x - Editorial Digital Tecnológico de Monterrey

D.R.
©
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011.
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
ii
Mapa de
contenidos
Introducción
La diferencial
para definir
tanto la
como la
La integral
Indefinida
evaluada mediante
por
sustitución
Definida
como una
técnicas
por
partes
por
cambio de
variable
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©
para obtener
Valor
promedio
directas
Exponenciales
y logarítmicas
Suma de Riemann
de potencias
de funciones
trigonométricas
Área
entre curvas
Longitud
de arco
aplicables a
Trigonométricas
Algebraícas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011.
Modelado
de situaciones
físicas y geométricas
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Introducción del eBook
E
l éxito de los cursos de matemáticas y, en
particular, de los que se imparten en el último año de bachillerato inicia con un buen
dominio en la resolución de problemas y con un
conocimiento sólido de conceptos clave del cálculo, herramienta que los estudiantes utilizarán, posteriormente, en sus carreras profesionales para
crear modelos.
Este libro pretende ser un apoyo para un primer curso
de Cálculo Integral en el nivel de bachillerato y, más
que un texto de carácter teórico, es un libro de ejercicios acompañado de la teoría necesaria para poder
entender los conceptos básicos de la materia. El libro
se escribió considerando las experiencias recopiladas
a partir de doce años de impartir la materia de Cálculo
D.R.
©
Integral en la preparatoria; está orientado a proporcionar -eventualmente- el apoyo indispensable para
concluir exitosamente un curso de Cálculo Integral.
La estrategia didáctica empleada en cada uno de los
capítulos es la resolución de problemas, ya que muchos estudiantes comprenden mejor los conceptos
de cálculo cuando ven ejemplos resueltos y no cuando se enfrentan solo a la teoría. Por esta razón, se ha
incorporado la tecnología mediante el uso de ejercicios interactivos y simuladores; además se ha anexado una cantidad considerable de “ejemplos resueltos”
de manera detallada, con pasos intermedios, muchos
de los cuales incluyen anotaciones adicionales que
permiten guiar a los estudiantes en la solución de los
problemas.
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El libro se estructura de la siguiente manera.
En el capítulo 1 se define la diferencial su notación
y los conceptos básicos necesarios para su aplicación en la solución de problemas de aproximación,
en el capítulo 2 se estudia la integral indefinida
como operación inversa de la derivada, sus propiedades y reglas básicas para evaluar integrales
algebraicas, trigonométricas y exponenciales. En
el capítulo 3 se analiza la integral definida sus
propiedades y aplicación en el cálculo de áreas,
longitud de arco y valores promedio, por último en
el capítulo 4 se presentan tres técnicas de integración: cambio de variable, integración por partes e
integración de potencias de funciones trigonométricas.
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
1
Capítulo 1. La diferencial
Organizador temático
Lo que se necesita saber
Reseña histórica
Incrementos y diferenciales
Reglas y fórmulas para diferenciales
Aproximación del cambio por diferenciales
Razones de cambio relacionadas
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Aproximación lineal
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.1. Lo que se necesita saber
1.1. Lo que se necesita saber
• Operaciones algebraicas elementales y
simplificación de fracciones algebraicas.
• Derivada de una constante.
• Derivada de expresiones algebraicas simples de suma y resta.
• Derivada de productos y cocientes.
• Derivadas de productos y cocientes con
exponentes enteros y fraccionarios.
• Derivadas de funciones trigonométricas.
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Agustin Louis Cauchy
(1789 - 1857)
CONCLUSIÓN
D.R.
ACTIVIDAD
• La regla de la cadena para derivadas.
RECURSOS
• Derivada de expresiones con exponentes
enteros y racionales.
Leibniz dio una definición singularmente satisfactoria sobre las diferenciales de primer orden en
una de las primeras publicaciones sobre cálculo
en 1684. Dijo que la diferencial dx de la abscisa
x es una cantidad arbitraria, y la diferencial dy de
la ordenada y se define como la cantidad tal que
la razón dy / dx es igual a la pendiente de la recta
tangente. En dicha definición, las diferencias son
cantidades finitas, completamente comparables
con las definidas en el cálculo actual. Este hecho
ha llevado a la afirmación de que Leibniz, desde el comienzo del cálculo, definió la diferencial
igual que como lo hizo Cauchy. En cierto sentido,
esto es cierto, pero tal afirmación es muy engañosa, ya que la definición de Leibniz presupone
lógicamente una definición satisfactoria de recta
tangente, al igual que la diferencial de Cauchy
depende de la noción de derivada. Sin embargo,
Leibniz a diferencia de Cauchy define la tangente
como una línea que une dos puntos infinitamente cercanos de la curva. Estas distancias infinitamente pequeñas se pueden expresar por medio
de diferencias entre dos valores consecutivos de
la variable. Esto constituye un petitio principii que
indica que la evasión de cantidades infinitamente
pequeñas en el pensamiento de Leibniz fue sólo
superficial.
En su obra Leibniz considera el concepto
de diferencial como fundamental, sin embargo,
las matemáticas modernas están de acuerdo con
Cauchy al considerar este concepto subordinado
al de límite al definirlo en términos de la derivada.
De esta manera la diferencial representa simplemente una idea auxiliar conveniente que permite
la aplicación de la notación de Leibniz dy
sin la
dx
confusión generada entre incrementos y diferencias. Una vez que Cauchy definió la derivada en
términos de límites, procedió a expresar la diferencial en términos de la derivada: si dx es una
cantidad constante finita h , la diferencial dy de
y = f ( x) se define como f ′( x) dx . En otras palabras,
las diferenciales dx y dy son cantidades que se
)
eligen tal que el cociente ((dy
coincide con el límidx )
∆y
te y′ = f ′( x) del cociente ∆x (Dunham, 2005, p. 76).
GLOSARIO
• Factorización.
1.2. Breve reseña histórica
TEMAS CAPÍTULO 1
2
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Glosario
1.3. Incrementos y diferenciales
h →0
(1.1)
O bien,
f ( x0 + h) − f ( x0 ) − f ′( x0 ) h
lim
=0
h →0
h
λ (h) f ′( x0 ) ⋅ h establece una función lineal
La relación =
en h . De ahora en adelante centramos la atención en la
función lineal λ.
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©
De la relación anterior tenemos que x2= x1 + ∆x , es decir,
el valor final x2 de x es su valor inicial x1 más su incremento ∆x . De manera similar, si ∆y denota el cambio o incremento de la variable dependiente y = f ( x) asociado al incremento ∆x de la variable independiente x , se tiene que:
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(1.4)
Algunas veces es conveniente suponer que x represente el valor inicial de la variable independiente, en cuyo caso
se dice que x tiene un incremento ∆x para describir un
cambio generalmente pequeño en esta variable. Con base
en lo anterior, la definición de ∆y toma la forma:
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CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
La ecuación anterior dice que f ′( x0 ) h + f ( x0 ) es una buena aproximación a f en x0 .
f ( x)
(1.3)
=
∆y f ( x2 ) − f (=
x1 ) f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
(1.2)
∆
=
y f ( x+ ∆x) −
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
∆x = x2 − x1
Sea y = f ( x) una función, si x tiene
un incremento ∆x , entonces el incremento ∆y viene dado por:
RECURSOS
RECURSOS
Recordemos que una función f : R → R es derivable en
x0 ∈ R si existe un número real f ′( x0 ) tal que:
f ′( x0 ) = lim
Sea A ⊆ R y f : A → R una función. En muchas aplicaciones físicas o de aproximación la variable independiente x está sujeta a cambios pequeños y es necesario hallar el correspondiente cambio en la variable dependiente
y = f ( x) . Si x cambia de x1 a x2 en A , entonces su cambio o incremento denotado por ∆x viene dado por:
Cambio o incremento:
glosarioGLOSARIO
En este capítulo se presentan dos aplicaciones importantes de las técnicas desarrolladas en un curso de cálculo
diferencial. En la primera parte se introduce el concepto
de diferencial. Posteriormente se considera la diferencial
como una herramienta para estimar los cambios y valores de una función. Finalmente, se estudian las razones de
cambio relacionadas o tasas de cambio relacionadas.
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
1. La diferencial
1.3. Incrementos y diferenciales
3
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.3. Incrementos y diferenciales
Definición 1.1
Sea y = f ( x) una función, si x tiene un
incremento ∆x , entonces el incremento
∆y viene dado por:
∆=
y f ( x + ∆x) − f ( x)
(1.5)
y 2 x2 + 1 .
