B ] =
+
=
b) P [II / B ] =
=
=
41 105 41
15 35 105
P [B ]
Ejercicio nº 6.En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los
hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres.
Si elegimos un socio al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique la natación?
b) Sabiendo que practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P[Natación] = 0,182 + 0,288 = 0,47
P [MUJER Y NATACIÓN] 0,288
b) P [MUJER / NATACIÓN] =
=
= 0, 613
P [NATACIÓN]
0,47
Ejercicio nº 7.En una urna, I, hay 5 bolas rojas y 7 bolas negras. En otra urna, II, hay 6 bolas rojas y 8
negras.
1
2
elegimos la urna I ; y, con probabilid ad , elegimos la urna II .
Con probabilid ad
3
3
Extraemos una bola de la urna elegida.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
b) Sabiendo que ha salido roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna II?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [R ] =
5 2 107
+ =
36 7 252
b) P [II / R] =
P [II y R]
P [R ]
Ejercicio nº 8.-
Sabiendo que:
=
27
72
=
107 252 107
P[A] = 0,5
P[B'] = 0,6
P[A' ∩ B'] = 0,25
a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].
Solución:
a) P[B'] = 1 − P[B] = 0,6 → P[B] = 0,4
P[A' ∩ B'] = P[(A ∪ B)'] = 1 − P[A ∪ B] = 0,25 → P[A ∪ B] = 0,75
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,75 = 0,5 + 0,4 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,15
Por tanto:
P [ A] ⋅ P [ B ] = 0,5 ⋅ 0, 4 = 0, 2 ⎫⎪
⎬ P [ A ∩ B ] ≠ P [ A] ⋅ P [ B ] Luego, A y B no son independientes.
P [ A ∩ B ] = 0,15
⎪⎭
b) Hemos obtenido en el apartado anterior que: P[A ∪ B] = 0,75
Por otra parte:
P [A ∩ B ] 0,15
P [A / B ] =
=
= 0,375
0,4
P [B ]
Ejercicio nº 9.En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre
los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al
menos uno de los tres temas?
Solución:
Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:
A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"
Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no
sabe; entonces:
P [A] = 1 − P [A'] = 1 − P ["no sabe ninguno de los tres"] = 1 −
50 49 48
⋅
⋅
= 1 − 0 ,198 = 0 ,802
85 84 83
Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.
Ejercicio nº 10.En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar
inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución:
Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I = "Habla ingles", F = "Habla francés".
a) Tenemos que hallar P[I ∪ F]:
P[I ∪ F ] = P[I ] + P[F ] − P[I ∩ F ] =
b) P [F/ I ] =
48 + 36 − 12 72 3
=
= = 0,6
120
120 5
12 1
= = 0, 25
48 4
c) P [F ∩ no I ] =
24
1
= = 0, 2
120 5
Ejercicio nº 11.Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B
hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después
extraemos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [2ª Bl ] =
7
7
7
+
=
30 15 10
Ejercicio nº 12.-
b) P [Bl y Bl ] =
7
30
De dos sucesos A y B sabemos que:
P[A'] = 0,48
P[A ∪ B] = 0,82
a) ¿Son A y B independientes?
b) ¿Cuánto vale P[A / B]?
Solución:
P[B] = 0,42
a) P[A'] = 1− P[A] = 0,48 → P[A] = 0,52
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,82 = 0,52 + 0,42 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,12
P [ A] ⋅ P [ B ] = 0,52 ⋅ 0, 42 = 0, 2184 ⎫⎪
⎬ P [ A ∩ B ] ≠ P [ A] ⋅ P [ B ] .No son independientes.
P [ A ∩ B ] = 0,12
⎪⎭
b) P [A / B ] =
P [A ∩ B ]
P [B ]
=
0,12
= 0, 29
0,42
Ejercicio nº 13.Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?
Solución:
Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es:
¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P=
10
1
=
= 0,1
100 10
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será: 1 −
1
9
= = 0,9
10 10
Ejercicio nº 14.En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de
chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?
b) Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?
Solución:
Hacemos una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
a) P [Chico ] =
55 11
=
= 0, 55
10 20
35
7
b) P [Chica / Tenis ] =
=
= 0, 47
75 15
15
3
c) P [Chica ∩ No tenis ] =
=
= 0,15
100 20
Ejercicio nº 15.-
Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4
bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la
primera urna?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [ B ] =
3
3 27
+ =
20 16 80
b) P [ I / B ] =
P [I y B]
P [B ]
=
3 / 20 4
=
27 / 80 9
Ejercicio nº 16.a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál
es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución:
a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es:
¿cuál es a probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
1
= 0,2
5
1 1
1
b) P = ⋅ =
= 0,04
5 5 25
P=
Ejercicio nº 17.En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia
de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1
500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a
uno de los encuestados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
Solución:
Organizamos la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamamos D = "Vio el debate" y P = "Vio la película".
a) P [D ∩ P ] =
1 450 29
=
= 0, 58
2 500 50
b) P [P / D ] =
1 450 29
=
= 0, 97
1 500 30
c) P [D / P ] =
1 450 29
=
= 0, 69
2 100 42
Ejercicio nº18.Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas
numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara,
extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P [PAR ] =
3 1 29
+ =
14 5 70