Capítulo 3 Cuarta parte

Versión 2014
CAPITULO 3
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
División 4
Teorías de Falla Estática
Análisis de Casos
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Introducción
En esta división 4 del capítulo 2, se verán las diferentes teorías de falla estática con sus
respectivas metodologías de cálculo y análisis y aplicaciones a casos reales. Esto significa que
se analizará desde el punto de vista estático o quasi-estático la resistencia de un órgano de
máquina.
Se sabe que la “resistencia” es una propiedad o característica de un elemento mecánico. Esta
propiedad depende en conjunto de diversos factores, a saber: la identidad del material, el
aspecto geométrico de la pieza, y los aspectos debidos a la solicitación. Todas estas facetas se
deben considerar apropiadamente antes de poder establecer algún cuantificador para la
“resistencia de una parte del elemento”. Las tablas de materiales y tablas de dispositivos
(embragues, frenos, etc) no dan información alguna sobre la resistencia de partes específicas.
La “resistencia de una parte del elemento” es una propiedad específica de un elemento de
máquina antes de ser ensamblado en la máquina. Tal propiedad es un indicador muy
importante para caracterizar la respuesta del elemento de máquina. Sin embargo se debe tener
en cuenta que este tipo de indicadores es de carácter aleatorio cuando se trate de elementos
producidos en serie o sometidos a variaciones en los procesos de carga o selección del
material.
En esta división se analizarán las relaciones entre cargas estáticas y resistencias estáticas con
el fin de tomar decisiones respecto del material y su tratamiento, condiciones de geometría y
de carga para poder garantizar un funcionamiento eficiente a un órgano de máquina.
Se analizará el concepto de falla y de rotura y la distinción entre ambas.
2. Concepto de Rotura y de Falla
La idea de rotura o de falla de una pieza está asociada a la idea de desafectar la misma del
mecanismo o máquina en la cual actúa. Sin embargo entre ellas existe una diferencia
conceptual que permite efectuar un análisis diferente en cada caso y tomar decisiones afines.
Un proceso de rotura significa que la pieza se divide en dos o más partes dejando así de
cumplir con la función que tiene asignada como órgano de máquina. Un proceso de falla
aunque es entendido de la misma manera que el anterior como que la pieza deja de cumplir
con la función asignada en la máquina, de por sí constituye un concepto algo más general ya
que contempla al anterior sin embargo la falla de una pieza puede ocurrir sin necesidad de su
rotura. Esta diferencia se puede apreciar en una comparación entre dos probetas de ensayo
compresivo tal como la que se ve en la Figura 3.54
Existen diferentes mecanismos de falla en diferentes tipos de piezas construidas con
diferentes tipos de materiales (En algunos casos se presentan dos o más como en la Figura
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3.55, donde pueden aparecen deformación por fuerzas, impacto, erosión superficial entre
otras), algunas de las cuales se pueden enunciar a continuación:
Figura 3.54. Distinción del proceso de falla y de rotura
Figura 3.55. Multiplicidad de efectos de falla en una misma pieza
1. Deformación inducida por fuerzas y/o Temperatura
2. Desplazamientos inducidos por fuerzas o temperatura (pandeo)
3. Límite de Fluencia
4. Rotura Dúctil
5. Rotura Frágil
6. Fatiga estructural
7. Fatiga Superficial
8. Impacto o falla dinámica
9. Desgaste por fricción
10. Endurecimiento parcial
11. Daño por Radiación: típico en materiales como los plásticos.
12. Corrosión
13. Desgaste por Corrosión
14. Fatiga por Corrosión
15. Fatiga por “Fretting”
16. Desgaste por “Fretting”
17. Relajación Térmica.
18. Rotura por tensiones térmicas: Efectos concentradores de tensiones
19. Falla por efectos Creep: presencia de deformaciones sostenidas en el tiempo
20. Fatiga Térmica:
21. Shock o Golpe Térmico: modificación estructural por efecto térmico
22. Spalling
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23. Debonding: Pérdida de contacto entre fibras y resina en materiales compuestos
24. Delamination: Pérdida de contacto entre láminas de materiales compuestos
La lista anterior es solo una muestra de la gran cantidad de mecanismos de falla que se pueden
presentar en piezas construidas con diversos materiales y formas. Cada una de las precedentes
tiene un proceso de análisis específico para caracterizar el potencial estado de falla de la
pieza. Si bien cada caso es diferente en su enfoque y en las variables que se ponen en juego y
los métodos de cálculo que se utilizan (en complejidad y representatividad), todas tienen en
común la necesidad de caracterizar aspectos geométricos relativos al proceso de falla.
La concentración de Tensiones
La concentración de tensiones es un efecto geométrico sumamente localizado. En algunos
casos se puede deber a una grieta superficial, en otros se puede deber a un maquinado no
adecuado o a la selección de radios de acuerdo muy bruscos entre superficies no
concordantes. Si el material es dúctil, la carga estática de diseño, puede generar una fluencia
en el punto crítico sobre la mueca. Esta fluencia puede conducir a un endurecimiento por
deformación del material y a un incremento de la resistencia de fluencia en tal punto. Suele
suceder que siendo las cargas estáticas, la fluencia localizada no conduce a fluencia general y
en consecuencia la pieza globalmente puede soportar la solicitación.
Figura 3.56. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por foto elasticidad
Figura 3.57. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por termo elasticidad radiométrica
Un concentrador de tensión, es una discontinuidad que altera la distribución de la tensión en
inmediaciones de la discontinuidad. Este tipo de discontinuidades se puede ver en las Figuras
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3.56 a 2.57. La concentración de tensiones es la zona donde se hallan los concentradores de
tensiones. Normalmente se define el factor de concentración de tensiones, como el indicador
del incremento de tensiones en la concentración de tensiones, y se calcula de la siguiente
manera:
Tensión Máxima Puntual
(3.155)
Tensión Promedio Puntual
Los factores concentradores de tensión, históricamente han sido y actualmente son muy útiles
para poder emplear metodologías de cálculo tradicionales (Resistencia de Materiales) sin