Supongamos que=
1. Hallar ∆y para un incremento ∆x en x .
En algunos cursos de cálculo diferencial es
común utilizar la notación de incremento para definir la derivada de una función, es decir, si se
sustituye ∆x por h en la definición de derivada
se obtiene:
2. Encontrar el cambio ∆y, si x cambia de 1 a 1.1.
=
f ′( x) lim
∆x → 0
Da clic sobre el siguiente recuadro para ver
cuál sería la representación geométrica de
los incrementos respecto a la gráfica de la
función f :
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
= lim
.
∆
x
→
0
∆x
∆x
GLOSARIO
Ejemplo 1. Cálculo de incrementos
TEMAS CAPÍTULO 1
4
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
(1.6)
La ecuación (1.6) puede ser enunciada de la
siguiente manera:
RECURSOS
“ La derivada de una función f, es el
límite del cociente de incrementos de la
variable dependiente entre el incremento
de la variable independiente, cuando
éste último tiende a cero.”
ACTIVIDAD
∆y
Figura 1.1. Representación geométrica
de los incrementos
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CONCLUSIÓN
En la figura (1.1) se tiene que ∆x es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q , luego de (1.6), si la función f es
derivable, se tiene que:
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
∆y
≈ f ′( x) cuando ∆x ≈ 0
∆x
Glosario
Observación 1.1
(1.7)
∆y ≈ f ′( x)∆x si ∆x ≈ 0
(1.8)
Se le dará a f ′( x) ∆x un nombre especial en la siguiente
definición.
A causa de la posición que la derivada f ′( x) ocupa en la
ecuación (1.11), a veces es llamada coeficiente diferencial. Nótese que dx puede asumir cualquier valor y que es
independiente de x , sin embargo dy depende de ambos
valores x y ∆x =dx .
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y la diferencial dx de la variable independiente x es:
∆x
CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
La definición 2 también proporciona una fórmula para
calcular la diferencial de una función; a continuación se establece una condición necesaria y suficiente para la existencia de la diferencial de una función en un punto.
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D.R.
dy
= f ′( x)∆=
x f ′( x)dx
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
Definición 1.2
Si y = f ( x) es una función derivable y ∆x
es un incremento arbitrario de la variable
independiente x , entonces:
i. La diferencial dy de la variable dependiente
y es,=
dy f ′( x) ∆x (1.9)
Si f ( x) = x , entonces f ′( x) = 1 , y (1.9) se reduce
a dx = ∆x , por lo tanto,
ii. La diferencial dx de la variable
independiente x es, dx = ∆x (1.10)
Si y = f ( x) , (1.9) puede ser escrita en la
forma: dy = f ′( x) dx (1.11)
La diferencial dy de la variable
dependiente y es:
RECURSOS
RECURSOS
Si y = f ( x) es una función derivable
y ∆x es un incremento arbitrario de la
variable independiente x , entonces:
glosarioGLOSARIO
Si ∆x se aproxima a cero, la pendiente ∆y de la secan∆x
te que pasa por P y Q se aproxima a la pendiente f ′( x)
de la recta tangente en P , es decir,
De la definición anterior se concluye que la diferencial
dx de la variable independiente es cualquier número real
distinto de cero. Y la diferencial de una función y = f ( x)
es igual a su derivada multiplicada por la diferencial de la
variable independiente.
Diferencial:
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
1. La diferencial
1.3. Incrementos y diferenciales
5
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.3. Incrementos y diferenciales
Definición 1.3
lim
h →0
f ( x0 + h) − λ (h)
=0
h
(1.12)
Figura 1.2. Interpretación geométrica
de la diferencial.
ACTIVIDAD
Si en la definición anterior hacemos h = dx y
f ′( x)h = dy para y = f ( x) tenemos que la diferencial dy de y = f ( x) en cualquier punto x viene dada por:
RECURSOS
En cuyo caso decimos que f ′( x0 )h es la
diferencial de f en x0 y se denota por
Df ( x0 )(h) .
En esta sección se estudió el concepto de diferencial, su interpretación geométrica y la relación que guarda con los cambios de una función.
Es importante recordar que la diferencial de una
función es una función lineal que se puede calcular como el producto de la derivada de la función
por el cambio o incremento de la variable independiente, y por lo tanto es una condición que se
cumple en el límite cuando ∆x → 0 .
GLOSARIO
Sea f : R → R una función derivable en
x0 ∈ R , se dice que f es diferenciable
en x0 si existe una función lineal
λ ( h) f ( x0 ) + f ′( x0 ) h tal que
=
Al dar clic en el siguiente recuadro, podrás
ver el significado geométrico de la diferencial:
TEMAS CAPÍTULO 1
6
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
dy
= f ′( x)∆=
x f ′( x)dx
(1.13)
CONCLUSIÓN
que coincide con la definición original.
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.3. Incrementos y diferenciales
1.3.1. Actividades de repaso: ejercicios
1.3.2. Respuestas a los ejercicios propuestos
Da clic en los números para ver la solución de los ejercicios anteriores.
TEMAS CAPÍTULO 1
7
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
GLOSARIO
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
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1. La diferencial
1.4. Reglas y fórmulas para diferenciales
1.4. Reglas y fórmulas para diferenciales
La siguiente tabla muestra las diferenciales de las funciones más
comunes.
GLOSARIO
Dado que la diferencial de una función es su derivada multiplicada por la
diferencial de la variable independiente, se sigue que las fórmulas y reglas
para encontrar diferenciales sean las mismas que las utilizadas para hallar
derivadas. Si u y v son funciones diferenciables con v ≠ 0, se tienen las
siguientes reglas de diferenciación:
TEMAS CAPÍTULO 1
8
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Da clic en los botones inferiores para ver las reglas de
diferenciación solución de los ejercicios anteriores.
RECURSOS
ACTIVIDAD
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CONCLUSIÓN
Tabla 1.1 Diferenciales de funciones.
Cálculo integral
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1. La diferencial
1.4. Reglas y fórmulas para diferenciales
Ejemplo 2. La diferencial de un cociente
Hallar la diferencial de la función
Ejemplo 5. Diferencial del seno inverso
y = x2+3 .
x +3
TEMAS CAPÍTULO 1
9
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
3
Hallar dy dado=
que y arcsen(3t − 4t )
GLOSARIO
Ejemplo 3. La diferencial implícita
En esta sección se estudiaron y aplicaron las reglas y propiedades de la
diferencial, que básicamente son las mismas que las de la derivada de una
función, por lo que se espera que el lector esté familiarizado con ellas. En
particular la definición de diferencial permite trabajar también con la regla
de la cadena.
RECURSOS
2 2
2 2
a 2b 2 .
Hallar dy dado que b x − a y =
ACTIVIDAD
Ejemplo 4. Otro ejemplo de diferencial implícita
2
2
Hallar d ρ dado que ρ = a cos 2θ .
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
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1. La diferencial
1.4. Reglas y fórmulas para diferenciales
1.4.1. Actividades de repaso: ejercicios
1.4.2. Respuestas a los ejercicios propuestos
Da clic en los números para ver la solución de los ejercicios anteriores.
TEMAS CAPÍTULO 1
10
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
GLOSARIO
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
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1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
 ∆y

lim  − f ′( x)  =
0
∆x → 0 ∆x


esto intuitivamente dice que:
∆y
=
− f ′( x) δ
∆x
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Husch, L. the University of Tennessee (1995-2001). Visual calculus.
luego entonces:
∆
=
y f ′( x) ⋅ ∆x + δ ∆x con δ → 0 cuando ∆x → 0.
Como la igualdad anterior se cumple en el límite para
valores muy pequeños de ∆x =dx, se tiene que ∆y y dy
pueden ser consideradas cantidades equivalentes cuando
∆x → 0 y f ′( x) ≠ 0 , en efecto,
∆y
∆y 1
f ′( x)
= lim
⋅
= lim
= 1
∆x →0 dy
∆x →0 ∆x f ′( x )
∆x →0 f ′( x )
lim
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D.R.
con δ → 0 cuando ∆x → 0
Aproximación de funciones.
CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
Muchos de los fenómenos mencionados con anterioridad pueden ser modelados mediante “funciones” matemáticas que describen la dinámica del cambio generado a
causa de cambios en las variables independientes involucradas en el fenómeno mismo, sin embargo, poder determinar o pronosticar el valor exacto de un cambio resulta ser
∆x
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
En Medicina se habla de los cambios en el estado
de salud de un paciente, cambios en la presión sanguínea
sistólica de una persona a causa del estrés o el cambio en
el tamaño de un tumor. En Mercadotecnia se estudian los
cambios o efectos que se producen en el consumo de un
determinado bien o servicio a causa de la publicidad del
mismo.
