“LÓGICA II” EJERCICIOS RESUELTOS – 6 (Los ya resueltos en las clases teóricas aparecen recuadrados) TEMA 4 – ÁRBOLES LÓGICOS EJERCICIO 4.01 Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida: ╞ ∃y (Fy → ∀x Fx) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ¬∃y (Fy → ∀x Fx) ∀y ¬(Fy → ∀x Fx) ¬(Fa → ∀x Fx) Fa ¬∀x Fx ∃x ¬Fx ¬Fb ¬(Fb → ∀x Fx) Fb ¬∀x Fx (¬concl.) (de 1) (de 2) (de 3) (de 5) (de 6) (de 2) (de 8) El árbol cierra. La fbf inicial es insatisfacible. Luego, sin la negación, es válida. EJERCICIO 4.02 Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida: ╞ ∃y (∃x Fx → Fy) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ¬∃y (∃x Fx → Fy) ∀y ¬(∃x Fx → Fy) ¬(∃x Fx → Fa) ∃x Fx ¬Fa Fb ¬(∃x Fx → Fb) ∃x Fx ¬Fb (¬concl.) (de 1) (de 2) (de 3) (de 4) (de 2) (de 7) El árbol cierra. Las fbf inicial es insatisfacible. Y sin negar será, pues, válida. 1 EJERCICIO 4.03 Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida: ╞ ∀y (∃x Fx → Fy) 1. 2. 3. 4. 5. 6. ¬∀y (∃x Fx → Fy) ∃y ¬(∃x Fx → Fy) ¬(∃x Fx → Fa) ∃x Fx ¬Fa Fb (¬concl.) (de 1) (de 2) (de 3) (de 4) El árbol está terminado y abierto. Por tanto, la fbf inicial es satisfacible. Y entonces la que nos interesaba es inválida. EJERCICIO 4.04 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: p → ∀x (Fx → ¬Gx), q → ∃x (Fx ∧ Gx) ╞ p → ¬q 1. p → ∀x (Fx → ¬Gx) 2. q → ∃x (Fx ∧ Gx) 3. ¬(p → ¬q) 4. p 5. ¬¬q 6. q 7. ¬p (prem.) (prem.) (¬concl.) (de 3) (de 5) 8. ∀x (Fx → ¬Gx) 9. ¬q 10. 11. 12. 13. 14. 15. ¬Fa (de 1) ∃x (Fx ∧ Gx) Fa ∧ Ga Fa → ¬Ga Fa Ga (de 2) (de 10) (de 8) (de 11) 16. ¬Ga (de 12) Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. 2 EJERCICIO 4.05 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∃x (Fx ∧ Gx) ╞ ∀x Fx ∧ ∃x Gx 1. ∃x (Fx ∧ Gx) 2. ¬(∀x Fx ∧ ∃x Gx) 3. ¬∀x Fx 5. ∃x ¬Fx ⏐ 7. Fa ∧ Ga 9. ¬Fb ⏐ 11. Fa 12. Ga 4. ¬∃x Gx ⏐ 6. ∀x ¬Gx 8. Fa ∧ Ga ⏐ 10. ¬Ga ⏐ ⏐ 13. Fa 14. Ga (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 3) (de 4) (de 1) (de 5) (de 6) (de 7) (de 8) El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles. Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. (Este árbol puede simplificarse si se invierte el orden de aplicación de las reglas, utilizando la del existencial antes que las de lógica proposicional, como se muestra abajo). 1. ∃x (Fx ∧ Gx) 2. ¬(∀x Fx ∧ ∃x Gx) 3. Fa ∧ Ga 4. Fa 5. Ga 6. ¬∀x Fx 8. ∃x ¬Fx ⏐ 10. ¬Fb 7. ¬∃x Gx ⏐ 9. ∀x ¬Gx ⏐ 11. ¬Ga (prem.) (¬concl.) (de 1) (de 3) (de 2) (de 6) (de 7) (de 8) (de 9) 3 EJERCICIO 4.06 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∃x Fx → ∃x Gx ╞ ∀x (Fx → Gx) 1. ∃x Fx → ∃x Gx 2. ¬∀x (Fx → Gx) 3. ¬∃x Fx 5. ∃x ¬(Fx → Gx) 7. ∀x ¬Fx 8. ¬(Fa → Ga) ⏐ ⏐ 11. ¬Fa 12. Fa 13. ¬Ga 4. ∃x Gx 6. ∃x ¬(Fx → Gx) ⏐ ⏐ 9. Ga 10. ¬(Fb → Gb) ⏐ ⏐ ⏐ 14. Fb 15. ¬Gb (prem.) (¬concl.) (de 1) (de 2) (de 3) (de 5) (de 4) (de 6) (de 7) (de 8) (de 10) El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles. Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. (Este árbol puede simplificarse si se invierte el orden de aplicación de las reglas, utilizando la de cuantificadores negados y la del existencial antes que las de lógica proposicional, como se muestra abajo). 7. ¬∃x Fx 9. ∀x ¬Fx ⏐ 11. ¬Fa 1. 2. 3. 4. 5. 