incurrir en graves errores de representatividad del estado tensional. De manera que el estado
KC 
tensional en un punto viene dado por la siguiente expresión:
 Max  K C Nom
(3.156)
Donde Max es la tensión normal o tangencial que se pretende valorar en la zona
concentradora de tensiones, KC el coeficiente concentrador de tensiones y Nom la tensión
nominal obtenida por cálculo de resistencia de materiales (Flexión, Tracción, torsión, etc.).
Para la obtención de los factores de concentración de tensiones usualmente se recurría a
ensayos de foto-elasticidad (Figura 3.56) o termo-elasticidad radiométrica (Figura 3.57) los
cuales son métodos costosos en términos generales. Sin embargo hoy en día con el avance
computacional es mucho más fácil y obtener los factores concentradores de tensión mediante
el empleo de plataformas de cálculo por elementos finitos bidimensionales y/o
tridimensionales, con las cuales se puede hallar en forma precisa el valor de las tensiones en
los puntos de interés.
Aun así en casos de importancia superlativa, por el riesgo que implica la mala predicción de
los estados de tensiones, se suelen efectuar modelos computacionales de elementos finitos y
correlacionarlos con modelos de foto elasticidad a escala o de tamaño real tal como se puede
ver en el ejemplo de un tren de aterrizaje en la Figura 3.58.
Normalmente los factores de concentración de tensiones se condensan en gráficos o ábacos o
programas de cálculo para una configuración de solicitación determinada, un elemento
estructural determinado para varias configuraciones de parámetros geométricos, como por
ejemplo relaciones de alturas de vigas a radios de acuerdo en muescas, de agujeros,
chaveteros, etc.
En las Figuras 3.59 a 2.70 se muestran las gráficas de factores de concentración de tensiones
para diferentes configuraciones geométricas y de carga. Nótese que las curvas se grafican en
función de la razón del radio de acuerdo (o agujero) a una longitud característica (diámetro
menor o altura menor, etc). En las Figuras a su vez se indican las formulas particulares de
cada caso, homónimas a la (3.156) para calcular la tensión máxima en función de la
denominada tensión nominal. En el disco que la cátedra suministra se hallan como rutinas de
cálculo en una planilla excel denominada “Formulas-Calculo-Basico.xls”, todos los casos
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identificados en las Figuras 2.59 a 2.70 y otros adicionales que fueron adaptados de la
referencia [3]. El mencionado archivo se halla en “D:\Programas-Calculos Varios”.
Figura 3.58. Modelo de foto elasticidad de tren de aterrizaje (Tomado de Referencia [4])
Figura 3.59. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con radio de acuerdo
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Figura 3.60. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con radio de acuerdo
Figura 3.61. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con muesca
Figura 3.62. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con muesca
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Figura 3.63. Concentración de tensiones para eje traccionado con radio de acuerdo
Figura 3.64. Concentración de tensiones para eje flexionado con radio de acuerdo
Figura 3.65. Concentración de tensiones para eje torsionado con radio de acuerdo
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Figura 3.66. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a tracción.
Figura 3.67. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a flexión
Figura 3.68. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a torsión
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Figura 3.69. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a tracción
Figura 3.70. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a flexión.
En la expresión (3.156), el factor KC cambia de significado cuando cambia el tipo de tensión
que magnifica. Esto quiere decir que en los casos de las Figuras 3.65 y 2.68, KC significa un
factor de concentración de tensiones de corte o tangenciales, en cambio para los restantes
casos se trata de un factor de concentración de tensiones normales.
La importancia en el uso de los diagramas 2.59 a 2.70 radica en que son indispensables
cuando se usa una metodología de cálculo basada en modelos de resistencia de materiales. En
caso de contar con una plataforma computacional de análisis por elementos finitos u otra
semejante, las graficas mencionadas dejan de prestar utilidad.
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3. Predicción de falla estática
Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede
presentarse ante una condición de solicitación, sin embargo aquel puede reducirse a estados
biaxiales o triaxiales. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear
experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones,
puesto que tal circunstancia se debe al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por
tal razón se necesitan modelos o teorías que permitan evaluar, comparar y relacionar las
tensiones tridimensionales con los resultados experimentales del ensayo de tracción típico,
cuyo costo es relativamente muy bajo.
TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES DUCTILES
Entre los materiales dúctiles se encuentran la mayoría de los metales y plásticos poliméricos.
Se debe tener presente que en términos generales, los materiales dúctiles tienen la misma
resistencia a la tracción y a la compresión y no son tan susceptibles a las zonas de
concentración de tensiones en términos comparativos con los materiales frágiles.
Se puede considerar que un material dúctil ha fallado cuando en términos globales la tensión
que está soportando alcanza la tensión de fluencia.
Teoría de la máxima tensión cortante
La teoría de la máxima tensión cortante fue introducida en forma independiente por Coulomb
(1773) y por Tresca (1868), y se la suele llamar también Criterio de Fluencia de CoulombTresca o Criterio de Fluencia de Tresca. De acuerdo con la evidencia experimental sobre
laminas de titanio y otros metales, según las cuales los mismos se deformaban según planos
de corte perfectamente definidos. Estas observaciones condujeron a definir el criterio de
fluencia como sigue: Una pieza sujeta a cualquier combinación de cargas sufrirá falla
cuando la tensión cortante máxima exceda un valor crítico. El valor crítico se puede
obtener a partir de los ensayos de tracción y compresión convencionales. La forma analítica
de representar este comportamiento es la siguiente
i/ j 
S sy
ns