De la ecuación (1.6) tenemos que, si la función f es
derivable, entonces f ′( x) = lim ∆x→0 ∆y , que equivale a:
»» En la siguiente liga podrás hallar
una serie de ejemplos resueltos
que muestran el uso de la diferencial para aproximar expresiones numéricas.
RECURSOS
RECURSOS
En la Biología, el cambio está asociado con el concepto de evolución. Así, cuando las células de un organismo se dividen, adoptan mutaciones que pueden pasarse
a las generaciones posteriores; si éstas constituyen una
adaptación al ambiente, aumentarán las posibilidades de
que esa especie sobreviva y se reproduzca.
complicado. En la presente sección vamos a desarrollar un
concepto que nos permitirá aproximar los cambios de una
función dada a partir del comportamiento de las variables
independientes.
glosarioGLOSARIO
Uno de los usos más habituales de la palabra “cambio”
puede encontrarse en los estudios de Economía y Finanzas. Allí se hace alusión con esta palabra al trueque de
bienes y servicios por dinero, o al tipo de cambio entre las
distintas divisas de cada país y al cambio de un portafolio
en el mercado de valores.
Ligas de interés
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
11
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
Ligas de interés
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
»» Visita la siguiente liga en la que
podrás revisar la teoría y ejemplos sobre la diferencial.
Por lo tanto, se tiene la siguiente relación:
∆y ≈ f ′( x) dx =dy
(1.14)
MR
⋅ PM = MR
PM
Ejemplo 6. Aproximación del cambio
y 2 x 2 + 1 , use dy para aproximar ∆y si x cambia de
Si=
1 a 1.1.
CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
Por lo tanto dy es el incremento MR de la ordenada
de la tangente correspondiente a dx . Por otro lado
∆y= MQ= MR + RQ , cuando ∆x → 0 , el punto Q se
aproxima al punto de tangencia P y la magnitud del
segmento QR se aproxima a cero, lo que genera que
el segmento MQ se aproxime al segmento MR , es
decir ∆y ≈ dy .
Figura 1.3 La diferencial como aproximación
del cambio de la variable independiente
1 En los puntos de la gráfica de la función, en los que la recta tangente es horizontal, no hay cambio.
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ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
dy = f ′( x)dx = tanθ ⋅ PM =
Khamsi, M.A. & Knaust, H. (19992011). Linear Approximations.
RECURSOS
RECURSOS
Es decir, si y = f ( x), entonces dy puede ser utilizada
para aproximar el cambio exacto ∆y de la variable
dependiente, siempre que se tengan cambios
pequeños ∆x en x . Lo anterior es útil cuando sólo se
desea una estimación aproximada del cambio de la
variable dependiente y en aquellos puntos en donde
la recta tangente no es horizontal1. Se ilustrará esto
geométricamente. Como se muestra en la siguiente
figura, sea f ′( x) la derivada de y = f ( x) en P .
Tomemos dx = PM , entonces
glosarioGLOSARIO
Aproximación por tangente
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
12
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
Ejemplo 7. Comparación entre el cambio y la diferencial
Si y = x y ∆x es un incremento en x , hallar
3
∆y
b)
dy
∆y − dy
d) el valor ∆y − dy
Usar diferenciales para aproximar el cambio


en sen θ cuando θ cambia de 60 a 61 .
Ejemplo 9. Aproximación del volumen por diferenciales
a) Usando diferenciales, obtener una fórmula
para aproximar el volumen de una capa cilíndrica
delgada de altura h , radio interior r y espesor t .
b) ¿Cuál es el error involucrado al usar dicha
fórmula?
GLOSARIO
a)
Ejemplo 8. Aproximación del cambio de seno
TEMAS CAPÍTULO 1
13
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
c)
si x = 1 y ∆x = 0.02
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
Ejemplo 10. La diferencial y el cálculo de errores
Definición 1.4
Error promedio =
Error porcentual =
error de medición
valor medido
Ejemplo 11. Error promedio y error porcentual
El radio de un balón esférico mide 12 pulgadas con un error máximo en la medición de 0.05
pulgadas. Aproximar el error promedio y el error
porcentual para
• El valor medido del radio.
• El valor calculado del volumen.
(error promedio) ×100
RECURSOS
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En esta sección se utilizó la diferencial como
una herramienta para aproximar el cambio de
una función, así como los tipos de errores que se
pueden generar al llevar a cabo dicha aproximación del cambio.
CONCLUSIÓN
En términos de diferenciales, si la cantidad
x se mide con un posible error dx , entonces se
tiene que el error promedio es dx
x . Si dx es una
aproximación al error en x , entonces dx
x es una
aproximación al error promedio. Se ilustra lo anterior con el siguiente ejemplo.
ACTIVIDAD
El error promedio también es llamado error
relativo. Por ejemplo, si la longitud medida de un
objeto es de 20 pulgadas con un posible error de
0.1 pulgadas, a partir de la definición anterior, el
.1 = 0.005 . El significado de
error promedio es de 020
este número es que el error en cuestión es, en
promedio, 0.005 pulgadas por pulgada.
D.R.
GLOSARIO
El radio de un balón esférico se estima que es
de 12 pulgadas con un error máximo en la medición de 0.05 pulgadas. Hallar el error máximo
que se comete al calcular el volumen del balón.
La terminología introducida en la siguiente
definición puede ser usada para describir un error
en la medición de una cantidad.
TEMAS CAPÍTULO 1
14
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
1.5.1. Actividades de repaso: ejercicios
3. Use diferenciales para aproximar el incremento en el volumen de un cubo,
si la longitud de cada lado cambia de 10 cm a 10.1 cm. ¿Cuál es el cambio
exacto en el volumen?
10. Una lata de refresco en forma cilíndrica cambia su radio de 5 cm a 5.003
cm, si asumimos que su altura se mantiene fija en 12 cm. Estimar el cambio
en el área de la lata.
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CONCLUSIÓN
5. Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triángulo equilátero. Si la longitud de la base mide 48 cm, con un error máximo
en la medición de 1.05 cm, halle el área del lado y utilice diferenciales para
estimar el error máximo en el cálculo. ¿Cuál es el error promedio aproximado y el error porcentual aproximado?
9. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, si el ángulo θ
entre estos lados se incrementa de 30° a 33° , use diferenciales para aproximar el cambio en el área del triángulo.
ACTIVIDAD
4. Un balón esférico se infla con gas. Use diferenciales para aproximar el
incremento en el área superficial del balón si el diámetro cambia de 20 cm
a 20.02 cm.
8. La ley de Boyle dice que la presión p y el volumen v de un gas en un
recipiente se relacionan por la fórmula p v = c , donde c es una constante, o
equivalentemente, mediante p= c / v , donde v ≠ 0 . Mostrar que dp y dv se
0.
relacionan por medio de la fórmula p dv + v dp =
RECURSOS
2. La longitud de un lado de una placa cuadrada de cerámica para piso se
1 cm.
estima en 13 centímetros con un error máximo en la medición de 16
Use diferenciales para estimar el error máximo al calcular el área de la placa, así como el error promedio y el error porcentual en dicha estimación.
7. La ley de Gravitación de Newton establece que la fuerza F de atracción
2
entre dos partículas con masas m1 y m2 está dada =
por F g m1 m2 / s , donde g es una constante y s es la distancia entre las partículas. Si s = 20 cm ,
use diferenciales para aproximar el cambio en s que pueda incrementar F
en un 10% .
GLOSARIO
1. El radio de una tapa de alcantarilla circular se estima en 35 cm, con un
error máximo en la medición de 0.06 cm. Use diferenciales para estimar el
error máximo al calcular el área. ¿Cuál es el error promedio y el error porcentual en la aproximación del área?
6. La fuga de arena de un recipiente forma una pila cónica cuya altura es
siempre igual al radio. Si en cierto instante el radio es de 10 cm, use diferenciales para aproximar el cambio en el radio que logre incrementar el vo3
lumen de la pila en 2 cm .
TEMAS CAPÍTULO 1
15
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
®
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
11. Si un proyectil es disparado desde un cañón con una velocidad inicial
v0 y un ángulo α respecto a la horizontal, su altura máxima h y alcance R
están dados por
Suponga que
9 8 m / seg 2 . Si α se incrementa de
=
v0 100 m / seg y que g =.
30.5° , use diferenciales para estimar el cambio h y R .
30°
a
12. Al calentar una placa metálica cuadrada de 15 cm de longitud, su lado
aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?