6. ∃x Fx → ∃x Gx ¬∀x (Fx → Gx) ∃x ¬(Fx → Gx) ¬(Fa → Ga) Fa ¬Ga 8. ∃x Gx ⏐ 10. Gb (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 3) (de 4) (de 1) (de 7) (de 8) (de 9) 4 EJERCICIO 4.07 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∀x Fax ╞ ∀x∃y Fxy 1. ∀x Fax 2. ¬∀x∃y Fxy 3. ∃x¬∃y Fxy 4. ¬∃y Fby 5. Faa 6. Fab 7. ∀y ¬Fby 8. ¬Fba 9. ¬Fbb (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 3) (de 1) (de 1) (de 4) (de 7) (de 7) El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles. Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. EJERCICIO 4.08 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∃x∀y Fxy ╞ ∀y∃x Fxy 1. ∃x∀y Fxy (prem.) 2. ¬∀y∃x Fxy (¬concl.) 3. ∃y ¬∃x Fxy (de 2) 4. ∀y Fay (de 1) 5. ¬∃x Fxb (de 3) 6. Faa (de 4) 7. Fab (de 4) 8. ∀x ¬Fxb (de 5) 9. ¬Fab (de 8) 10. ¬Fbb (de 8) Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 6 y 10 son superfluas). EJERCICIO 4.09 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∃x∃y Fxy ╞ ∃y∃x Fxy 5 1. ∃x∃y Fxy 2. ¬∃y∃x Fxy 3. ∀y¬∃x Fxy 4. ∃y Fay 5. Fab 6. ¬∃x Fxa 7. ¬∃x Fxb 8. ∀x ¬Fxa 9. ∀x ¬Fxb 10. ¬Faa 11. ¬Fba 12. ¬Fab 13. ¬Fbb (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 1) (de 4) (de 3) (de 3) (de 6) (de 7) (de 8) (de 8) (de 9) (de 9) Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 6, 8, 10, 11 y 13 son superfluas). EJERCICIO 4.10 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∀x (Fx → Gx) ╞ ∀x (∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy)) (Para simplificar considerablemente el árbol, no aplicaremos la regla para el universal hasta haber eliminado totalmente los demás cuantificadores). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. ∀x (Fx → Gx) ¬∀x (∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy)) ∃x ¬(∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy)) ¬(∃y (Fy ∧ Hay) → ∃y (Gy ∧ Hay)) ∃y (Fy ∧ Hay) ¬∃y (Gy ∧ Hay) ∀y ¬(Gy ∧ Hay) Fb ∧ Hab Fa → Ga Fb → Gb ¬(Ga ∧ Haa) ¬(Gb ∧ Hab) Fb Hab 15. ¬Fb 16. Gb 17. ¬Gb (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 3) (de 4) (de 6) (de 5) (de 1) (de 1) (de 7) (de 7) (de 8) (de 10) 18. ¬Hab (de 12) 6 Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 9 y 11 son superfluas). EJERCICIO 4.11 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∀y∃x Fxy ╞ ∃x∀y Fxy 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. ∀y∃x Fxy (prem.) ¬∃x∀y Fxy (¬concl.) ∀x ¬∀y Fxy (de 2) ∃x Fxa (de 1) ¬∀y Fay (de 3) ∃y ¬Fay (de 5) Fba (de 4) ¬Fac (de 6) ∃x Fxb (de 1) ∃x Fxc (de 1) ¬∀y Fby (de 3) ¬∀y Fcy (de 3) ∃y ¬Fby (de 11) ∃y ¬Fcy (de 12) Fdb (de 9) Fec (de 10) ¬Fbk (de 13) ¬Fcj (de 14) · · · A continuación de la línea 18, los universales de 1 y 3 se volverían a eliminar cuatro veces cada uno, con las cuatro constantes nuevas aparecidas en 15, 16, 17 y 18. Ello daría lugar a ocho nuevos existenciales, que introducirían ocho nuevas constantes. Y así sucesivamente, de forma exponencial. El árbol es infinito y, por tanto, abierto. Luego, las fbfs iniciales son satisfacibles. Y el esquema de inferencia es inválido. EJERCICIO 4.12 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: ∃x∃y∀z Fxyz ╞ ∀z∃y∃x Fxyz 1. 2. 3. 4. 5. ∃x∃y∀z Fxyz ¬∀z∃y∃x Fxyz ∃z ¬∃y∃x Fxyz ∃y∀z Fayz ¬∃y∃x Fxyb (prem.) (¬concl.) (de 2) (de 1) (de 3) 7 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. ∀z Facz (de 4) Faca (de 6) Facb (de 6) Facc (de 6) ∀y ¬∃x Fxyb (de 5) ¬∃x Fxab (de 10) ¬∃x Fxbb (de 10) ¬∃x Fxcb (de 10) ∀x ¬Fxab (de 11) ∀x ¬Fxbb (de 12) ∀x ¬Fxcb (de 13) ¬Faab (de 14) ¬Fbab (de 14) ¬Fcab (de 14) ¬Fabb (de 15) ¬Fbbb (de 15) ¬Fcbb (de 15) ¬Facb (de 16) ¬Fbcb (de 16) ¬Fccb (de 16) Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24 y 25 son superfluas). 8