Sy
2ns
donde  i / j
 1   2 / 2

 Máx  2   3 / 2
  / 2
3
 1
(3.157)
si se supone que  1   2   3 , entonces (3.157) se puede escribir de la siguiente manera
 1  3 
Sy
ns
(3.158)
En (3.157) y (3.158), ns Ssy y Sy son el coeficiente de seguridad, la tensión de fluencia bajo
corte y la tensión de fluencia del material. Las diferentes combinaciones de tensiones que
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verifican el criterio definido por la ecuación (3.157) o la (3.158) se pueden representar
gráficamente y el lugar geométrico de todos los puntos que verifican fluencia. En la Figura
3.71.a se puede apreciar la zona correspondiente a un caso en el plano.
(a)
(b)
Figura 3.71. Gráficas de (a) teoría de tensión de corte máximo (b) Teoría de la energía de distorsión
Teoría de la Energía de Distorsión
Esta teoría postula que la falla es causada por la energía elástica asociada con la energía de
deformación por corte. La hipótesis de la energía de distorsión surge de la observación que los
materiales dúctiles sometidos a tensiones hidrostáticas tienen resistencias a la fluencia que
exceden los valores de los experimentos de tracción simples (Ver Figura 3.71.b). Esto da la
idea que la fluencia no es un proceso de tracción o compresión simples sino que hay
involucrada cierta distorsión angular en el volumen unitario más solicitado. Esta teoría
predice la fluencia bajo cargas combinadas con mayor exactitud que cualquier otra teoría
conocida. La teoría de la energía de distorsión se puede deducir matemáticamente de varias
maneras. Se analizarán algunas formas de obtener la expresión que rige el comportamiento de
fluencia, para poder cotejarlas y mostrar la utilidad en cada contexto. En la Figura 3.72 se
muestra un volumen elemental con las tensiones principales y como el estado tensional puede
disgregarse en dos, uno de tensiones hidrostáticas y otro de tensiones de distorsión. Las
tensiones hidrostáticas se pueden hallar de la siguiente manera:
h 
 1  2  3
(3.159)
3
La energía de deformación total del cuerpo de la Figura 3.72 viene dada por la expresión:


1 2
(3.160)
 1   22   32  2  1 2   3 2   1 3 
2E
Para hallar la energía de deformación para producir solo un cambio de volumen (como en el
UT 
caso de la Figura 3.72.b), se tiene que sustituir en (3.160) h por cada 1, 2 y 3, así se
obtiene:
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3 h2
1  2 
2E
Ahora reemplazando (3.159) en (3.161) y operando se tiene:
Uh 
(3.161)
1  2 2
(3.162)
 1   22   32  2 1 2  2 3 2  2 1 3
6E
Ahora la energía para distorsionar el cuerpo (Figura 3.72.c) se obtiene de la diferencia entre
(3.160) y (3.162), en consecuencia se obtiene:
Uh 


2
2
2
1    1   3    1   2    2   3  
U d  U T U h 


3 E 
2

(3.163)
Nótese que la energía de distorsión es nula si las tensiones principales son todas iguales es
decir si 1 =2 =3.
Figura 3.72. Volumen elemental bajo tensiones principales. Tensiones hidrostáticas y de distorsión.
Ahora bien, la hipótesis de la energía de distorsión postula que la fluencia ocurrirá cuando
la energía de distorsión de un volumen unitario sea igual a la energía de distorsión del
mismo volumen cuando se lo someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia a la
fluencia. Para un ensayo de tracción se cumple que 1 =e, 2 =3 =0, luego la energía de
distorsión se obtiene como:
Ud 
1  2
e
3E
(3.164)
siendo e la denominada tensión efectiva o tensión de Von Mises.
e 
 1   3 2   1   2 2   2   3 2
(3.165)
2
En consecuencia la expresión de la teoría de la energía de distorsión se puede escribir como:
e 
Sy
ns
(3.166)
Donde ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensión de fluencia del material.
Una de las formas más simples e inmediatas para obtener la mencionada expresión es
empleando el concepto de tensiones octaédricas. Se recordará de la expresión (3.35) donde se
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definen las tensiones octaédricas tangenciales y normales. Entonces, comparando (3.165) y
(3.35) se puede obtener
2
(3.167)
e
3
Lo que significa que la falla se obtendrá cuando la tensión tangencial octaédrica alcance o
 to 
supere la tensión tangencial octaédrica de fluencia.
En consecuencia es fundamental calcular tener varios esquemas con los cuales calcular e, es
decir la tensión equivalente. En el caso que el cuerpo se halle en un sistema cartesiano
tridimensional la tensión equivalente se puede obtener como:
e 