1

500 x − x 2  −  x 2 − 77 x + 3000 
2

T=
Demostrar que:
15. Aproximar el incremento en el área de una burbuja de jabón cuando su
radio se incrementa de 3 cm. a 3.025 cm.
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D.R.
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dT
dθ
= −
T
2 tan θ
3L
csc θ
32
CONCLUSIÓN
Aproximar el cambio de los beneficios cuando la producción cambia de
x = 115 a x = 120 unidades.
ACTIVIDAD



19. Estime el costo de fabricación de una pelota que tiene 20 cm de diámetro interior y 2 mm de grosor si el centímetro cúbico de material cuesta
cincuenta pesos.
20. Un rollo de cinta flexible de L pies de longitud, fijado en la parte superior
de una tabla inclinada que forma un ángulo θ con la horizontal, se deja rodar por la tabla. Si T segundos es el tiempo para que la cinta se desenrolle
completamente, entonces
14. Los beneficios P de una empresa vienen dados por la ecuación:
P=
18. Una quemadura en forma circular en la piel de una persona disminuye
en su radio de 1 cm a 0.8 cm. Determine la disminución aproximada del área
de la quemadura.
RECURSOS
13. El alcance A de un proyectil lanzado con una velocidad inicial ν y un
ángulo de inclinación θ viene dado por la fórmula A = 16 ν 2 2θ . Si la velocidad
inicial del proyectil es de 80 pies/seg. Aproxime el cambio en el alcance si el
ángulo de inclinación inicial se incrementa de 45  a 46  .
17. Un tanque cilíndrico tendrá un revestimiento de 2 cm de espesor. Si el
radio interior es de 6 metros y la altura es de 10 metros, obtener la cantidad
aproximada de material de revestimiento que se empleará.
GLOSARIO
v02 sen 2α
2v02senα cos α
h =
yR
=
g
2g
16. La medida del lado de un cubo es de 15 cm con un error posible de 0.01
cm. Determinar el error aproximado al calcular el volumen del cubo.
TEMAS CAPÍTULO 1
16
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial
TEMAS CAPÍTULO 1
17
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
1.5.2. Respuestas a los ejercicios propuestos
12. 1.2 cm 2
13. 37.233 pies
3. 30 cm3 , 30.301cm3
14. 1160
4. 2.51328cm 2
2
15. 1.884 cm
2
2
2
5. 3301.66 cm , ±144.447 cm , ± 0.04374, cm por cm, ± 4.374%
3
16. 6.75cm
6. 0.006366 cm
3
17. 7.539 m
400
7. −
g m1m2
2
18. −2.5132 cm
RECURSOS
2. ±1.625 cm 2 , ± 0.00961 cm 2 por cm, ± 0.961%
GLOSARIO
2
2
1. ±13.1947 cm , ± 0.00342 cm por cm, ± 0.342%
19. 6283.2 pesos
8. Deri var ambos lados de pv = c
ACTIVIDAD
2
9. Dis min uye en 1.820 cm
2
10. 1.1309 cm
11. 3.85 mts. y 8.9 mts.
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
1.6. Aproximación lineal
En consecuencia, si x está cerca de a, se tiene que
f ( x) puede ser aproximada por L( x) =
f (a ) + f ′(a )( x − a) ,
esto es,
f ( x) ≈ L( x) para x cercano a a
En este contexto, llamaremos a L( x) la linealización o
aproximación lineal de f ( x) en x = a .
∆=
y f ( x) − f (a ) ≈ f ′(a )( x − a=
) dy
que confirma la validez de la ecuación (1.14); así para valores de x cercanos a a , tenemos ∆y ≈ dy, y la fórmula de
aproximación lineal queda como f (a + ∆x) − f (a) ≈ ∆y o bien:
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Dendane, A. (20 de marzo de
2007). Linear Approximation of
Functions.
CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
Si se utiliza la notación de diferencial, si dx =∆x =x − a y
∆y representa el cambio en y definido por ∆=
y f ( x) − f (a ),
tenemos
Aproximación lineal
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
Da clic sobre el siguiente recuadro para ver la gráfica de la función asi como de la recta tangente
L( x) =
f (a ) + f ′(a )( x − a)
»» Visita el siguiente vínculo donde
podrás encontrar varios ejemplos
con soluciones detalladas sobre
el uso de la diferencial como
herramienta para aproximar
mediante una línea recta una
función cerca de un punto dado.
RECURSOS
RECURSOS
Analíticamente se ha visto que, si una función f ( x) es
derivable en x = a , su gráfica tiene una recta tangente no
vertical en el punto (a, f (a )) . Si se hace una ampliación en
el punto de tangencia, se puede ver una imagen ampliada
tanto de la gráfica de la función como de la recta tangente.
Cuanto más nos acercamos, más coincide la gráfica de
la función con la recta tangente hasta que, finalmente, cerca
del punto de tangencia, las dos gráficas son casi idénticas.
Esto sugiere que para x muy cerca de a , podemos reemplazar la gráfica de la función por su recta tangente y la función f ( x) por la función lineal correspondiente a esa recta
tangente. Para ser más precisos, de la ecuación (1.11) para
un valor fijo de x , digamos a , tenemos que dy = f ′(a )dx , y
la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a )) es
glosarioGLOSARIO
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las Matemáticas, en que es necesario estimar un valor como, por
ejemplo, aproximar la temperatura de una ciudad para un
día determinado o bien estimar el valor de un índice bursátil en la Bolsa Mexicana de Valores. Normalmente se usan
técnicas de interpolación o extrapolación para estimar el
valor de una función en un punto dado, en esta sección se
usará la recta tangente como la mejor aproximación lineal
a la función en las cercanías de un punto.
Ligas de interés
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
18
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
f (a + ∆x) ≈ f (a ) + ∆y ≈ f (a ) + f ′(a )dx
(1.15)
E ( x) = f ( x) − f (a ) − f ′(a )( x − a )
E ( x)
=
x−a
f ( x) − f (a ) − f ′(a )( x − a )
=
x−a
Si f ( x) es una función derivable en
tonces para toda x en su dominio
E ( x) = f ( x) − f (a ) − f ′(a )( x − a )
satisface
E ( x)
=0
x →a x − a
lim
c) Evaluamos
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c) No se invertirá tiempo en precisar el significado de cerca en la definición o qué tan buena
es la aproximación ≈ . No obstante, se constata que f (a ) ≈ L(a ) , de modo que en x = x0
la función L( x) es una aproximación de f ( x) .
f ′(a )
También, =
d L( x) |
x=a
dx
es decir, la derivada de f en x = a es igual
a la derivada de L( x) en x = a .
Luego, en x = a , la pendiente de L( x) es
igual a la de f ( x) .
f (a ) + f ′(a )( x − a)
Se ilustrará lo anterior con algunos ejemplos.
Además se tiene lo siguiente:
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©
b) El propósito de la linealización L( x) es que
es más fácil trabajar con ella que con la función original f ( x) . En este sentido, usamos a
L( x) para referirnos a la función f ( x) .
CONCLUSIÓN
El punto aquí es que no sólo E ( x) → 0 cuando
x → a , sino que tiende a cero mucho más rápido que
x − a , lo que significa que el error de aproximación
puede ser muy pequeño en comparación con x − a .
a) f (a ) y f ′(a ) sean fáciles de calcular, y
b) ( x − a ) sea relativamente pequeño
a) Para aplicar la fórmula (1.16), sólo necesitamos conocer dos valores, f (a ) y f ′(a ) .
ACTIVIDAD
En conclusión, para aproximar a f ( x) con x
en el dominio de f seleccionamos a tal que:
E ( x)
 f ( x) − f (a)

lim
= lim 
=
− f ′(a )  0
x →a x − a
x →a 
x−a

D.R.
en-
f ( x) ≈ f (a ) + f ′(a )( x − a )
(1.16)
Más aún, el error
f ( x) − f (a )
− f ′(a )
x−a
=
f ′(a ) lim x→a ( f ( x) − f (a )) / ( x − a)
Ahora como
tenemos:
x = a,
RECURSOS
No es difícil ver que E ( x) → 0 cuando x → a
pero se puede decir algo aún más importante
mediante la observación de que:
Observación 1.2
GLOSARIO
El error de estimación E ( x) está definido por
la siguiente diferencia:
TEMAS CAPÍTULO 1
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
19
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
Ejemplo 12. Encontrando una aproximación lineal
y
Use aproximación lineal para estimar
1
(9.875) 2
2
Hallar el error de aproximación para f ( x) = x
Ejemplo 14. Aproximación lineal y cambio
Mediante aproximación lineal, determinar el
porcentaje en que se incrementa el área de un
círculo si su radio se incrementa en un 2%.
GLOSARIO
1
(5.0112) 2
Ejemplo 13. Error de aproximación en una parábola
TEMAS CAPÍTULO 1
20
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
Ejemplo 15. Solución de ecuaciones por
aproximación lineal
Ejemplo 16. Aproximación lineal y extrapolación
lineal
Si se conoce sólo un poco acerca de una función, por ejemplo, que un objeto en movimiento
tiene la posición p (t ) que satisface p (0) = 7 , y
que la velocidad está dada por v(t )= (t − 1) cos(t ) .
¿Es posible aproximar p (0.5) , p (1) , etc.?
GLOSARIO
) e x + x y considerar el resolver la
Sea f ( x=
x
0.
ecuación e + x =
TEMAS CAPÍTULO 1
21
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Un poco de historia:
D.R.
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CONCLUSIÓN
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ACTIVIDAD
Hace veinte o treinta años, las calculadoras
no eran ampliamente disponibles como en la actualidad y, sobre todo, no podían evaluar funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. En ese contexto, el tipo de aproximación era
vaga y poco fiable; por consiguiente, el uso de
diferenciales era sin duda una herramienta valiosa en muchas situaciones. Ahora que, por el
contrario, las calculadoras son muy sofisticadas
y disponibles, algunas de las cosas que una vez
parecieron razonables ya no lo son. Por ejemplo,
un tipo clásico de pregunta es: Aproxime el valor
de 10 por diferenciales. Una respuesta contemporánea razonable sería simplemente introducir
10 en la calculadora y obtener la respuesta de
inmediato con diez decimales.
RECURSOS
Historia
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Ejemplo 17. Aproximación lineal de una raíz
cuadrada
Aproximar
17
Algo más sensato es no utilizar esta idea
para el cálculo numérico, sino más bien escribir.
utilizando diferenciales.
1 1
2 x
x+h ≈ x +
1 1
⋅h
2 x
y
Usar el hecho que
49 = 7 , para aproximar
50 .
RECURSOS
Este tipo de afirmación es más que un ejemplo numérico particular, porque da una relación
que indica los cambios de salida asociados a los
cambios de entrada; se nota que a medida que x
aumenta la diferencia x + 1 − x decrece.
Ejemplo 18. Otro ejemplo de aproximación de
raíces cuadradas
GLOSARIO
x +1 ≈ x +
TEMAS CAPÍTULO 1
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
22
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
Ejemplo 19. Aproximación lineal de sen(x)
Aproximar sen (31 ) utilizando diferenciales.
Ejemplo 20. Aproximación lineal de ln|x|
TEMAS CAPÍTULO 1
23
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Aproximar ln( x + 2) mediante diferenciales, en
términos de ln x y x .
GLOSARIO
RECURSOS
Ejemplo 21. Otro ejemplo de aproximación
de ln|x|
ACTIVIDAD
Aproximar ln (e + 2) usando diferenciales:
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.6. Aproximación lineal
1.6.1. Actividades de repaso: ejercicios
1.6.2. Respuestas a los ejercicios propuestos
Aproxime el valor usando diferenciales.
Da clic en los números para ver la solución de los ejercicios anteriores.
TEMAS CAPÍTULO 1
24
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
GLOSARIO
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
Glosario
1.7. Razones de cambio relacionadas
y f ( x + h) − f ( x) y ∆x =h son los incremen Donde ∆=
tos de las variables y y x , respectivamente.
En esta sección se estudiarán problemas cuya incógnita
es la razón a la que cambia determinada variable. Una razón de cambio, con respecto al tiempo, responde a la
pregunta: ¿cuán rápido cambia una cantidad?
dL
es la razón o tasa de
dt
cambio, o cuán rápido cambia el lado con respecto al tiempo. Una razón de, por ejemplo, 3 pies / seg . quiere decir que
el lado crece 3 pies cada segundo. Al definir la derivada de
una función y = f ( x) en un punto x , se explicitó que:
f ′( x)
f ( x + h) − f ( x )
∆y
lim
= lim
h →0
∆x →0 ∆x
h
(1.17)
∆y f (a + h) − f (a )
=
∆x
h
es la razón entre el cambio de la variable y = f ( x) y el
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∆y
∆x
= f '( x)
representa la razón de cambio instantánea de y para cambios de x cada vez más pequeños.
Existen problemas en los cuales se presenta una relación definida por una ecuación entre varias variables y
donde intervienen intensidades de cambio respecto a otra
variable (generalmente el tiempo) y se pide conocer la variación de una de ellas, conociendo las variaciones restantes.
Pág. 1 de 9
D.R.
d. Plantee una ecuación que relacione las variables cuyas razones
de cambio están dadas o han de
determinarse.
(1.18)
cambio de la variable x, y la expresión lim ∆x→0
c. Analice el enunciado del problema y distinga cuáles razones de
cambio se conocen y cuál es la
razón de cambio que se requiere.
e. Usando la regla de la cadena,
derive implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4),
con respecto al tiempo t, con el fin
de obtener la ecuación de razones
relacionadas.
f. Sustituya en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y
sus razones de cambio, a fin de
deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es hasta este
momento, cuando se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos
del problema).
CONCLUSIÓN
CONCLUSIÓN
cambia con el tiempo, entonces
El cociente:
b. Designe con símbolos todas las
cantidades dadas y las cantidades
por determinar que varían con el
tiempo.
ACTIVIDAD
ACTIVIDAD
Por ejemplo, si L representa el lado de un cuadrado que
y f ( x + h) − f ( x )
1. El incremento ∆=
representa el cambio de la variable y .
h muestra el cambio
2. El incremento ∆x =
de la variable x .
a. De ser posible, trace un diagrama
que ilustre la situación planteada.
RECURSOS
RECURSOS
Si el lado de un triángulo equilátero aumenta de manera
uniforme a razón de 3 pies por segundo. ¿A qué velocidad
aumenta el área del triángulo cuando el lado mide 10 pies?
Con respecto a estos incrementos se puede
decir que:
glosarioGLOSARIO
Los problemas de razones de cambio o tasas relacionadas, como se conocen actualmente, se remontan a
1836, cuando William Ritchie (1790-1837), profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Londres, publicó su
libro Principles of the Differential and Integral Calculus, en
el cual se incluían problemas como el siguiente:
Razones de cambio relacionadas:
Los siguientes pasos son importantes
para resolver problemas de razón de
cambio relacionadas:
TEMAS CAPÍTULO 1
MAPA
25
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
Esta clase de problemas recibe el nombre de razones de cambio o tasas relacionadas. Los siguientes pasos son importantes para resolver problemas
de razón de cambio relacionadas:
TEMAS CAPÍTULO 1
26
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Da clic en los números para ver los pasos.
GLOSARIO
RECURSOS
ACTIVIDAD
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CONCLUSIÓN
Veamos cómo se aplica la teoría anterior en la solución de problemas, en los ejercicios que veremos es importante recordar que toda cantidad es una
función del tiempo. Por lo tanto, podemos derivar cada una de estas cantidades con respecto al tiempo t .
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Ejemplo 22. Balón que se desinfla
Ejemplo 23. El avión y el observador
Un avión de combate vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a
una velocidad de 600 millas por hora cuando pasa directamente sobre un
observador. Encontrar la razón a la que aumenta la distancia entre el avión
y el observador cuando aquél está a 5 millas de éste.
GLOSARIO
Un balón esférico se desinfla de modo que su área superficial disminuye a razón de 2 cm 2/min, hallar la razón a la cual disminuye el
diámetro cuando éste es de 15 cm.
TEMAS CAPÍTULO 1
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
27
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 24. El auto y el autobús que se alejan
Ejemplo 25. Piedra arrojada a un estanque
Un niño arroja una piedra a un estanque de agua tranquila causando ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud a razón de
0.5 m/ seg. ¿Con qué rapidez aumenta el área del círculo formado por la
onda cuando ésta tiene un radio de 20 m?
GLOSARIO
Un automóvil H viaja hacia el Norte a 50 km/h desde una estación de
servicio P. Cinco minutos más tarde, un autobús de pasajeros M viaja hacia
el Sur a 60 km/h desde una terminal Q ubicada a 100 metros al Este de la
estación P. ¿A qué razón se separan el auto y el autobús 15 minutos después de que éste último empezó a viajar?