  yy    xx   zz    zz   yy   6  xy2   yz2   xz2
2
xx
2
2

(3.168)
2
En el caso de tensiones en el plano:
e 
 xx2   yy2   xx yy  3 xy2
(3.169)
2
La teoría de la energía de distorsión también puede denominarse de las siguientes formas:
- Criterio de Von Mises – Hencky
- Hipótesis de la tensión cortante octaédrica
- Hipótesis de la energía cortante
En la Figura 3.73 se puede apreciar una comparación entre las dos teorías: de la energía de
deformación y de la máxima tensión de corte:
Figura 3.73. Comparación de las teorías de energía de distorsión y de máxima tensión cortante.
NOTA: Es importante tener en cuenta que los contornos de las regiones de definición de
los criterios de falla (Figuras 3.72 y 2.73), corresponden a un factor de seguridad
unitario en las ecuaciones de cálculo. Esto se puede ver claramente en la Figura 3.74.
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Figura 3.74. Zona de tensiones límite y perfil de tensiones permitidas
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales dúctiles)
Esta teoría se basa en una serie de hipótesis y observaciones efectuadas por Mohr a principios
del siglo XX, mediante los únicos métodos prácticos con que se contaba, es decir con los
círculos Mohr e ideas afines al mismo. Aunque la idea es antigua, sigue siendo útil
conceptualmente. La intención central de esta hipótesis involucra hallar una forma de cálculo
para la tensión de fluencia representativa, conociendo los resultados experimentales de los tres
ensayos de fluencia, a tracción, compresión y corte puro, luego describir sus estados en
respectivos círculos de Mohr y finalmente trazar la envolvente de los tres círculos (Figura
3.75.a) la cual podría ser una recta, parábola o curva cualquiera. Sin embargo es más fácil
obtener una fórmula de resistencia a la fluencia por corte puro en función de los otros dos
experimentos, en vez de efectuar el ensayo de caracterización de fluencia por corte puro
(entiéndase torsión).
(a)
(b)
Figura 3.75. (a) círculos tangentes de compresión, tracción y corte (b) Teoría de la fricción interna (dúctiles)
La hipótesis de la fricción interna establece en un estado de tensiones multiaxiales que la
falla se produce cuando el mayor círculo de Mohr asociado al estado de tensiones en el
punto crítico se hace tangente o excede los límites de la envolvente de falla establecidos
por las condiciones de falla de los ensayos de tracción, compresión y corte.
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Lo útil de esta teoría radica en que conociendo solamente las tensiones de falla por tracción y
por compresión, la tensión de falla por corte se obtiene según la siguiente expresión derivada
del gráfico 2.75.a, como:
S ys 
S yt S yc
S yt  S yc
(3.170)
Ahora bien, en la hipótesis de fricción interna se puede proponer además la idea de que la
envolvente es una línea recta, denominada hipótesis de Coulomb-Mohr, de tal forma que para
cualquier circulo tangente a la línea envolvente BCD con tensiones principales 1 y 3, siendo
1 positiva y 3 negativa, se cumplirá que:
1
S yt

3
S yc

1
siendo  1  0 y  3  0
ns
(3.171)
En la Figura 3.75.b se puede apreciar el dominio de esta teoría. Por otro lado viendo las
Figura 3.75 se puede inferir claramente que si la tensión de falla a compresión posee el mismo
valor absoluto que para tracción, esta teoría se reduce a la teoría de máxima tensión de corte.
TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES FRAGILES
Los materiales frágiles a diferencia de los materiales dúctiles, se fracturan prácticamente sin
presentar fluencia. Una consideración importante y necesaria de involucrar en un criterio de
falla para estos materiales, es la evidencia de que muchos de ellos poseen una resistencia a la
compresión mayor que su contraparte a la tracción.
Teoría de la tensión normal máxima
También denominada Teoría de Rankine. Esta hipótesis establece que la falla ocurre cuando
una de las tres tensiones principales alcanza o supera la tensión de resistencia (rotura).
Así pues esto se puede escribir matemáticamente como:
1 
S ut
S
o  3   uc siempre que  1   2   3
ns
ns
(3.172)
En (3.170) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente,
mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 3.76.a se puede observar la zona
de definición de este criterio (recordando la nota del apartado anterior, con ns = 1).
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales frágiles)
A semejanza de la homónima teoría para materiales dúctiles esta teoría utiliza los mismos
conceptos a diferencia que los valores límite de resistencias corresponden a las resistencias a
la rotura de los materiales frágiles en vez de las correspondientes resistencias a fluencia. De
manera que se empleará la siguiente expresión
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1
S ut

3
S uc

1
siendo  1  0 y  3  0
ns
(3.173)
En (3.173) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente,
mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 3.76.b se muestra el dominio de
esta hipótesis.
(a)
(b)
Figura 3.76. Teorías de (a) máxima tensión normal (b) fricción interna (frágiles) y Mohr-Coulomb modificada
Teoría o hipótesis de la Fricción Interna de Mohr modificada
La teoría de Mohr modificada se funda en la necesidad de ajustar los resultados
experimentales para materiales frágiles a un modelo matemático que los reproduzca. En estas
circunstancias ya no vale la idea que la envolvente de los círculos Mohr para los tres
experimentos básicos sea una línea recta. De tal forma que se puede demostrar que la ley de
comportamiento viene dada por:
1 
S ut 3
S ut S uc