TEMAS CAPÍTULO 1
28
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 26. Llenado de un tinaco cilíndrico
Ejemplo 27. Barcos que se alejan del puerto
A la 1:00 p.m., dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja
hacia el Sur a una velocidad de 30 km/h y el otro hacia el Este a una velocidad de 40 km/h. ¿A qué razón cambia la distancia entre los dos barcos a
las 3:00 p.m.?
GLOSARIO
¿Qué tan rápido sube el nivel de agua en un tinaco cilíndrico de base
circular y 5 m de radio, si le está entrando agua a razón de 30 litros por segundo?
TEMAS CAPÍTULO 1
29
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 28. Arrastre de un bote
Ejemplo 29. Escalera que cae
Una escalera de 5 m de longitud está apoyada contra una casa cuando
su base empieza a resbalarse. En el momento en que la base está a 3 m de
de la casa, la base se está moviendo a razón de 2 m/seg. ¿Qué tan rápido
se está resbalando por la pared el extremo superior de la escalera en ese
momento?
GLOSARIO
Una persona está parada en un muelle y jala un bote por medio de una
cuerda a una razón de 2 m/seg. El extremo de la cuerda se encuentra a 3
m sobre el nivel del agua. ¿Qué tan rápido se está aproximando el bote a la
base del muelle cuando restan por jalar 5 m de cuerda?
TEMAS CAPÍTULO 1
30
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RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Ejemplo 30. Movimiento de una sombra
Es decir, si y = R( x) ( R relaciona y con x ) y tanto x como y
varían con el tiempo, es razonable desear hallar el cambio en
y con respecto al tiempo, dado que se conoce el cambio en
x con respecto al tiempo, en tal caso dy dy dx
=
dt dx dt .
GLOSARIO
Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior, un hombre
de 1.70 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2
m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta de la sombra del
hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece la sombra del hombre?
Con base en lo expuesto en la sección, en todo problema de razones
relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia
una cantidad y con el tiempo; matemáticamente, la relación que guarda
dicha cantidad con el tiempo viene dada mediante la regla de la cadena.
TEMAS CAPÍTULO 1
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
31
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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Cálculo integral
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
®
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
1.7.1. Actividades de repaso: ejercicios
velocidad sube el nivel del agua en el instante en que la profundidad del
agua es de 8 m?
dt
5. En un tanque entra agua a razón de 5 m3/min. El tanque tiene la forma
de cono invertido, de altura 20 m y radio de la base igual a 10 m. ¿Con qué
9. Dos estaciones de radar A y B, con B ubicada 6 km al Este de A están
siguiendo un barco. En cierto instante, el barco está a 5 km de A y esta distancia se incrementa a razón de 28 km/h. En el mismo instante, el barco se
ubica a 5 km de B, pero su distancia se incrementa a razón de 4 km/h. ¿Con
qué rapidez se está moviendo el barco?
10. Una luz está en el suelo a 40 metros de un edificio. Un hombre de 2
metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a 2 m/seg. ¿A qué
velocidad está disminuyendo su sombra en el edificio en el instante en que
el hombre está a 20 m del edificio.
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CONCLUSIÓN
4. Un avión voló sobre un aeropuerto a la velocidad de 300 km/h. Diez
minutos después, otro avión voló sobre el aeropuerto a 240 km/h. Si el primer avión volaba hacia el Oeste y el segundo volaba hacia el Sur (ambos a
la misma altura), determine la velocidad con que se estaban separando 20
minutos después de que el segundo avión pasó sobre el aeropuerto.
8. Un diamante de béisbol tiene 90 pies de lado (es de forma cuadrada).
Un hombre corre de la primera a la segunda base a 25 pies/seg. ¿A qué
velocidad está disminuyendo su distancia a la tercera base en el instante en
que está a 30 pies de la primera?
ACTIVIDAD
3. Un balón en forma de esfera se infla a razón de 10 m3 /min. Halle la
razón a la cual el área de la superficie se incrementa cuando el radio de la
esfera es de 3 m.
7. Un punto se mueve a lo largo de la gráfica de x 2 + y 2 =
25 . Cuando el
punto está en (−3, 4) , su coordenada x se incrementa a razón de 0.4 unidades
por segundo. ¿Qué tan rápido cambia la coordenada y en aquel momento?
RECURSOS
2. Un faro está localizado en una isla a 5 km de distancia de un punto B
más cercano a una playa recta y la velocidad angular de su luz es de 3 radianes por minuto. ¿Con qué velocidad se mueve la luz a lo largo de la playa
cuando el rayo y la orilla de la playa forman un ángulo de 60° (la velocidad
angular ω = dθ )?
6. Dos automóviles parten simultáneamente desde un punto A. Uno de ellos
se dirige hacia el Oeste a 60 km/h, y el otro se dirige hacia el Norte a 35 km/h.
¿A qué velocidad aumenta la distancia entre ambos tres horas después?
GLOSARIO
1. Una piscina rectangular de 10 m de largo y 5 m de ancho tiene un extremo de 3 m de profundidad y otro de 1 m de profundidad. Si se bombea
agua a la piscina a razón de 300 litros por minuto. ¿A qué velocidad aumentará el nivel de agua cuando el extremo más hondo alcanza un nivel de 1.5
m de profundidad? (Nota: 1 litro de agua es igual 10−3 m3 ).
TEMAS CAPÍTULO 1
32
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.7. Razones de cambio relacionadas
TEMAS CAPÍTULO 1
33
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
1.7.2. Respuestas a los ejercicios propuestos
GLOSARIO
1. 0.008 m / min
2. 20 k m / min
3. 6.67 m 2 / min
4. 6.29 km / min
5. 0.0994 m / min
RECURSOS
6. 69.462 km / h
7. 0.3 unidades / seg
8. −13.867 pies / seg
9. 28.284 km / h
10. −0.4 m / seg
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
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D.R.
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Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.8. Conclusión del capítulo: La diferencial
Conclusión del capítulo 1
1.8. Conclusión del capítulo: La diferencial
CONCLUSIÓN
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011.
ACTIVIDAD
©
RECURSOS
D.R.
GLOSARIO
En este capítulo se estudió el concepto de diferencial, el cual permite aproximar
cambios en valores de una función en puntos cercanos a puntos donde la función es
derivable. Además se vio que una aproximación mediante diferenciales está relacionada a una aproximación lineal, se analizaron situaciones en las que es posible
obtener la aproximación de la gráfica de
una función por medio de una recta. En la
última sección, se aprendió que una de las
formas más comunes de medir el cambio
es con respecto al tiempo. También se proporcionaron ejemplos de razones de cambio relacionadas, sin embargo, en el área
de la Economía existen razones de cambio
relacionadas que no se miden con respecto al tiempo, sino con respecto a la utilidad
o con respecto a la cantidad de unidades
vendidas.
TEMAS CAPÍTULO 1
34
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Cálculo integral
®
1. La diferencial
1.9. Ejercicio integrador
Actividad del capítulo 1
TEMAS CAPÍTULO 1
35
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
1.9. Ejercicio integrador
GLOSARIO
RECURSOS
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
D.R.
©
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Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
TEMAS CAPÍTULO 1
GLOSARIO
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
E
Diferencial:
Error de estimación:
Si y = f ( x) es una función derivable y ∆x es un incremento arbitrario de la
variable independiente x , entonces:
Error promedio =
=
La diferencial dy de la variable dependiente y es: dy
f ′( x)∆=
x f ′( x)dx
Error porcentual = (error
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promedio) ×100
CONCLUSIÓN
y la diferencial dx de la variable independiente x es: ∆x D.R.
error de medición
valor medido
ACTIVIDAD
D
Z
RECURSOS
Glosario del capítulo 1
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
R
Incrementos:
Razones de cambio relacionadas:
Sea y = f ( x) una función, si x tiene un incremento
∆x , entonces el incremento ∆y viene dado por:
Los siguientes pasos son importantes para resolver problemas de razón de cambio relacionadas:
∆
=
y f ( x + ∆x) − f ( x)
Linealización:
Para aproximar a f ( x) con x en el dominio de f
seleccionamos a tal que
c) Evaluamos f (a ) + f ′(a )( x − a ) ≈ f ( x)
c) Analice el enunciado del problema y distinga
cuáles razones de cambio se conocen y cuál
es la razón de cambio que se requiere.
d) Plantee una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas
o han de determinarse.
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CONCLUSIÓN
e) Usando la regla de la cadena, derive implícitamente ambos miembros de la ecuación
D.R.