S uc  S ut ns S uc  S ut
si  1  0 y  3  S ut
(3.174)
de la cual surgen otros dos casos particulares
1 
S ut
ns
3 
si  3  S ut
S uc
si  1  0
ns
(3.175)
(3.176)
La Figura 3.76.b muestra una superposición entre las dos variantes de la teoría de fricción
interna, tanto la original como la modificada.
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Comparación de Criterios y selección
En la Figura 3.77 se muestra la comparación de las teorías o criterios para materiales frágiles
y dúctiles. Nótese como la teoría de la energía de distorsión máxima es la más representativa
para los dúctiles y la teoría modificada de Mohr la más representativa para los materiales
fragiles como las fundiciones de hierro. También se puede apreciar que para el hierro fundido
la teoría de máxima tensión normal ofrece buenos resultados
Figura 3.77. Comparación de las teorías y criterios de fallas con resultados experimentales (Tomado de [2])
Cuando se tiene que elegir un criterio de falla, además de ser experimentalmente
representativo para el estereotipo de material (Frágil o dúctil o híbrido entre ambos), se debe
pensar en los siguientes aspectos:
- Facilidad de cálculo para dimensionar y/o verificar
- La selección de una situación segura es decir el coeficiente de seguridad o diseño.
Figura 3.78. Concepción de los Márgenes de seguridad para diferentes criterios de falla
En lo que atañe al primer ítem, el asunto compete a la dificultad del modelo matemático para
encarar ciertos problemas de dimensionamiento. En cuanto al ítem segundo, tiene que ver con
la interpretación que se le da a la tensión admisible para dimensionado y para mantener la
seguridad del diseño. Esto significa la selección de una zona como la que se muestra en la
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Figura 3.74; así la selección de un coeficiente para fijar un margen de seguridad debe
interpretarse como en los casos de la Figura 3.78 para las teorías correspondientes.
4. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2004.
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1998.
[4] Measurements Group Product Binder. http://www.measurementgroup.com.
5. Problemas resueltos y para completar
Problema tipo 3.6.
En la Figura se muestra un esquema sintetizado de dispositivo de accionamiento por efecto
torsional. Para su entendimiento, el esquema se ha hecho similar al montaje de una llave de
tubo. Así pues una fuerza F es aplicada en el punto D, y esta fuerza genera esfuerzos
torsionales y también flexionales en la barra OABC. La pieza está hecha de hierro fundido
ASTM Grado 30, y se ha maquinado hasta obtener las dimensiones finales. Se desea conocer
la fuerza F que fracture la parte del componente. Supóngase que la palanca DC es
sumamente rígida y no forma parte del problema. Empléese la teoría de Mohr-Coulomb. Se
sabe que la resistencia del material es de 31000 Psi a la tracción y de 109000 Psi a la
compresión.
Esquema de la manivela (Shigley [1]).
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Solución del problema tipo 3.6.
En las condiciones que fija el problema, para hallar la carga de fractura en la sección O
(supuesta más conflictiva, ¿por qué?) se emplearán coeficientes de concentración tensional
unitarios (¿qué otra razón justificaría que tales coeficientes sean unitarios?)
Mc
32.14.F
 (1.
)  142.6 F
I
 .13
T .r
16.15.F
 xy  K ts
 (1.
)  76.4 F
J
 .13
Las tensiones principales se obtienen de
 x  Kt
 1 , 3   142.6 F  0   142.6 F  0   76.4 F 2  175.6 F ,33.2 F 
2
2


2
Si se desea emplear la Teoría de Mohr-Coulomb, recuérdese que
1
S yt

3
S yc

1
siendo  1  0 y  3  0
ns
Ahora bien para poder establecer el valor de la fuerza que rompe la barra, es necesario
establecer una línea de carga asociada al patrón de rotura de la teoría, obsérvese para ello la
siguiente Figura para el criterio de falla considerado. El Punto P, indica el estado asociado a
un cálculo determinado, mientras que el punto Q indica la línea de falla o rotura en este caso.
Línea de carga de la Teoría Mohr-Coulomb
En consecuencia de la Figura anterior y de la expresión de la ley de Mohr-Coulomb se tiene:
 3  B SB


 r  Pendiente de Tensiones
1  A S A
S A  n s 1 
S uc S ut
, S B  rS A siendo S ut   1  0 y  S uc   3  0
S uc  rSut
Luego se puede obtener el valor de la Pendiente como
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 3  33.2 F

 r  0.189
 1 175.6 F
con los datos del material se obtiene:
S A  n s 1 
S uc S ut
109000 31000 

 29400 Psi
S uc  rSut 109000    0.189 31000 
S B  rS A   0.189 29400   5560 Psi
Ahora bien asignando el valor unitario al coeficiente de seguridad (¿por qué?), se puede
calcular:
F  167.4 _ lb
Que ocurrirá si en vez de utilizar la teoría empleada en este ejemplo se utiliza la teoría de
Máxima tensión cortante y la teoría de Von Mises-Hencky, empleando en ambos casos
Syt=Syc= 31000 Psi. Para compendiar ello se deja la siguiente tabla para completar
Tipo de Teoría
Mohr-Coulomb
Von Mises Hencky (Máxima Energía de Deformación)
Coulomb-Tresca (Máxima Tensión cortante)
Valor de la fuerza
F  167.4 _ lb
6. Problemas propuestos
Problema 1.
Se tienen que diseñar un eslabón con la forma que se ve en la figura para evitar la
interferencia con otra parte de máquina. Se supone que la carga se mantiene constante en un
valor de 2500 lb. Se piensa emplear un factor de diseño de 2. El valor de a=3 pulg. Se piensa
emplear una relación h=3b y un material AISI 1040. Determine el valor de h tal que no se
verifiquen tensiones de riesgo en la pieza.
Problema 2.
Un eslabón como el que se muestra en la figura adjunta se diseñó para una carga constante de
F=800 N, con L = 50 cm y q =40º con una aleación de aluminio y con un coeficiente de
seguridad de 3 con respecto al límite de fluencia. Si el ancho b no debe exceder 30 mm,
determine las dimensiones b y h. El soporte en B se diseñó de manera que puede absorber por
si solo toda la carga horizontal.
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Problema 3.
Un eje hueco de acero SAE 1045, tiene un diámetro interno de ½ del diámetro externo. El eje
está transmitiendo 1600 HP a 600 RPM. El máximo momento flector es de 40000 lb-pulg.
Determine el diámetro del eje, dado un coeficiente de seguridad de 3. Use para sus cálculos la
teoría de Von Mises-Hencky y luego la teoría de máxima tensión cortante.
Problema 4.
El eje que se muestra en la figura está sometido a esfuerzos tensionales, torsionales y
flexionales. Determine los valores de las tensiones principales y las tensiones máximas para
cada efecto y luego superpóngalas.
Problema 5.
El eje de la figura se halla sometido al estado de solicitaciones indicado. Calcule si puede
resistir y que coeficiente de seguridad que corresponda, siendo el eje construido con Acero
AISI 1020. Emplee la teoría de máxima tensión cortante
Problema 6.
Resuelva el Problema 5 y determine el coeficiente de seguridad si se emplea la teoría de
Mohr-Coulomb con Syt=0.85 Syc= 295 MPa (que es el límite de fluencia del AISI 1020 a
tracción).
Problema 7.
Para la varilla acodada de la figura adjunta, determine el diámetro que pueda resistir las
solicitaciones indicadas con un coeficiente de seguridad 2 para las siguientes situaciones:
a) material acero AISI 1020, con la teoría von Mises-Hencky.
b) material acero AISI 1040, con la teoría von Mises-Hencky.
c) material bronce, con la teoría de Coulomb-Tresca.
d) material titanio, con la teoría de Coulomb-Tresca.
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Problema 8.
En la Figura se muestra el diseño de una columna para montar soportes de cañerías. La
solicitación consiste en una hipótesis de carga como la indicada. En la sección ubicada en A,
se tiene un cilindro hueco de 5 pulg de diámetro externo y un espesor de 0.5 pulg. Use el
diagrama del círculo Mohr o bien las fórmulas correspondientes para hallar las máximas
tensiones cortantes y normales en la sección mencionada. Use un valor de W = 800 N.
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