ACTIVIDAD
a) f (a ) y f ′(a ) sean fáciles de calcular, y
b) ( x − a ) sea relativamente pequeño
b) Designe con símbolos todas las cantidades
dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.
f) Sustituya en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida.
(Nota: Es hasta este momento, cuando se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos
del problema).
RECURSOS
L
a) De ser posible, trace un diagrama que ilustre la situación planteada.
obtenida en (4), con respecto al tiempo t, con
el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas.
GLOSARIO
I
Z
TEMAS CAPÍTULO 1
Glosario del capítulo 1
Cálculo integral
®
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
TEMAS CAPÍTULO 1
GLOSARIO
RECURSOS
Recursos del capítulo 1
»» Dendane, A. (20 de marzo de 2007). Linear Approximation of Functions.
»» Husch, L. the University of Tennessee (1995-2001). Visual calculus: Drill - Differentials.
»» Khamsi, M.A. & Knaust, H. (1999-2011). Linear Approximations.
ACTIVIDAD
CONCLUSIÓN
D.R.
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Cálculo integral
®
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Ligas de interés
Capítulo 1. La diferencial
»» Dendane, A. (20 de marzo de 2007). Linear Approximation of Functions.
»» Husch, L. the University of Tennessee (1995-2001). Visual calculus: Drill - Differentials.
»» Khamsi, M.A. & Knaust, H. (1999-2011). Linear Approximations.
Capítulo 2. La integral indefinida
»» Claeys. (s.f). Problems about integration.
»» Mendoza. (s.f). Calculus on the Web.
»» Wallace.(s.f). Calculus Summary.
Capítulo 3. La integral definida
»» Husch.(s.f). Visual calculus: More about Areas.
»» Husch.(s.f). Visual calculus: Arc Length.
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Ligas de interés
Capítulo 4. Técnicas de integración
»» Lawrence S. the University of Tennessee (1995-2001). Visual calculus: Drill - Integration by Parts.
»» Thomas S. Downey (s.f). Integration by Substitution.
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Cálculo integral
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Glosario general
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
A
n
=
A lim ∑ f (ci )∆x
Área de una región:
Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], con f ( x) ≥ 0 para toda x en [a, b] , y
que R es la región limitada por la curva y = f ( x) , el
eje X y las rectas x=a y x=b. Dividir el intervalo [a,b]
b−a
en n subintervalos cada uno de longitud ∆x =
,
n
se denota el i-ésimo subintervalo por [ xi −1 , xi ] .
Entonces si f (ci ) es el valor mínimo de la función
n →∞
i =1
C
Condiciones iniciales:
La información adicional recibe el nombre de condiciones iniciales y la solución que se obtiene al
aplicar las condiciones iniciales se llama solución
particular.
en el i-ésimo subintervalo, la medida del área de la
región R viene dada por
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Z
D
Diferencial:
Si y = f ( x) es una función derivable y ∆x es un incremento arbitrario de la variable independiente x ,
entonces:
La diferencial dy de la variable dependiente y es:
dy
= f ′( x)∆=
x f ′( x)dx
y la diferencial dx de la variable independiente x
es: ∆x Cálculo integral
®
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Glosario general
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
E
tivas F(x) de f(x) de modo que la derivada de F(x)
es igual a f(x). Simbólicamente:
Error de estimación:
ʃ f(x)dx = {F(x)+C |
C es constante y F1(x) = f(x)}
promedio) ×100
La fórmula de integración por sustitución dice que:
I
ʃ f(g(x))g’(x)dx= ʃ f(u)du
Incrementos:
Integral indefinida:
Sea f(x) una función derivable, se llama integral indefinida y se denota por ʃ f(x) dx (léase integral de
f con respecto a x), al conjunto de todas las primi-
©
b) Para evaluar integrales del tipo
cuando:
∫ tan
m
( x) secn ( x) dx
ii. m entero positivo impar.
Integración por cambio de variable o sustitución trigonométrica:
Se utiliza para evaluar integrales del tipo ʃ f(g(x))
g’(x) dx, que involucran una elección de la función
de sustitución u, más algunos pasos de carácter
algebraico.
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D.R.
ii. m y n enteros pares no negativos
i. n es un entero positivo par.
Sea y = f ( x) una función, si x tiene un incremento
∆x , entonces el incremento ∆y viene dado por:
∆
=
y f ( x + ∆x) − f ( x)
m
n
sen
(
x
)
cos
( x)dx cuando:
∫
i. m ó n enteros positivos impares.
Integración por sustitución:
Integración de potencias de funciones
trigonométricas:
a) Para evaluar integrales del tipo
error de medición
Error promedio =
valor medido
Error porcentual = (error
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Integración por partes:
La fórmula de integración por partes es:
=
∫ u dv
uv − ∫ v du
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Glosario general
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
L
P
Primitiva o antiderivada:
Linealización:
Para aproximar a f ( x) con x en el dominio de f
seleccionamos a tal que
a) f (a ) y f ′(a ) sean fáciles de calcular, y
b) ( x − a ) sea relativamente pequeño
c) Evaluamos f (a ) + f ′(a )( x − a ) ≈ f ( x)
Una función es la primitiva o antiderivada de otra
función si cumple con la propiedad de que al derivarla se obtiene la función original. Esto es, la
función F(x) es una primitiva o antiderivada de la
función f(x) si F1(x)=f(x).
R
Razones de cambio relacionadas:
Los siguientes pasos son importantes para resolver problemas de razón de cambio relacionadas:
Longitud de arco:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] , la longitud del arco comprendido en el intervalo es:
=
L
b
∫
1 + [ f ´( x) ] dx
2
a
a) De ser posible, trace un diagrama que ilustre
la situación planteada.
b) Designe con símbolos todas las cantidades
dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.
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Z
c) Analice el enunciado del problema y distinga
cuáles razones de cambio se conocen y cuál es
la razón de cambio que se requiere.
d) Plantee una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o
han de determinarse.
e) Usando la regla de la cadena, derive implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo t, con el fin
de obtener la ecuación de razones relacionadas.
f) Sustituya en la ecuación resultante del punto
(5), todos los valores conocidos de las variables
y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es
hasta este momento, cuando se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos del problema).
Cálculo integral
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Glosario general
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y
R
T
V
Regla de Barrow:
Teorema fundamental del cálculo:
Valor promedio:
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F(x) es
una primitiva suya, entonces:
Si f(x) es una función continua en [a, b], entonces
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] , su valor promedio en el intervalo es:
x
dx con x ∈
su función de área asociada F(x)= ∫ f ( x)dx,
a
[a, b], es derivable y se verifica que:
b
∫
f ( x=
)dx F (b) − F (a )
a
F ′( x) = f ( x)
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fprom =
b
1
f ( x)dx
∫
b−a a
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Referencias
Capítulo 1. La diferencial
»» Baum, A.; Milles, S. J. y Schultz, H. J. (1992). Cálculo aplicado. México: Limusa.
»» Edwards, C. H. Jr. y Penney, D. E. (1996). Cálculo con geometría analítica (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Goldstein, L. J.; Lay, D. C. y Schneider, D. I. (1990). Cálculo y sus aplicaciones (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Heyd, D. E (1993). Guía de cálculo, Serie Schaum. México: Mc. Graw Hill.
»» Leithold, L. (1991). El cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Harla.
»» Purcell, E. J. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Stein, K. y Barcellos, A. (1995). Cálculo y geometría analítica (5ª ed.).Vol. 1. México: Mc. Graw Hill.
»» Stewart, J. (1999). Cálculo: Conceptos y contextos. México: Thompson editores.
»» Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica (2ª ed.). México: Grupo editorial Iberoamérica.
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Referencias
»» Thomas, G. B. Jr. y Finney, R. L. (1996). Cálculo de una variable (9ª ed.). México: Pearson.
Capítulo 2. La integral indefinida
»» Baum, A.; Milles, S. J. y Schultz, H. J. (1992). Cálculo aplicado. México: Limusa.
»» Edwards, C. H. Jr. y Penney, D. E. (1996). Cálculo con geometría analítica (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Goldstein, L. J.; Lay, D. C. y Schneider, D. I. (1990). Cálculo y sus aplicaciones (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Heyd, D. E (1993). Guía de cálculo, Serie Schaum. México: Mc. Graw Hill.
»» Leithold, L. (1991). El cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Harla.
»» Purcell, E. J. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Stein, K. y Barcellos, A. (1995). Cálculo y geometría analítica (5ª ed.).Vol. 1. México: Mc. Graw Hill.
»» Stewart, J. (1999). Cálculo: Conceptos y contextos. México: Thompson editores.
»» Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica (2ª ed.). México: Grupo editorial Iberoamérica.
»» Thomas, G. B. Jr. y Finney, R. L. (1996). Cálculo de una variable (9ª ed.). México: Pearson.
Capítulo 3. La integral definida
»» Baum, A.; Milles, S. J. y Schultz, H. J. (1992). Cálculo aplicado. México: Limusa.
»» Edwards, C. H. Jr. y Penney, D. E. (1996). Cálculo con geometría analítica (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Goldstein, L. J.; Lay, D. C. y Schneider, D. I. (1990). Cálculo y sus aplicaciones (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Heyd, D. E (1993). Guía de cálculo, Serie Schaum. México: Mc. Graw Hill.
»» Leithold, L. (1991). El cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Harla.
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Referencias
»» Purcell, E. J. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Stein, K. y Barcellos, A. (1995). Cálculo y geometría analítica (5ª ed.).Vol. 1. México: Mc. Graw Hill.
»» Stewart, J. (1999). Cálculo: Conceptos y contextos. México: Thompson editores.
»» Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica (2ª ed.). México: Grupo editorial Iberoamérica.
»» Thomas, G. B. Jr. y Finney, R. L. (1996). Cálculo de una variable (9ª ed.). México: Pearson.
Capítulo 4. Técnicas de integración
»» Baum, A.; Milles, S. J. y Schultz, H. J. (1992). Cálculo aplicado. México: Limusa.
»» Dunham, W. (2005). The calculus gallery masterpieces from Newton to Lebesgue. Reino Unido. Pnnceton University Press.
»» Edwards, C. H. Jr. y Penney, D. E. (1996). Cálculo con geometría analítica (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Goldstein, L. J.; Lay, D. C. y Schneider, D. I. (1990). Cálculo y sus aplicaciones (4ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Heyd, D. E (1993). Guía de cálculo, Serie Schaum. México: Mc. Graw Hill.
»» Leithold, L. (1991). El cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Harla.
»» Purcell, E. J. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica (6ª ed.). México: Prentice Hall.
»» Stein, K. y Barcellos, A. (1995). Cálculo y geometría analítica (5ª ed.).Vol. 1. México: Mc. Graw Hill.
»» Stewart, J. (1999). Cálculo: Conceptos y contextos. México: Thompson editores.
»» Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica (2ª ed.). México: Grupo editorial Iberoamérica.
»» Thomas, G. B. Jr. y Finney, R. L. (1996). Cálculo de una variable (9ª ed.). México: Pearson.
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Martínez Reyes, Carlos Armando
Cálculo integral / Carlos Armando Martínez Reyes.
p.170 cm.
1. Cálculo integral
LC: QA309
2. Cálculo integral—Enseñanza
Dewey: 515.076
eBook editado, diseñado, publicado y distribuido por el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio sin previo y expreso consentimiento por escrito del Instituto Tecnológico
y de Estudios Superiores de Monterrey.
D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México. 2011
Ave. Eugenio Garza Sada 2501 Sur Col. Tecnológico C.P. 64849 | Monterrey, Nuevo León | México.
ISBN en trámite
Edición preliminar: noviembre del 2011.
D.R.
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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011.
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TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Índice
Introducción del eBook������������������������������������������������������������������������������������ iii
Capítulo 1. La diferencial����������������������������������������������������������������������������������1
1.1. Lo que se necesita saber������������������������������������������������������������2
1.2. Breve reseña histórica����������������������������������������������������������������2
1.3. Incrementos y diferenciales��������������������������������������������������������3
1.3.1. Actividades de repaso: ejercicios��������������������������������������7
1.3.2. Respuestas a los ejercicios propuestos���������������������������7
1.4. Reglas y fórmulas para diferenciales������������������������������������������8
1.4.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������10
1.4.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������10
1.5. Aproximación del cambio de una función por su diferencial���� 11
1.5.1. Actividades de repaso: ejercicios ���������������������������������15
1.5.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������17
1.6. Aproximación lineal�������������������������������������������������������������������18
1.6.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������24
1.6.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������24
1.7. Razones de cambio relacionadas���������������������������������������������25
1.7.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������32
1.7.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������33
Conclusión del capítulo 1������������������������������������������������������������������������34
1.8. Conclusión del capítulo: La diferencial�������������������������������������34
Actividad��������������������������������������������������������������������������������������������������35
1.9. Ejercicio integrador�������������������������������������������������������������������35
Glosario del capítulo 1����������������������������������������������������������������������������36
Recursos del capítulo 1���������������������������������������������������������������������������38
Capítulo 2. La integral indefinida��������������������������������������������������������������������39
2.1. Lo que se necesita saber����������������������������������������������������������40
2.2. Breve reseña histórica��������������������������������������������������������������40
2.3. La primitiva o antiderivada.�������������������������������������������������������41
2.4. La integral indefinida.����������������������������������������������������������������43
2.5. Integral de funciones algebraicas.��������������������������������������������46
2.5.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������51
2.5.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������51
2.6. Integración de funciones trigonométricas���������������������������������52
2.6.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������54
2.6.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������54
2.7. Integral de funciones exponenciales�����������������������������������������56
2.7.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������58
2.7.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������58
2.8. Condiciones iniciales y soluciones particulares������������������������59
2.8.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������63
2.8.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������63
2.9. Integración por sustitución��������������������������������������������������������64
2.9.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������72
2.9.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�������������������������72
Conclusión del capítulo 2������������������������������������������������������������������������76
2.10. Conclusión del capítulo: La integral indefinida������������������������76
Actividad��������������������������������������������������������������������������������������������������77
2.11. Ejercicio integrador������������������������������������������������������������������77
Glosario del capítulo 2����������������������������������������������������������������������������78
Recursos del capítulo 2���������������������������������������������������������������������������79
Capítulo 3. La integral definida�����������������������������������������������������������������������80
3.1. Lo que se necesita saber����������������������������������������������������������81
3.2. Breve reseña histórica��������������������������������������������������������������81
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TECNOLÓGICO DE MONTERREY
Índice
3.3. Sumas de Riemann y áreas������������������������������������������������������82
3.4. La integral definida��������������������������������������������������������������������89
3.5. Propiedades de la integral definida�������������������������������������������90
3.5.1. Actividades de repaso: ejercicios������������������������������������96
3.6. Aplicaciones de la integral definida�������������������������������������������97
3.6.1. Área bajo la curva�����������������������������������������������������������97
3.6.2. Área entre curvas���������������������������������������������������������105
3.6.3. Actividades de repaso: ejercicios���������������������������������� 112
3.6.4. Valor promedio de una función������������������������������������� 113
3.6.5. Actividades de repaso: ejercicios���������������������������������� 115
3.6.6. Longitud de arco����������������������������������������������������������� 116
3.6.7. Actividades de repaso: ejercicios���������������������������������� 119
Conclusión del capítulo 3����������������������������������������������������������������������120
3.7. Conclusión del capítulo: La integral indefinida������������������������120
Actividad������������������������������������������������������������������������������������������������121
3.8. Ejercicio integrador�����������������������������������������������������������������121
Glosario del capítulo 3��������������������������������������������������������������������������122
Recursos del capítulo 3�������������������������������������������������������������������������124
Capítulo 4. Técnicas de integración�������������������������������������������������������������125
4.1. Lo que se necesita saber��������������������������������������������������������126
4.2. Breve reseña histórica������������������������������������������������������������126
4.3. Integración por cambio de variable o sustitución algebraica��127
4.3.1 Actividades de repaso: ejercicios ����������������������������������131
4.4. Integrales de potencias de funciones trigonométricas������������133
4.4.1. Actividades de repaso: ejercicios����������������������������������140
4.4.2. Respuestas a los ejercicios propuestos�����������������������140
4.5. Integración por partes�������������������������������������������������������������141
4.5.1. Integración tabular��������������������������������������������������������149
4.5.2. Actividades de repaso: ejercicios����������������������������������153
4.5.3. Respuestas a los ejercicios propuestos�����������������������153
Conclusión del capítulo 4����������������������������������������������������������������������155
4.6. Conclusión del capítulo: Técnicas de integración�������������������155
Actividad������������������������������������������������������������������������������������������������156
4.7. Ejercicio integrador�����������������������������������������������������������������156
Glosario del capítulo 4��������������������������������������������������������������������������157
Recursos del capítulo 4�������������������������������������������������������������������������158
Ligas de interés��������������������������������������������������������������������������������������������159
Glosario general�������������������������������������������������������������������������������������������161
Referencias��������������������������������������������������������������������������������������������������165
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D.R.
©
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2011.